2023年中考数学试题分类训练（01期）圆的有关位置关系（共45题）原卷版+解析

专题24圆的有关位置关系（45题）

一、单选题

1.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，A5切。于点3,连接。4交。于点C,班＞〃。4交。于点

D,连接8,若NOCD=25。,则—A的度数为（）

金

A.25°B.35°C.40°D.45°

2.（2023・重庆•统考中考真题）如图,AC是。的切线，B为切点,连接。4,OC.若/A=30。，AB=20,

BC=3,则OC的长度是（）

ABC

A.3B.273C.V13D.6

3.（2023.重庆.统考中考真题）如图,AB为。的直径，直线CD与。相切于点C,连接AC,若NACD=50。,

则/BAC的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

4.（2023・湖北武汉・统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AD±AB,以。为圆心，A£＞为半

4R1

径的弧恰好与相切，切点为E.若布=§，贝1JsinC的值是（）

5.（2023・四川泸州•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，NC=90。，点。在斜边上，以AD为直径的

半圆。与BC相切于点E,与AC相交于点尸，连接OE.若AC=8,BC=6,则。E的长是（）

4710B8M

9-9

二、填空题

6.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，点A是一。外一点，AB,AC分别与.。相切于点B,C,点。

在BOC上，已知NA=50。，则/。的度数是.

7.（2023•黑龙江・统考中考真题）如图，AB是的直径，切。于点A,尸。交（。于点C,连接BC,

若/8=28°,则/尸=°.

CP

B

8.（2023・湖南•统考中考真题）如图，AD是：。的直径，是。的弦，BC与，。相切于点B,连接。B,

若ZABC=65。，则。的大小为.

9.（2023•山东滨州•统考中考真题）如图，分别与相切于48两点，且NAPB=56。.若点C是一。

上异于点AB的一点，则/ACB的大小为.

10.（2023•浙江宁波•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的

半圆。与BC相切于点。，连接A。，BE=3,BD=3小.P是AB边上的动点，当△4DP为等腰三角形时,

AP的长为_____________

11.（2023・河南•统考中考真题）如图，以与。相切于点A,PO交，。于点B,点C在丛上，且CB=C4.若

Q4=5,PA=12,则C4的长为.

12.（2023・湖北•统考中考真题）如图，在工ABC中，ZACB=70°,AABC的内切圆。与ABBC分别相切

于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点尸，则NA£D=

ADB

13.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90。,AC=8,3C=6.以点C为圆心，r为

半径作圆，当所作的圆与斜边A3所在的直线相切时，厂的值为.

14.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点为A的直径，点C

在函数>=々左>0,x>0）的图象上，。为>轴上一点，.ACD的面积为6,则％的值为.

X

15.（2023•四川・统考中考真题）如图，ZACB=45°,半径为2的。与角的两边相切，点尸是。O上任意

一点，过点尸向角的两边作垂线，垂足分别为E,F,设t=PE+垃PF，贝心的取值范围是.

16.（2023・湖南岳阳•统考中考真题）如图，在。中，AB为直径，80为弦，点C为80的中点，以点C为

切点的切线与AB的延长线交于点E.

（1）若/4=30。,帅=6,则80的长是（结果保留左）;

CF1

(2)贝哈

AF-3,

17.（2023・上海・统考中考真题）在，ABC中ABnT.BCnZNCngO。，点D在边AC上，点E在C4延长线

上，且CD=DE,如果3过点A,E过点D,若B与E有公共点，那么£半径，的取值范围是.

三、解答题

18.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，是，O的直径，C是（。上一点，过点C作O的切线C3,

交的延长线于点。，过点A作AE_LCD于点E.

⑴若NE4c=25。，求—ACD的度数.

(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.

19.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，。是的外接圆，AD是。的直径，下是AD延长线

上一点，连接CD,CF,S.ZDCF^ZCAD.

⑴求证：CP是；。的切线；

3

（2）若直径AD=10,cosB=w，求ED的长.

20.（2023・江西・统考中考真题）如图，在ABC中，AB=4,ZC=64°,以AB为直径的。与AC相交于

点，E为ABD上■一点，J!LZAZ>E=40O.

⑴求BE的长；

⑵若NK4D=76。，求证：CB为t。的切线.

21.（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，在旗C中，AB=AC,以AB为直径的。交边AC于点。,

连接80,过点C作CE〃AB.

⑴请用无刻度的直尺和圆规作图：过点3作。的切线，交CE于点尸；（不写作法，保留作图痕迹，标明

字母）

⑵在（1）的条件下，求证：BD=BF.

22.（2023・辽宁•统考中考真题）如图，A8是二的直径，点C,E在。上，ZCAB=2ZEAB,点尸在线段AB

的延长线上，且NAFE=ZA8C.

⑴求证：EF与O相切；

4

(2)^BF=1,sinZAFE=-,求8C的长.

23.（2023.山东东营.统考中考真题）如图，在，ABC中，AB=AC,以AB为直径的。交BC于点D,DE1AC,

垂足为E.

⑴求证：DE是i。的切线；

⑵若NC=30。，CD=2y/3,求BO的长.

24.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）如图，AB是。的直径，C是G。上一点过点C作CD,于点E,

交1o于点。，点尸是AB延长线上一点，连接CF,AD,ZFCD=2ZDAF.

IEIBF

\/

(1)求证：CP是.o切线；

2

⑵若AF—10,sinF=—,求CD的长.

25.(2023.湖南常德.统考中考真题)如图，四边形4^。。是［。的内接四边形，是直径，C是80的中

点，过点。作CELAD交AD的延长线于点E.

E

:

(1)求证：CE是。的切线；

(2)若3c=6,AC=8,求CE,DE的长.

26.(2023•内蒙古通辽•统考中考真题)如图，为。的直径，D,E是。上的两点，延长至点C,

连接CD,ZBDC=ZA.

⑴求证：ACDsDCB；

⑵求证：CD是「O的切线；

3

（3）若tanE=《,AC=10,求。的半径.

27.（2023•广东深圳•统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,B均在格点上，Q4=3,

AB=2,以O为圆心，6M为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题:

①过点A作切线AC,且AC=4（点C在A的上方）;

②连接OC,交于点D;

③连接5。，与AC交于点E.

⑴求证：8。为的切线；

⑵求AE的长度.

28.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知：点尸是（。外一点.

p・•o

⑴尺规作图：如图，过点P作出。的两条切线PE,PF,切点分别为点E、点歹.（保留作图痕迹，不要

求写作法和证明）

⑵在（1）的条件下，若点。在。上（点。不与E,尸两点重合），且/EP尸=30。.求/现产的度数.

29.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，在中，?B90?,A£>平分/BAC交BC于点

D,点E是斜边AC上一点，以AE为直径的，：。经过点。，交A8于点F,连接。尸.

⑴求证：3C是：。的切线；

（2）若3。=5,121144£>3=8，求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.

30.（2023•福建•统考中考真题）如图，已知ABC内接于O,CO的延长线交A3于点。，交于点E,

交］o的切线"于点尸，且Ab〃BC.

⑴求证：AO//BE；

（2）求证：4。平分/B4C.

31.（2023・湖北荆州•统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，DHIAB^H,以D"为直径的O分别交AD,

BD于点E,F,连接E尸.

⑴求证:

①8是。的切线;

②,.DEF"BA；

(2)若A3=5,DB=6,求sinNO歹E.

32.（2023・广西・统考中考真题）如图，尸。平分NAPD,上4与。相切于点A,延长A0交PD于点C,过

点。作垂足为2.

D

⑴求证：PB是。的切线；

（2）若「O的半径为4,OC=5,求上4的长.

33.（2023・湖北黄冈・统考中考真题）如图，45c中，以为直径的。交8C于点。，OE是，。的切线,

且。E4AC,垂足为E,延长C4交，。于点尸.

⑴求证：AB=AC；

(2)若AE=3,DE=6,求A/的长.

34.（2023・湖南郴州•统考中考真题）如图，在（。中，AB是直径，点C是圆上一点.在的延长线上取

一点。，连接8,使NBCD=NA.

（1）求证：直线8是。的切线;

（2）若NACD=120。，CD=2#）,求图中阴影部分的面积（结果用含万的式子表示）.

35.（2023・湖北十堰•统考中考真题）如图，在中，NC=90。,AC=3C,点。在上，以。为圆

心，Q4为半径的半圆分别交ACIC,于点。瓦尸，且点E是弧。厂的中点.

⑴求证：3C是：。的切线;

⑵若CE=0,求图中阴影部分的面积（结果保留"）.

36.（2023•四川内江•统考中考真题）如图，以线段AB为直径作O,交射线AC于点C,4）平分/C4B交

。于点D,过点D作直线DE/AC,交AC的延长线于点E,交A3的延长线于点F.连接80并延长交AC

的延长线于点M.

(1)求证：直线DE是：。的切线；

(2)当N尸=30。时，判断的形状，并说明理由；

⑶在(2)的条件下，ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.

37.(2023・湖北随州•统考中考真题)如图，A3是。的直径，点、E,C在；。上，点C是BE的中点，AE

垂直于过C点的直线。C,垂足为。，48的延长线交直线。C于点足

(1)求证：DC是。的切线；

⑵若AE=2,sinZAFD=1,①求O的半径；②求线段DE的长.

38.(2023.山东枣庄.统考中考真题)如图，AB为;。的直径，点C是人。的中点，过点C做射线的垂

线，垂足为E.

E

⑴求证：CE是:。切线；

（2）若鹿=3,AB=4,求BC的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有无的式子表示）.

39.（2023•山东临沂・统考中考真题）如图，。是,ABC的外接圆，8。是一。的直径，AB=AC,AE//BC,

E为8。的延长线与AE的交点.

---------------

⑴求证：AE是：。的切线；

（2）若NA5C=75。,8c=2,求CO的长.

40.（2023•湖南永州•统考中考真题）如图，以A3为直径的；。是JLBC的外接圆，延长BC到点。.使得

NB4c=/皿4,点E在的延长线上，点AM在线段AC上，CE交BM于N,CE交A8于G.

B

⑴求证：即是；。的切线；

(2)若AC=«,B£>=5,AC>C£>,求BC的长;

(3)若。=求证：BM±CE.

41.(2023•山东烟台•统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,5。相交于点瓦(。经过两点,

交对角线AC于点歹，连接O尸交AD于点G,且AG=GD.

⑴求证：是:。的切线；

(2)已知一O的半径与菱形的边长之比为5:8,求tan/ADB的值.

42.(2023・江苏扬州・统考中考真题)如图，在“1BC中，NACB=90。，点。是AB上一点，且ZBCD=；/A,

点。在2C上，以点。为圆心的圆经过C、D两点.

(1)试判断直线AB与WO的位置关系，并说明理由;

3

(2)若sinB=g,，。的半径为3,求AC的长.

43.(2023•四川乐山•统考中考真题)如图，已知一。是RgABC的外接圆，ZACB=90°,。是圆上一点,

E是。C延长线上一点，连结AD,AE,且AD=AE,CA=CE.

⑴求证：直线AE是：。是的切线；

2

⑵若sinE=§,。的半径为3,求4。的长.

44.(2023•甘肃兰州•统考中考真题)如图，ABC内接于。。，A8是：。的直径，BC=BD，DEIAC^

点、E,DE交BF于点、F,交于点G,ZBOD=2ZF,连接8D.

F

⑴求证：BF是；。的切线；

(2)判断，OGB的形状，并说明理由;

(3)当9=2时，求FG的长.

45.(2023・湖北・统考中考真题)如图，等腰ABC内接于O,AB=AC,是边AC上的中线，过点C作

A3的平行线交80的延长线于点E,BE交＜O于点B，连接AE，C.

⑴求证：AE为：O的切线;

(2)若的半径为5,BC=6,求FC的长.

专题24圆的有关位置关系（45题）

一、单选题

1.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，AB切。于点B,连接Q4交于点C,交于点

D,连接CD,若NOCE>=25。，则/A的度数为（）

A.25°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【分析】如图，连接QB,证明NABO=90。，/003=25。，可得/50。=2/%心=50。，从而可得/4=40。.

【详解】解：如图，连接。8,

切。于点B,

ZABO=90°,

:BD//OA,ZOCD=25°,

/.NCDB=25。,

ZBOC=2ZBDC=50°,

ZA=4O0；

故选：C.

【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性

质是解本题的关键.

2.（2023・重庆•统考中考真题）如图，AC是।。的切线，B为切点,连接。4,OC.若/A=30。，AB=20

BC=3,则0c的长度是（）

c.VBD.6

【答案】C

【分析】根据切线的性质及正切的定义得到08=2,再根据勾股定理得到OC=A.

【详解】解：连接

是。的切线，B为切点，

OBLAC,

VZA=30°,AB=2。

.•.在中，OB=AB-tan/A=2Gx*=2,

;BC=3,

在Rf—OBC中,OC=>JOB2+BC2=屈，

【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键.

3.（2023・重庆•统考中考真题）如图，AB为I。的直径，直线CO与，1。相切于点C,连接AC,若NACD=50。,

则/B4C的度数为（）

B

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】连接OC,先根据圆的切线的性质可得NOCD=90。，从而可得NOC4=40。，再根据等腰三角形的

性质即可得.

【详解】解：如图，连接OC,

「直线与。相切，

:.OCLCD,

..NOCD=90。，

ZACD=50°,

:.ZOCA^40°,

OA=OC,

..ZBAC=NOC4=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.

4.（2023•湖北武汉・统考中考真题）如图，在四边形43co中，AB//CD,AD±AB,以。为圆心，AD为半

4R1

径的弧恰好与BC相切，切点、为E.若而=］，贝”inC的值是（）

【答案】B

【分析】作CF1AB延长线于F点，连接OE,根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求

解在RtADEC和RtABFC,最终得到DE,即可根据正弦函数的定义求解.

【详解】解：如图所示，作延长线于尸点，连接DE,

VADJ.AB,AB//CD,

：.ZFAD=ZADC=ZF=90°,

；•四边形APCP为矩形，AF=DC,AD=FC,

A3为的切线，

由题意，BE为：D的切线，

/.DELBC,AB=BE,

..

'CD~3'

'.^AB=BE=a,CD=3a,CE=x,

贝！］N=AF-AB=CD—AB=2a,BC=BE+CE=a+x,

在RtADEC中，DE2=CD2-CE2=9a2-x2,

在RtABFC中，FC2=BC2-BF2=(a+x)2-(2a)2,

'：DE=DA=FC,

9a2-x2=(a+x)2-(2a)2,

解得：尤=2。或x=-3a（不合题意，舍去）,

CE—2a,

DE=dcD2-CE279a2-4a2=A，

..DE45aA/5

•・sinC==-----=—，

DC3〃3

故选：B.

【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运

用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键.

5.（2023・四川泸州・统考中考真题）如图，在RtZXABC中，NC=90。，点。在斜边上，以为直径的

半圆。与2C相切于点E,与AC相交于点/，连接OE.若AC=8,B（7=6,则OE的长是（）

,.c

A3ODB

A.半B.粤C.|2D8

3

【答案】B

【分析】连接OE,AE,首先根据勾股定理求出Ag=JACZ+BC?=10,然后证明出，5C4s-3EO,利用

相似三角形的性质得到OE=g，BE=§,证明出,DBEs.EBA,利用相似三角形的性质求出。E=、一.

9

【详解】如图所示，连接OE,AE,

A3()DH

VZC=90°,AC=8,BC=6,

：・ABNAC'BC?=10，

・・•以A。为直径的半圆0与5C相切于点E,

：.OE±BC,

ZC=90°,

・•・ZC=ZOEB=90°,

AAC//OE,

ZA=ZEOBf

・・・BCA^BEO,

.OEOBBEOE10-OEBE

••==,BnnJ-=

ACAB68106

・c"_40^10

・・OE——,BE——,

93

1QQ

・・・CE=CB-BE=6——=—,

33

・・・AE=YIAC2+CE2=-Vio,

3

ZOEB=90°,

：.ZOED+ZDEB=90°,

VZODE+AEAD=90°,/ODE=/OED,

:.ZEAD=ZDEB,

又•；ZB=ZB,

:.一DBES'EBA,

10

.DEBEDE

AEAB810

3

.・・解得£>E=与叵.

9

故选：B.

【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识,

解题的关键是熟练掌握以上知识点.

二、填空题

6.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）如图，点A是.。外一点，AB,AC分别与。相切于点8,C,点。

在80c上，已知NA=50°,则/O的度数是.

7J

B

【答案】65°

【分析】连接C。，8。，根据切线的性质得出NACO=NABO=90。，根据四边形内角和得出NCO3=130。,

根据圆周角定理即可求解.

/.ZACO=ZABO=90°,

NA=50。，

Z.COB=360°-90°-90°-50°=130°,

'­"BC=BC，

：.ZD=-ZBOC=65°,

2

故答案为：65°.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求得NCO3=130。是解题的关键.

7.（2023•黑龙江•统考中考真题）如图，48是O的直径，出切一O于点A,PO交1。于点C,连接8C,

若N3=28。，则NP=°.

【分析】首先根据等边对等角得到“=ZOCB=28°,然后利用外角的性质得到ZAOC=ZB+ZOCB=56。,

利用切线的性质得到N。4P=90。,最后利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：：4=28。，OB=OC,

：.ZB=ZOCB=28°,

：.ZAOC=N8+ZOCB=56°,

:以切o于点A,

ZOAP=9Q°,

ZP=180°-ZQ4P-ZAOP=34°.

故答案为：34.

【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌

握以上知识点.

8.（2023・湖南•统考中考真题）如图，AE＞是：。的直径，是。的弦，BC与相切于点3,连接。8,

若ZABC=65。，则-30。的大小为.

【分析】证明NO3C=90。，可得/。&）=90。一65。=25。，结合。2=。4,证明NA=NOA4=25。，再利用

三角形的外角的性质可得答案.

【详解】解：：亦与，。相切于点B,

ZOBC=90°,

•?ZABC=65°,

：.ZOBD=90°-65°=25°,

•.*OB=OA,

：.ZA=ZOBA=25°,

：.ZBOD=2x25°=50°,

故答案为:50°

【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟记基本图形的性质

是解本题的关键.

9.（2023•山东滨州•统考中考真题）如图，分别与G。相切于A,2两点，且NAPB=56。.若点C是O

上异于点A,8的一点，则-ACB的大小为.

A

【答案】62。或118。

【分析】根据切线的性质得到NPAO=NPBO=90。，根据四边形内角和为360。，得出/AO8,然后根据圆

周角定理即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AC,3C,当点C在优弧AB上时，

:PA,PB分别与：O相切于43两点

ZPAO=ZPBO=90°,

,：ZAPB=56°.

：.ZAOB=360°-90°-90°-56°=124°

AB=AB>

：.ZACB=-ZAOB=62°,

2

当点C'在A8上时，

:四边形AC3c是圆内接四边形，

:.ZC=180°-ZC=118°,

故答案为:62°或118°.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆周角定理是解题

的关键.

10.（2023•浙江宁波・统考中考真题）如图，在RtaABC中，ZC=90°,E为48边上一点，以AE为直径的

半圆。与8C相切于点。，连接AD,BE=3,BD=3#.P是A3边上的动点，当"DP为等腰三角形时,

AP的长为_____________

A

B

【答案】2回或6

【分析】连接0。，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出C。的长，勾股定理求出AC和的

长，分篦=4）和AP=PD两种情况进行求解即可.

【详解】解：连接0D,

,/以AE为直径的半圆0与BC相切于点D,

：.OD±BC,OA=OE=OD,

NODB=90。

^OA=OE=OD=r,贝UO3=OE+班=3+r,

在中：OZ)2+=082,即：/+卜&)2=(3+「『，

解得：r-6,

**.OA=OE=OD=6,

OB=9,AB=15,AE=12»

•・•ZC=ZODB=90°,

：.OD//AC,

.OBDB_9_3

**04-DC-6-2y

,/DB=3^/5,

；•CD=2小,

：.BC=DB+CD=5y/5,

AC=yjAB2-BC2=10，

•*-AD=y]AC2+CD2=2同；

•••△4）尸为等腰三角形，

当AD=AP时，AP=25/30,

当R4=P。时，

OA=OD,

•••点尸与点0重合，

/.AP=OA=6,

综上：AP的长为2而或6.

故答案为：2回或6.

【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义.熟练掌握切线的性

质，等腰三角形的定义，确定点尸的位置，是解题的关键.

11.（2023•河南•统考中考真题）如图，F4与匚O相切于点4尸。交，：。于点B,点C在如上，且CB=C4.若

Q4=5,2=12,则C4的长为.

10

【r答案】y

【分析】连接OC,证明4c段,03C,设CB=C4=x,贝I］尸C=X4-C4=12—x,再证明，尸A。-、尸氏:,

列出比例式计算即可.

【详解】如图，连接OC,

•・・出与。相切于点A,

/.NQ4c=90°；

OA=OB

*：\CA=CB,

OC=OC

：.OAC-OBC,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

ZPAO=ZPBC=90°f

ZP=NP,

:.PAOsPBC,

.POAO

**PC-BC?

V0A=5,PA=12,

•**PO=V52+122=13,

设C6=C4=尤，贝!JPC=Q4—C4=12—九，

.13_5

12-xx'

解得X=g,

故C4的长为g,

故答案为：—.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练

掌握性质是解题的关键.

12.（2023・湖北•统考中考真题）如图，在二ABC中，ZACB=70°,AABC的内切圆O与AB,3c分别相切

于点。，E,连接DE,49的延长线交DE于点F,则NAFD=.

【答案】35°

【分析】如图所示，连接OE,OD,OB,设03、DE交于H,由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出

ZAOB=125°,再由切线长定理得到3。=5E,进而推出08是OE的垂直平分线，即NOHF=90。，贝ij

ZAFD=NAOH-ZOHF=35°.

【详解】解：如图所示，连接OE,OD,OB,设ORDE交于H,

,/。是“WC的内切圆，

。4、08分别是NC4B、NCBA的角平分线，

：.ZOAB=-ZCAB,Z0BA=-ZCBA,

22

ZACB=70°,

ZCAB+NCBA=180°-ZACB=110°,

：.ZOAB+ZOBA=-ZCBA+-ZCAB=55°,

22

ZAOB=180°-ZOAB-ZOBA=125°,

,/。与Afi,3c分别相切于点O,E,

BD=BE,

又,:OD=OE,

.••05是OE的垂直平分线，

AOBIDE,即NO毋'=90。，

ZAFD=ZAOH-NOHF=35°,

故答案为：35°.

【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角

形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

13.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，NACB=90。,AC=8,3C=6.以点C为圆心，r为

半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为.

【分析】根据勾股定理，得"=反行=10,根据切线的性质，得到圆的半径等于AB边上的高，根据直

角三角形的面积不变性计算即可.

【详解】•/ZACB=90°,AC=8,BC=6,

二=J1+62=10,

根据切线的性质，得到圆的半径等于A3边上的高，

：.~ABxr=-ACxBC,

22

..r=-A-C-Y.-B-C=-8-x6=—24,

AB105

24

故答案为：y.

【点睛】本题考查了勾股定理，切线的性质，熟练掌握勾股定理，切线的性质是解题的关键.

14.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点民C3为A的直径，点C

在函数y=£（左>0,x>0）的图象上，。为y轴上一点，.ACD的面积为6,则％的值为.

X

【答案】24

【分析】设则kOB=",AC=K1k

,则AC==BC=二，根据三角形的面积公式得出

aa22a

SACD^ACOB=6,列出方程求解即可.

【详解】解：设C（a,&

1a

•••/与X轴相切于点B,

BC_Lx轴,

k

：.OB=aAC=~,则点。到5c的距离为〃,

9a

为「A的直径,

1k

：.AC=-BC=—,

22a

1kk6

,,s一♦a---

ACD2la

解得：々=24,

故答案为：24.

【点睛】本题主要考查了切线的性质,反比例函数的图象和性质，解题的关键掌握切线的定义：经过半径

外端且垂直于半径的直线是圆的切线,以及反比例函数图象上点的坐标特征.

15.（2023・四川・统考中考真题）如图,ZACB=45°,半径为2的：O与角的两边相切，点尸是。。上任意

一点，过点尸向角的两边作垂线，垂足分别为E,F,设t=PE+及PF，则f的取值范围是

【答案】2应+4

【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得CO=OH=26+2,再求得，=PE+PQ=EQ,

分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：设。与NACB两边的切点分别为。、G,连接OG、OD,延长。。交C3于点H,

A

,：NACB=45。，

ZOWC=45°,

•*-OH=42OG=20，

­•CD=DH=2y[2+2,

如图，延长EP交CB于点。,

同理尸Q=拒尸尸，

t=PE+y/2PF，

t=PE+PQ=EQ,

当E。与。相切时，EQ有最大或最小值,

连接。尸，

；£）、E都是切点，

NODE=NDEP=ZOPE=90°,

四边形ODEP是矩形，

,/OD=OP,

.••四边形ODEP是正方形，

.•"的最大值为EQ=CE=CD+DE=20+4；

如图,

A

同理，f的最小值为石。=比=。）-。£=20；

综上，/的取值范围是2&W/W20+4.

故答案为：2V2<r<2V2+4.

【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得f=EQ是解题的关键.

16.（2023・湖南岳阳•统考中考真题）如图，在二。中，A3为直径，BD为弦,点C为的中点，以点C为

切点的切线与AB的延长线交于点E.

（1）若44=30。,帅=6,则BC的长是（结果保留万）;

什CF

(2)__

AFr则笔

【答案】2兀;

2

【分析】（1）连接OCOD,根据点C为go的中点，根据已知条件得出N3OD=120。，然后根据弧长公式

即可求解;

（2）连接OC,根据垂径定理的推论得出OC,3。，EC是O的切线，则得出石。〃3。，根据

FR1

平行线分线段成比例得出:设砂=2*则AB=6匹勾股定理求得£C,J进而即可求解.

ADJ

【详解】解：（1）如图，连接。C,O£»,

EC

D

•・•点C为BQ的中点，

•**BC=CD，

又・.・ZA=30。，

・•・ZBOC=/COD=2ZA=60°,

ZBOD=120°f

9

：AB=6f

：.OB=-AB=3,

2

・7120cc

••/=-------X7TX3=271,

BD180

故答案为：2兀.

(2)解：如图，连接。C,

丁点C为80的中点，

***BC=CD，

：.OCLBD,

•「EC是。的切线,

:.OCtEC,

：.EC//BD

.CFEB

**AF-AB，

..CF_1

・AF~3"

.EB

••=一，

AB3

设EB=2a,贝1]AB=6a,BO—3a,EO—EB+BO=5a,

,"EC=VEO1—CO1=,5?-3?a=4a，=2a+6。=8a，

.CE4a1

AE8a2'

故答案为：g.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，

综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

17.（2023・上海・统考中考真题）在，ABC中A8=7,BC=3,NC=90。，点。在边AC上，点E在C4延长线

上，且CD=DE,如果8过点A,石过点。，若<8与<E有公共点，那么，一石半径厂的取值范围是.

【答案】710<r<2^

【分析】先画出图形，连接BE,利用勾股定理可得跖=59+4/，AC=2A/10,从而可得

再根据3与史有公共点可得一个关于「的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得.

【详解】解：由题意画出图形如下：连接BE,

立过点A,且AB=7,

，e3的半径为7,

近过点O,它的半径为人且CD=DE,

CE=CD+DE=2r,

BC=3,ZC=90°,

BE=^BC2+CE2=,9+4,，AC=^A^-BC2=2>/10，

£»在边AC上，点E在C4延长线上，

CD<ACr<2y/lQ

，即

CE>AC2r>2M'

V10<r<2M,

B与E有公共点，

79+4r2<7+r®

:.AB-DE<BE<AB+DE,即1.______

7-r<V9+4r(2)

不等式①可化为3,-14—40WO,

20

角星方程3户一14r-40=0得：厂=—2或『=可，

画出函数y=3/-14r-40的大致图象如下：

由函数图象可知，当好。时，-2工厂4至，

20

即不等式①的解集为-2<r<y,

20

同理可得：不等式②的解集为厂22或r4-石,

则不等式组的解集为24r4半20，

又•.V10<r<2A/10,

半径厂的取值范围是痴<"2jQ,

故答案为：2M.

【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立

不等式组是解题关键.

三、解答题

18.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）如图，48是（。的直径，C是，：O上一点，过点C作O的切线CD,

交A3的延长线于点。，过点A作AE_LCD于点E.

（1）若NE4c=25。，求，ACD的度数.

（2）若03=2,30=1,求CE的长.

【答案】（1）115。

Q）CE=|正

【分析】（1）根据三角形的外角的性质，NACD=NAEC+NE4c即可求解.

（2）根据8是。的切线，可得NOCD=90。，在RtAOCD中，勾股定理求得8=百，根据OC〃AE,

可得品=%，进而即可求解•

CEOA

【详解】（1）解：・・・AE，CD于点E,

：.ZAEC=90°,

：.ZACD=ZAEC+ZEAC=90°+25°=115°.

（2）・・・CD是1。的切线，0C是的半径,

NOCD=90。.

在RtZkOCD中，

OC=OB=2,OD=OB+BD=3,

・•・CD=doif-OC2=6•

/OCD=ZAEC=90。,

：.OC//AE

.CD_OD非3

・・------=-------,UN------二—,

CEOACE2

CE=2道.

3

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

19.（2023•湖南张家界•统考中考真题）如图，。是，ABC的外接圆，AD是。的直径，下是AD延长线

上一点，连接CD,CF,S.ZDCF^ZCAD.

3

（2）若直径AD=10,cos5=《，求尸。的长.

【答案】（1）详见解析

90

⑵了

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；

（2）根据已知条件可知.FCESFAC,再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关系即可求得线段

ED的长度.

【详解】（1）证明：连接OC,

'/4£＞是［。的直径，

ZACD=90°,

ZADC+ZC4D=90°,

又.：OC=OD,

：.ZADC=/OCD,

又•：/DCF=/CAD,

：.NDCF+NOCD=9。。,

即OC,bC,

・・・/。是「0的切线；

3

（2）解：VZB=ZADC,cosB=~,

3

cos/ADC=—,

3CD

,**在RtACD中，cosZ.ADC———----,AD=10,

一5AD

3

CD=ADcosNAOC=10xg=6,

；•AC=[AD。-CD。=8,

,CD_3

"AC"4'

■:NFCD=NFAC,NF=NF,

：FCD^：FAC,

.CDFCFD3

"~AC~7A~~FC~4,

设阳=3x,贝URC=4x,AF=3x+W,

又,；FC?=FDFA,

即（4x）2=3x（3x+10）,

30

解得了=亍（取正值），

Z.FD=3x=—,

7

【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和判定，找出正切

的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键.

20.（2023・江西・统考中考真题）如图，在ABC中，AB=4,ZC=64°,以AB为直径的。与AC相交于

点，E为ABD上■一点，J!LZAZ>E=40O.

⑴求BE的长；

⑵若NK4D=76。，求证：CB为t。的切线.

【答案】⑴?万

(2)见解析

【分析】(1)如图所示，连接。E,先求出OE=O3=OA=2,再由圆周角定理得到NAOE=2/AZ)E=80。,

进而求出N80E=100。，再根据弧长公式进行求解即可；

(2)如图所示，连接3。，先由三角形内角和定理得到NAED=64。，则由圆周角定理可得

ZABD=ZAED=M0,再由A5是。的直径，得至UNAaB=90。，进而求出440=26。，进一步推出

ZABC=90°,由此即可证明5C是：。的切线.

【详解】(1)解：如图所示，连接。£,

•・・A8是O的直径，且AB=4,

OE=OB=OA=2,

:E为A5O上一点，且N4D石=40。，

NAOE=2ZADE=80°,

・•・ZBOE=180°-ZAOE=100°,

(2)证明：如图所示，连接5£),

,/ZEAD=76°,