2023北京初三（上）期末数学试题汇编：圆（下）章节综合

2023北京初三（上）期末数学汇编

圆（下）章节综合

一、单选题

1.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）己知。。的半径为2,点。到直线/的距离是4,则直线/与

的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.以上情况都有可能

2.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，多边形A44…4是。。的内接正〃边形，已知。。的半

径为r,幺。42的度数为点。到A4的距离为%的面积为S.下面三个推断中.

①当〃变化时，a随〃的变化而变化，a与〃满足的函数关系是反比例函数关系；

②若a为定值，当「变化时，/随厂的变化而变化，d与厂满足的函数关系是正比例函数关系;

③若“为定值，当r变化时，S随r的变化而变化，S与r满足的函数关系是二次函数关系.

其中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空题

3.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，A,B、C三点都在。O上，ZACB^35°,过点A作。。的

切线与OB的延长线交于点P,则NAPO的度数是.

4.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）如图，在。。中，A8切。。于点A,连接OB交。。于点C,过

点A作交。。于点。，连接CD若乙8=50。，则/OC。的度数等于.

AB

5.（2023秋.北京海淀.九年级北京市十一学校校考期末）如图，PA,P8是。。的切线，切点分别为A,

B.若/。以=30。，丛=3,则AB的长为.

三、解答题

6.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，是。。的直径，8是。。的弦，与A8交于点E,

CE=ED,延长A3至尸，连接。尸，使得NCD尸=2NC4E.

（1）求证：O尸是。。的切线；

⑵已知BE=1,BF=2,求。O的半径长.

7.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：点A在。。上.

求作：。。的切线A3.

作法：①作射线Q4；

②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线。4于点C和点D；

③分别以点C,。为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点8；

④作直线A3.

则直线AB即为所求作的。O的切线.

根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接BC,BD.

由作图可知，

AC^AD,BC=_.

：.BA_OA.

:点A在。。上，

直线48是。O的切线（一）（填写推理依据）.

8.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）如图，点C在以为直径的。O上，CO平分NAC3交。。于点

D,交A3于点E,过点。作。尸〃AB交CO的延长线于点?

（1）求证：直线。户是。。的切线；

⑵若NA=30。，AC=26,求。尸的长.

9.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）如图，已知A8是半圆。的直径，点P是半圆上一点，连接3尸,

并延长3P到点C,使PC=BP,连接AC.

（1）求证：AB=AC.

⑵若AB=4,ZABC=30°,求阴影部分的面积.

10.（2023秋•北京通州・九年级统考期末）如图，O。是直角三角形ABC的外接圆，直径AC=4,过C点

作。。的切线，与延长线交于点O,/为CO的中点，连接OM,且2C与O"相交于点N.

（1）求证：与O。相切；

（2）当NA=60。时，在。。的圆上取点/，使NABF=15。，求点尸到直线AB的距离.

11.（2023秋・北京平谷•九年级统考期末）如图，已知锐角/ABC,以AB为直径画。。，交6c边于点

M,8D平分/ABC与。。交于点Z）,过点。作DEJ_3C于点E.

A

(1)求证：DE是。。的切线；

⑵连接0E交于点尸，若NABC=60。，AB=4,求OF长.

12.(2023秋・北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末)如图，是00的直径，弦CZJLAB于点

E,AM是AACD的外角ND4F的平分线.

⑴求证：4〃是。。的切线；

(2)连接CO并延长交AM于点N,若。。的半径为2,ZANC=30°,求CO的长.

参考答案

1.A

【分析】欲求直线/与圆。的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系.若

d<r,则直线与圆相交；若"=r,则直线与圆相切；若d>r,则直线与圆相离.据此判断即可.

【详解】•••圆半径厂=2,圆心到直线的距离d=4.

d>r,

・•・直线/与。。的位置关系是相离.

故选:A.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完

成判定.

2.D

【分析】（1）正“边形每条边对应的圆心角度数为a=弛，因此为反比例函数关系；

n

（2）］与厂是三的邻边和斜边，因此是g=cos?化简后即正比例函数关系；

2r2

1cta

（3）三角形面积为底x高，底为2rsin7,高为rcos7,直接代入即可.

/22

。°

【详解】①匕36，所以a与力满足的函数关系是反比例函数关系，正确；

n

②Jos?,所以d=r?cosg,所以］与厂满足的函数关系是正比例函数关系，正确；

r22

③鬃厂sin］鬃cos£=AinWcosg所以S与r满足的函数关系是二次函数关系，正确.

22222

故选D

【点睛】本题考查正多边形、圆心角的度数、弦心距、三角形的面积之间的函数关系，解题的关键是读懂

题意，求出其中的函数关系式.

3.20°/20度

【分析】连接。4,则NQ4P=90。，由圆周角定理得：NAOB=2/ACB=70。，进而求出ZAP。的度数.

【详解】连接Q4

ZACB=35°

ZAOB=2ZACB=7。。

••,过点A作。。的切线与0B的延长线交于点P

：.Z.OAP=90°

/.ZAPO=180。一ZAOB—ZOAP=20°

故答案为：20°

【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接运用相关定理求解.

4.200/20度

【分析】连接如图，根据切线的性质得到NOAB=90。，则利用互余可计算出/AOB=40。，再利用圆周

角定理得到/ADC=20。，然后根据平行线的性质得到/OCD的度数.

【详解】解：连接。A,如图，

切。。于点A,

：.OA±AB,

：.ZOAB=90°,

'：ZB=5Q°,

：.ZAOB=90°-50°=40°,

ZADC=~ZAOB=20°,

2

•：AD//OB,

ZOCD=ZADC=20°.

故答案为：20°.

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.

5.3

【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出m=PB,ZPBO=90°,再根据等腰三角形的判定定理，得

出为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出NP54=60。，再根据等边三角形的判定定理，得

出AK钻为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出=进而即可得出答案.

【详解】解：：上4,PB分别为。。的切线，

APA=PB,NPBO=90°,

•••钻为等腰三角形，

,?ZOBA=30°,

：.NPBA=NPBO-ZOBA=60°,

△八"为等边三角形，

/.AB=PA,

PA=3,

AB=3.

故答案为：3

【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本

题的关键在熟练掌握相关的性质定理.

6.⑴见解析

(2)2

【分析】(1)连接0D,由垂径定理的推论可得AF垂直平分CD,BD=BC，进一步得

ZF+2ZC4E=90°,ZDOF=2ZCAE,可得Nb+NOOF=90。，得C©_Lr＞尸，结论得证；

(2)作BHLDF于点H,连接则=由角平分线的性质定理得到期=BE=1,设。。

12

的半径长为一，则。尸=2+r,OD=〃，再证△出*尸，得到——,即可求得答案.

【详解】(1)连接0Q,

•・・45是。0的直径，8是。。的弦，CE=ED,

••AF垂直平分CD,BD=BC，

・•・ZDEF=90°,

：.ZF+ZCDF=90°f

'：ZCDF=2ZCAE9

：.ZF+2ZCAE=90°f

・・・NC4E=：5。的度数，NO。产=3。度数=3C的度数,

・•・/DOF=2NCAE,

：.ZF+Z£>OF=90°,

NOD尸=180°-("+NOO尸)=90°,

ODLDF,

是OO的半径，

。厂是。。的切线；

(2)作工DF于点H,连接8。，

VZCDF=2ZCAEf/CAE=/CDB,

：./CDF=2NCDB,

：./CDB=/BDF,

•：BE±CD,BH±DF,

BH=BE=1,

设OO的半径长为心则。尸=5尸+。5=2+几。。=乙

・.,ZF=NF,ZBHF=ZODF=90°,

:.ABHF^AODF,

.BHBF

^~OD~~OF9

.1_2

••—=----,

r2+r

解得r—2,

：.GO的半径长为2.

【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定

理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键.

7.(1)见解析；

(2)B£＞；1；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【分析】(1)依据题意，按步骤正确尺规作图即可;

(2)结合作图，完成证明过程即可.

【详解】(1)补全图形如图所示，

(2)证明：连接BC,BD.

由作图可知，

AC=AD,BC=BD.

?.BA1OA,

丁点A在O。上，

直线48是。。的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，

故答案为：BD-,1；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键.

8.（1）见解析

3

【分析】（1）连接。。，证明。尸_LOD可得结论；

（2）再RtaACB中，ZA=30°,AC=2日得到AB=4,03=2,再在RtZkOD方中，由N尸=60。，继

而求得尸。；

【详解】（1）证明：连接0Q.

*/是的直径，CO平分/ACB,

AD=DB

：.ZAOD=ZBOD=90°.

又•:FD//AB,

：.ZODF=ZBOD=90°.

即OD±DF.

・•・直线。尸为的切线.

(2)解：:是的直径，

JZACB=90°.

又・・・ZA=30。，AC=2百，

JAB=4.

：.OD=2.

•:AO=CO,

:.ZACO=ZA=30°

：.ZCOB=ZA^ZACO=60°.

・.・DF//AB,

：."=60。，

.\ZFOD=30°,

设厂D=x,则QT=277)=2x,

又。D=2,

在Rt^OD尸中，由勾股定理得：X2+22=4X2,

解得：x=-----，

3

故产。=在

3

【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题.

9.（1）见解析

⑵舁有

【分析】（1）连接AP,由圆周角定理可知/APB=90。，再由=即可得出结论；

（2）连接。尸，根据等边对等角和三角形内角和定理求出—POB的度数，由圆周角定理求出

ZAOP=60°,根据等边三角形的性质可得AP=2,由勾股定理，和直角三角形的性质求得BP,PE,根

据S阴影=~^^POB即可得出结论.

【详解】（1）证明：连接"，

,\ZAPB=ZAPC=90°,

♦;PC=BP,

/.△APB^AAPC,

/.AB=AC.

(2)解：连接OP,过点尸作尸ELAB,

•・・AB=4,ZABC=30°f

.♦.OB=OP=2,ZPOB=120°,

:.AP=2,

BP=yjAB2-AP2=742-22=273，

._120。丁兀_4K

一扇形—一360一—

S"=；gPE=gx2x后=6

s阴影=。-退■

【点睛】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，

等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

10.（1）见解析

⑵2-G或也-1

【分析】（1）根据题意可得加〃">,根据直径所对的圆周角是直角，得出/ABC=90。，进而得出

OMLBC,证明AOBM丝AOCM,得出/O枚W=90。，即可得证；

（2）分点下在A?以及半圆AOC上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可

求解.

【详解】（1）证明：如图，

为。的中点，。是AC中点,

:.OM//AD,

AC是。。的直径，

.,./ABC=90。，

：.OMLBC,

.•/=Z2,

又OB=OC,OM=OM

:.AOBMMAOCM,

:.NOBM=NOCM,

•••MC是0。切线

"OCM=90。，

:.^OBM=90°,

:.OBLBM,

，是0。切线；

(2)当点/在A?上时，连接0/，交48于点G,

•.•/EBA=15°,

.•./AOF=30。，

•.•—60。，OA=OB

:.OF1AB,

■■■直径AC=4,

:.AO=2,

:.OG=6

：.FG=2-6,

当点尸在半圆AOC上时，过点P作FHLAB,垂足为点H,FN，0C,垂足为点N,

四边形EHGN是矩形，

在RtA/WO中，

;OF=2,

:.ZFON=60°,

:.ON=1,

:.FH=OG-ON=s/3-l.

【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合

运用以上知识是解题的关键.

IL(1)见解析

⑵。尸=券

【分析】(1)连接。。，根据00=30可得/OD3=NO3D,根据角平分线的定义=则

/ODB=NDBE,最后根据DE_L3C,ZDBE+ZBDE=90°,即可证明NO£)E=NODB+N3r>E=90。；

(2)连接AD,DO,可得NADB=90。，即可求出AD的长度，根据勾股定理求出3。的长度，进而求出

班的长度，通过证明VDOFsv^EF,即可根据相似三角形对应边成比例求解.

【详解】(1)证明：连接OO,

,:DO=BO,

：./ODB=/OBD,

•・,5O平分/ABC,

：./DBE=/OBD,

：.ZODB=ZDBEf

DELBC,

：.ZDBE+NBDE=90。,

ZODE=ZODB+ZBDE=90°,

JDE是。。的切线；

(2)如图：连接

〈AB为直径，AB=4,

：.ZADB=90°,

VZABC=60°,BD平分/ABC,

ZABD=NDBC=-ZABC=30°,

2

/.AD=^AB=2,

在中，根据勾股定理可得瓦＞=/462_仞2=24，

DE=-BD=y/3,

2

在中，根据勾股定理可得BE=