2024-2025高一数学下册第一次月考解答题压轴题（十六大题型）原卷版

2024-2025学年高一下学期第一次月考解答题压轴题十六大题型专练

【人教A版（2019）］

题型1向量线性运算的几何应用

1.（23-24高一下•河南周口•阶段练习）如图，在梯形力BCD中，|而|=2,zCOX=pCB=^DA,E为AB

的中点，DP=ADC(A^0).

⑴若无=洒+次，试确定点P在线段DC上的位置;

⑵若|反|=t,当4为何值时，|而|最小?

2.（24-25高一・全国•课堂例题）如图，四边形/BCD是平行四边形，E,尸分别是NO,OC的中点，BE,

AF分别交/C于M,N.求证：M,N三等分NC.

3.（24-25高一・全国•随堂练习）如图，点。是△ABC中2c边的中点，AB=a,AC=b.

A

(1)试用五3表示AD；

⑵若点G是△ABC的重心，能否用出另表示E?

⑶若点G是△2BC的重心，求福+9+次.

4.(24-25高一上•辽宁葫芦岛•期末)平面内给定三个向量B=(2,2)3=(几+1,4),2=(k,3),且0+2工)11

(b—a).

⑴求实数《关于〃的表达式；

(2)如图，在△Q4B4J,G为中线(W上一点，且而=2而，过点G的直线与边。/,。2分别交于点尸，Q

(2(2不与。重合).设向量赤=(卜+3)耐,丽=根而，求m+2n的最小值.

题型2向量的数量积问题

5.(23-24高一・上海•课堂例题)设向量入3满足同=4,同=5,忖+同=&L分别求下列各式的值:

(1)3-b；

(2)(2a-d)-(a+3fe).

6.（23-24高一下•山东临沂・期中）6知向量获满足|司=3,同=6,（5苍一4励・（2五+君）=一81.

（1）求向量H与右的夹角；

（2）若向量五在加方向上的投影向量为工，求工-0+励的值.

7.（23-24高一下•广东惠州•期末）在△力BC中，已知BC=3,4c=4,点P为线段BC中点，AQ=^AB,

设CB=a,CA-b.

（1）用向量出石表示诙；

（2）若乙4cB=90。，求Q•衣.

8.（23-24高一下•上海•期末）在△ABC中，|万|=3,|而|=4/B4C=60。，平面上的点D,E满足标=：

AB，AE=^AC,动点P在线段DE上（不含端点）.

（1）设丽=人屁（0＜卜＜1）,用含有k,而，族的式子表示而；

(2)TSAP=xAB+yAC,求!+：的最小值;

(3)求方•玩的最小值.

题型3向量的夹角(夹角的余弦值)问题

9.(23-24高一下•上海宝山•阶段练习)已知同=VI/|=3,且汇与加的夹角为45。,

⑴求23+另与-3五+2石的夹角；

(2)若向量方+屈与"+3的夹角是锐角，求实数k的取值范围.

10.(23-24高一下•广东广州•期中)已知向量不与9的夹角8=夸，且同=3,同=2.

⑴求B+M；

(2)刃在五上的投影向量；

(3)求向量值与2+3夹角的余弦值.

11.(23-24高一下•浙江杭州•期中)在aABC中，点P在边力C上，PC=2AP,\AB\=2,|BC|=3,

AABC=60°.

⑴求丽的模；

(2)求向量瓦?与前夹角的余弦值；

(3)若点M在边4B上，求而•前的范围.

12.（23-24高一下•贵州贵阳•阶段练习）设两个向量五3满足⑷=1,同=2.

⑴若（2元+励♦0%）=-3,求五与右的夹角。；

（2）若五3的夹角为（1）中的仇向量①+石与23+扇的夹角为锐角，求实数t的取值范围.

题型4A平面向量基本定理的应用

13.（23-24高一下•山东•期中）如图，在△ABC中，已知力8=2,AC=3,ABAC=60°,N是AC的中点,

前=|灰，设4M与BN相交于点尸.

(1)求cos/MPN的值；

(2)若CP=xAB-\-yAC,求X+y的值.

14.（23・24高一下•山东威海•期末）如图，在直角梯形/BCD中，AB//CD,ADLAB,AD=2®CD=2,

AB=4,F为8C的中点，点E满足尻=4瓦，Ae[0,1].

DEC

⑴用荏与前表示Q；

(2)求荏•赤的取值范围;

⑶若点G为△4EF的重心，是否存在九使得4C,G三点共线？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理

由.

15.(23-24高一下•安徽蚌埠•期末)如图，在口4BCD中，E,”分别是N。，8C的中点，AF=2FB,G

为DF与BE的交点.

(1)记向量同=①AD=b,试以向量五3为基底表示战，DF；

(2)^AC—mBE+nDF,求加，"的值；

(3)求证：A,G,"三点共线.

16.(23-24高一下•河南•阶段练习)如图，在直角梯形力BCD中，丽=3而，反=5瓦1BC,BE与4C交

于点F,点M在线段2D上.

⑴用瓦袜口说表示丽，族；

(2)设丽=2前，求4的值；

⑶设丽=花？+丫丽，证明：xy<^.

题型5平面向量线性运算的坐标表示

17.(23-24高一下,江西,阶段练习)已知向量。4=(—3,1),OB=(1,—1),OC=(m,4),00=(x,y)(m,x,yGR).

(1)若4B,C三点共线，求小的值;

(2)若四边形48CD为矩形，求2x+y的值.

18.(23-24高一下•北京通州•期末)已知向量方=(-1,0),6=(2,-1).

(1)求同+2亩；

(2)若同=2+5，BC^2a-b,CD-a,求证：A,C,。三点共线.

19.(23-24高一下•重庆•期中)已知而，否是平面内两个不共线的向量，若屈=无-专，丽=2玩+2专,

所=五+专，且2、P、C三点共线.

(1)求实数4的值；

(2)若无=(1,0),专=(0,1).

(i)求丽；

(ii)若D(—2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形4BCD,求点力的坐标.

20.(24-25高一下•天津和平•阶段练习)已知三点/(2,3),B(5,4),C(7,10),点尸满足而=万+2

AC(aeR)

(1)当4为何值时，点尸在函数y=x的图象上？

(2)若点尸在第三象限，求实数九的取值范围.

(3)若0在直线3c上且|万司=4丽求点。的坐标.

题型6向量共线、垂直的坐标表示

21.(23-24高一下,安徽六安•期末)已知向量五=(1,2)3=(一2,3)1=(-2,m).

(1)若21(3+2),求「|；

⑵若茄+3与22-刃共线，求k的值.

22.⑵-24高一下•江苏无锡•阶段练习)已知向量五二(3,2)%=(%-1).

(1)当(五+2石)1(2五一3)且%>0时，求-同;

(2)当"=(-8,-1)411(2+c),求向量3与9的夹角仇.

23.(23-24高一下•云南楚雄•期末)已知平面向量2区2满足2=(3,4)3=(尢一8),©=4.

(1)若0/反求2的值；

(2)若(2江+c)1(a+10c),求向量方与工夹角的大小.

24.(23-24高一下•四川雅安•期末)已知向量五=(1,一2),3=(3,2).

⑴若"一23与22+9垂直，求实数上的值；

(2)已知。，A,B,C为平面内四点，且61=2+2反OB=3a+b,OC=(3m,-2m).若4,B,C三点共

线，求实数〃？的值.

题型7用向量解决夹角、线段的长度问题

25.(23-24高三上•河南新乡•阶段练习)如图，在aABC中，已知4B=2,AC=5,/.BAC60°,BC,AC

边上的两条中线AM,BN相交于点尸，

(1)求|PN|；

(2)求NMPN的正弦直

26.（23-24高一下•广东广州•期中）如图，在△4BC中,4B=3,AC=2/BAC=初是8。边的中点，CE1AB,AD

与CE交于点E

⑴求CE和4D的长度;

⑵求cosNCFO.

27.（23-24高一下•广西河池•阶段练习）如图，在△ABC中，已知48=2/C=5/B4C=60°,BC/C边上的

两条中线/〃，2N相交于点P.

⑴求的长度；

⑵求乙MPB的正弦值.

28.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）如图，正方形N2CD中，E是N5的中点，尸是2c边上靠近点B的

三等分点，AF与DE交于点、M.

DC

⑵求乙4ME的余弦值;

(3)求DM：ME和AM：MF.

题型8向量与几何最值（范围）问题3

29.（23-24高一下•江西九江•期末）已知四边形N8CD是边长为2的菱形，/-ABC=p尸为平面/BCD内

一点，NC与AP相交于点0.

（1）若行=而，AQ=xBA+yBC,求x,y的值;

（2）求（而+PB）•丽最小值.

30.（23-24高一下•湖北武汉•期中）如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形，其中正六边

形边长为2.

GB

HA

(1)设而=%荏+丫万，求x—y的值；

(2)若点P在。。边上运动(包括端点)，则求|而+2*+前|的最大值.

31.(24-25高三上•河南•阶段练习)在边长为2的等边A42C中，。为3c边上一点，且丽=2比.

⑴若尸为人42。内一点(不包含边界)，且尸3=1,求丽的取值范围；

⑵若40上一点K满足加=2衣，过K作直线分别交48,/C于"，N两点，设彳标=x屈，AN=yAC,

UW的面积为Si，四边形BCW的面积为S2，且S2=kSi，求实数人的最大值.

32.(23-24高一下•江苏苏州•期中)在锐角△ABC中，cosB#,点。为△ABC的外心.

(1)若前=万丽+丫而，求x+y的最大值；

(2)若6=V2,

(i)求证：OB+sin271-OA-cos2A-OC=0；

(ii)求|3赤+2D1+瓦|的取值范围.

题型9X三角形(四边形)的面积问题

33.（23-24高一下•江西宜春•期末）在△ABC中，。为BC上一点，AD=CD,BA=7,BC=8.

（1）若B=60。，求△4BC外接圆的半径R；

（2）若sin/BAD=誓，NBAD为锐角，求△ABC面积.

34.（23-24高一下•江苏无锡•阶段练习）在四边形4BCD中，AB//CD.AD-sinzXDC=2CD-sm^ABC.

⑴求证：BC=2CD.

（2）若4B=3CD=3,且NBDC=60。，求四边形48CD的面积.

35.（23-24高一下•江苏南京•期中）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点4处设立一个空气监测中

心（大小忽略不计），在点B处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。处，再分别安装一

套监测设备，且满足=2km,BC=且△ZCD为正三角形.

B

AC

D

⑴若=求△4BD面积；

(2)设乙48C=a,试用a表示△48。的面积，并求最大值.

36.(23-24高一下•天津•期中)△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知c=l.

(1)若C=]△4BC的周长等于3,求a,6；

A-i-C

(2)若△28C为锐角三角形，且sin^=sin(A+C)；

①求B；

②求△ABC面积的取值范围.

题型10求三角形中的边长或周长的最值或范围

37.(23-24高一下•重庆•期末)在锐角△ABC中，a,6,c分别为内角4B,C的对边，已知2a—c=26cosC,

(1)求B的大小;

⑵求詈的取值范围.

38.(24-25高一下•江苏苏州•阶段练习)在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,6,c,若c=2,N84C的角平

分线4。交BC于点D.

(1)若b=1/B2C=6O°,求4。的长度；

(2)若aaBC为锐角三角形，且等=1+翳，乙4BC的角平分线BE交ZC于点E,且与4D交于点O,^AAOB

周长的取值范围.

39.(23-24高一下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知△4BC的内角/,B,C所对边分别为a,b,c,V3sinX+

cos/=1.

(1)求角/;

⑵若a?=36c,求cos(B-C)的值；

(3)若3b+c=V3(3sinB+sinC),求b+c的取值范围.

40.(23-24高一下•北京大兴•期末)记△ABC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinA=gacos

B.

⑴求NB；

(2)若b=V3.

(i)再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△4BC

的面积.

条件①：a=V6；条件②：a=2c；条件③：sinC=g.

(ii)求△ABC周长的取值范围.

题型n证明三角形中的恒等式或不等式

41.(23-24高二下・湖北咸宁•期末)在△ABC中，角4B,C的对边为a,b,c,己知4=2B,且b片c.

(1)若2a=36,求sinA；

(2)证明：Ib+c

42.(23-24高一下•江苏盐城•期末)在A48C中，角N,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=2R

(1)若sinB=：,求sinA的值；

(2)若a>c,求证：|<|<A.(参考数据：4=2si哈=丹匚=0.618)

43.(23-24高一下•安徽•期中)已知锐角△ABC,a,b,c分别为角的对边，^a2+c2-b2=2bc

(1+cosX).

⑴求证：4=2B；

(2)求g的取值范围.

44.(23-24高一下•河南•期中)在A42C中，内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,三角形面积为S,

若。为NC边上一点，满足4B1BD,BD=2,且a?=-竽S+abcosC.

(1)求角B；

(2)证明：-+-=V3；

.71—

(3)求而+而的取值范围.

题型12解三角形与三角函数综合

45.(23-24高一下•甘肃白银•期末)已知/(无)=sinxcosx-V^cos?%+李

⑴求f(x)在［。』上的单调递增区间；

(2)已知锐角八45。的内角/,B,C的对边长分别是a,b,c,若f(C)=0,c=2,求八42。的面积的最大

值.

46.(23-24高一下•四川巴中•期末)已知函数f(x)=2sin@久+卬)(3>0,-^<<p<的部分图象如图所示.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)在锐角aABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若f(4)=g,b=2,且aaBC的面积为尊,

求a.

47.(23-24高一下•湖北武汉•期中)已知函数/(%)=Asin®%+9)(人>0,0<co<6,\(p\<的最大值是4,

函数/⑴图象的一条对称轴是X=今一个对称中心是像,0)•

⑴求/1(X)的解析式;

(2)已知△BCD中，B是锐角，且/偿)=2,CD边长为3,求△BC。的面积的最大值.

48.(23-24高一下•四川成都•期中)已知.=1,2巡),b=(sin2x-cos2x,sinxcosx),函数/'(久)=方不.

(1)求函数f(x)的解析式及对称中心；

(2)若+9=-竽，求cosa+cos(a_g的值；

(3)在锐角aABC中，角N,B,C分别为a,b,c三边所对的角，若b=®=求△ABC周长的取

值范围.

题型13复数的模的几何意义

2

49.（24-25高一下•全国•课后作业）已知复数zi=2+i,z2=|可+（Z?+3b-3）i；

（1）若zi=Z2，求实数a力的值；

（2）若复数z=x+yi（x,yeR）,且满足|z-Zi|=1,求复数z在复平面内所对应的点（x,y）到（一2,4）的距离的

最大值.

50.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知|z|=2,求|z-l-i|的最大值与最小直

51.（24-25高一•全国•单元测试）已知复数z满足|z+2-2“=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

（1）确定点M的集合构成图形的形状；

⑵求|z-1+2”的最大值和最小值.

52.（23-24高一下•广东东莞•期末）设复数z=x+yi,zo=xo+yoi.记复数z与z0分别对应复平面内的点

Z（x,y）和Zo（x（）,yo）.

（1）根据复数及其运算的几何意义，求Z和Z。两点间的距离；

（2）已知|z-z0|=r（r为正实数）表示动点Z的集合是以点Z°为圆心，r为半径的圆.那么满足条件1W|z-

(1+i)|<3的点Z的集合是什么图形？并求出该图形的面积.

题型14根据复数的四则运算结果求复数特征

53.(23-24高一下•山东聊城•期中)已知复数zi，Z2在复平面上对应的点分别为(0,-2),(3,4).

(1)若z=f^,求z的共辗复数；

(2)若复数zi+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.

54.(23-24高一下•贵州•期中)已知复数z的共辗复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足z-2=6

tz-z=25,

(1)求复数Z；

(2)求复数z+含的模长.

55.(23-24高一下•上海金山•阶段练习)已知复数21=。+组/2=4+39为虚数单位，其中a是实数.

(1)若言是实数，求a的值；

(2)若复数zi及在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围.

56.(23-24高一下•山东淄博•期中)已知z是复数，z-i为实数，名为纯虚数(i为虚数单位).

⑴求复数z；

(2)求备i的模；

1

(3)设meR,zx=m+1+z,若复数在在复平面内对应的点位于第三象限，求百的取值范围.

题型15复数范围内方程的根的问题

57.(23-24高一下•上海•期末)设i是虚数单位，mkeR.a。是关于x的方程/一(2+mi)x+k=0的两根,

且满足|a|+|/?|=3.

(1)若a=2+V^i,求m与k的值；

(2)若m=0,求k的值.

58.(23-24高一下•上海闵行•期末)已知关于x的实系数一元二次方程/-3ax-3a=O(a€R)有一对共轨

虚根久1，x2.

(1)当a=时，求共朝虚根久1和知

⑵若.1-乂2|=V3,求实数a的值.

59.(23-24高一下•上海一阶段练习)已知关于x的方程/+px+q=O(p,qeR),其中i为虚数单位.

(1)设p=L若方程至少有一个模为1的根，求q的值；

(2)设q=l,虚数z+1是方程的一个虚根，在复平面上，设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为

N,求|MN|的取值范围.

60.(24-25高一上•上海•课堂例题)已知关于x的方程%2+%+m=0(meR)的两根为a、工求实数加

的值.

⑴若|a-夕1=3,求才的值;

⑵若|。|+网=3,求加的值.

题型16R复数等合

61.(23-24高一下•陕西西安一阶段练习)对任意复数z=久+yi(x,y€R),定义g(z)=3x(cosy+isiny).

(1)若g(z)=3,求相应的复数z；

(2)若z=a+M(a,beR)中的a为常数，则令g(z)=f(b),对任意b,是否一定有常数小(小丰0)使得f(b+m)

=/(b)?这样的m是否唯一？说明理由.

(3)计算g(2+：i),g(—1+个