2023北京初三二模数学试题汇编：实际问题与二次函数

2023北京初三二模数学汇编

实际问题与二次函数

一、单选题

1.（2023・北京顺义・统考二模）某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋，经市场调

研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋.已知这种干果的进价为每袋20

元，设每袋涨价无（元），每星期的销售量为了（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）.则y与x,

Z与X满足的函数关系分别是（）

A.一次函数，二次函数B.一次函数，反比例函数

C.反比例函数，二次函数D.反比例函数，一次函数

二、解答题

2.（2023•北京顺义•统考二模）某架飞机着陆后滑行的距离》（单位：m）与滑行时间x（单位：s）近似

满足函数关系y=改2+6x（a#o）.由电子监测获得滑行时间X与滑行距离y的几组数据如下：

滑行时间x/s0246810

滑行距离加0114216306384450

（1）根据上述数据，求出满足的函数关系式y=G2+6x（awO）；

（2）飞机着陆后滑行多远才能停下来？此时滑行的时间是多少？

3.（2023•北京平谷・统考二模）某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞4与

两组副桥洞分别位于y轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞右上，》

与x近似满足函数关系y=ax2+c（a^0）.经测量在主桥洞\上得到x与y的几组数据：

根据以上数据回答下列问题：

（1）求主桥洞4的函数表达式；

2

（2）若右的表达式：%=-。5（尤-4）2+0.98,4的表达式：y3=-0.5（x-/i,）+0.5,求五个桥洞的总跨度

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AB的长.

4.（2023・北京大兴・统考二模）“急行跳远”是田径运动项目之一.运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛

物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度式单

位：M与水平距离x（单位：⑼近似满足函数关系y=a（尤-02+%（。<0）.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离％/m011.522.53

竖直高度y/m00.750.937510.93750.75

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-/02+-。<0）；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.25（尤-2.2）2+1.21.记该运

动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为4,第二次训练落入沙坑点的水平距离为4，则4d2

（填“”或“<,）

5.（2023•北京石景山•统考二模）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国

队共收获9金2银，位列奖牌榜第一.赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已.在10米跳

台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐

标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度》（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函

数关系y=+左（4<0）.

示意图

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某跳水运动员进行了两次训练.

（1）第一次训练时，该运动员的水平距离》与竖直高度，的几组数据如下:

水平距离x/m00.20.40.60.81.62.0

竖直高度y/m10.0010.4510.6010.4510.005.201.00

①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a（x-/7y+Ma<0）；

②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误.在这次训练

中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m,判断此次跳水会不会出现失误，并说明理

由；

（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度了与水平距离尤近似满足函数关系y=《16（元-0.38）2+w60.如

图，记该运动员第一次训练的入水点为4若运动员在区域AB内（含48）入水能达到压水花的要求，

则第二次训练达到要求（填“能”或“不能”）.

6.（2023•北京海淀•统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式''与“间发式”两种模式.在“直发式”模式

下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出

口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为

一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy.

图1直发式图2间发式

通过测量得到球距离台面高度》（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离无（单位：dm）的相关数

据，如下表所示：

表1直发式

x(dm)02468101620

m

》(dm)3.843.9643.963.642.561.44

表2间发式

x(dm)024681012141618

n

V(dm)3.361.680.8401.402.4033.203

根据以上信息，回答问题：

（1）表格中：〃=,n=；

（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；

（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为4“间发式”模式下球第二次接触台面时

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距离出球点的水平距离为d2,则4d2（填“〉”"=”或.

7.（2023•北京朝阳•统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段AB长为4dm,曲线是抛物线的一部

分，顶点C在的垂直平分线上，且到AB的距离为4dm.以AB中点。为原点，建立如图2所示的平面

（1）求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在口上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的

矩形周长的最大值.

8.（2023•北京房山•统考二模）排球场的长度为18m,球网在场地中央且高度为2.24m.排球出手后的运

动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单

位：m）与水平距离无（单位：m）近似满足函数关系y=a（x-/z）2+左（。＜0）.

%

球网

9mI9mH

左边界右边界

（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度了的几组数据如下:

水平距离％/m02461112

竖直高度y/m2.482.722.82.721.821.52

①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系y=a（x-〃）2+左（。＜0）；

②判断该运动员第一次发球能否过网（填“能”或“不能”）.

（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度》（单位：机）与水平距离x（单位：m）近似满足

函数关系了=-0。23-4）2+2.88,请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由.

9.（2023•北京昌平•统考二模）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增

收致富，也促进了农旅融合高质量发展.小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体A

处，另一端固定在离地面高1m的墙体B处，记大棚的截面顶端某处离A的水平距离为离地面的高度

为冲1,测量得到如下数值：

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x/m01245

811118

y/m1

3TT3

小梅根据学习函数的经验,发现y是龙的函数，并对y随》的

变化而变化的规律进行了探究.

下面是小梅的探究过程，请补充完整:

(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(%,y),并画出函数的图象;

解决问题:

(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为m；此时距离A的水平距离为

(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地

面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分

的长度应是多少m?(灯的大小忽略不计)

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参考答案

1.A

【分析】设每袋涨价x（元），每星期的销售量为＞（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）根据题

意列出y与x,z与龙的函数关系式，即可求解.

【详解】解：设每袋涨价无（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）根

据题意得，

＞=100-5尤是一次函数，

Z=（30-20+x）（100-5x）=（10-%）（100-5%）=5x2-150x+1000是二次函数，

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键.

3,

2.（1）7=--A：+60%

（2）飞机着陆后滑行600m才能停下来，此时滑行的时间是20s

【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；

（2）根据题意和二次函数的性质，当滑行距离取最大值时求出对应的滑行时间即可.

【详解】（1）解：根据表格可以得出函数图像过点（2,114）,（4,216）,

.+26=114

••[16a+4b=216’

13

a=—

解得：｛2,

b=60

3

函数关系式为：尸-]尤2+60元.

（2）根据题意，飞机着陆后滑行一段距离停下来，此时滑行距离y取得最大值，

33

•••函数关系式为丁=-召+60*，

工一60_2。3

当时，最大值＞=-h202+60*20=600,

.•.飞机着陆后滑行600nl才能停下来，此时滑行的时间是20s.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式.

3.（1）丫=-0.5炉+2

（2）五个桥洞的总跨度的长为13.6米

【分析】（1）由表可知，抛物线右的顶点坐标为（。，2）,设抛物线。的解析式为了=办2+2待定系数法求二

次函数解析式即可求解；

（2）根据二次函数的平移，分别令y=。，y=l.02,y=L5,求得每个桥洞的跨度即可求解.

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【详解】(1)由表可知，抛物线右的顶点坐标为(0,2)

，抛物线匕的解析式为y=办?+2

•..抛物线过点(1,1.5).解得a=-0.5

y——0.5x~+2

(2)令y=0,-0.5x2+2=0

解得：%=一2,x2=2,

:.MN=4；

区的表达式：为=—0.5(x—4)+0.98,乙3的表达式：%=—Q5(x—4)+0.5

由题意抛物线4与抛物线右上所之间的部分重合，

即将y=-0.5%2+2向下移动2—0.98=1.02

当y=1.02时，一。5/+2=1.02

解得：％=T4x2=1.4,

EF=2.8；

由题意抛物线L3与抛物线4上C£>之间的部分重合，

即将y=-0.5X2+2向下移动2-0.5=1.5,

当>=1.5时，-0.5X2+2=1.5

解得：占=-1，X2=1，

CD=2

4+2x2.8+2x2=13.6

，五个桥洞的总跨度AB的长为13.6米.

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性

解题是关键.

4.(1)Im；y=-0.25(x—2)~+1

(2)<

【分析】(1)根据当x=l时与当x=3时所对应的函数值相等可知对称轴为直线x=2,从而得到该运动员

竖直高度的最大值为1米，利用顶点式可求函数关系式；

(2)分别求出4、d2,再比较大小即可.

【详解】(1)解：由表格可知，当无=1时与当x=3时所对应的函数值相等，

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1-3

，对称轴为：直线x2,

.•.该运动员竖直高度的最大值为1.

...抛物线的顶点为(2,1).

则抛物线解析式为y=g-2)2+l(a<0).

当x=0时，y=o,

/.0=a(0-2)2+l,解得a=-0.25.

抛物线的解析式为尸《25(X-2>+L

(2)令y=-0.25(x-2)2+l=0

解得：％=0,々=4,

4=4.

又令y=-o.25(x-2.2)2+1.21=0,

=

解得：0,x2=4.4,

/.d2—4.4

V4<4.4,

/.4<4,

故答案是：<.

【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与X轴的交点问题，掌握待定系数法和求与X轴的交点是解

题的关键.

5.⑴①1060m,y=-3.75(x-0.4)2+10.60；②此次跳水不会出现失误，理由见解析

⑵不能

【分析】(1)①先根据对称性求出抛物线对称轴，进而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解

析式，进而求出最高点的距离即可；②求出当尤=1.6时，y的值即可得到答案；

(2)分别求出两次入水点的位置即可得到答案.

【详解】(1)解：①由表格中的数据可知当x=0.2时，y=10.45,当x=0.6时，y=10.45,

抛物线对称轴为直线x=0-2^0-6=0.4,

抛物线顶点坐标为(0410.60),

/.抛物线解析式为y=a(x-0.4)2+10.60,

把x=0.2,>=10.45代入得：10.45=a(0.2-0.4)2+10.60,

解得。=-3.75,

抛物线解析式为y=-3.75(%-0.4)2+10.60

•••抛物线开口向下，

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，该运动员竖直高度的最大值为10.60m；

②此次跳水不会出现失误，理由如下：

当x=1.6时，y=-3.75（1.6-0.4）2+10.60=5.2,

*/5.2>5,

此次跳水不会出现失误；

（2）解：在y=-3.75（x-0.4）2+10.60中，当>=（）时，贝1]-3.75（了一04『+10.60=0,

解得XB2.08或％=-1.28（舍去），

JA（2.08,0）

在y=-4.16（x-0.38）2+10.60中，当>时，贝IJY16（X—0.38）2+10.60=0,

解得XQ1.98或xa-1.22（舍去），

第二次入水的位置的水平距离为1.98米，

V1.98<2.08,即第二次入水的位置在店/的左侧，

第二次训练不能达到要求，

故答案为：不能.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键.

6.（1）3.84,2.52

（2）y=-0.01（x-4）2+4

（3）=

【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线x=4,根据对称性即可求得加的值，根

据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线

解析式，进而将x=2代入即可求解.

（2）根据题意设抛物线解析式为y=a（x-4y+4,将点（0,3.84）代入，待定系数法求二次函数解析式即可

求解.

（3）令y=0,即一0.01（元一4）2+4=0,得出4=24,设抛物线解析式为％=。（尤-167+3.20,将点（8,0）

代入，得出yi=-0.05（x-16『+3.20,令y=0,BP-0.05（x-16）2+3.20=0,得出4=24,即可求解.

【详解】（1）解：•••直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；

由表1数据，可知对称轴为直线x=4,

.•.当x=8时的函数值与x=0时的函数值相等，

m=3.84,

..•在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为

y=kx+b,

将点（0,3.36）,（4,1.68）代入得，

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a=3.36

14左+6=1.68'

伏=-0.42

解得：k，

[b=3.36

:.y=-0.42%+3.36,

当x=2时，y=—0.42x2+3.36=2.52,

故答案为：3.84,2.52.

（2）“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；

由（1）可得对称轴为尤=4,顶点坐标为（4,4）,

设抛物线解析式为y=“（-4）2+4,将点（0,3.84）代入，

得，3.84=16。+4

解得：a=-0.01

抛物线解析式为y=-0.01（X-4）2+4

（3）解：•.•“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=-0.01（x-4『+4,

令y=0,即一0.01（元一4）2+4=0,

解得尤=-16（舍去）或x=24

4=24,

・・•在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，

由表2可得抛物线的顶点坐标为（16,3.20）

设抛物线解析式为％=a（x-⑹?+3.20,将点（8,0）代入，

得，0=64。+3.20

解得：a=-0.05

抛物线解析式为x=-0.05（X-16）2+3.20

令y=0,BP-0.05（X-16）2+3.20=0,

解得x=8（舍去）或x=24

**.d?=24,

••4=4,

故答案为：—.

【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的

关键.

7.（1））=__+4

（2）10

【分析】（1）先求出抛物线顶点c的坐标为（0,4）,/的坐标为（-2,0）,然后利用待定系数法求解即可；

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（2）先证明G、〃关于抛物线对称轴对称，则£、尸关于抛物线对称轴对称，设点尸的坐标为（加，0）,则

G（m,-m2+4）,求出=GF=-m2+4,根据矩形周长公式列出矩形周长与m的二次函数关系式,

利用二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点。的坐标为（。，4）,/的坐标为（-2,0）,

设抛物线解析式为y=a^+4,

，4。+4=0,

解得。=-1,

.♦.抛物线解析式为y=-炉+4；

（2）解：如图所示，•..四边形跖G”是矩形，

Z.EF//GH,

:E、尸都在x轴上,

轴，

G、H关于抛物线对称轴对称，

；.£、厂关于抛物线对称轴对称，

设点F的坐标为（血，0）,则+4）,

/.E（-m,O）,H-机2+4）,

EF=2m,GF=-nr+4,

：.矩形EFGH的周长=2砂+IGF

=-2m2+8+4m

=-2（m-I?+10,

-2<0,

.•.当根=1时，矩形EFGH的周长有最大值10.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知

识是解题的关键.

8.（1）①>=—0.02（尤—4）+2.8；②能

（2）没有，理由见解析

【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点（428）,则设y=a（尤-4）2+2.8（。<0）,再把表格中其它任意

一组数据代入即可求出“值，

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②当x=9时，求得y=2.3,再与球网高度比较即可得出答案.

（2）令y=0,