云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

云南省泸西县泸源普通高级中学2025年高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在的图像大致为（）A． B．C． D．2．在的展开式中，的幂指数是整数的共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项3．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．若函数为偶函数，则（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．05．设等差数列的前项和为，且，，则的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．46．若复数满足，则的虚部为（）A． B． C． D．7．某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（）A． B． C． D．8．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。下面实例是某市对“增值评价”的简单应用，该市教育评价部门对本市所高中按照分层抽样的方式抽出所(其中，“重点高中”所分别记为,“普通高中”所分别记为),进行跟踪统计分析，将所高中新生进行了统的入学测试高考后，该市教育评价部门将人学测试成绩与高考成绩的各校平均总分绘制成了雷达图.点表示学校入学测试平均总分大约分，点表示学校高考平均总分大约分，则下列叙述不正确的是（）A．各校人学统一测试的成绩都在分以上B．高考平均总分超过分的学校有所C．学校成绩出现负增幅现象D．“普通高中”学生成绩上升比较明显9．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A． B． C． D．10．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件C． D．11．展开式中的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．3512．函数f(x)=x3+ax2A．-3或3 B．3或-9 C．3 D．-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则_________14．已知实数满足约束条件，且的最小值为，则常数__________．15．已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为__________．16．是虚数单位，若复数满足，则______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．18．（12分）已知函数，对任意的，满足，其中，为常数.（1）若的图象在处的切线经过点，求的值；（2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围.19．（12分）设（I）若的极小值为1，求实数的值；（II）当时，记，是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，说明理由.20．（12分）已知幂函数f（x）=（m∈N*），经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．21．（12分）已知直线经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．22．（10分）已知数列满足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用定义考查函数的奇偶性，函数值的符号以及与的大小关系辨别函数的图象．【详解】，所以，函数为奇函数，排除D选项；当时，，则，排除A选项；又，排除B选项．故选C．本题考查函数图象的辨别，在给定函数解析式辨别函数图象时，要考查函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及特殊值，利用这五个要素逐一排除不符合要求的选项，考查分析问题的能力，属于中等题．2、D【解析】

根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出的幂指数是整数的项的个数。【详解】由题意知，要使的幂指数是整数，则必须是的倍数，故当满足条件。即的幂指数是整数的项共有项，故答案选D。本题主要考查二项式定理的应用，解题关键是熟记二项展开式的公式。3、D【解析】

根据复合函数的单调性，同增异减，则，在区间上是增函数，再根据定义域则在区间上恒成立求解.【详解】因为函数在区间上是减函数，所以，在区间上是增函数，且在区间上恒成立.所以且，解得.故选：D本题主要考查复合函数的单调性，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于中档题.4、C【解析】

由f（x）为偶函数，得，化简成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0对恒成立，从而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【详解】若函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即；得对恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故选C．本题考查偶函数的定义，以及对数的运算性质，平方差公式，属于基础题．5、B【解析】

根据题意，设等差数列的公差为，由条件得，由此可得的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．故选B．本题考查等差数列的前项和，关键是掌握等差数列的前项和公式的形式特点，属于基础题．6、A【解析】

利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部.【详解】，因此，复数的虚部为，故选A.本题考查复数的概念与复数的乘法运算，对于复数问题，一般是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，进而求解，考查计算能力，属于基础题.7、B【解析】

先用捆绑法将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；将这个整体与英语，物理全排列，分析排好后的空位数目，再在空位中安排数学，最后由分步计数原理计算可得.【详解】由题得语文和化学相邻有种顺序；将语文和化学看成整体与英语物理全排列有种顺序，排好后有4个空位，数学不在第一节有3个空位可选，则不同的排课法的种数是，故选B.本题考查分步计数原理，属于典型题.8、B【解析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】A.各校人学统一测试的成绩都在分以上，根据图像知，正确B.高考平均总分超过分的学校有所，根据图像知，只有ABC三所，错误C.学校成绩出现负增幅现象，根据图像，高考成绩低于入学测试，正确D.“普通高中”学生成绩上升比较明显，根据图像，“普通高中”高考成绩都大于入学测试，正确.故答案选B本题考查了雷达图的知识，意在考查学生的应用能力和解决问题的能力.9、C【解析】

由三视图还原原几何体，可知该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，再由棱锥体积剪去棱锥体积求解.【详解】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中为等腰直角三角形，，

∴该几何体的体积，

故选：C.本题考查由三视图求体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题.10、D【解析】分析：由题意，，是两两互斥事件，条件概率公式求出，，对照选项即可求出答案.详解：由题意，，是两两互斥事件，,,,,而.所以D不正确.故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.11、C【解析】

利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得的系数.【详解】根据二项式定理展开式通项为则展开式的通项为则展开式中的项为则展开式中的系数为故选:C本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.12、C【解析】

题意说明f'(1)=0，f(1)=7，由此可求得a,b【详解】f'(x)=3x∴f(1)=1+a+b+a2+a=7f'(1)=3+2a+b=0，解得a=3,b=-9时，f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3)，当-3<x<1时，f'(x)<0，当x>1时，f'(x)>0a=-3,b=3时，f'(x)=3x2-6x+3=3∴a=3．故选C．本题考查导数与极值，对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是x0为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

判断，再代入，利用对数恒等式，计算求得式子的值为.【详解】因为，所以，故填.在计算的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰.14、-2.【解析】分析：画出可行域，将变形为，平移直线由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为列方程求解即可.详解：画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线,由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，根据的最小值为可得，解得，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15、【解析】

利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。【详解】如图正六边形中，，直线即双曲线的渐近线方程为，由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的离心率，所以椭圆与双曲线的离心率之积为本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题。16、.【解析】分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．详解：∵（3﹣4i）z=5，∴（3+4i）（3﹣4i）z=5（3+4i），∴25z=5（3+4i），化为z=i．∴z的虚部为．故答案为.点睛：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2).【解析】

（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】（1）∵底面为正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则，，，设为平面的一个法向量，又，，，令，，得同理是平面的一个法向量，则.∴二面角的余弦值为.本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．18、（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）由和解得；（2）化简，构造函数，根据函数的单调性，证明的最小值大于零即可；（3）讨论三种情况，，，排除前两种，证明第三种情况符合题意即可.试题解析：（1）在中，取，得，又，所以．从而，，．又，所以，．（2）．令，则，所以时，，单调递减，故时，，所以时，．（3），①当时，在上，，递增，所以，至多只有一个零点，不合题意；②当时，在上，，递减，所以，也至多只有一个零点，不合题意；③当时，令，得，．此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点．因为在上递增，所以．又因为，所以，使得．又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及函数零点问题.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值、函数零点问题立，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）、（3）解题过程都是围绕先求单调区间再求最值这一思路，进一步解答问题的.19、（I）；（II）【解析】

（I）求出的定义域以及导数，讨论的范围，求出单调区间，再结合的极小值为1，即可求得实数的值；（II）求出的定义域以及导数，利用导数研究最小值的范围，即可求出。【详解】（I）①时，，故在上单增，故无极小值。②时，故在上单减，在上单增，故.故（II）当时，由于在上单增，且故唯一存在使得，即故在上单减，在上单增，故又且在上单增，故，即依题意：有解，故，又，故本题考查已知极值求参数，利用导数研究函数单调区间以及最值，综合性强，属于中档题。20、.【解析】

先根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性得到不等式组，解得即可【详解】∵幂函数f（x）经过点（2，），∴=，即=∴m2+m=2．解得m=2或m=﹣2．又∵m∈N*，∴