2024-2025高一数学下册期中复习题（常考100题20类题型专练）解析版

2024-2025学年高一下学期期中复习真题精选（常考100题20类题型

专练）

【人教A版（2019）］

平面向量的概念（共5小题）一

1.（23-24高一下•福建福州•期中）下列说法正确的是（）

A.若两个非零向量同，方共线，则必在同一直线上

B.若H与石共线，石与2共线，贝匹与"也共线

C.若闷=扬|则五=b

D.若非零向量同与方是共线向量，则它们的夹角是0°或180。

【解题思路】根据共线向量的概念即可判断A,B,D;根据相等向量的概念可以判断C.

【解答过程】方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，因此D正确；

—>—>

若非零向量4B,CD是共线向量，贝!M,BCD未必在同一直线上，A错；

若b=0,贝Ija与b共线，b与c共线，但是a与c未必共线，B错；

由|a|=网可以得到a力的大小相等，但方向不一定相同，C错.

故选：D.

2.（23-24高一下•天津河北•期中）下列说法中，正确的是（）

A.若同=1,则方=±1B.若6=瓦贝皈I仿

c.若同=|同且由区，贝嗫=/5D.若成6,则同=o

【解题思路】对于A：根据向量与数量的定义分析判断；对于B：根据向量相等和向量共线分析判断；对于

C：举反例说明即可；对于D：根据零向量和向量共线分析判断.

【解答过程】对于选项A：因为五为向量，±1均为数量，故A错误；

对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知豆=反即有山区，故B正确；

对于选项c：例如五=一刃力6,满足同=|同且而反但五力石，故c错误；

对于选项D：由零向量可知：对任意乙均有由同，即同=0不一定成立，故D错误；

故选：B.

3.（23-24高一下•江苏无锡•期中）下列说法错误的是（）

A.向量而与向量而是共线向量，则点/,B,C,。必在同一条直线上

TTT

B.若7na=0jnER,则m=0或2=0

C.若向量荏,而满足I荏I＞|丽|,且乐与而同向，则屈＞而

D.向量H与石色彳6）共线的充要条件是：存在唯一的实数九使五=万

【解题思路】由平面向量共线以及共线定理可判断A错误，D正确，再由数乘运算可得B正确，因为平面

向量不能比较大小，可知C错误.

【解答过程】对于A,向量四与向量而是共线向量，贝必B,CD可能平行，因此4B,C,D不一定在同一条直线

上，即A错误；

对于B,若ma=0,nieR,则m=0或方=6,即B正确；

对于C,向量不能比较大小，因此9＞而错误，即C错误；

对于D,由平面向量的共线定理可知D正确.

故选：AC.

4.（23-24高一下•广东广州•期中）已知五3为两个不共线的非零向量，若4+石与反-2石共线，则左的值为

1

【解题思路】根据共线向量满足的性质求解即可.

【解答过程】由题意若雨+3与a—21共线，贝收2+办=20—2@,4eR,

贝收五+B=而一2泥，因为五%为两个不共线的非零向量，故k=尢1=-24,

解得k=

故答案为：-今

5.（23-24高一下•福建泉州•期中）已知边长为3的等边三角形ABC,求BC边上的中线向量而的模|前

【解题思路】根据正三角形的性质，求得BC边上的中线长，即可求解.

【解答过程】如图所示，因为△力BC是正三角形，所以BC边上的中线向量前的模就是三角形的高，

即：小2_（|）2=苧,所以BC边上的中线向量诟的模|而|为竽.

题型23平面向量的线性运算（共5小题）

1.（23-24高一下•湖北武汉•期中）已知等腰梯形4BCD中，AB//CD,AB=2DC=2AD=2,E为3c的中

点，则前=（）

A.+（ZCB.|D5+|^4C

C.癖+冠D.一海+加

【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解.

【解答过程】因为胡=DB-DA=DB-（DC+C2）=~DB-DC-CA=~DB-^AB-CA,

所以辆=而一乙?，即四=|而+|尼，

又BC的中点为E,

所以前=^（AC-AB）=袋片（|南+|XC）=+次，

故选：D.

DC

E

-------------------»B

2.（23-24高一下•广东深圳•期中）已知向量无，专是平面上两个不共线的单位向量，且荏=玩+2就

品=一3瓦+2专，DA=3eT-6eJ,贝!］（）

A.4B、C三点共线B.4B、。三点共线

C.力、C、D三点共线D.B、C、。三点共线

【解题思路】结合向量的线性运算，逐项判断向量共线得解.

【解答过程】对A,因为白力夕贝必、B、C三点不共线，故A错误；

—5Z

对B,因为亚等，则小B、D三点不共线，故B错误；

3—6

对C,因为羽=9+丽=方+2*+（-3万+2专）=—2瓦+4无=一冠，贝必、C、。三点共线，则C正

确；

对D,DB=DA+AB=4e^-4e^,因为r不二，则8、C、D三点不共线.

4—4

故选：C.

3.（23-24高一下•福建泉州•期中）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是

一个非常有趣、优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系（在如图所示的正五角星中，多边形4BCDE

PT_V5-1

为正五边形,~0.618).贝U()

AP2

B.~ES-RQ^PA

D

C.AT+RS=-而节=号西

【解题思路】利用正五角星的结构特征，结合向量的线性运算，逐项计算判断即可.

【解答过程】对于A,CQ+TP=PA+TP^TA=DS,A正确;

对于B,ES-RQ=R^-RQ=QC=-PA,B错误;

对于C,AT+RS=SD+RS=RD=^rQR=^^QR,C错误；

|RS|2

对于D,~BP-TS=TE-TS=SE=^RS=^^RS,D正确.

|ST|2

故选：AD.

4.(23-24高一下•四川成都・期中)设五，区是两个不共线向量，~AB=2aBC=a+b,CD=a-2b.若

A,C,。三点共线，则实数4=-7.

【解题思路】求出前=32+(4+1)加设前=小而，得到方程组，得到％=-7.

【解答过程】NC—AB+BC=2a+4b+方+b=33+(A+l)b,

A,C,Z)三点共线，设/C=znCO,则33+(2+1)石=m方一2?n反

故m=3,4+1=-2m,解得4=—6—1=-7.

故答案为：-7.

5.(23-24高一下•黑龙江鸡西•期中)计算：

(1)(-3)x4a；

(2)3(。+b)—2(a—b)—CL；

(3)(2a+3力—c)—(3d—2b+c)；

(4诲-而一反；

(5)而+QP+M7V-MP.

【解题思路】(1)根据向量的数乘运算求解；

(2)根据向量的数乘和加减法运算律求解即可；

(3)根据向量的数乘和加减法运算律求解即可；

(4)(5)根据向量的加减法法则求解即可.

—>—>

【解答过程】(15(-3)x4a=-12a；

(2)3(a+b)-2(a—b)—CL=3a+3b—2a+2b-CL=5b；

(3)(2a+36—c)—(3a—26+c)=2a+3h—c—3a+2b—c

=­a+5Z)—2c；

(4)AB-AD-DC=DB-'DC=CB；

(5)NQ+QP+'MN-MP=1VP+(W-MP)

=/+丽=6.

题型3平面向量的数量积(共5小题)

I.（23-24高一下•北京通州•期中）已知五b,才是三个非零平面向量，则下列叙述正确的是（）

A.若同=|瓦，则五=±BB.若恒+山=|2—瓦，则五

C.b=ac,则】=1D.若五〃3,则五■刃=|司正|

【解题思路】利用向量的模、数量积的运算律及共线向量直接判断各个选项即可.

【解答过程】对于A,同=।瓦，而不与石的方向不确定，不一定有方=±aA错误；

对于B,由||+君尸|五一b|,得五2+2五•1+针=-2—23,1+铲,gpab=0,则313,B正确；

对于C,a-b=a-c^fb—c'）-a=0,当@—2）13时，石中不也成立，C错误；

对于D,a//b,当五与刃的方向相反时,a-b=-\a\\b\,D错误.

故选：B.

2.（23-24高一下•山东临沂・期中）如图，圆M为△48C的外接圆，AB=3/C=5,N为边BC的中点，则

AN-AM=（）

【解题思路】由三角形中线性质可知而=*屈+而），再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知|福|

COSNB4M=3丽同理可得|前ICOSNSM，而，再由数量积运算即可得解.

【解答过程】因为N是BC中点，

AN=1（AB+AC）,

因为“为△ABC的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，

：.AM-AB=\AM\\AB\cos^BAM=||XF|2=1x32=1,

同理可得前.前=g函『=与，

■.AM-AN=AM■+AC）=^AM-AB+^AM-^C=|x|+|xy=y.

故选：D.

3.（23-24高一下•河南洛阳・期中）关于平面向量，下列说法正确的是（）

A.若五・1=五•工,则石=工

一TTTITI一

B.两个非零向量乙b,若。一6=a+也卜则日与b共线且反向

C.若2与至不共线且a+29与23+3右共线，贝亚=:

D.若2=（1,2）,b-（-1,1）,且为与方+石的夹角为锐角,则4€（-5,+oo）

【解题思路】根据特殊值法判断A,D选项，应用向量的平行求参判断C选项，根据向量的数量积公式判

断B选项.

—>———>—T―

【解答过程】对于A：a=(0,0)/=(1,1),c=(1,2)"力=a-c,A选项不正确;

222

—>—>T—>

对于B：因为a—b，所以CL-b=（口+协,小+同2.2嬴娟2+朴

a+口+2ab,

TT——-2卜bjcos。，

所以—=2ab

所以cosO=-l,即e=h,则a力共线反向，B选项正确;

—>—>—>————>—>/—>—>\

对于C：因为Q/不共线，ta+2h2a+3力共线，可得ta+2b=2(2a+3b),

4

所以£=242=3九所以t=1C选项正确;

对于D：当2=0时，a,a+劝所成角为0。，不是锐角，D选项错误.

故选：BC.

4.（23-24高一下•北京•期中）已知非零平面向量出b,c,

①若五・茬=工•氏则五=石；②若|五十石|=|矶+国,则五〃石;

③若|五+同=|五—刃则五J_B；④若（五+1）•（五—刃）=0,则五=刃或五=一刃.

其中正确命题的序号是.②⑶.

【解题思路】举反例结合向量垂直可判断①；对已知等式两边平方可判断②③；根据向量相等可判断④.

【解答过程】对于①，例如出1=一方时，则〜3=2,至=0,满足题意，但五W九故错误；

对于②，若|@+引=131+同，则|五+同2=（同+同）2,

可得五-h=|3|•\b\cosa^b=\a\*\b\,所以cos五了=1,

所以五与石的夹角为0,故正确；

对于③,若I五+川=|2—对,则|方+同2=|五一用2,

2a-b=-2a.b,可得五-6=0,

因为向量a,b是非零向量，则aib,故正确；

对于④,若0+［）.0_［）=0,则I司2TM2=0,

所以同=|引，可得五与B的模长相等，但夹角不确定，故错误.

其中正确命题的序号是②③.

故答案为：②③.

5.（23-24高一下,山东临沂,期中）已知向量五,1满足|用=3,同=6,（5五-43）•（21+B）=—81.

（1）求向量石与石的夹角；

（2）若向量五在右方向上的投影向量为K求工•0+励的值.

【解题思路】（1）由题意得到五不=9,利用平面向量的夹角公式即可求解；

（2）利用投影向量和数量积的运算即可求解.

【解答过程】（1）7（5五一“）•（2五+力=—81,

10|a|2-3a-b-4|h|2=-81,BP90-3a-6-144=-81,

•••a-b=9,cos<a,fa>==--=

|a||b|3x62'

又<4>e［0河，.•.五与书的夹角为弟

（2）c=|a|cos<a,b>-^-=^b,

2

111竺

T石2

b+---X9+X6=

"•0+B)=，•0+B)=/444-4

题型4平面向量基本定理及其应用（共5小题）

1.（23-24高一下•河北•期中）在△A8C中，。为BC边上的中点，E是力。上靠近4的四等分点，则旗=

（）

A.-^AB+^ACB.-^AB-^AC

C.-海一次D.+^AC

【解题思路】根据几何关系，转化向量，用基底表示.

【解答过程】因为标=冠，

由已知可得，AD=l（AB+AC）,所以族=*9+前），

所以证=AE-AB=+AC}-AB=-^AB+|xc.

故选：A.

2.(23・24高一下•四川乐山•期中)如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与ZB,AC两边交于

M,N两点，设施=x同，AN=yAC,则x+9y的最小值为()

A.|B.4C.yD.3

【解题思路】利用三角形重心性质，得照=冠+颍，再由平面向量基本定理设而=/瓦+(1-匕)丽，

即庶=以布+(l-t)y而，对照系数，得/§+$=1,最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得x+9y

的最小值.

【解答过程】

如图，延长4G交BC于点D,因点G是△ABC的重心，

则E=|而=|x*版+硝=醇+部①

因M,G,N三点共线，则互＞0,使E=t前+(1-。而，

因a=x而，AN=yAC,代入得，AG=txAB+(l-t)yAC,②

1

tX——1-11

由①，②联立，可得，小，、31，消去t即得，|(1+-)=1,

,(l-t)y=-3xy

则久+9y=(x+9y)-照+$=如。+：+当泻+卜2炳=争

当且仅当％=3y时等号成立，

即x=*y=3时，x+9y取得最小值，为当

故选：C.

3.(23-24高一下•河北•期中)如图，在△4BC中，BD与EC交于点、G,E是的靠近2的三等分点，D

是/C的中点，且有庶=4万+〃灰，2,/z6(0,+oo),则下列命题正确的是()

A

BC

A.A+3/1=1

B.32+2〃=2

C.AG=^AB+

D.过G作直线MV分别交线段NC于点M,N,T^AM=mAB,AN=nAC(m>0,n>0),则

m+2n的最小值为2.

【解题思路】根据向量的线性运算法则计算可判断A,B,C；利用共线定理的推论可得点+W=1，然后妙用

Z771471

“1”可判断D.

【解答过程】对于A,B,C,设E=AAB+11AC,将族=|布，AD=派代入，

@3------>------>

=5九^?+吵，因为E、G、c三点共线，且8、G、。三点共线，

=XAB+2uAD

/+〃=

a+2〃=i

即南=痴+次.所以A错，B,C正确；

对于D,正=痴+次，AM^mAB,AN=nAC,

则E=/看羽+~辆，因为跖G、N三点共线，

则。+》1，艮哈+口，

m+2n=(m+2n)(^+i)i=(2+^+^+2)-i>2,

当且仅当轲十G：4,即二工时取得等号.所以D正确.

故选：BCD.

4.(23-24高一下•广东潮州•期中)在△ABC中，D为BC上一点,E是4。的中点，若前=欣,CE=^AB

+/MC,贝+〃=—.

【解题思路】利用向量线性运算得而=竽5+(-〃)乙I再由中点的向量表示列式求得入=今〃=一今

从而得解.

【解答过程】因为丽=2方,

所以次=+fiAC=1（CB-CX）+fiAC=痴+（一工-/^CA

日（而+而）+（4-四）3/（而+4而）+（-9〃）不

=亨丽+（一卜/九

因为E是/D的中点，所以胃=癖+癖，所以号=9,=p

解得2=7=一|,所以4+〃=-|.

故答案为：-，

5.（23-24高一下•陕西渭南•期中）如图所示，△OBC中，点4为BC的中点,点。是线段。B上靠近点B的一

个三等分点，CD,。4相交于点E,设方=乙OB^b.

（2）若方=4初，~DE=iiDC,求九〃的值.

【解题思路】（1）由向量的线性运算及平面向量的基本定理，即可求解;（2）直接利用向量的线性运算

和相等向量的充要条件，求出2和〃即可.

【解答过程】（1）因为在△OBC中，点4为BC的中点，

所以瓦+丽=2酮；

所以沆=20A-0B=2a-b,

则沆=OC-OD=2a-b-|b=2a-|b

（2）因为反=云一而=4五一|反

又DE=IJ.DC,

所以疝-袋=〃（2之-|丹，

4=2〃

25,解得:

题型5向量的夹角问题(共5小题)

1.(23-24高一下•广西玉林•期中)已知向量为=(1,2)3=(zn,3),若21(22—石)，则己与办夹角的余弦值为

2V5「3V10

A.B.当VioD.

-5-*To~10

【解题思路】根据平面向量垂直的坐标表示求得向量九再利用平面向量夹角的坐标计算公式求值即可.

【解答过程】因为五=(1,2)%=(zn,3),所以2五一刃=(2-m,l),

因为31(22—母，所以2•(2五一刃)=1x(2-m)+2x1=0,解得zn=4,所以办=(4,3),

设五与3夹角为。，贝h。$9=矗1x44-2x3

Vl2+22xV42+32

即江与办夹角的余弦值为竽.

故选：A.

2.(23-24高一下•河南郑州•期中)已知向量3=(1,1)3=(居—2),则%与茄勺夹角为钝角''是“无<2”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据已知条件，结合平面向量数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解

【解答过程】已知向量a=(i,i)E=(x,—2),

若G与丽夹角为钝角，则总仁分尸以，解得％<2且％片-2,

故力与石的夹角为钝角"是"<2”的充分不必要条件.

故选：A.

3.(23-24高一下•陕西宝鸡•期中)若向量五=(2,0),3=(1,g)，则()

A.|a+=\a-b\B.a-b=2

C.办在日上的投影向量为3D.2与茄勺夹角为?

【解题思路】根据向量坐标形式的数量积定义、投影向量概念和模长、夹角公式直接计算即可判断.

2

【解答过程】由题忆+b\=|(3,V3)|=732+V32=2V3,\a-b\=|(1,-V3)|=J/+(-V3)=2,

所以|五+引wI3一砧故A错；

又五i=2xl+0xV3=2,故B正确；

M=、22+02=2,所以B在江上的投影向量为浜，故C正确；

因为同=712+V32=2,cos(a,b)==又0,B)G(0,兀)，

所以位而制,故D错误.

故选：BC.

4.(23-24高一下•北京顺义•期中)已知平面向量五=(1,2),b=(-2,-4),"=(x,y)满足Q+B)•工=|,

|c|=V5,贝眩与下的夹角为一年

【解题思路】根据条件Q+b)-工=|求出挤3接着根据条件以及向量夹角余弦公式求解即可.

【解答过程】由题同="2+22=岳,^.(a+b)-c=(-l,-2),(x,y)=-x-2y=-(%+2y)=|,

所以济工=x+2y=-|,

ff51

所以cos@。=高者=[1=-5，又值,。6[0,网，

所以而＞=手即五与酣夹角为夸.

故答案为：

5.(23-24高一下•广东深圳•期中)已知向量五=(1/)3=(2,3).

⑴若[10_刃),求忆-同;

(2)若2=(—3,—4),b//(a+c\求时+工与2的夹角的余弦值.

【解题思路】(1)由向石1Q-B),得到五不一『=0,列出方程求得x的值，得到五=(1,弓)，进而求得五一

b,即可求解；

(2)由力/(五+工)，列出方程求得久=1,结合向量的夹角公式，即可求解.

【解答过程】⑴解:由向量五=(l,x)》=(2,3),因为另可得五•石一52=0,

又因为4・B=2+3X,且¥=22+32=13,所以2+3x-13=0,解得刀=日，

所以3=(1,?),五一石=(—1,|),所以忸_同=[1+6)2=缘.

(2)解：由向量2=(1,久)]=(一3,—4),Wa+c=(-2,x-4),

因为勿/3+2)，所以—2x3—2(x—4)=0,解得x=l,所以方=(1,1),

又由3石+c=(3,5),可得(3石+c),H=8,\3b+c\=V34/|a|=V2

(31+。•3_4V17

所以cos(3石4-c,a)

\3b+c\\a\~17：

所以嗝+工与2的夹角的余弦值为需.

题型6卜向量的模长问题（共5小题）

1.（23-24高一下•重庆•期中）平面向量五%满足2=（2,1）,|2办-同=3且（3—22）1五，贝！）同=)

A.3B.V10C.VilD.2V3

【解题思路】根据向量垂直得数量积为0,结合向量的模长与数量积的公式求解即可.

【解答过程】由仿一23）1a可得方力—2⑷2=。，又同=.2+12=白,故港刃=10.

又129-司=3,故4同—4a-b+|a|2=9,即4同—40+5=9,故囚=VTT.

故选：C.

2.（23-24高一下•福建厦门•阶段练习）在平面四边形中，E,尸分别为AD,8c的中点，若

AB=4,CD=2,且丽•丽=-4,则|丽|=（）

A.V2B.V3C.V7D.2V2

【解题思路】作出图形，连接EB,EC,由向量的线性运算和数量积运算可得说•方=4,从而根据向量的

数量积以及模长运算公式求解即可.

【解答过程】连接EB,EC,如图，可知说=*丽+而）=3［（而+屉）+（前+说）］=*同+瓦）.

所以而•丽=-*比2+布•反）即一2—冠•沆=-4,可得同•沃=4.

从而，|明2=而2=（（布+比）2=:（布?+2布.瓦+比2）=7,所叫明=77.

故选：C.

3.（23-24高一下•云南•阶段练习）已知向量标满足忖+2川=|同月"+*=0,且同=2,则（）

A.同=8B.a+b=0C.|a—2b|=6D.a-b—4

【解题思路】本题依据向量模、夹角的运算公式即可求解.首先将题目条件式|2+2同=|可两边同时平方,

结合国=2,即可计算同和2的值，可判断A、D选项；利用向量夹角公式计算向量方工的夹角，可判断

B、C选项.

【解答过程】因为忸+2同=|矶,

所以辰+2引2=|矶2,

BPa2+4a-b+4b=a2,整理可得五i+B=0,

再由五-h+a2=0,且同=2可得为2=片=4,

所以同=2,a-b=-4,故A,D错误；

又因为cos（舒）=湍=妥=_1,

所以向量2,1的夹角TT,

故向量忆刃共线且方向相反，

所以五+9=6,故B正确；

又|五一2山2—a2—4a-b+4片=22—4x（—4）+4X22=4+16+16=36,

所以忖―2M=6,故C正确.

故选：BC.

4.（23-24高一下•重庆九龙坡•期中）已知向量4与1的夹角为60。，同=2,同=知则忆-2引=2.

【解题思路】将忆-2M平方并利用数量积定义可计算可得结果.

【解答过程】易知|3_2引=2M2=小郎+4回2_42.另

=J同2+4|h|2—4|a||fo|cos60°=J4+4—4X2x1xi=2.

故答案为：2.

5.（23-24高一下•浙江•期中）已知同=1,3•1+B）•（五-3）=

⑴求同的值；

（2）求向量3与五+办夹角的余弦值；

⑶求|方一㈤（teR）的最小值.

【解题思路】（1）根据数量积的运算律，即可结合模长求解，

（2）根据模长公式以及夹角公式即可求解，

（3）根据余弦定理可求解长度，即可得ZBLOB,即可求解最值，或者利用模长公式以及二次函数的性质

求解.

【解答过程】(1)(a+b)-(a-h)=|a|12-|&r=1

由于国2=1,所以同2=发故㈤=孝

(2)a-(a+b)>=a2+a-b=^

|a+b\=J0+I—=J寇+产+22i=

3砥+加萼智=噜

''\a\\a+b\10

-->

(3)法一：HOA=a,OB=b,OB'=tb,

根据余弦定理得|明=JOA2+而2—21明.I函cos乙4。8=字

贝此48。=]即A810B

则|五一㈤=\AB'\>\AB\,所以|»t引最小值为当

法二：|3—t山=Ja2+饪片一2tz.石=Jit2—t+1

当t=l时，|五-㈤取得最小值挈

题型71向量的平行、垂直问题(共5小题)

1.(23-24高一下•广东茂名•期中)已知向量H=(3,4),石=(须一6),且五则实数x=()

99一

A.——B.-C.-8D.8

【解题思路】根据向量垂直的坐标表示，即可求解.

【解答过程】由五1石，可知，3%+4x(-6)=0,得％=8.

故选：D.

2.(23-24高一下•四川成都•期中)已知向量五=(1，-2),b=(-3,m),c=(4,n),若己〃石，ale,则7n+n=

()

A.——B.8C.-4D.6

【解题思路】运用向量平行，垂直的坐标结论即可求解.

【解答过程】H〃刃,向量五=(1,-2),3=(-3即),则一3x(-2)=TH,则m=6；

ale,向量2=(1,—2),c=(4,n),则1x4+(-2)n=0,则n=2.

则m+n=8.

故选：B.

3.(23-24高一下•新疆乌鲁木齐•期中)已知向量五=(—2,1)3=则下列说法正确的是()

A.若五1刃，贝亚的值为一2B.若0<t<2,贝无与石的夹角为锐角

C.若0/%则t的值为JD.若t=-3,则另在3方向上的投影向量为(2,-1)

【解题思路】借助向量垂直的性质计算可得A；借助£=/时，五与b共线可得B；借助向量平行的性质计算

可得C；借助投影向量定义计算可得D.

【解答过程】对A：由五贝皈i=(一2)x(—l)+t=0,解得t=-2,故A正确；

对B：当t=g时，有3=2几此时反与3共线，故B错误；

对C：若可/%则有(-2)xt-lx(-l)=0,解得t故C正确；

对D：当t=-3时，有箸.嵩=等嗡=等=(|,一3,故D错误.

故选：AC.

4.(23-24高一下,云南迪庆・期中)已知向量五=(2,1)3=(3,—1)1=(3即),(租eR),M(a-2&)1c,则

m=4.

【解题思路】先算出--2石的坐标，然后由向量的数量积公式列方程即可求解.

【解答过程】因为向量五=(2,1)3=(3-l),c=(3,m),(mER),

所以为-2石=(2,1)—2(3,-1)=(-4,3),c=(3,m),

而(五一2励■!工，所以-12+3m=0,解得zn=4.

故答案为：4.

5.(23-24高一下•云南德宏•期中)已知向量五=(2,1),b=(1,2),c=(4,2)•

(1)若2〃五，求|之|的值；

(2)若(k五+6)1a,求k的值.

【解题思路】（1）先由向量平行的坐标表示求出未知量九进而求得K再由坐标形式的向量模长公式即可

求解

(2)先由题意得Z+刃，再由向量垂直的坐标表示即可求解.

【解答过程】(1)由工〃五得4=24,所以2=2,故2=(4,2),

所以©=742+22=2V5.

(2)由已知ka+b=fc(2,l)+(1,2)=(2k+l,k+2)

又(k,+b)1a,所以(kE+bya.=2x(2k+1)+1x(fc+2)=5k+4=0,

解得k=

题型8三角形的个数问题（共5小题）

1.（23-24高一下•湖北•期中）根据下列条件，判断三角形解的情况，其中有两解的是（）

A.b=1,A=45°,C=60°B.a=l,c=2,B=60°

C.a=3,6=1,B=120°D.a—3,6=4,71=45°

【解题思路】根据已知结合正弦定理判断各个选项即可.

【解答过程】A项是角角边类型的三角形，有唯一解；

B项解两边夹一角类型的三角形，是唯一解；

C项是两边一对角类型的三角形，角B为钝角，也是三角形的最大角，对应三角形最大边，但是b<a,故

该三角形无解；

D项是两边一对角类型的三角形，急=熹，白年sinB=^>*sin45。，B有两个解，此三角形有两

解.

故选：D.

2.（23-24高一下•北京大兴•期中）在△ABC中，a,b,c分别为乙4,Z.B,NC的对边，给出下列四个条件:

①a=4,b=5,A=45°；②a=5,b=6,c=8；

③a=6,b=6V3,C=105°；（4）a=2V3,b=5,A=60°.

能判断三角形存在且有唯一解的是（）

A.①④B.②③

C,①②③D.②③④

【解题思路】由正弦定理及三角形的性质分别判断出所给命题的真假.

【解答过程】①中，a=4,b=5,4=45。，

由正弦定理可得荒=焉，即枭熹，可得sinB=警，孝<竽<1

因为角4为锐角，所以角8有两解，所以①不正确；

②中，由三边为定值，且满足任意两边之和大于第三边，所以②唯一确定三角形；所以②正确；

③中，由两边和夹角确定唯一三角形，可得③正确；

④中，由正弦定理可得sinB=3in4=^x孚=，1,所以不存在这样的三角形，所以④不正确.

故选：B.

3.（23-24高一下•云南昭通・期中）由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（）

A.a=20,b=11,A=30°,有两解

B.c=2,b=y[2,B=30°,有两解

C.a=8,6=16/=30。，有两解

D.6=23,c=34/=41。，有一解

【解题思路】ABC选项，根据a2b得到三角形有一解，由csinB<b<c得到三角形有两解，D选项，由余

弦定理得到a唯一，故三角形有一解.

【解答过程】对A：由20>11知，a>b,所以三角形有一解，A错误；

对B：由2sin30。=1<或<2,即csinB<6<c,所以三角形有两解，B正确；

对C：由16sin3（r=8,即。=从也4故三角形为直角三角形，有一解，C错误；

对D：b=23,c=34,A=41°,

由余弦定理得a=7b2+c2—2bccosA,a唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确.

故选：BD.

4.（23-24高一下•山东济南•期中）在△4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6方，B=p

且该三角形有两解，则a的取值范围是（6仃,12）.

【解题思路】由正弦定理可得sin4=*依题意可得4>B且4转，即可得到从而求出a的取值

范围.

【解答过程】由正弦定理可得急=白，即加4=罕=逑=捻，

sinoDf-.ro

因为三角形有两解，所以力>B且力记，则｛si；；Z，即，所以6g<a<12,

I12

即a的取值范围是（68,12）.

故答案为：（6V3,12）.

5.(23-24高一下•江西宜春・期中)在△A8C中，角A5C所对的边分别为a,6,c,且(2c—V^a)cosB=V^bcos

A.

(1)求角B的大小；

(2)已知c=6+l,且角4有两解，求b的范围.

【解题思路】⑴由正弦定理可得(2sinC-岳in4)cosB=V^sinBcos4利用两角和差公式可得cosB=当

即可得解；

(2)由。=b+1及正弦定理可得sinC=3,因为角4的解有两个，所以角C的解也有两个，从而有sin

C<1,求解即可.

【解答过程】(1)解：因为(2c-V^a)cosB=V^bcosA,

由正弦定理得(2sinC-gsinA)cosB=V3sinBcosX,

所以2sinCcos8=V3sin(X+B)—V3sinC,sinC>0,

所以cosB=容

因为Be(o,n),

所以8=三

(2)解：将c=6+1代入正弦定理g=白，得提=b+l

sinC,

所以sinC=塞,

因为B=?角4的解有两个，所以角C的解也有两个,

所以sinC<1,

l/b+l/

n即n5<木<1,

又b>0,

所以bvb+l<2b,

解得b>1.

所以b的范围为(L+8).

题型9判断三角形的形状(共5小题)

1.(23-24高一下•江苏镇江•期中)在△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,若a—ccosB=b—ccos

A,则△力BC的形状是（）三角形

A.等腰B,直角C.等腰直角D.等腰或直角

【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到弋士=看出，对a?+b2-c2=0或a?+b2-c2。分类讨论

即可判断.

［解答过程】由a—ccosB=b—ccosAf

由余弦定理得a-cx/丝=b-cx的产，

2ac2bc

化简得立1=生中贮，

当a2+F—c2=0时,^a2+b2=c2>则△ABC为直角三角形；

当a2+〃—c2力0时，得a=b,则△ABC为等腰三角形；

综上：△ABC为等腰或直角三角形，故D正确.

故选：D.

2.（23-24高一下•河北邢台•期中）在△4BC中,角ASC的对边分别是a,6,c,若si/A+si/B+cos2c<1,

则△ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定的

【解题思路】利用同角三角函数的平方关系将cos2c转化为side,利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判

断角C,即可得答案.

【解答过程】因为sin??!+si/B+cos2c<1,所以siM?!+si/B<1—cos2。，

即siMa+sin2S<sin2C,由正弦定理角化边得a2+b2<c2,

即。2+》2—©2<0,故cosC=§2坐z,<0,

2ab

因为0<C<TT,所以C是钝角，即△ABC是钝角三角形.

故选：C.

3.（23-24高一下•四川达州•期中）在△4BC中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的

是（）

A.若A=45。，a=V2,b=®则△ABC有两解

B.若a2+62<c2,则△ABC是钝角三角形

C.若△ABC为锐角三角形，则sin4>cosB

D.若岛=总，则△4BC为等腰三角形

【解题思路】根据正弦、余弦定理逐项判断即可.

fb>a

【解答过程】对A：由，sin4=VIsin45。=逅〈鱼，所以△ABC有两解，故A正确;

对B：由余弦定理：c2=d2-+b2-2abcosC>a2+b2=>cosC<0,

所以NC为钝角，即△ABC为钝角三角形，故B正确;

对C：因为三角形△4BC为锐角三角形，

所以力+B>90°=>90°—B<A<90°=>sin(90°—B)<sinX,BPcosF<sinX,故C正确;

对D：因为篇=黑，由正弦定理得：^=^nsin24=sin2B,

所以24=2B或24+2B=180°,即4=B或4+B=90°,

所以aABC为等腰或直角三角形，故D错误.

故选：ABC.

4.(23-24高一下•河南三门峡•期中)已知△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,a=::

COS£?十COSG

则△力BC的形状是直角三角形.

【解题思路】由正弦定理以及两角和的正弦公式整理可得cos4(sinC+sinB)=0,进一步有cos4=0,即可

求解.

sin^+sinC

【解答过程】由正弦定理以及a=e北二可得sin4=

COSD+COSCcosB+cosC1

所以sinZcosB+sin^cosC=sinB+sin