西藏林芝市第二高级中学2025届数学高二下期末预测试题含解析

西藏林芝市第二高级中学2025届数学高二下期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数满足，则下列说法错误的是（）A． B．C． D．2．对于实数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若a|a|＞b|b|，则下列判断正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．以上都有可能4．已知集合，则等于（）A． B． C． D．5．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为,则该圆锥的体积为A． B． C． D．6．某校教学大楼共有5层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有()A．24种B．52种C．10种D．7种7．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件，“摸得的两球不同色”为事件，则概率为()A． B． C． D．8．已知中，，，，点是边的中点，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．中，边的高为，若，，，，，则（)A． B． C． D．10．有一项活动,在4名男生和3名女生中选2人参加,必须有男生参加的选法有（）种.A．18 B．20 C．24 D．3011．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，）.若与有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．或12．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）14．若""是""的必要不充分条件,则的取值范围是____．15．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8.高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6.高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为______；侧面积为______．16．若复数，则的共轭复数的虚部为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的,．18．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,,,,,分别是,的中点.（1）证明:;（2）求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函数.（1）求的值；（2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值.20．（12分）已知抛物线的焦点为，准线为，点，在上的射影为，且是边长为的正三角形.（1）求；（2）过点作两条相互垂直的直线与交于两点，与交于两点，设的面积为的面积为（为坐标原点），求的最小值.21．（12分）已知，.（1）若，求实数的值；（2）若，，若是的充分条件，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数（是自然对数的底数）.（1）求函数在区间上的最值；（2）若关于的不等式恒成立，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

设，证明单调递增，得到，构造函数根据单调性到正确，取，，则不成立，错误，得到答案.【详解】设，则恒成立，故单调递增，，即，即，.取，，则不成立，错误；设，则恒成立，单调递增，故，就，正确；同理可得：正确.故选：.本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.2、A【解析】

先判断和成立的条件，然后根据充分性和必要性的定义可以选出正确答案.【详解】成立时，需要；成立时，需要，显然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.本题考查了充分不必要条件的判断，掌握对数的真数大于零这个知识点是解题的关键.3、A【解析】

利用已知条件，分类讨论化简可得.【详解】因为，所以当时，有，即；当时，则一定成立，而和均不一定成立；当时，有，即；综上可得选项A正确.故选：A.本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.4、C【解析】

由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【详解】解：可得；，可得=故选C.本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.5、B【解析】

先设底面半径，然后根据侧面积计算出半径，即可求解圆锥体积.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长；又侧面积，所以，所以，故选：B.本题考查圆锥的侧面积公式应用以及体积的求解，难度一般.圆锥的侧面积公式：，其中是底面圆的半径，是圆锥的母线长.6、A【解析】因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有24种不同走法．故选A.7、B【解析】

根据题目可知，求出事件A的概率，事件AB同时发生的概率，利用条件概率公式求得，即可求解出答案．【详解】依题意，，，则条件概率．故答案选B．本题主要考查了利用条件概率的公式计算事件的概率，解题时要理清思路，注意的求解．8、B【解析】

利用正弦定理求出的值，用基底表示，，则可以得到的值.【详解】解：在中，由正弦定理得，，即，解得，因为，，所以故选B.本题考查了正弦定理、向量分解、向量数量积等问题，解题的关键是要将目标向量转化为基向量，从而求解问题.9、D【解析】

试题分析：由，，可知10、A【解析】

分类：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【详解】若人中有人是男生，则有种；若人都是男生，则有种；则共有种选法.排列组合中，首先对于两个基本原理：分类加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列组合综合问题的基础.11、D【解析】

先把曲线，的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若与有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a的范围即得解.【详解】因为曲线的极坐标方程为即故曲线的直角坐标方程为：.消去参数可得曲线的一般方程为：，由于，故如图所示，若与有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距当直线与半圆相切时由于为上半圆，故综上：实数的取值范围是或故选：D本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.12、C【解析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。详解：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有60种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。14、【解析】

根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案.【详解】若""是""的必要不充分条件则即即的取值范围是:.故答案为:.本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题.15、64【解析】

根据三视图可得该几何体表示一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，其中高为4，即可利用体积公式和表面积公式求解，得到答案.【详解】由题意可知，这个几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥高为4，所以四棱锥的体积为，四棱锥的侧面为等腰三角形，底边长分别为，斜高分别为，所以侧面积为.本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及四棱锥的体积与侧面积的计算，其中解答中根据几何体的三视图得到几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、7【解析】

利用复数乘法运算化简为的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部.【详解】，，故虚部为.本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)单调递减区间为,单调递增区间为(2)证明见解析【解析】

（1）函数定义域为，求导得到，根据导数正负得到函数的单调区间.（2），不等式等价于恒成立，设，求函数的最小值得到，得到证明.【详解】（1），定义域为，，令；令.∴函数的单调递减区间为,单调递增区间为（2），即证恒成立令，即证恒成立，，∴，使成立，即则当时，，当时，∴在上单调递减，在上单调递增.∴又因，即∴又因，即得证.本题考查了函数的单调区间，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)建立空间直角坐标系,设,从而确定与的坐标,通过求二者的数量积证明.(2)结合第一问,计算出直线的方向向量和平面的法向量,结合线面角余弦值和诱导公式即可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:在底面内作,以点为坐标原点,、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系,不妨设则,,,由可求得的坐标为利用中点坐标公式可求出,即(2)解:由第一问可知:.设平面的法向量为则,不妨设则,此时设直线与平面所成角为,则即直线与平面所成角的正弦值为.本题考查了空间几何中的线线垂直的判定,考查了线面角的求解问题.解答此类问题时,一般情况下根据题意建立适当的空间坐标系,根据已知的垂直、平行、数量关系等条件,求出点的坐标,进而求出方向向量、法向量的坐标.易错点在于对于直线和平面所成角的问题中,不少同学错把求得的直线方向向量和平面法向量的夹角认为是所求角.19、（1）1,（2）最小值，最大值.【解析】分析：（1）由降幂公式化简表达式，得，利用辅助角公式化简三角函数式，最后代入求解。（2）根据三角函数平移变换，得到平移后解析式为，利用整体思想求得取值范围；进而得到的最大值与最小值。详解：（1），则.（2）函数平移后得到的函数，由题可知，.当即时，取最小值，当即时，取最大值.点睛：本题综合考查了二倍角公式、降幂公式在三角函数化简中的应用，三角函数平移变换及在某区间内最值的求法，知识点综合性强，属于简单题。20、（1）2；（2）16.【解析】

（1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得.（2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【详解】（1）解：设准线与轴的交点为点，连结，因为是正三角形，且，在中，，所以.（2）设，直线，由知，联立方程：，消得.因为，所以，所以，又原点到直线的距离为，所以，同理，所以，当且仅当时取等号.故的最小值为.圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得.21、（1）（2）或【解析】

（1）求解出集合，再根据交集范围计算的值；（2）由是的充分条件，得到集合之间的关系，然后再计算的取值.【详解】解：，，（1）∴∴∴；（2）∵是的充分条件，∴或，∴或即或.现有集合，且，，若集合是集合的充分条件，则有：；若集合是集合的必要条件，则有：.22、（1）最大值为-1，最小值为（2）1【解析】

（1）先求出导函数，代入即可求得，于是可知函数在区间上的单调性，于是