云南省丽江县第三中学2024-2025学年数学高二下期末达标检测试题含解析

云南省丽江县第三中学2024-2025学年数学高二下期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．2．若函数f(x)=xex,x≥0x2+3x,x<0A．[0,2) B．[0,2] C．[-3,0]3．已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率（）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.31744．已知函数的图象与直线有两个交点，则m的取值范围是（）A． B． C． D．5．直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A． B． C． D．6．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．7．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．8．在二项式的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为（）A． B． C． D．9．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．10．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是A． B．是图象的一个对称中心C． D．是图象的一条对称轴11．数列满足，则数列的前20项的和为()A．100 B．-100 C．-110 D．11012．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____.14．曲线与坐标轴及所围成封闭图形的面积是__________．15．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．16．若函数，若，则=______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）已知，都是正数，并且，求证：；（2）若，都是正实数，且，求证：与中至少有一个成立.18．（12分）2019年6月湖北潜江将举办第六届“中国湖北（潜江）龙虾节”，为了解不同年龄的人对“中国湖北（潜江）龙虾节”的关注程度，某机构随机抽取了年龄在20—70岁之间的100人进行调查，经统计“年轻人”与“中老年人”的人数之比为。关注不关注合计年轻人30中老年人合计5050100（1）根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有99﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”是否和年龄有关？（2）现已经用分层抽样的办法从中老年人中选取了6人进行问卷调查，若再从这6人中选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“中国湖北（潜江）龙虾节”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望。附：参考公式其中。临界值表：0.050.0100.0013.8416.63510.82819．（12分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求线段的长.20．（12分）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．21．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．22．（10分）在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的正切值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

试题分析：根据函数和都是奇函数，故排除A，C；由于函数是偶函数，周期为，在上是减函数，在上是增函数，故不满足题意条件，即B不正确；由于函数是偶函数，周期为，且在上是减函数，故满足题意，故选D.考点：余弦函数的奇偶性；余弦函数的单调性.2、A【解析】

先作y=f(x)的图象与直线y=-x+2的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解．【详解】设h(x)=xe则h(x)=1-x则h(x)在(0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数，则y=f(x)的图象与直线y=-x+2的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，当g(x)有三个零点，则a的取值范围为：0⩽a<2，故选：A．本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题．3、B【解析】

，由此可得答案．【详解】解：由题意有，故选：B．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4、A【解析】

两个函数图象的交点个数问题，转化为方程有两个不同的根，再转化为函数零点问题，设出函数，求单调区间，分类讨论，求出符合题意的范围即可．【详解】解：函数的图象与直线有两个交点可转化为函数有两个零点，导函数为，当时，恒成立，函数在R上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以的最小值，则m的取值范围是.故选：本题考查函数零点问题，利用方程思想转化与导数求解是解决本题的关键，属于中档偏难题．5、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．6、A【解析】分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．详解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），B1（1，1，2），=（﹣1，0，2），=（1，1，2），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ=∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化能力.(2)异面直线所成的角的常见求法有两种，方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.7、B【解析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。8、C【解析】

二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两个有几种取法得出答案．【详解】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，展开式系数为偶数的有，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有种取法，取出的2项中系数均为偶数的概率为故选：本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数．9、B【解析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．10、C【解析】函数的图象向右平移个单位，可得,的图象关于轴对称，所以,时可得，故，，不正确，故选C.11、B【解析】

数列{an}满足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{an}满足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．则数列{an}的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）1．故选：B．本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、B【解析】

由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线介于直线和直线之间时，符合条件，故选.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围．【详解】作出的函数图象如图所示：画出函数的图象，由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点；当或时，有2个零点。故答案为.本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.14、【解析】分析：首先利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分．详解：曲线与两坐标轴及所围成的图形的面积为即答案为．点睛：本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示是关键．15、【解析】分析：组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率．详解：由题意．故答案为．点睛：零件不发生故障的概率分别为，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为．16、【解析】

本题首先可以对分段函数进行研究，确定每一个分段函数所对应的函数解析式以及取值范围，然后先计算出的值，再对与之间的关系进行分类讨论，最后得出结果．【详解】因为函数所以，若即则解得（舍去），若，即，则解得，综上所述，答案为本题考查的知识点是分段函数的应用以及函数求值，难度不大，属于基础题．考查分段函数的时候一定要能够对每一个取值范围所对应的函数解析式有一个确定的认识．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

（1）利用综合法，将两式做差，化简整理，即可证明（2）利用反证法，先假设原命题不成立，再推理证明，得出矛盾，即得原命题成立。【详解】（1）因为，都是正数，所以，又，所以，所以，所以，即.（2）假设和都不成立，即和同时成立.且，，.两式相加得，即.此与已知条件相矛盾，和中至少有一个成立.本题主要考查综合法和反证法证明，其中用反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，得出矛盾，即假设不成立，原命题成立，进而得证。18、（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

(1)首先将列联表填写完整，根据公式计算，再与临界值表作比较得到答案.(2)首先计算关注人数的概率，再写出分布列，计算数学期望.【详解】解：关注不关注合计年轻人103040中老年人402060合计5050100其中代入公式的≈，故有﹪的把握认为关注“中国湖北（潜江）龙虾节”和年龄有关.（2）抽取的6位中老年人中有4人关注，2人不关注，则可能取的值有所以的分布列为123P本题考查了列联表的计算，分布列和数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.19、（1），；（2）【解析】

（1）利用参数方程与普通方程、普通方程与极坐标方程的互化公式即可；（2）利用垂径定理与勾股定理即可得到答案.【详解】（1）直线l的普通方程为，曲线C即，所以，故曲线C的直角坐标方程为.（2）因为曲线C是以为圆心，为半径的圆，所以线段的长为.本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，以及圆中的弦长问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.20、（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由四点共圆性质可得∠D=∠CBE.再结合条件∠CBE=∠E,得证（2）由等腰三角形性质得OM⊥AD,即得AD∥BC,因此∠A=∠CBE=∠E.而∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.试题解析：解:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.(2)设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.又AD不是☉O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.又∠CBE=∠E,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.21、（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率．（2）当温度大于等于25℃时，需求量为500，求出Y＝900元；当温度在[20，25）℃时，需求量为300，求出Y＝300元；当温度低于20℃时，需求量为200，求出Y＝﹣100元，从而当温度大于等于20时，Y＞0，由此能估计估计Y大于零的概率．【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+36＝54，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶