重庆市康德卷2025年数学高二下期末考试试题含解析

重庆市康德卷2025年数学高二下期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60 B．48 C．36 D．242．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．设，则的值为（）A． B．1 C．0 D．-14．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A．50 B．2 C．0 D．-20185．在区间[-1,4]内取一个数x,则≥的概率是（）A． B． C． D．6．设，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．若复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．复数z满足，则复数的虚部是（）A．1 B．－1 C． D．9．已知数列的前n项和为，满足，，若，则m的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．设函数，则满足的x的取值范围是（）A． B． C． D．11．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种12．角的终边上一点，则（）A． B． C．或 D．或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上的点到的距离与到其准线距离之和的最小值是_____.14．若，则__________．15．已知向量满足，，，若对每一确定的，最大值和最小值分别为，则对任意，的最小值是_____.16．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）第十二届全国人名代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议（简称两会）分别于2017年3月5日和3月3日在北京开幕，某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类，已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人.（1）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动，求这2人全是男生的概率.（2）根据题意建立列联表，并判断是否有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818．（12分）若关于的不等式在实数范围内有解.（1）求实数的取值范围；（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.19．（12分）设函数,（1）求函数的单调区间：（2）记的最小值为，求的最大值．20．（12分）(1)设集合}，，且，求实数m的值.(2)设，是两个复数，已知，，且·是实数，求.21．（12分）如图，在多面体中，底面为菱形，底面，.（1）证明：平面；（2）若，，当长为多少时，平面平面.22．（10分）已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若存在实数解，求实数a取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为，得解．【详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为，故选：D．本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．2、B【解析】

不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【详解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上单调递减，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．3、C【解析】

首先采用赋值法，令，代入求值，通分后即得结果.【详解】令，,，.故选：C本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.4、B【解析】

由题意可得，为周期为4的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】解：是定义域为的奇函数，可得，即有，即，进而得到，为周期为4的函数，若，可得，，，则，可得.故选：B．本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．5、D【解析】

先解不等式，确定解集的范围，然后根据几何概型中的长度模型计算概率.【详解】因为，所以，解得，所以.几何概型中长度模型（区间长度）的概率计算：.6、A【解析】

由，可推出，可以判断出中至少有一个大于1.由可以推出，与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.【详解】因为，所以，，，显然中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由，可得，与1的关系不确定，显然由“”可以推出，但是由推不出，当然可以举特例：如，符合，但是不符合，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.本题考查了充分不必要条件的判断，由，，，判断出中至少有一个大于1，是解题的关键.7、C【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．详解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选C．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．8、C【解析】

由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【详解】由题意可得则则复数的虚部是故选C本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单9、C【解析】

根据an＝sn﹣sn﹣1可以求出{an}的通项公式，再利用裂项相消法求出sm，最后根据已知，解出m即可．【详解】由已知可得，，，，（n≥2），1，即，解之得，或7.5，故选：C．本题考查前n项和求通项公式以及裂项相消法求和，考查了分式不等式的解法，属于中等难度．10、A【解析】

讨论和两种情况，分别解不等式得到答案.【详解】当时，，故，即；当时，，解得，即.综上所述：.故选：.本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握.11、D【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．12、D【解析】

根据三角函数的定义求出，注意讨论的正负．【详解】的终边上一点，则，，所以.故应选D.本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数的正负分类．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

先求出抛物线的焦点坐标，根据定义把p到准线的距离转化为p到焦点的距离，再由抛物线的定义可得d＝|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值．【详解】解：∵抛物线y2＝4x，∴F（1，0），如图：设p在准线上的射影A″，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PA″|＝|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|+|PA|≥|AF|＝．故答案为：．本题考查抛物线定义的转化，考查数学转化的思想和数形结合的思想，属于基础题.14、-32【解析】

通过对原式x赋值1，即可求得答案.【详解】令可得，故答案为-32.本题主要考查二项式定理中赋值法的理解，难度不大.15、【解析】

分别令、、，根据已知条件判断出A、B、C三点的位置关系，及的几何意义，进而得到答案.【详解】因为，所以令（为坐标原点），则点必在单位圆上因为，所以令，则点必在线段的中垂线上令，因为，所以点在以线段为直径的圆上所以可得就是圆的直径显然，当点在线段的中点时，取最小值故答案为：本题考查的是平面向量的运算及圆中的最值问题，属于较难题，解题的关键是找出每个式子的几何意义.16、【解析】

直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．【详解】，则复数z的模为．故答案为．本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异；（2）．【解析】【试题分析】（1）可先设男生比较关注和不太关注的人分别为，则女生比较关注和不太关注的为，建立方程组，由此可得列联表为：，然后运用计算公式算出，借助表中的参数可以断定没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异；（2）先由分层抽样的知识点算得：在男生和女生中分别抽取的人数为4人、3人，再运用古典概型的计算公式算得其概率.解：(1)设男生比较关注和不太关注的人分别为，则女生比较关注和不太关注的为，则由题意得：，因此可得列联表为：∴，所以没有99%的把握认为男生与女生对两会的关注有差异.（2）由分层抽样的知识点可得：在男生和女生中分别抽取的人数为4人、3人.则.18、（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【解析】

（Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即是成立，求出最大值即可；（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明.【详解】解：（Ⅰ）因为所以又因为所以（Ⅱ）由（1）可知，,则方法一：方法二：利用柯西不等式本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.19、（1）单减区间为，单增区间（2）【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）由（1）可得的最小值，作为的函数，对求导，同样利用导数与单调性的关系确实单调性后得最大值，只是确定的零点时，要先确定的单调性，然后才能说明零点的唯一性．【详解】（1），单减区间为，单增区间．（2）由（1），容易得到在上单调递减，时，，时，，所以在单增，单减，本题考查用导数研究函数的单调性．函数的导函数是，一般由确定增区间，由确定减区间．要注意有时函数的零点不易确定，可能还要对求导，以确定的单调性及零点有存在性．20、(1)或或(2)或【解析】

（1）解方程得到集合，再分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）先设，根据题中条件，得到，，即可求出结果.【详解】解：(1)由解得：或∴，又∵∴当时，此时符合题意.当时，则.由得，所以或解得：或综上所述：或或(2)设，∵∴，即①又，且，是实数，∴②由①②得，，或，∴或本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.21、（1）证明见解析；（2）1【解析】

(1)先证明面面，从而可得平面.

（2）设的中点为，以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系，设,易知平面的法向量为，求出平面的法向量，根据法向量垂直可求解.【详解】证明：（1）：∵，面，面，∴面.同理面，又，面，面，∴面面，又面，∴平面.（2）∵，，∴，设的中点为，连接，则.以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系.则，，，令，则，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.易知平面的法向量为，当平面平面时，