2023北京初三二模数学试题汇编：二次函数的图象和性质

2023北京初三二模数学汇编

二次函数的图象和性质

一、解答题

1.（2023•北京朝阳•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点（TyJ在抛物线y=上.

（1）求的值（用含。的式子表示）；

（2）若。<一1,试说明：

（3）点（1,%），（。-2,%）在该抛物线上，若X，力，力中只有一个为负数，求a的取值范围.

2.（2023•北京海淀•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax?+法+。+2（。>0）过点

（l,4o+2）.

⑴求该抛物线的顶点坐标；

（2）过该抛物线与y轴的交点作y轴的垂线i,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不

变，得到图形G,M（—l—a,%）,N（—l+a,%）是图形G上的点，设

①当4=1时，求，的值；

②若6<f<9,求"的取值范围.

3.（2023•北京顺义・统考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=依?-2〃x-3（。/0）.

（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；

（2）若。=1,当-2Vx<3时，求y的取值范围；

⑶已知A（2a—1,%）,B（a,y2）,C（a+2,%）为该抛物线上的点，若％<为<为，求。的取值范围.

4.（2023•北京平谷•统考二模）已知抛物线丁=-犬+2a，若点P（Tx）,〃（根,力）在抛物线

上.

（1）该抛物线的对称轴为（用含X的式子表示）；

⑵若当相=2时，y3=0,贝"的值为；

（3）若对于2V-V3时,都有V,<%<%，求r的取值范围.

5.（2023・北京大兴•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2*1）在抛物线>=依2+公+1（4>0）上.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）已知点A（x0,M,点8（3,〃）在抛物线上,若对于Y/Wf+l,都有机求r的取值范围.

6.（2023•北京东城•统考二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线厂分?+法+1（力0）的对称轴是直线

x=3.

⑴求出该抛物线的顶点坐标（用含，的式子表示）；

⑵当。>0时，对于任意的正数f,若点（3T,yJ,（3+2/,%）在该抛物线上，则为%（填〜或

"=”）；

⑶已知点4（0,3）,8（7,3）.若该抛物线与线段A8恰有一个公共点，求。的取值范围.

7.（2023•北京西城・统考二模）在平面直角坐标系无Oy中，点（知无），（巧，％）都在抛物线

y=axr-2ar+8（a<0）Ji,且-1<%<2,1-m<x2<m+1.

⑴当〃z=-2时，比较％,%的大小关系，并说明理由；

（2）若存在与，巧，满足%=%，求机的取值范围.

8.（2023•北京昌平•统考二模）在平面直角坐标系无。丫中，点（2。+1,机）,（6,〃）是抛物线

y=ax2-2a2x+c{a0,c>0）上的点.

（1）当。=1时，求抛物线对称轴，并直接写出，”与c大小关系；

（2）若对于任意的2V6V4,都有〃求。的取值范围.

9.（2023•北京房山・统考二模）平面直角坐标系无Oy中，抛物线>=内2-4》+34的对称轴为直线％=".

⑴若抛物线经过点（1。），求。和”的值；

⑵若抛物线上存在两点4（七,和3（孙〃2+1）,\=n.

①判断抛物线的开口方向，并说明理由；

②若|无2-占区1,求。的取值范围.

参考答案

1.(1)%=。+1

(2)见解析

(3)。＜一1或1＜。三2

【分析】(1)直接把(-1,乂)代入抛物线解析式中求解即可；

(2)先求出a+1＜0,再由％=。+1,即可得到％＜0；

(3)先求出上=1-。，%=4-2°,然后分类讨论a的取值范围，根据%,内，％中只有一个为负数进行

求解即可.

2

【详解】(1)解:把(Tj)代入y=Y-依中得：yt=(-l)+a=a+l；

(2)解：由(1)得弘=a+l,

'：a＜-l,

••a+1v0,

**•乂＜°;

(3)解：•.•点(1,%)，(。-2,%)在该抛物线上，

••%=]_a，%=-2)-a一2)—4—2a；

当QV-l时，％＜。＜%＜为，符合题意；

当〃=一1时，必=。＜%＜＞3，不符合题意；

当一1＜〃＜0时，。＜%＜%＜为，不符合题意；

当a=0时，。＜%=%＜%，不符合题意；

当Ovavl时，％＞。，乂%＞。，不符合题意；

当a=l时，％＞0，％=。，%＞。，不符合题意；

当Ivav2时，yx＞0,y2＜0,符合题意；

当〃=2时，%＞。，％＜。，%=。，符合题意；

当a＞2时，必＞。，必＜0，为＜。，不符合题意；

综上所述，av-l或1＜QW2.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数图象上的点一定满足对应函数的函数解析式是解

题的关键.

2.(1)顶点为(-1,2),

⑵①t=6；②lW°w|

【分析】(1)将点(L4a+2)代入y=af+fot+a+2中，得出6=2a,进而将解析式化为顶点式，即可求

解；

(2)①根据解析式得出抛物线与y轴交点为(。,3),当0=1时M(-2,%),N(0,%),进而求得

%=3,%=3,即可求解；

②y=a?+尻+。+2与y轴交于点(O,q+2),抛物线在y轴右侧的部分关于直线y=a+2翻折可得

y=—ax2—2ax+1?+2(x>0),M(—l—a,弘)在对称轴的左侧，M(―1—a,,N(-1+a,%)关于4—1对

称，分0<aVl,a>l,分别求得》,%,根据题意解不等式即可求解.

【详解】(1)解：将点(L4a+2)代入y=af+6x+a+2中，得

々+Z?+Q+2=4a+2

解得：b=2a

抛物线解析式为y=加+2ax+Q+2=a(x+l)2+2

・・・对称轴为直线％=-1,顶点为(-1,2),

(2)①当a=l时，y=x2+2x+3,

当x=0时，y=3,

・••抛物线与y轴交点为(0,3),

・・・M(-1—。,乂)，N(—l+a,%)是图形G上的点，

即M(—2,y),N(0,%)

・，・％=4-4+3=3,%=3

，%=%+%=3+3=6；

@y=ax2+bx+a+2,当x=0时，y=a+2,

y=ax2+/?x+a+2与y轴交于点(0,〃+2),

・・・抛物线在y轴右侧的部分关于直线y=。+2翻折可得y=-ax2-2ax+a+2(x>Q)

对称轴为直线x=-l

・・・在对称轴的左侧，

•・%=〃(—1—Q)+2a(—1—Q)+Q+2=/+2,

丁M(—1—,N(—1+a,%)关于二一1对称

・•・当-1v—l+a<0,即0<aVI时，即%=%="+2

3

t=y{+y2=2a+4

*.*0<<1

t<6,

当一l+a>0,艮盘>1日寸，％=——1+a)—2a(—l+a)+a+2=—(X)++2,

.\t=yi+y2=2a+4,

V6<r<9,

A6<2(a+4<9,

解得：1WaWg

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.⑴直线x=a

(2)-4Vy<5

(3)a<—1

【分析】(1)根据对称轴公式即可求解；

⑵根据-2Vx<3,尤=-2比尤=3距离对称轴远，分别求得彳=1,-2时的函数值即可求解；

(3)根据题意得出8(。，%)为抛物线的顶点，a<0,C(a+2,%)在对称轴的右侧，分当A(2a-1,%)在对称

轴的左侧时，当A(2a-l,yJ在对称轴的右侧时，列出不等式，解不等式即可求解.

【详解】(1)解：抛物线丁=依2—2片》一3(。#0)的对称轴为直线尤=一(=。；

(2)解：'：a=l,

•，•抛物线解析式为y=/-2x-3,对称轴为直线x=l,开口向上，

V-2<x<3,x=-2比x=3距离对称轴远，

x=l时，，的最小值为1—2—3=T,

当了=-2时，y=5,

J当一2<x<3时，求y的取值范围为—4Ky<5；

(3)解：•・•%<为<%，8(。，%),对称轴为直线龙=。，

，3(°,%)为抛物线的顶点，a<0,。(。+2,%)在对称轴的右侧，

当A(2a-1,%)在对称轴的左侧时，o-(2a-l)>(«+2)-a

・・av—1

当A（2a-1方）在对称轴的右侧时，2a-l〉a+2

**.a>3,不合题意，舍去

••a<—1.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.

4.⑴%=力

（2）1

4

（3）1<£<］或%>6

【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式，即可得出抛物线对称轴；

（2）把M（2,0）代入、=一9+2比,得06+2/X2,求解即可；

（3）分类讨论：当芯-1时，当TW/WO时，当0<f<2时，当出2时，分别求解即可.

【详解】（1）解：：y=—X?+2比=——2比）=—（x—。一「，

•••抛物线的对称轴为直线x=J

（2）解：当m=2时，％=。，

/.M（2,0）,

把Af（2,0）代入、=-炉+2比，得

0=—22+x2,解得：t—\.

（3）解：当/<一1时，Va=-l<0,

.♦.在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

V2<m<3,P（-l,y1）,M（m,y3）,

A-l<m,即点P和点M在对称轴右侧，

%>>3，不符合题意；

当一1W/W0时，Va=-l<0,

又,：2Mm£3,P（-l,y1）,Af（m,j3）,

t++t,

点尸在对称轴左侧，点M在对称轴右侧，点尸到对称轴的距离比点M到对称轴的距离近，

•，•丹>为，不符合题意；

当0<r<2时，•••。=一1<0,尸（一1,%）,《：，%），”（“?,％），

若%<%<必，则点M到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，小于点P到对称轴的距离,

/.t—<m—t<，+1,

2

2<m<3,

当『22时，:a=-1vO,尸(—1,yj,M(根,%)，

若M<%<%，则点加到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，

t-]<|z71一,

•・•2<m<3,

t>6,

4、

综上，或1>6.

【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握根据抛物线的函数值大小和增减性求参数取值范围是解题

的关键.

5.(l)x=l

【分析】(1)将点(2,1)代入丁=以2+版+13>0),得到人:―2〃，即可求得抛物线的对称轴；

(2)根据抛物线对称性可得点8关于对称轴的对称点坐标为(-1/),根据抛物线的性质可得-1</<3,

即可求得.

【详解】(1)解：将点(2,1)代入y=G?+"+1(]>0)

得：4a+2b+1=1

整理得：b=-2a

•二对称轴为：x=—^~==1

laZa

・••抛物线的对称轴为直线x=l.

(2)解：・・・5(3,〃)

・,•点5关于对称轴的对称点坐标为(T〃),

Vtz>0

・•・抛物线开口向上，

・・•点A(x。,间，3(3,〃)在抛物线上，且机口

—

1<%0<3,

9

：t<x0<t+l

[/+1<3

解得—1</<2.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的对称性求值，二次函数的图象和性

质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

6.(1)(3,-9a+1)

Q)<

22

(3)a=--^a>y

【分析】(1)根据抛物线、="2+笈+1(4A。)的对称轴是直线％=3,可得出：b=-6a,再计算当尤=3

时，丁的值即可得出答案；

(2)根据丫=依2+云+1(°>0),抛物线开口向上，即可得出抛物线上的点距离抛物线对称轴越远，函数

值越大，分别算出点(3-t,y)和点(3-2t,%)距离对称轴X=3的距离即可比较%、X的大小；

(3)由6=-6a可以得出丁=依2-6办+1(。工。)，再分a<0、a>0,进行讨论即可得出答案.

【详解】(1):•抛物线y=/+笈+1(。*。)的对称轴是直线x=3,

:.-包=3,

2a

••Z?—•--6a,

当x=3时，y~9a+3b+1=9a+3x(-6。)+1=—9a+1,

.•・抛物线y=/+云+1(awO)的顶点坐标是(3,-9a+1)；

(2)Vy=at2+fet+l(a>0),

；•抛物线开口向上，

距离抛物线对称轴越远，函数值越大，

点(3T,y)距离对称轴x=3的距离为：|3T—3|=t,

点(3-It,%)距离对称轴x=3的距离为:|3-2?-3|=|-2r|=2t,

'：t>Q,

2t>t,

**•(3—2r,%)距离对称轴％=3比(3—兀y)距离对称轴x=3更远，

•,%，

故填：<；

(3)•:b=-6a,

y=双2一6双+1(〃w0),

当a<0时，

V抛物线>=依2—6姓+l(aw0)的对称轴是直线x=3,且该抛物线与线段AB恰有一个公共点，

故顶点为(3,3),

把(3,3)代入y=/_6依+1(々w0)得：9a-18a+l=3,

・“―二

**-9；

当a>0时，

二•当％=0时，>=1,

，抛物线y=加-6(zv+l过(0,1),

抛物线y=«?_6办+1(。工0)的对称轴是直线x=3,

，抛物线>=加-6狈+1过(6,1),

；・抛物线>=加-6公+1与y=3的交点一个在y轴的左侧，一个在x=6的右侧，

；该抛物线与线段AB恰有一个公共点,

.•.当彳=7时，y>3,

49a—42a+123,

•・aN—；

7

22

综上所述：«=

【点睛】本题考查抛物线综合，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点问题，掌握抛物线综合，抛物

线的顶点坐标，二次函数的性质，抛物线与线段的公共交点，掌握二次函数的性质是解题关键.

7.理由见解析

(2)勿>1

【分析】(1)当机=-2时，3<%<5,将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴，根据毛，巧的大小判断

与对称轴的距离，结合。<0,即可得出答案；

(2)根据题意可知满足％=%，即看与巧关于对称轴x=l对称，当-1<玉<2时，则4的最小值要比

占=2时的对称点。小，巧的最大值要比羽=-1时的对称点3大，解不等式组即可.

【详解】⑴%>%;

理由：Vy-ax2-2ax+8-a^x-i^+8-a,

抛物线的对称轴是直线x=l

当”=—2时，3<x2<5

*/-l<xl<2,3<x2<5,对称轴是直线x=l

々比X］离对称轴近

Va<0,抛物线开口向下

••必>%

⑵・・,%=%

X］与X%关于对称轴X=1对称

—1<%<2

/.0<x2<3

fl-m<0

即1C

m+7>3

解得力>1

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找巧的取值范围.

8.（1）抛物线的对称轴为x=l,

（2）a>2或a<——

【分析】（1）当a=l时，抛物线y=f-2x+c,抛物线过点（3,m）,（0,c）,根据对称轴公式即可得到对

称轴，再根据点（3,加）比点（。，c）离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，即可得到“与。大小关系；

（2）分三种情况：①当a>0时；②当时；③当。<-《时，2a+l<0,分别讨论即可得到答

22

案.

【详解】⑴解：当a=l时，抛物线y=/-2x+c,抛物线过点（3,机），（0,c）,

••・抛物线的对称轴为x=后=1，

点（3,机）比点（0,c）离对称轴水平距离远，且抛物线开口向上，

:.m>c.

（2）解：①当。>0时，

*：m>c,

2（2+1

a<-------,

2

/.2av2a+1恒成立,

•;c<n,

b

:.a>一,

2

•：2<b<4,

:.a>2-

②当」"a<0时，

2

*：m>c,

2。+1

a>-------,

2

2。22a+1恒不成立，

~-Va<0舍去；

③当”-g时，2“+l<0,

m>c9

2a+1

/.a<-------,

/.2av2a+1恒成立,

,:c>几，

b

Q<一,

2

v2</?<4,

:.