2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷 （含答案）

2023-2024学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（共6小题，每题2分，满分12分）.

1.一次函数y=2x-l的图象不会经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.用换元法解方程（上y-2L-4=0时,如果设上=>,那么原方程可变形为（）

X—11—Xx-1

11

A.y2-3y-4=0B.y2+3,y-4=0C.丁9―y-4=0D./9+-y-4=0

3.下列关于向量说法错误的是（）

A.既有大小，又有方向的量叫做向量

B.向量的大小叫做向量的模

C.长度为零的向量叫做零向量

D.零向量是没有方向的

4.下列说法中，正确的是（）

A.必然事件的概率为1B.随机事件的概率为0.5

C.概率很小的事件不可能发生D.概率很大的事件一定发生

5.下列说法中正确的是（）

A.等腰梯形是中心对称图形

B.平行四边形是轴对称图形

C.菱形的对角线互相垂直且相等

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

6.综合实践课上，嘉嘉画出A43。，利用尺规作图找一点C,使得四边形为平行四边形.（1）

（3）是其作图过程.

（1）作AD的垂直平分线交AD于点O;

（2）连接/。，在/。的延长线上截取。C=2。；

（3）连接。C,BC,则四边形/8C。即为所求.

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形N2CD为平行四边形的条件是()

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

二、填空题(本大题共12小题，每题3分，满分36分)

7.直线y=-3x-l的截距是

8,方程VT万=1的实数根是

9.如果关于x的方程(zw+2)x=l无解，那么“7的取值范围是

10.如图，直线y=fcr+6过点(2,0),(0,3),那么关于x的不等式fcr+20的解集是

11.如果直线>=履+6(左片0)与直线y=3x+3没有交点且过点(2,0),那么b的值为.

12.已知一次函数y=(1-〃?)x+2图象上两点/(西，“)，B(X2,y2),当王〈/时，那么机的

取值范围是.

13.一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到

红球的概率是!，那么袋子中共有个球.

4

14.某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原

计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树

的同学人数为x人，那么可列出方程—.

15.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是—.

16.矩形的两条对角线的夹角为60。，一条对角线长为2,则矩形的面积为

17.如果梯形的中位线长为4,其中一条底边长为2,一条腰长为6,那么另外一条腰长x的取值范围

是—.

18.如图，正方形4BCD的边长为亚，将AA8C绕点/旋转，得到△/AC,其中8、C的对应点分别

是点、B',C,如果点夕在正方形/BCD内，且到点2、C的距离相等，那么CD的长为.

三、解答题（本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24

题9分，第25题11分，满分52分）

存刀-工口”-2x+32

19.解万程--+----+f-=1

X—1X+1X—1

x+2y=4①

解方程组:

x2—xy—2y2=0(2)

21.如图，平行四边形45CQ中，点E为CZ）中点.把图中的线段都画成有向线段.

（1）填空在这些有向线段表示的向量中，与瓦相等的向量是,与无互为相反向量的向量是

（2）求作：BA+AE-DE（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）.

_______________D

22.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7:00,部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生

乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00,军车在离营地60左机的

地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和

师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（加。与所用时间/（%）的函数关系如图2所示.

图2

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间/的函数表达式及a的值.

(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

23.已知：如图，在AA8C中，ABAC=90°,/G是8c边上的高.77为线段CG上的点，以/G、GH

为邻边作矩形NGHD,联结8。交/G于点£,联结/C交。〃于点尸.

(1)如果=求证：四边形/GAD为正方形；

(2)联结斯，如果ZD3C=NA4G,求证：四边形NEED为矩形.

4

24.如图，在直角坐标平面内，直线y=fcc+3与y轴交于点N,与双曲线>=-—(x>0)交于点8.

x

(1)联结20,如果A4O2的面积为6,求直线48的表达式；

(2)点C在x轴负半轴上，点。在8。的延长线上，如果四边形NBCA是菱形，求点8的坐标.

25.定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”,

这个内角称为“加和角”.

(1)如图1,在梯形/8CZ1中，AD//BC,点、E为边BC上一点、,四边形4BE。为菱形，点E为边8c中

点，求证：梯形/2CZ)为“加和角梯形”；

(2)在“加和角梯形”/BCD中，N4D。为“加和角”，AD//BC.

①如图2,如果NB=OC,ACVBD,垂足为点。，AC=2遍,求梯形N2CD的周长；

②如图3,如果乙4=90。，点E为边3c中点，过点、E作EF//CD交边4B于点、F,AD=2,48=4,点

G在边CD上使得AEFG是以尸G为腰的等腰三角形，求。G的长.

参考答案

一、选择题（共6小题，每题2分，满分12分）.

1.一次函数y=2x-l的图象不会经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：在一次函数y=2x-l中，"=2>0,Z>=-l<0,

.•.一次函数y=2尤-1的图象经过一、三、四象限，

图象一定不经过第二象限.

故选：B.

2.用换元法解方程（上y-2L-4=0时，如果设上=>,那么原方程可变形为（）

X—11—XX—1

A.y2-3y-4=0B./+3y-4=0C./-1j；-4=0D./+|j；-4=0

解：原方程可变为（上门+'-4=0,

X—1X—1

设上=y,原方程变为：

X-1

y2+3y-4=0,

故选：B.

3.下列关于向量说法错误的是（）

A.既有大小，又有方向的量叫做向量

B.向量的大小叫做向量的模

C.长度为零的向量叫做零向量

D.零向量是没有方向的

解：/、既有大小，又有方向的量叫做向量，故原说法正确；

向量的大小叫做向量的模，故原说法正确；

C、长度为零的向量叫做零向量，故圆说法正确；

。、零向量是有方向的，故原说法错误，

故选：D.

4.下列说法中，正确的是（）

A.必然事件的概率为1B.随机事件的概率为0.5

C.概率很小的事件不可能发生D.概率很大的事件一定发生

解：/、必然事件的概率为1,故/符合题意；

B、0〈随机事件的概率＜1,故8不符合题意；

C、概率很小的事件也可能发生，故C不符合题意；

。、概率很大的事件不一定会发生，故。不符合题意；

故选：A.

5.下列说法中正确的是（）

A.等腰梯形是中心对称图形

B.平行四边形是轴对称图形

C.菱形的对角线互相垂直且相等

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等

解：A.等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C.菱形的对角线互相垂直但不相等，故本选项不符合题意；

D.正方形的对角线互相垂直平分且相等，故本选项符合题意.

故选：D.

6.综合实践课上，嘉嘉画出A/18。，利用尺规作图找一点C,使得四边形/BCD为平行四边形.（1）

（3）是其作图过程.

（1）作AD的垂直平分线交AD于点O；

（2）连接/。，在/。的延长线上截取0c=4。；

（3）连接DC,BC,则四边形/8CZ）即为所求.

在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（

A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

解：由作图得：DO=BO,AO=CO,

，四边形ABCD为平行四边形，

故选：C.

二、填空题（本大题共12小题，每题3分，满分36分）

7.直线y=-3x-1的截距是——1—.

解：-：y=3x-\,

.,.当x=0时，j=-1.

故答案为：T.

8.方程=1的实数根是_x=2_.

解：Jx-1=1,

方程两边平方，得X-1=1,

解得：x=2,

经检验x=2是原方程的解.

故答案为：x=2.

9.如果关于x的方程（加+2）x=l无解，那么机的取值范围是2_.

解：•・・关于x的方程（加+2）x=l无解，

:.m+2=0,

解得：m=—2.

故答案为：-2.

10.如图，直线歹=依+6过点（2,0）,（0,3）,那么关于x的不等式fcr+b”0的解集是_x...2

解：根据函数图象可知，

/.关于尤的不等式依+6”0的解集是X...2.

故答案为：x...2.

11.如果直线>=履+6（左wO）与直线歹=3x+3没有交点且过点（2,0）,那么b的值为6_.

解：•.•直线>=履+6（左。0）与直线y=3x+3没有交点，

:.k=3,

•・•过点（2,0）,

0=3x2+6,解得b=—6.

故答案为：-6.

12.已知一次函数y=（1-加）工+2图象上两点,乂），B（X2,y2）,当王<%2时，必>为，那么根的

取值范围是—m>\—.

解：丁玉</时，%>%，

・•）随工的增大而减小，

1-m<0,

:.m>\.

故答案为：m>l.

13.一个不透明的袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，如果摸到

红球的概率是那么袋子中共有8个球.

4

解：设有红球x个，

•.•袋子中装着除了颜色外均相同的若干红球和6个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是工，

4

x_1

x+64

解得％=2,

•••袋子中的球共有6+2=8（个）.

故答案为：8.

14.某年级计划组织部分同学进行义务植树200棵，由于同学们积极参与，实际参加植树的同学人数比原

计划多了30人，结果每人比原计划少植树1棵，但总共植树比原计划多了40棵，如果假设实际参加植树

的同学人数为X人，那么可列出方程200+4（）+]=包）.

—xx-30—

解：设实际参加植树的同学人数为X人，则原计划有（x-30）人参加植树活动,

200+401200

根据题意得:-----------+1=--------

xx-30

200+401200

故答案为:-----------+1=--------

xx-30

15.如果从多边形的一个顶点出发的对角线有9条，那么它的边数是12

解：•.•从多边形的一个顶点出发的对角线有9条,

，多边形的边数为：9+3=12.

故答案为：12.

16.矩形的两条对角线的夹角为60。，一条对角线长为2,则矩形的面积为一百

解：矩形的两条对角线的夹角为：Zl=60°,

•.■矩形对角线相等且互相平分，

为等边三角形，

AB=AO=-AC=1,

2

在直角AABC中，AC=2,AB=\,

BC=yjAC2-AB2=V3,

故矩形的面积为：1x6=6.

17.如果梯形的中位线长为4,其中一条底边长为2,一条腰长为6,那么另外一条腰长x的取值范围是

2<x<10_.

解：过点。作。EL8c于E,

DE=AB,

当4。=5片=2时，

中位线长为4,

AD+BC=S,

当3C=6,C£>=6时，

贝AD=BE=2,

CE=BC-AD=4,

另外一条腰长x的取值范围是6-4<x<6+4,

即2<x<10,

故答案为：2cx<10.

18.如图，正方形的边长为血，将AA8C绕点/旋转，得到其中3、C的对应点分别

是点B，,C,如果点夕在正方形内，且到点2、C的距离相等，那么CT）的长为_6-1

解：过B，作EF//AB,作B'H上4B,

由正方形48co的边长为正，点3'到点8、C的距离相等，将A48c绕点/旋转，得到△/夕。，

得48'=4B=4D,ZB'AC=45°-ZCAC=ADAC,AC=AC,

MAB'AC=ADAC(SAS),

得CD=CB'=BB',

由四边形〃是矩形，

得B，H=BE=LBC=",AH=NAB'Z-B'H2=四，BH^AB-AH=41^,

2222

得CD=BB'=SIB'H2+BH2=V3-1.

故答案为：V3-1.

AD

E

三、解答题(本大题共7题，第19、20题每题5分，第21题6分，第22题7分，第23题9分，第24

题9分，第25题11分，满分52分)

19.解方程=+二1+三=1

X—1X+1X—1

角军：去分母，(%-2)(x+1)+(x+3)(x-1)+2=x2-1,

整理后，得f+%一2=0,

解这个方程，得玉=-2,々=1，

检验：把x=-2代入1,它等于3。0,

所以％=-2是原方程的根；

把x=l代入Y—1,它等于0,

所以x=l是增根.

二.原方程的根是、=—2.

x+2y=4①

20.解方程组:

x2-xy-2y2=0②

x+2歹=4①

x2-xy-2y2=0②

由②得：(1-2>)(%+>)=0,

x-2y=0^x+y=0③，

由③和①组成两个二元一次方程组+2y=4或1+2y=4

[x-2y=0[x+y=0

所以原方程组的解是!*=2

.%=4

21.如图，平行四边形NBCr(中，点E为CO中点.把图中的线段都画成有向线段.

(1)填空：在这些有向线段表示的向量中，与瓦相等的向量是—就—，与诙互为相反向量的向量

是

(2)求作：BA+AE-DE(不写作法，保留作图痕迹，写出结论).

解：(1)与方相等的向量是比，与朝互为相反向量的向量是丽，CE；

(2)如图，彷即为所求(茄+万一瓦=砺一反=丽).

22.某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7:00,部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生

乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00,军车在离营地60公〃的

地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和

师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(加。与所用时间f(/z)的函数关系如图2所示.

(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及。的值.

(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

由函数图象可得，大巴速度为丝二型

解:(1)=40（碗/h），

1

s=20+40/；

当s=100时，100=20+40/,

解得t=2,

a=2；

大巴离营地的路程s与所用时间/的函数表达式为5=20+40?,a的值为2；

(2)由函数图象可得，军车速度为60+1=60(•//!),

设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh,

根据题意得：60(2-x)=100,

解得：x=L

3

答：部队官兵在仓库领取物资所用的时间为工力.

3

23.已知：如图，在AA8C中，ABAC=90°,/G是8c边上的高.X为线段CG上的点，以/G、GH

为邻边作矩形NGHD,联结8。交/G于点E,联结/C交于点尸.

(1)如果/2=/尸，求证：四边形NGAO为正方形；

(2)联结EF,ADBC=/.BAG,求证：四边形/£7加为矩形.

ZADF=90°,ZGAD=90°,

•.•/G是8C边上的高，

ZAGB=90°,

NAGB=ZADF,

即NBAG+NGAC=NGAC+NFAD,

ZBAG=ZFAD,

•••ZAGB=NADF,AB=AF,

ABAG=AFAD(AAS).

:.AG=AD,

•・•四边形4G/TO是矩形

四边形4G”。是正方形；

(2)证明：•/ABAC=ZDAE=90°,

/./BAG=ZDAF,

•・•/BAG=ZDBC,

ADAF=/DBC,

•・•ADI/GH,

/ADE=ZDBC,

/ADE=ZDAF,

•/AD=AD,NDAE=NEAD,

\ADF=ADAE(ASA),

AE=DF,

/.AE//DF,

.•.四边形力£尸。是平行四边形，

•・•ZADF=90°,

二.四边形NEED是矩形.

4

24.如图，在直角坐标平面内，直线歹=近+3与y轴父于点/,与双曲线》=——(x>0)交于点5.

x

(1)联结50,如果A4O5的面积为6,求直线的表达式；

(2)点。在x轴负半轴上，点。在50的延长线上，如果四边形45CQ是菱形，求点5的坐标.

解：(1)直线>=区+3与y轴交于点4,则点4(0,3),

贝!J\AOB的面积=；xOAxxB=；x3xx§=6,

解得：=4,

4

当尤=4时，j=--=-1,即点8(4,-1),

x

将点3的坐标代入一次函数表达式得：-1=4上+3,

解得:k=-\,

则直线48的表达式为：y=-x+3；

(2)如图，设8C交y轴负半轴于点E,

•.•四边形48CD是菱形，

贝UBC=BA,NCBO=NABO,

而20=80,

贝U根。=ACOB(SAS),

贝UZCOB=ZAOB,

贝!IZxOB=AAOB-90°=NCOB-90°=NEOB,

即。8为二、四象限的角平分线，

故设点B在直线y=-x±,

联立上式和反比例函数表达式得：-x=--,

X

解得：x=-2(舍去)或2,

即点8(2,-2).

25.定义：如果梯形的一个内角等于其它三个内角中的两个内角之和，那么称这个梯形为“加和角梯形”,

这个内角称为“加和角”.

(1)如图1,在梯形/2CA中，AD//BC,点、E为边BC上一点、,四边形N5ED为菱形，点£为边8c中

点，求证：梯形/8CD为“加和角梯形”；

(2)在“加和角梯形”48co中，N4DC为“加和角”，AD//BC.

①如图2,如果N2=OC,ACVBD,垂足为点。，AC=2屈,求梯形/BCD的周长；

②如图3,如果N/=90。，点E为边2c中点，过点£作斯//。。交边于点尸，AD=2,48=4,点

G在边CO上使得A£FG是以FG为腰的等腰三角形，求。G的长.

【解答】（1）证明：•.•四边形N8E。为菱形，

ZB=ZADE,DE=BE,

・••£为边3c中点，

BE=CE,

DE=CE,

ZEDC=ZC,

ZEDC+ZADE=ZC+ZB,

即ZADC=ZB+ZC,

梯形/BCD为“加和角梯形”；

（2）解：①•.•梯形/BCD中，AD//BC,AB=DC,

:.NABC=NDCB,ZADC+ZDCB=180°,AC=BD,

“加和角梯形"/8CZ）中，/ADC为“加和角”，

NADC=ZDCB+ZABC=2ZDCB,

2NDCB+ZDCB=180°,

NDCB=NABC=60°,

分别过点/、。作/GL8C、DHVBC,垂足分别为点G,H,

/.ZAGH=ZDHC=90°,AG//DH,

ZAGH=ZDHG=Z