2023-2024学年河北省承德市某中学高二年级下册开学考数学试题及答案

2023—2024学年度高二开年联考

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知集合/=｛小+1>0｝,集合2={x|x|>2),U=R,则().

A.ABB.604={上<_“

C.A<JB=x>21D.AoB=|x|x>2j

2.若复数z满足(l+3i)z=2+4i,则z的虚部为（）.

17

A.-iB.--iC.——D.-

5555

3.下列函数中，表示同一函数的是（)

A./(x)=x,g(x)=V?B./(x)=lgx2,g(x)=21gx

C./(x)=lne\g(x)=xD./(%)=sinx,g(x)=cos1x+-^-

4.若M是抛物线/=2px（p>0）位于第一象限的点，厂是抛物线的焦点，刊=gp,则直线板的斜

率为（）

5.已知等差数列｛%｝的公差和首项都不为0,且。2,&成等比数列，则在

A.1B.2C.3D.5

6.如图，在四面体4-中，点b分别是45,的中点，点G是线段Eb上靠近点E的一个三

等分点，令万百,AC=b^AD=c，则/=（）

1-11一

B.-QH—b7H—c

366632

D.—a——b+—c

632

7.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为,则密码被破译的概率为（）

12_5

A.—B.—C.—D.1

636

r2V2

8.已知尸为双曲线C：/-方=1（。>0,6>0）的一个焦点，。上的4,5两点关于原点对称，且

网=2网，FA-FB=3a2,则C的离心率是（）

A.为B.包C•恒D.叵

2222

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知ae(O,n),且sina+cosa=—,贝”()

兀

A.—<a<7iB.sincosor=-----

225

77

C.cosa-sina=—D.costz-sincr=——

55

10.已知等差数列｛2｝的首项为=2,公差d=8,在｛%｝中每相邻两项之间都插入左个数，使它们和原数

列的数一起构成一个新的等差数列也“｝,以下说法正确的是（）

A.%=8〃-6

B.当左=3时，bn=2n

C.当先=3时，怎不是数列｛%｝中的项

D.若为是数列｛%｝中的项，则上的值可能为7

11.在正方体/BCD-4片CQ］中，点P满足率=4丽（OVXVI）,贝U（）

JTj

A.若为=1,则4P与AD所成角为7B.若APA.BD,则彳=5

C./尸〃平面8QDD.AtC1AP

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数V=八x的值域为________.

b,0<E

13.己知数列｛%｝满足%=—，贝U%=________，册=_________.

1+a”

14.二面角口-/-分为60。，A,3是棱/上的两点，AC,8。分别在半平面a,4内，AC11,BD11,

且/3=/C=2,BD=4,贝i]CD的长为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间，学生成绩的频率分布直方图如下

(1)估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1)

(2)某老师抽取了10名学生的分数:鼻孙七,已知这10个分数的平均数亍=90,标准差s=6,若剔

除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.

(参考公式：Jjgxf

16.己知点8(-2,6),点p在圆氏一+)2=4上运动.

(1)求过点B且与圆E相切的直线方程；

(2)已知/(—2,-2),C(4,—2),求|尸/『+1尸切2+1PC「的最值.

17.如图，在棱长为4的正方体/BCD-/RCA中，点M是3c的中点.

(1)求证：AB.IA.M；

(2)求二面角8-4"的大小.

18.己知数列｛%｝、也“｝满足％=1,«2=1,9%=6%a"=M(〃eN*).

(1)证明：数列｛%｝为等差数列，并求数列｛《｝的通项公式；

(2)记数列｛”“｝的前〃项和为S“，求S“，并证明：Sn>].

19.已知《卜6,1),B,/是椭圆C上的三点，其中A、8两点关于原点O对称，直线和MB的斜率

满足％,上MB=一；.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)点0是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点。作斜率不为0的直线/,/与椭圆的两个交点

11

分别为P、N,若画+画为定值，则称点。为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出

所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

参考答案

1.D

【分析】先化简集合A,B,再由子集的概念可判断A；由集合的运算判断BCD

【详解】因为N={x[x+l>0}=,3=卜料22}=门,22或xV-2},

所以A不是B的子集，故A错误；

duA={x\x<-l],故B错误；

/口8=门卜>一1或》4一2},故C错误；

AcyB=[x\x>2\,故D正确；

故选：D

2.C

【分析】化简方程求出复数z的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.

【详解】因为(l+3i)z=2+4i,

所Hz=2+4i(2+旬(1-3i)14-2i/1

所以l+3i(l+3i)(l-3i)1055,

所以复数z的虚部为-g,

故选：C.

3.C

【分析】从函数的定义域和对应法则两个方面是否都相同考查函数即得.

【详解】对于A项，g(x)=|x|,与〃x)的对应法则不同，故不是同一函数，A项错误；

对于B项，/(x)的定义域为{引xr0},g(x)的定义域为任|x>0},

故两函数定义域不同，故〃x)与g(x)不是同一函数，B项错误；

对于C项，/(》)=^^=》与8(月=》的定义域相同，对应法则也相同，C项正确；

对于D项，/(x)=siwc,g(x)=-sinx,与g(x)的对应法则不同，故不是同一函数，D

项错误.

故选:C.

4.C

试题

试题

【分析】由抛物线的定义可求得功=2。，结合抛物线方程即可求得为,=2。，运用两点斜

率公式计算即可.

【详解】由题知，F(20),抛物线的准线方程为x=4，设

由抛物线的定义知，|必|=小/，即m=%+金所以无M=2人

所以"=2。无时=4p2,

又因为M位于第一象限，所以加=2。，

所以M(2p,2p),

_2/2-0_4

所以―P=3.

2P-工

故选：C.

5.C

s

【分析】设出数列｛七｝的首项可和公差a,通过题设条件求得为和a的数量关系，再将U

用前几项和公式展开，整体代入即得.

【详解】设等差数列｛g｝的首项为q,公差为d(dwo),

由。2，。4，。8成等比数列得。J=。2即:(%+3d『=(%+/)(%+7d),

A5x4

解得：d=ax,,工厂

a5ax+4d5al

故选：C.

6.A

【分析】连接EC,成)，利用空间向量运算的几何表示求解.

【详解】连接EC,ED,

试题

试题

就二通+用二衣+，丽=次+，xL（反+而）

332、）

—-1/—►—►—►—►、2—►1—►1—►

=AE+-[AC-AE+AD-AE]=-AE+-AC+-AD

6、,366

21—►1___1__.1_1_1一

=-x-AB+-AC+-AD=-a+-b+-c.

3266366

故选：A.

7.B

【分析】密码被破译分三种情况甲破译出密码乙未破译，乙破译出密码甲未破译，甲乙都

破译出密码，根据相互独立事件的概率和公式可求解出答案.

【详解】设“甲独立地破译一份密码”为事件A,“乙独立地破译一份密码”为事件B,

则尸（“）=:，P（B）=g,尸（可=「；=|,尸回

设“密码被破译”为事件C,

贝IJP（C）=P（/豆）+P（M）+P（/2）=!x；+gx；+；x；=g,

故选：B.

【点睛】本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析

问题和解决问题的能力，属于中档题.

8.D

【分析】利用双曲线的定义求出|旬|=4a,|/周=2°,结合余弦定理可求离心率.

【详解】不妨设尸，片分别为双曲线的左右焦点，连接/耳，幽，

因为4,8两点关于原点对称，所以/尸»；为平行四边形，所以恒同=|/引，

因为四-闷|=2a,同=2同=2|必|,

所以同=4a,|幽=2°.

因为瓦.丽=|⑼,丽卜0$乙4尸2=3/,所以COSN/Q=F^=：；

在五耳中，由余弦定理可得4c2=16/+4a2-2x4ax2acosNK4片,

因为cosNE4/^=-cosNNE8=-1,所以26/=^?,即6=叵.

82

故选：D

试题

试题

]12

【分析】AB选项，sini+cosi=y两边平方得至ljsinacosa=-不，再结合。£（0,兀）得到

sina〉O,cos<z<0,得到AB正确；先求出cosa-sina的平方，结合角的范围求出

cosa-sina的值.

【详解】AB选项，sina+cosa=3两边平方得，sin2a+cos2or+2sin«cosa=^9

1一12

即1+2sincrcosa,所以sinacosa=--,B正确，

因为。£（0,兀），所以sina>0,故cosa<0,所以I'VaVTi,A正确；

22449

CD选项，（cosa-sina）=sin2a+cos2a-2sinacosa=l-\---=—,

'/2525

因为sina>0,costz<0,所以cosa—sina<0,

7

故cosa-sina=-不，C错误，D正确.

故选：ABD

10.ABD

【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列｛%｝与｛4｝的下标关系判断

D.

【详解】对于A,由题意得。,=2+8（〃-1）=8〃-6,A正确；

对于B,新数列的首项为2,公差为言±=2,故“=2+2（〃-1）=2",B正确；

对于C,由B选项知怎=58,令8〃-6=58,贝"=8,即既是数列｛%｝的第8项，C错误

对于D,插入I个数,则q==4+2,。3=%丘+3,。4=砥+4,…，

则等差数列｛%｝中的项在新的等差数列｛2｝中对应的下标是以1为首项，左+1为公差的等

差数列，

于是0"=^l+（K-l）（t+l），而d是数列｛%｝的项,令1+左+1）=9,当1=7时,n=2,D正

确.

试题

试题

故选：ABD

11.BCD

【分析】与8。所成角为与8Q所成角，为60。，A错误,建系得到

AP-DB=-A+l-A=0,B正确，故面404〃面G3D,C正确，AlC-AP=0,D正确，

得到答案.

【详解】对选项A：义=1时尸与2重合，g与BD所成角为ADl与旦A所成角，AABR

为等边三角形，则/尸与2。所成角为60。，错误；

对选项B：如图建立空间直角坐标系，令/。=1,即=2而,,

AP=(—A,1—A,1),DB=(1,1,0),AP-DB=—A+1—A=0>=~,正确；

z

by，

4

/：c

k，

B

对选项C：DlBl//BD,£)4<Z平面BOG,8。匚平面2。。1,故。4〃平面&)G，同理

可得ADJ平面CXBD,AD,cBR=R,故面ADXBX〃面CXBD,APu平面AD^,AP〃

平面G助，正确；

Dxc

0,

AB

对选项D：4C=(-i,i,-i),4C-2P=24-l-2-l=0,Afi1AP,正确.

试题

试题

故选：BCD

12.(O,l)##(j^(O<y<l))

【分析】分别求出各段函数的值域再求并集即可

【详解】当时，了二/在卜1可上单调递减，

所以04g；

2

当0cxVI时，了=在(0』上单调递减,

2

所以r><i；

x3,-l<x<0

所以函数〉=<的值域为[0,1],

,0<x<l

故答案为：[0,1]

13.--

3n

,Q

【分析】在递推式%=1,%包=「中对〃依次赋值，即得知;注意到递推式的特征，因

a„>0,可将其两边取倒数，推得等差数列求其通项即得凡.

【详解】因为％=1，。“+1=7^—,所以出=善一=；,%=#—=/)"=4，故%=!；

1+。〃\+ax2l+a2।+£33

一2

由4=1，%+1=詈」可知%>0,两边取倒数得：—=—+1•

故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则,=1+〃-1=〃,二4=乙

山ann

故答案为：:；—.

3n

14.4

【分析】将函分解为9+在+前，再求模即可.

【详解】由题意，,•・二面角a-/-/?为60。，AC±l,AD_L/,.,.就与丽夹角为60。,

••。与丽夹角为120。，

试题

试题

|丽|2=丽2=(0+方+而)2

=CA+AB+BD+2(CA-AB+CA-BD+AB-BDj

=|C3|2+|AB|2+|SD|2+2(O+|C3||S5|COS12O°+O)

=4+4+16+2X2X4X(一;1

=16,

“丽|=4,即CD的长为4.

故答案为：4.

15.(1)中位数为71.4,平均数为71.0

(2)平均数为90,标准差为2行

【分析】（1）根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法直接求解即可；

10

（2）根据已知数据可求得剩余8个分数的平均数，结合s=6可求得进而得到剩余8

i=l

个分数的标准差.

【详解】（1）•••（0.005+0.015+0.025）x10=0.45<0.5,0.45+0.035x10=0,8>0,5,

二中位数位于［70,80）之间，设中位数为加,

则045+（加-70）x0.035=05,解得：机=—。71.4,即中位数为71.4；

平均数为(45x0.005+55x0.015+65x0.025+75x0.035+85x0.010+95x0.010)x10=71.0.

10于一100-8010x90-180

（2）剩余8个分数的平均值为

88

10

£X,2-10X90210

:=10x62+10x902=81360,

i=l

10

2222

£X1-80-100-8X90__

••・剩余8个分数的标准差为

----------------------------=V20=2y/5'

8

16.⑴4x+3尸10=0或％=-2

（2）最大值为88,最小值为72

【分析】（1）按过点B的直线斜率存在与否分类讨论，利用点到直线距离公式即可求得过点

试题

试题

B且与圆E相切的直线方程；

(2)利用两点间距离公式将|尸/F+|P8『+|PCF化简，利用点尸纵坐标的取值范围即可求

得|"『+|依『+|尸。『的最值.

【详解】(1)当过点B的直线斜率存在时，

设切线的方程为y=〃(x+2)+6,即Ax-y+6+2左=0,

\6+2k\4

则圆心E(0,0)到切线的距离为1T=2,解得上一;，

J1+上23

4

所以切线方程为了=-](x+2)+6,即4x+3>-10=0,

当过点尸的直线斜率不存在时，切线方程为x=-2,此时直线与圆新相切.

综上，切线方程为4x+3yT0=0或》=-2.

(2)设尸点坐标为(x,y),则/+/=4,所以

同『+|PS|2+|PC|2

=(x+2)2+(y+2)2+(x+2y+(J-6)2+(x-4)2+(y+2)2=3(V+y2)-4y+68=80-4y.

因为所以72V80-4yW88,

即|PN『+11pCp的最大值为88,最小值为72.

17.(1)证明见解析

【分析】(1)由正方体的性质，先证8C/平面得耳，再由工月，48证明

/月，平面48M,进而即得；

(2)依题意建系，求得相关点坐标，分别求出平面4"。和平面48M的法向量，利用空

间向量的夹角公式即可求得.

【详解】(1)因为且24c48=8,/民8耳u平面258/1,

所以3cl平面4BBM.又/月u平面ABBlAi,

所以月

又因为正方形48耳4,则/用，4B，4Bc8c平面48M,

试题

试题

所以AB—平面48M.

因为平面48M,

所以MJ4".

(2)

如图，以点。为原点，以向量而，皮,函所在直线为x）,z轴，建立空间直角坐标系,

则4（4,0,4）,M（2,4,0）,G（0,4,4）,/（4,0,0）再（4,4,4）,

丽=（-2,4,-4）防=（-2,0,4）.

设平面4Mq的一个法向量为应=（x,y,z）,

AM-m=-2x+4y-4z=0

则—.一,令x=2,则y=2,z=l,

的•应=-2x+4==0

故平面的法向量可取为m=（2,2,1）.

由（1）可知，平面48M,所以平面48M的法向量可取五瓦=（0,4,4）,

设二面角B-A.M-G的大小为0,由图可知夕为钝角，

I--I12-x/2

贝UCOS0=—COS772,AB=--_|Y=-------尸=----,因一<夕<71,

{同卜闻3x4后22

贝|J9=93兀,即二面角5—4M—G的大小为3了71.

44

3〃一2

18.（1）证明见解析，。〃=下厂

⑵一号手，证明见解析

44X3

【分析】（1）由已知等式变形可得出“+I+47=2”（〃22）,利用等差中项法可证得结论成

试题

试题

立，确定数列｛2｝的首项和公差，可求得数列低｝的通项公式，进而可求得数列｛%｝的通项

公式；

（2）利用错位相减法可求得邑，分析数列｛S,｝的单调性，即可证得结论成立.

【详解】⑴因为9%=6““-心（心2）,%=条（〃eN*）,则"=3"一匕，

等式9«„+1=6a“-%（心2）两边同时乘以3"-2可得3'—=2x3""-3"-%,

即初+如=26,（心2）,所以，数列｛，｝是等差数列.

且4=1=1,%=3