人教版数学九年级上册-配方法（第1课时）课件

解一元二次方程配方法人教版九年级数学上册（第1课时）解一元二次方程配方法（第1课时）人教版九年级数学上册授课人：XXX数学人教版九年级上册预备知识

什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.a(a≥0)的平方根记作：±.x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x=±.导入新知如果方程转化为x2=p,该如何解呢？求出下列各式中x的值，并说说你的理由.1.x2=92.x2=5

x=±=±3

x=±【思考】导入新知1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.

2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p≥0)的方程.素养目标

一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？直接开平方法解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程:10×6x2=1500，由此可得x2=25.开平方得x=±5，即x1=5，x2=－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．知识点探究新知【试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)

x2=4(2)

x2=0(3)

x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知(2)当p=0时，方程(I)有两个相等的实数根x1=

x2

=0；

(3)当p<0时,因为任何实数x，都有x2≥0，所以方程(I)无实数根.一般地，对于可化为方程

x2=p,

(I)

(1)当p>0时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根，；

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.【归纳】探究新知

例1

利用直接开平方法解下列方程:(1)

x2=6；(2)

x2－900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30，∴x1=30,x2=－30.

利用直接开平方解形如x2=p方程素养考点1探究新知解下列方程（分析:把方程化为x2=p

的形式）

(1)

(2)

解：移项，得系数化为1，得即解：移项，得系数化为1，得巩固练习解：把x+3看做一个整体，两边开平方得

②对照前面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5①？于是，方程（x+3）2=5的两个根为由方程①得到②，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了.巩固练习例2

解下列方程：（1）（x＋1）2=2；

解析：本题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）∵x+1是2的平方根，∴x+1=

利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程素养考点2探究新知解析：本题先将-4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.（2）（x－1）2－4=0；即x1=3，x2=-1.解：（2）移项，得（x-1）2=4.∵x-1是4的平方根，∴x-1=±2.探究新知∴x1=

，

x2=(3)

12（3－2x）2－3=0.解析：本题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（3-2x）²=0.25.∵3-2x是0.25的平方根，∴3-2x=±0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知解：移项x＋6=3，x＋6=－3,方程的两根为x1=－3,x1=－9.解：方程的两根为解方程.（1）（2）巩固练习解：方程的两根为解：方程的两根为例3

解下列方程：解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素养考点3（1）（2）探究新知解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.进行降次得：解方程x2+6x+9=2.x1=,x2=.方程的两根为巩固练习

一元二次方程x2﹣9=0的解是

．解析:

∵x2﹣9=0，∴x2=9，

解得：x1=3，x2=﹣3．

故答案为：x1=3，x2=﹣3．x1=3，x2=﹣3链接中考

C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=±3,

x1=;

x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5,x1=1;x2=-4

1.下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得x=±B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

D基础巩固题课堂检测(1)方程x2=0.25的根是

.(2)方程2x2=18的根是

.(3)方程(2x-1)2=9的根是

.x1=0.5,x2=-0.5x1＝3,x2＝-3x1＝2,x2＝－12.

填空:课堂检测3.

下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.①②③④解：解：不对，从②开始错，应改为课堂检测解方程.解：方程的两根为能力提升题课堂检测直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业相关知识内容延伸学习，授课时可参考。配方法（第1课时）人教版数学九年级上册教案一、教学目标知识与技能目标：学生能够理解配方法的概念和原理，掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤，并能正确运用配方法求解此类方程。过程与方法目标：通过探索配方法解一元二次方程的过程，培养学生的观察、分析、归纳和推理能力，以及类比、转化的数学思想方法，提高学生解决数学问题的能力。情感态度与价值观目标：让学生在自主探索与合作交流的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心；感受数学知识的严谨性和逻辑性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。二、教学重难点教学重点：理解配方法的原理，掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤。教学难点：把一元二次方程转化为\((x+m)^2=n\)（\(n\geq0\)）的形式，理解配方的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方。三、教学方法讲授法、讨论法、启发式教学法、探究式教学法相结合。通过问题情境引导学生自主探究，小组合作交流，教师适时点拨，帮助学生理解和掌握配方法。四、教学过程（一）复习导入（5分钟）教师提问：“同学们，我们之前学习过一元二次方程的一般形式，谁能说一说？”引导学生回顾一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的相关知识。接着提问：“我们已经学习过哪些解一元二次方程的方法呢？”让学生回忆直接开平方法，然后给出方程\(x^2=9\)，\((x-2)^2=16\)，请学生用直接开平方法求解，复习巩固旧知识，为引出配方法做铺垫。最后提出问题：“对于方程\(x^2+6x+4=0\)，能不能直接用直接开平方法求解呢？为什么？”引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲，从而导入新课——配方法。（二）探究新知（20分钟）探究配方法的原理教师引导学生观察完全平方公式\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，提出问题：“如果已知\(a^2+2ab\)，怎样得到\((a+b)^2\)呢？”以\(x^2+6x\)为例，让学生思考如何将其配成完全平方式。通过小组讨论，引导学生发现给\(x^2+6x\)加上一次项系数\(6\)一半的平方，即\(3^2=9\)，就可以得到\((x+3)^2\)，也就是\(x^2+6x+9=(x+3)^2\)。进一步引导学生总结规律：对于\(x^2+bx\)，在等式两边加上\((\frac{b}{2})^2\)，就可以构成完全平方式\((x+\frac{b}{2})^2\)，从而让学生理解配方法的原理。用配方法解方程以方程\(x^2+6x+4=0\)为例，教师边讲解边板书解题步骤：首先进行移项，将常数项移到等号右边，得到\(x^2+6x=-4\)。然后进行配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即\(x^2+6x+9=-4+9\)，此时左边构成完全平方式\((x+3)^2\)，方程变为\((x+3)^2=5\)。最后利用直接开平方法求解，得到\(x+3=\pm\sqrt{5}\)，进而解得\(x_1=-3+\sqrt{5}\)，\(x_2=-3-\sqrt{5}\)。引导学生回顾解题过程，总结用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：移项、配方、开平方、求解。（三）例题讲解（15分钟）讲解课本例题：用配方法解方程\(x^2-4x+1=0\)。教师先引导学生分析方程，按照配方法的步骤进行解题。在移项时，强调移项要变号；在配方时，提醒学生注意加上一次项系数一半的平方。规范板书解题过程，让学生清楚每一步的依据和书写格式。解完方程后，引导学生思考：在配方过程中，为什么在方程两边加上的是一次项系数一半的平方？加深学生对配方法关键步骤的理解。给出变式例题：用配方法解方程\(x^2+5x-6=0\)。让学生自己尝试解题，教师巡视课堂，观察学生的解题情况，及时发现学生存在的问题。选取有代表性的学生解题过程进行展示，组织学生进行讨论和评价，纠正学生在解题过程中出现的错误，强化配方法的解题步骤和注意事项。（四）课堂练习（10分钟）布置课本练习题：用配方法解下列方程：\(x^2+8x-9=0\)\(x^2-3x+1=0\)\(x^2+2x-5=0\)让学生在练习本上独立完成，教师巡视指导，帮助学习有困难的学生。选取部分学生的练习进行展示和点评，针对学生普遍存在的问题进行集中讲解，强调配方时的易错点，如符号问题、计算错误等，巩固配方法的解题方法和步骤。（五）课堂小结（5分钟）教师提问：“同学们，通过这节课的学习，你学到了哪些知识？”引导学生回顾配方法的原理、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤。与学生一起总结配方法的关键步骤和注意事项，强调配方的核心是在方程两边加上一次项系数一半的平方，以及移项、开平方等步骤中的易错点。鼓励学生分享在学习过程中的收获和体会，对学生的积极表现给予肯定和表扬，增强学生学习数学的信心。（六）作业布置（1分钟）基础作业：课本习题中用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的相关题目，要求学生认真书写解题过程，巩固本节课所学知识。拓展作业：思考当一元二次方程的二次项系数不为1时，如何用配方法求解方程，为下节课的学习做准备。五、教学反思在教学过程中，要关注学生对配方法原理的理解程度，及时了解学生在解题过程中遇到的困难和问题。对于学习能力较弱的学生，要加强个别辅导，帮助他们掌握配方法的步骤和要点。同时，通过作业和练习反馈，及时调整教学策略，进一步巩固学生的学习效果，培养学生运用配方法解决一元二次方程问题的能力。这份教案从多维度设计教学环节，助力学生掌握配方法。你若对教案的环节设置、练习难度等有其他想法，欢迎随时告知我。相关知识内容延伸学习，授课时可参考。以下是人教版八年级数学（上册和下册）的核心知识点整理，涵盖代数、几何、函数等主要领域，供参考：###**人教版八年级数学上册知识点**####**第十一章三角形**1.**三角形的分类**

-按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

-按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。2.**三角形的性质**

-**三边关系**：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

-**内角和**：三角形内角和为180°；外角等于不相邻两内角之和，且大于任一不相邻内角。3.**三角形的重要线段**

-高线、中线、角平分线的定义及性质（中线平分面积，角平分线到两边距离相等）。4.**多边形**

-**内角和公式**：\((n-2)×180°\)（\(n\)为边数）。

-**外角和**：任意多边形外角和为360°。

-正多边形的概念及对称性。####**第十二章全等三角形**1.**全等三角形的判定**

-**SSS（边边边）**：三边对应相等的两三角形全等。

-**SAS（边角边）**：两边及其夹角对应相等的两三角形全等。

-**ASA（角边角）**：两角及其夹边对应相等的两三角形全等。

-**AAS（角角边）**：两角及一角的对边对应相等的两三角形全等。

-**HL（斜边、直角边）**：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等则全等。2.**全等三角形的性质**

-对应边相等，对应角相等，对应线段（高线、中线、角平分线）相等。3.**角平分线的性质**

-角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上。####**第十三章轴对称**1.**轴对称图形与对称轴**

-定义：沿某条直线折叠后直线两旁部分完全重合的图形（如等腰三角形、矩形等）。2.**轴对称的性质**

-对应点连线被对称轴垂直平分；对应线段相等，对应角相等。3.**垂直平分线**

-性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。4.**等腰三角形**

-**性质**：两腰相等，两底角相等（等边对等角）；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（三线合一）。

-**判定**：有两边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边。5.**等边三角形**

-三边相等，三角均为60°；判定：三边相等、三角相等或有一个角为60°的等腰三角形。6.**含30°角的直角三角形**

-30°角所对直角边等于斜边的一半。####**第十四章整式的乘法与因式分解**1.**整式的乘法**

-**同底数幂相乘**：\(a^m×a^n=a^{m+n}\)（底数不变，指数相加）。

-**幂的乘方**：\((a^m)^n=a^{mn}\)（底数不变，指数相乘）。

-**积的乘方**：\((ab)^n=a^nb^n\)（积的各因式分别乘方）。

-**单项式×单项式/多项式**：系数、同底数幂分别相乘，再相加。

-**多项式×多项式**：用分配律展开，如\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。2.**乘法公式**

-**平方差公式**：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。

-**完全平方公式**：

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。3.**因式分解**

-**定义**：将多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互为逆运算）。

-**方法**：

-**提公因式法**：如\(ma+mb+mc=m(a+b+c)\)。

-**公式法**：套用平方差公式或完全平方公式。

-**十字相乘法**（拓展）：用于二次三项式分解，如\(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)。####**第十五章分式**1.**分式的概念**

-定义：形如\(\frac{A}{B}\)（\(B≠0\)，\(A\)、\(B\)为整式）的式子，分母含字母。2.**分式的基本性质**

-\(\frac{A}{B}=\frac{A×C}{B×C}\)，\(\frac{A}{B}=\frac{A÷C}{B÷C}\)（\(C≠0\)）。3.**分式的运算**

-**乘除**：\(\frac{a}{b}×\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)，\(\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\)。

-**加减**：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母先通分再计算。4.**分式方程**

-定义：分母含未知数的方程。

-**解法**：去分母化为整式方程，解后需验根（避免分母为0）。

-**应用**：解决行程、工程等实际问题（注意单位统一和验根）。###**人教版八年级数学下册知识点**####**第十六章二次根式**1.**二次根式的定义**

-形如\(\sqrt{a}\)（\(a≥0\)）的式子，如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{x+1}\)（\(x≥-1\)）。2.**二次根式的性质**

-\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a≥0\)）；\(\sqrt{a^2}=|a|\)。3.**二次根式的运算**

-**乘法**：\(\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a≥0\)，\(b≥0\)）。

-**除法**：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a≥0\)，\(b>0\)）。

-**加减**：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（如\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)）。####**第十七章勾股定理**1.**勾股定理**

-直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：\(a^2+b^2=c^2\)（\(c\)为斜边）。2.**勾股定理的逆定理**

-若三角形三边满足\(a^2+b^2=c^2\)，则该三角形为直角三角形（\(c\)为最长边）。3.**勾股数**

-满足\(a^2+b^2=c^2\)的正整数组，如（3,4,5）、（5,12,13）等。4.**应用**

-求直角三角形边长、判断三角形形状、解决几何中的最短路径问题等。####**第十八章平行四边形**1.**平行四边形**

-**性质**：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分。

-**判定**：

-两组对边分别平行/相等；

-一组对边平行且相等；

-对角线互相平分；

-两组对角分别相等。2.**特殊平行四边形**

-**矩形**：

-性质：四个角都是直角，对角线相等（平行四边形+直角）。

-判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。

-**菱形**：

-性质：四条边相等，对角线互相垂直且平分每组对角（平行四边形+邻边相等）。

-判定：一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形。

-**正方形**：

-性质：兼具矩形和菱形的所有性质（四边相等、四角直角、对角线相等且垂直平分）。

-判定：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。3.**三角形中位线定理**

-三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半（用于证明线段平行或长度关系）。####**第十九章一次函数**1.**函数的概念**

-变量\(x\)、\(y\)，对于\(x\)的每一个确定值，\(y\)都有唯一确定的值对应，则\(y\)是\(x\)的函数（如\(y=2x+1\)）。2.**一次函数的表达式**

-**一般式**：\(y=kx+b\)（\(k≠0\)，\(k\)为斜率，\(b\)为截距）。

-**正比例函数**：当\(b=0\)时，\(y=kx\)（图象过原点）。3.**一次函数的图象与性质**

-**图象**：一条直线，两点法作图（通常取\(x=0\)和\(y=0\)的点）。

-**性质**：

-\(k>0\)时，图象从左到右上升，\(y\)随\(x\)增大而增大；

-