2023北京初三（上）期末数学试题汇编：弧长和扇形面积

2023北京初三（上）期末数学汇编

弧长和扇形面积

一、单选题

1.（2023秋•北京东城•九年级统考期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之

如图，AC,8。分别与。。切于点C,D,延长/C,BD交于点、P.若/尸=120。，。。的半径为

6cm,则图中CD的长为（）

A.%cmB.2TTcmC.cmD.4TTcm

二、填空题

2.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）已知扇形的圆心角是60。，半径是2cm,则扇形的弧长为

cm.

3.（2023秋・北京平谷•九年级统考期末）已知扇形的圆心角为120。，半径为3,则它的弧长为.

4.（2023秋・北京海淀•九年级期末）如图，AB,AC,分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角

形的一边.若钙=2,下面四个结论中，

①该圆的半径为2；②AC的长为1;

③AC平分—AW；④连接BC,CD,则AABC与AACD的面积比为1：6.

所有正确结论的序号是.

5.（2023秋・北京海淀•九年级期末）如图所示，边长为1的正方形网格中，0,A,B,C,。是网格线

交点，若AB与CD所在圆的圆心都为点。，那么阴影部分的面积为.

6.（2023秋•北京海淀•九年级期末）如图，半圆的直径8C与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重

合，若BC=6,则图中阴影部分的面积是.

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A

7.（2023秋・北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末）已知扇形的圆心角为120。，半径为3,则扇

形的面积为.

8.（2023秋•北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）在半径为3的圆中，60。的圆心角所对的劣弧长等

于.

9.（2023秋•北京海淀•九年级期末）一个扇形面积是它所在圆面积的;，则这个扇形的圆心角是—。，如

果圆的半径是3cm,则扇形面积是—cm2.

10.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）已知扇形的弧长为2兀，半径为8,则此扇形的圆心角为

度.

11.（2023秋•北京海淀•九年级期末）已知扇形的圆心角为120。，面积为万，则扇形的半径是

12.（2023秋•北京海淀•九年级期末）扇形的半径为3,圆心角0为120。，这个扇形的面积是.

13.（2023秋•北京海淀•九年级期末）如图，矩形A8CZ）中，43=8,BC=6,P是AB中点，以点A为

圆心，为半径作弧交于点E,以点B为圆心，妍为半径作弧交8c于点G,则图中阴影部分面积

的差为.

D

FEB

14.（2023秋•北京海淀•九年级期末）圆心角为80。，半径为3的扇形的面积为

三、解答题

15.（2023秋•北京通州•九年级统考期末）如图，已知是半圆。的直径，点P是半圆上一点，连接

BP,并延长3P到点C,使尸C=8尸，连接AC.

(1)求证：AB=AC.

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⑵若AB=4,ZABC=30°,求阴影部分的面积.

16.(2023秋・北京海淀•九年级期末)如图，5c是。。的直径，点/在。。上且平分弧BE,A。15c于

点、D,BE分别交A。，AC于尸，G.

⑴求证：FA=FB；

(2)若8。=。。=2,求阴影部分面积.

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参考答案

1.B

【分析】连接OC、OD,利用切线的性质得到/OCP=/QDP=90。，根据四边形的内角和求得

/COD=60°,再利用弧长公式求得答案.

【详解】连接OD,

■「AC,分别与。。相切于点。，D,

：.ZOCP=ZODP=90°,

•・・N尸=120°,ZOCP+ZODP+ZP+ZCOD=360°,

・・・ZCOD=60°,

,,,.60%x6

...CD^=—=2%(cm),

故选：B

【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及

弧长的计算公式是解题的关键.

2

2.—71

3

【分析】根据弧长的公式/=株计算即可.

lot)

【详解】解：根据弧长的公式/=黑

loll

60%x2

得/=

180

故答案为：;2万.

3

【点睛】本题考查了弧长的公式/=黑，熟练掌握公式是关键.

3.2万

【分析】利用弧长公式带入求解.

【详解】解：扇形的圆心角为120。，半径为3,

所以弧长为：

,120万x3

/=----------=2万

180

故答案为：2万.

【点睛】此题考查了弧长公式；熟练运用公式是解题的关键.

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4.①③④

【分析】根据圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理逐一判断可选项即可.

【详解】解：根据题干补全图形，连接3GCD,OA,OB,OC,OD,OE,

根据内接正六边形的性质可知：ZAOB=60。，OA=OB

AAOB是等边三角形，

OA=OB=AB=2,圆的半径为2,所以①正确；

根据内接正方形的性质可知：乙4。。=90。，

AC的长为：%4=兀，所以②错误；

lot)

VOA=OD,ZAOD=120°,

・・・NOAO=30。，

VOA=OC,ZAOC=90°,

・・・ZOAC=45°f

・.・ZOAB=60°,

・・・ZBAC=60°-45°=15°,

・・・ABAC=ADAC,

・・・AC平分/BAD,所以③正确；

过点/作AH，3c交CB延长线于点H,AG，8交DC延长线于点G,

・.,ZACB=-ZAOB=30°,

2

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：.AH=-AC,

2

:AC=yJo^+OC2=2A/2，

AH=y/2,

ZADC=-ZAOC=45°,

2

/.AG^—AD,

2

设。B交AD于点M,

・.,ZAOM=60°,

OMLADfAD=2AM,

•：NQ4M=30。，

：.MD=-OA=1,

2

•**AM=VOA2—OM2=V3，

AD=2AM=2>j3,

：.AG=R

・.,ZBAC^ZCAD,

:.CD=BC,

q-BC»AH_AH_V2_1

%ABC__2_______,所以④正确;

S~1~AG~y/6~y/3

5ACD士DC・AG

2

因此正确的结论：①③④

故答案为：①③④

【点睛】本题考查圆内接正六边形、内接正方形的性质、弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的

关键.

5.-TT-2

2

【分析】根据勾股定理分别求出。C、根据勾股定理的逆定理得到/ca)=90。，根据弧长公式计

算，得到答案.

【详解】解：由勾股定理得，OC=OD=V22+22=2y/2'

则OC2+C©2=CD2,

ZCOD=90°,

•..四边形OACB是正方形,

ZCOB=45°,

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.&_9O%X(20)2_45^X22_1_1

K

扇形。CD-----=21，)扇形OBE--360~2^'\©BD_2z义

阴影部分的面积为2万-31万一2=]3"-2.

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式，求出对应的圆心角和半径是解题的关键.

9也

+

6.2-4

【分析】如图，连接CD0D,根据已知条件得到。8=3,/8=45。，根据三角形和扇形的面积公式即可

得到结论.

【详解】解：如图，连接CD0D,

,/BC=6,

OB=3,

・・,等腰直角三角形ABC

・・・ZB=45°,

,：OB—OD,

.•.NB=NBDO=45。,

：.ZBOD=90°,

2

••・图中阴影部分的面积=s—+S扇形c°L；ix3x3+Q%OTTX3士=93+977r，

，3uU乙一

故答案为：

【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

7.3万

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【分析】根据扇形的面积公式直接计算即可.

【详解】解：扇形的面积S=1^^X3=3万,

360

故答案为：3n.

【点睛】此题考查了扇形的面积公式：S=喳,熟记公式是解题的关键.

360

8.兀

【分析】弧长公式为/=黑nTTY，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长.

lol)

【详解】解：半径为3的圆中，60。的圆心角所对的劣弧长6=0?77皆*xq=兀,

loU

故答案为:7t.

【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式.

9.1203兀

【分析】设圆心角为〃°、半径为然后根据扇形面积和圆的面积公式列式求解即可；然后令r=3代入扇

形面积公式求解即可.

【详解】解：设圆心角为〃。.半径为

.日古上12叫,

由题后：丁T

3JoO

解得〃=120,

所以s二12H=3万（前2）,

3oU

故答案为120,3%.

【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，识记并灵活应用扇形的面积公式成为解答本题的关键.

10.45

【分析】根据扇形的弧长公式解题.

【详解】解：由弧长公式得,

枷r

180°

“万x8〜

--------=2TT

180

:.n=45°

故答案为:45.

【点睛】本题考查扇形的弧长公式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

11.陋

njrr2

【分析】根据扇形的面积公式S^=即可求得.

360

rurr2

【详解】解：S

360

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,360s360•万、

，4-------=---------=3,

nn120万

.*.r=V3(负值舍去)，

故答案为：石.

【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S扇形=叱.

360

12.37r

【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案.

【详解】解：根据题意，S扇形=空生=祟乃X32=3I.

'360360

故答案为：3Tl.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式:

oHTTR2

8=----.

360

13.48-13]

【分析】根据图形可以求出BF的长，然后根据图形即可求出$2.

【详解】・・,在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,尸是AB中点，

・・・BF=BG=4,

H=S矩-§扇JMDE-S扇形3FG+§2，

.ss—二Q90^x6290TTX42_

••St-SQ-6x8---------------------------48-13兀,

12360360

故答案为：48-13%.

【点睛】此题考查扇形的面积公式，矩形的性质.

14.2%

【分析】直接根据扇形的面积公式计算.

【详解】扇形的面积==2—

360

故答案为2%.

【点睛】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是“。，圆的半径为R的扇形面积为S,则无形=理；TN或

n

s扇形=JR(其中/为扇形的弧长).

15.(1)见解析

【分析】(1)连接AP,由圆周角定理可知44依=90。，再由尸C=PB即可得出结论；

(2)连接。尸，根据等边对等角和三角形内角和定理求出/P08的度数，由圆周角定理求出

ZAOP=60°,根据等边三角形的性质可得AP=2,由勾股定理，和直角三角形的性质求得BP,PE,根

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据S阴影=S扇形50尸-S/OB即可得出结论.

【详解】（1）证明：连接AP,

是半圆。的直径，

ZAPB=ZAPC=90°,

•・•PC=BP,

.•.△APB'APC,

AB=AC.

(2)解：连接。P,过点尸作PE,AB,

••・AB=4,ZABC=30°9

;.OB=OP=2,405=120。，

:.AP=2,

BP=y/AB2-AP2=J42-22=2石，

：.PE=—=y/3,

2

._12QOB27t_47t

"扇形—一360一—号'

S"OB=goB.PE=；x2xm=m,

s阴影=?一括•

【点睛】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理,

等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

16.（1）见解析

⑵46+|乃

【分析】（1）由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等''得/C=/ABE,又由“同角的余角相等''可得

AC=ABAD,因此NASE=N54D,所以=

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(2)连接49、EO、EC,作于H.先证MOB是等边三角形，4405=60。，由“同圆或等圆中

相等的弧所对的圆心