云南省怒江州贡山三中2025年数学高二第二学期期末经典试题含解析

云南省怒江州贡山三中2025年数学高二第二学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．关于函数，下列说法正确的是()A．是周期函数，周期为 B．关于直线对称C．在上是单调递减的 D．在上最大值为2．若函数的图象与的图象都关于直线对称，则与的值分别为（）A． B． C． D．3．已知函数满足，与函数图象的交点为，则=（）A．0 B． C． D．4．使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A． B． C． D．5．已知的分布列为：设则的值为（）A． B． C． D．56．若函数没有极值，则实数a的取值范围是()A． B． C． D．7．如图：在直棱柱中，，，分别是A1B1,BC,CC1的中点，则直线PQ与AM所成的角是（）A． B． C． D．8．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A． B．C． D．9．在中，，则的形状为（）A．正三角形 B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为形（每次旋转90°仍为形的图案），那么在个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的形需案的个数是（）A．36 B．64 C．80 D．9611．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预赛成绩，其中有些数据漏记了（见表中空白处）学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.681.821.801.601.761.741.721.921.7830秒跳绳（单位：次）63756062727063在这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则以下判断正确的为（）A．4号学生一定进入30秒跳绳决赛B．5号学生一定进入30秒跳绳决赛C．9号学生一定进入30秒跳绳决赛D．10号学生一定进入30秒眺绳决赛12．设命题，，则为（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则__________________.14．已知不等式对于大于的正整数恒成立，则实数的取值范围为_________.15．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.16．已知函数，实数满足，则的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.18．（12分）设.（1）当时，，求a的取值范围；（2）若对任意，恒成立，求实数a的最小值.19．（12分）设函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．20．（12分）设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为,直线与轴的交点为.(1)用表示和;(2)求证:;(3)设,,求证:.21．（12分）已知函数为常数，且)有极大值，求的值．22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：利用正弦函数的图象与性质，逐一判定，即可得到答案．详解：令，对于A中，因为函数不是周期函数，所以函数不是周期函数，所以是错误的；对于B中，因为，所以点与点关于直线对称，又，所以，所以的图象不关于对称，所以是错误的；对于C中，当时，，当时，函数为单调递减函数，所以是正确的；对于D中，时，，所以是错误的，综上可知，正确的为选项C，故选C．点睛：本题主要考查了正弦函数的对称性、周期性、单调性及其函数的最值问题，其中熟记正弦函数的图象与性质，合理运算是解答此类问题的关键，着重考查了综合分析与应用能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题．2、D【解析】分析：由题意得，结合即可求出，同理可得的值.详解：函数的图象与的图象都关于直线对称，和（）解得和，和时，；时，.故选：D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质应用，属基础题.3、B【解析】

由题意知函数的图象和函数的图象都关于直线对称，可知它们的交点也关于直线对称，于此可得出的值。【详解】设，由于，则函数的图象关于直线对称，且函数的图象也关于直线对称，所以，函数与函数的交点也关于直线对称，所以，，令，则，所以，，因此，，故选：B.本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：（1），则函数的周期为；（2）或，则函数的对称轴为直线；（3），则函数的对称中心为.4、B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5、A【解析】

求出η的期望，然后利用，求解即可．【详解】由题意可知E（η）＝﹣101．∵，所以＝E（1η﹣2）＝1E（η）﹣21．故选A．本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望．6、A【解析】

由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对讨论，可得答案．【详解】∵，∴，①当时，则，在上为增函数，满足条件；②当时，则，即当时，恒成立，在上为增函数，满足条件综上，函数不存在极值点的充要条件是：．故选：A．本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题．7、D【解析】

建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，据此可得：，，故，即直线PQ与AM所成的角是.本题选择D选项.本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解析】

函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.9、B【解析】

利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．【详解】因为,，所以，有．整理得，故,的形状为直角三角形．故选：B．余弦的二倍角公式有三个，要根据不同的化简需要进行选取．．在判断三角形形状的方法中，一般有，利用正余弦定理边化角，角化边，寻找关系即可10、C【解析】

把问题分割成每一个“田”字里，求解.【详解】每一个“田”字里有个“”形，如图因为的方格纸内共有个“田”字，所以共有个“”形..本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11、D【解析】

先确定立定跳远决赛的学生，再讨论去掉两个的可能情况即得结果【详解】进入立定跳远决赛的学生是1，3，4，6，7，8，9，10号的8个学生，由同时进入两项决赛的有6人可知，1，3，4，6，7，8，9，10号有6个学生进入30秒跳绳决赛，在这8个学生的30秒跳绳决赛成绩中，3，6，7号学生的成绩依次排名为1，2，3名，1号和10号成绩相同，若1号和10号不进入30秒跳绳决赛，则4号肯定也不进入，这样同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的只有5人，矛盾，所以1，3，6，7，10号学生必进入30秒跳绳决赛.选D.本题考查合情推理，考查基本分析判断能力，属中档题.12、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，.故选：.本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对函数求导，再令可求出，于是可得出函数的解析式。【详解】对函数求导得，，解得，因此，，故答案为：.本题考查导数的计算，在求导数的过程中，注意、均为常数，可通过在函数解析式或导数解析式赋值解得，考查运算求解能力，属于中等题。14、【解析】

先求得的最小值，为此作差，确定的单调性，得最小，然后解不等式即可。【详解】设，，，所以，递增，最小值；于是有，所以，所以，由且，所以，所以，又因为，所以.故答案为：。本题考查不等式恒成立问题，解题方法是转化为求函数的最值，本题不等式左边作为自然数的函数，可以看作是数列的项，因此可用研究数列单调性的方法来研究其单调性，即作差，由差的正负确定数列的增减，从而确定最小值．15、【解析】

由面积为的半圆面，可得圆的半径为2，即圆锥的母线长为2.圆锥的底面周长为.所以底面半径为1.即可得到圆锥的高为.所以该圆锥的体积为.16、【解析】

根据图像分析，设，代入函数求值即可.【详解】由图像可知，设，，即.故填：1.本题考查了的图像，以及对数运算法则，属于基础题型，本题的关键是根据图像，判断和的正负，去绝对值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当x∈时，；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.18、（1），（2）的最小值为【解析】试题分析：（1）的取值范围是；（2），当且仅当时取等号的最小值为.试题解析：（1），即依题意：由此得a的取值范围是（2）当且仅当时取等号解不等式得.故实数a的最小值为.考点：不等式选讲．19、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）先求函数定义域，由导数大于0，得增区间；导数小于0，得减区间；（2）由题意可得即证lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的单调性可得lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出单调性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【详解】（1）由题设，的定义域为，，令，解得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．（2）证明：当x∈（1，+∞）时，，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）递减，可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；设F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）＝0，即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；本题考查导数的运用，考查利用导数求函数单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．20、（1）,(2)根据题意，由于,进而得到证明．(3)先证:当时,.然后借助于不等式关系放缩法求和比较大小．【解析】试题分析：（1）根据点在圆上，在直线上，即可求得，再利用函数的单调性即可得证；（2）首先证明不等式，进而可证得，累加求和即可得证．试题解析：（1）由点在曲线上可得，又点在圆上，则，，从而直线的方程为，由点在直线上得：，将代入，化简得：，∵，，∴，，又∵，，∴；（2）先证：当时，，事实上，不等式，后一个不等式显然成立，而前一个不等式，故当时，不等式成立，∴，∴(等号仅在时成立)，求和得：，∴．考点：1．数列的通项公式；2．数列与不等式综合题．【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2．重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3．数学归纳法．21、【解析】

求导，解出导数方程的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数的值．【详解】，则，令，得，，，，列表如下：极大