2023北京初三（上）期末数学试题汇编：圆（上）章节综合

2023北京初三（上）期末数学汇编

圆（上）章节综合

一、单选题

1.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）如图，在。中，48是直径，弦AC的长为5,点。在圆上，且

ZADC=30°,则。的半径为（）

A.2.5B.5C.7.5D.10

2.（2023秋・北京密云・九年级统考期末）如图，AB是。的直径，C、D是。上两点，ZCDB=40°,则

/ABC的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

3.（2023秋・北京通州・九年级统考期末）有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相

等；③圆中90。的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023秋・北京平谷・九年级统考期末）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一

尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，8为2。的直径，弦

AB_LCD于E,CE=1寸，弦AB=10寸，贝|。的半径为多少寸（）

C.13D.26

5.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，在。。中，C、。为。。上两点，AB

是。。的直径，已知NAOC=130。，则/8OC的度数为（

A.65°B.50°C.30°D.25°

6.（2023秋・北京通州•九年级统考期末）如图，点A,B,C在。。上，ZACB=35°,则NA08的度数是

7.（2023秋・北京西城・九年级北京市第六十六中学校考期末）已知。。的半径为4,点P在。。外部，则

OP需要满足的条件是（）

A.OP>4B.0<OP<4C.OP>2D.0<（9P<2

8.（2023秋・北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）如图，四边形ABC。内接于<O,若四边形

ABCO是菱形，则”的度数为（）

二、填空题

9.（2023秋・北京平谷•九年级统考期末）如图，在一。中，A,B,C是，。上三点，如果NACB=30,弦

A5=5,那么-O的半径长为

10.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》

章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=g（弦*失+失2）.弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对

的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为120。，

半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为米2.（6名1.73）

11.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，O的弦长为2,8是.。的直径,

ZADB=30°,ZADC=15°.

Y\\Ij

u/

^^iL***^

/>

①。o的半径长为.

②尸是8上的动点，则+尸3的最小值是.

12.（2023秋・北京通州・九年级统考期末）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。。在格

点上，则的正切值为.

三、解答题

13.（2023秋・北京密云•九年级统考期末）如图，ABC内接于O,是，。的直径，AELBC,垂足为

D.

A

E

⑴求证：ZABO=Z.CAE-,

（2）已知。的半径为5,DE=2,求BC长.

14.（2023秋•北京平谷•九年级统考期末）如图，已知劣弧AB，如何等分A2?下面给出两种作图方法,

选择其中一种方法，利用直尺和圆规完成作图，并补全证明过程.

•O

方法一：①作射线。4、OB;

②作ZAOB的平分线OD,与AB交于点C；

点C即为所求作.

证明：平分NA03,

ZAOC=ZBOC

；•一（）（填推理的依据）.

方法二：①连接48；

②作线段AB的垂直平分线EF,直线EF与AB交于点C；

点C即为所求作.

证明：尸垂直平分弦AB,

直线E尸经过圆心O,

：■—（一）（填推理的依据）.

15.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）如图，43是。的直径，弦。0,45于点£,CD=2OE,若

AB=4,求8的长.

16.（2023秋・北京东城•九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形M绕直

线x=3上某一点尸顺时针旋转90。，再关于直线x=3对称，得到图形N,我们称图形N为图形M关于点

产的二次关联图形.

已知点A（0,l）.

（1）若点P的坐标是（3,0）,直接写出点A关于点P的二次关联图形的坐标；

（2）若点A关于点尸的二次关联图形与点A重合，求点P的坐标（直接写出结果即可）；

（3）已知。的半径为1,点A关于点尸的二次关联图形在上且不与点4重合.

若线段4?=1,其关于点尸的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时P点坐标及点8的纵

坐标力的取值范围.

17.（2023秋•北京西城•九年级北京市第六十六中学校考期末）下面是小坟同学设计的“作一个角等于已知

角”的尺规作图过程.

已知：在AABC中，AB=BC,8。平分/ABC交AC于点。.

求作：NBPC,使

作法：①分别以点8和点C为圆心，大于［SC的长为半径作弧，两弧交于点E和点E

2

连接EF交8。于点O；

②以点。为圆心，。2的长为半径作。。；

③在劣弧上任取一点尸（不与点A、2重合），连接2尸和CP.所以N3PC=NA4C.

根据小坟设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接。1、0C.

'：AB=BC,平分/ABC,

：.BD±AC^.AD=CD.

：.OA=OC.

•••EF是线段8C的垂直平分线，

：.OB=_.

：.OB=OA.

为AABC的外接圆.

:点尸在。。上，

ZBPC=ZBAC（_）（填推理的依据）.

18.（2023秋・北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，。的半径为2.点

P,。为。外两点，给出如下定义：若O上存在点N,使得尸，Q,M,N为顶点的四边形为矩形，

则称点P,。是。的“成对关联点”.

（1）如图，点A,B,C,。横、纵坐标都是整数.在点8,C,。中，与点A组成；。的“成对关联点”的

点是;

（2）点打。）在第一象限，点F与点E关于x轴对称.若点E,P是。的“成对关联点”，直接写出/的

取值范围；

（3）点G在y轴上.若直线V=4上存在点使得点G,H是。的“成对关联点”，直接写出点G的纵

坐标九的取值范围.

19.（2023秋・北京海淀•九年级北京市十一学校校考期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边

的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图，ABC.

求作：直线8D,使得3。〃AC.

作法：如图，

①分别作线段AC,8C的垂直平分线小两直线交于点。；

②以点。为圆心，长为半径作圆；

③以点A为圆心，BC长为半径作弧，交A8于点

④作直线8。.所以直线8。就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：连接AD

:点A,B,C,。在＜。上，AD=BC,

••AD=---------•

AZDBA=ZCAB()(填推理的依据).

：.BD//AC.

20.(2023秋・北京通州・九年级统考期末)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M

上，点。在图形N上，如果尸。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形N的“近距离”，记

为d(M,N).特别地，当图形M与图形N有公共点时，d(M,N)=0.已知A(-4,0),B(0,4),

C(-2,0),

(1)d(点A,点、B)=,d(点A,线段BC)=.

(2)。。半径为r,

①当r=l时，。。与线段42的“近距离”d(。。，线段AB)=.

②若1(00,AABC)=1,贝！Jr=

参考答案

1.B

【分析】连接BC,由题意易得ZABC=ZADC=30。，在RfACS中解三角形求解.

【详解】连接BC,

ZABC=ZADC=30°

在今。中，AB是直径，

.-.ZACB=90°,

在RtACB中，

ZACB=90°,ZABC=30°,AC=5

AB=2AC=10

OA=5

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30。直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30。直角三角形的

性质是解题的关键.

2.C

【分析】首先根据A3是直径得出NAC3=90。，然后利用圆周角定理的推论得出

ZCAB=ZCDB=40°,最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案.

【详解】解：是。的直径，

:.ZACB=90°.

,/ZCAB和NCDB都是8C所对的圆周角，

:.NCAB=NCDB=40。,

ZABC=90°-ZCAB=50°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的

关键.

3.A

【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对

④进行判断.

【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；

90。的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；

在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了圆的认识和

圆心角、弧、弦的关系.掌握这些知识点是解题关键.

4.C

【分析】连接。4,构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解.

【详解】解：连接如图所示，

C

设直径CD的长为2x,则半径OC=x,

CD为。的直径，弦45，3于£,

AE=BE=-AB=-xlO=5

22f

而OA=OC=x,

根据勾股定理得尤2=52+(X-l)2,

解得X=13,

即，。的半径为13寸.

故选C.

【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键.

5.D

【分析】先求出的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出答案.

【详解】解：：/AOC=130。，AB是。。的直径，

ZBOC=180°-ZAOC=50°,

：.ZBDC=^ZBOC^25°,

故选：D.

【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记定理是解题的关键.

6.B

【分析】直接根据圆周角定理求解.

【详解】解：ZACB=35°,

ZAOB=2ZACB=70°.

故选:B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.

7.A

【分析】点在圆外，则点与圆心的距离大于半径，根据点与圆的位置关系解答.

【详解】解：：。。的半径为4,点尸在。。外部，

OP需要满足的条件是。尸>4,

故选：A.

【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.

8.B

la+b=180?

【分析】设NAOC=a,ZABC=/3,由菱形的性质与圆周角定理可得;1,,求出力即可解决问题.

1a--b

i2

【详解】解：设/ADC=a,/ABC=/3；

:四边形ABC。是菱形，

ZABC=ZAOC^J3；

ZADC=1^;

四边形ABCD为圆的内接四边形，

a+夕=180°,

la+b=180?

i

i1,

ia=­bz

i2

解得：4二120。，a=60。，则NA0C=6O。，

故选：B.

【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆

中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.

9.5

【分析】如图，作直径AD,连接80,则"=NACB=30。，?ABD907,可得AZ)=2AS=10,从而可

得答案.

【详解】解：如图，作直径AD,连接8£>,贝!]/£)=/ACB=30°,?ABD90?,

AD=2AB=10,

；.OO的半径为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，含30。的直角三角形的性质，作出合适的辅助线构建直角三角

形是解本题的关键.

10.8.92

【分析】由题意可知于。，交圆弧于C,由题意得AO=4米，ZAO5=120。解得；OA=2

米，再求出8,最后由勾股定理得到AD,由垂径定理求出42即可得出结果.

【详解】解：如图，由题意可知，

ZAOB=120°,ABA.CD,OA=OB=4（米），

ZDAO=30°,ZADO=90°,AD=BD=-AB

2

:.OD=-OA=2（米）

2

..CD=OC—OD=4—2=2（米）

AD=y/OA'-OD2=V42-22=273（米）

AB=2AD=4^（米）

二弧田面积=；（ABxcr>+cr>2）

=1X（473X2+22）

=46+2

=8.92（平方米）

故答案为：8.92

【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键.

11.2273

【分析】①连接0A易证，A08是等边三角形，弦A3长为2,OA=OB=2,即可得到答案；

②先证N3OC=ZAOB+NAOC=90。，延长20交。于点E,连接AE交8于点P,连接3P,则此时

PA+PB=PA+PE=AE,即上4+尸5的最小值是AE的长，再用勾股定理求出AE即可.

【详解】解：①连接OAOB,

ZAOB=60°,

"：OA=OB,

,493是等边三角形，

;弦长为2,

OA=OB=2,

即，。的半径长为2,

故答案为：2

②：ZADC=15°,

：.NAOC=2NADC=30。，

ZBOC=ZAOB+ZAOC=90°,

延长2。交：。于点E,连接AE交8于点P,连接3P,则此时出+依二9+性二的，即上4+尸3的最

小值是AE的长，

D

ZS4O=60°,

Q4=OE=2,

ZOAE=ZAEB=30°,

：.NBAE=ZBAO+ZOAE=90°,

.，•AE=4BEr-AB1=^42-22=2百，

^PA+PB的最小值是26.

故答案为：2拒

【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质、轴对称最短路径等知识，熟练掌

握相关定理并灵活应用是解题的关键.

12.J.

【分析】根据圆周角定理可知/ABC,再根据正切值的定义求解即可.

4c1

【详解】解：根据圆周角定理可得所以加〃=—.

AB2

故答案为：

【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数，解题的关键是找到

13.⑴见解析

⑵8

【分析】(1)由垂径定理可得8E=CE，由圆周角定理得到=由40=30得到

ZABO=ZBAE,即可得到结论；

(2)由垂径定理可得8=/%>0=90。，在RJ3OD中，由勾股定理可得&)=4,即可得

到8c长.

【详解】(1)证明：：AE是:.。的直径，AELBC,

••BE=CE，

：.ZBAE=ZCAE,

,/AO=BO,

.ABO是等腰三角形，

ZABO^ABAE,

AABO=Z.CAE-,

(2)VAE^iO的直径，AEYBC,

：.BD=CD=-BC,ZBDO=90°,

2

在Rt38中，OD=OE—DE=5—2=3,OB=5,

BD=yJOB2-OD2=A/52-32=4，

?.BC=2BD=8.

【点睛】此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理的内

容是解题的关键.

14.方法一：画图见解析，AC，BC，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；方法二：画图见解

析，AC-BC，垂径定理.

【分析】方法一：按照作图语句提示作图，再根据圆心角与弧的关系进行证明即可；

方法二：按照作图语句提示作图，再根据垂径定理进行证明即可；

【详解】解：方法一：如图，点C即为所求作.

.D

证明：：0C平分/AOB,

ZAOC=ZBOC

AC=BC（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）.

方法二：如图，点C即为所求作.

证明：尸垂直平分弦AB,

二直线E尸经过圆心0,

AC=BC（垂径定理）.

【点睛】本题考查的是复杂的作图，平分弧的作图，熟练的利用基本作图解决复杂的作图是解本题的关

键，同时考查了角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质.

15.CD=2y/2.

【分析】由垂径定理得到CE=DE,推出CE=OE,在Rt^COE中，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，连接OC.

是。的直径，弦。0,45于点£,

CE=DE.

又•:CD=2OE,

：.CE=OE.

AB=4,

：.OC=2.

在RtACOE中，CE2+OE2=OC2,

CE=yf2.

•*.CD=2&.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.

16.(1)(2,3)

(2)(3,-2)

(3)(3,-3),，04yB4；

【分析】(1)根据二次关联图形的定义分别找到A和A"，过点A作A'OLx轴于点。，可证得

AOP^PDA,从而得到OA=PD=1,0尸=A'。=3,即可求解；

(2)根据题意得：点尸位于x轴的下方，设点P的纵坐标为优，过点尸作轴于点E,过点A作

A'产，x轴交EP延长线于点凡坐标为机，表达点A，的坐标，可得出结论；

(3)由(2)可知，点A〃的坐标，由A关于点P的二次关联图形在〈。上且不与点A重合可得出点A"的

坐标，由线段4?=1,其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在一。及其内部，找到临界点可得

出方的坐标，进而可得出点8的坐标，即可得出力的取值范围.

【详解】(1)如图1,根据二次关联图形的定义分别找到A'和A"，过点4作4力，x轴于点。，

片x=3

c

■*

Ox

：.ZA'DP=ZAOP=90°

由旋转可知，ZAPA'=90°,AP=A'P,

：.ZAPO+ZA'PD=ZAPD+ZPAD=90°,

ZAPO^ZPAD,

.•…AOP^^PDA（AAS）,

；.OA=PD=1,OP=A'D=3,

.••A（4,3）,

:点A和A"关于直线x=3对称，

.••点A"（2,3）,

即点A关于点P的二次关联图形的坐标为（2,3）；

故答案为：（2,3）

（2）解：根据题意得：点尸位于x轴的下方，

设点P的纵坐标为m,

如图，过点尸作轴于点过点A作A‘尸_Lx轴交延长线于点凡

片x=3

->

ox

E

由（1）得：_AEP^_PFN,

：.AE=PF=l-m,EP=A'F=3,

A（4—〃z,3+〃z）,

根据题意得：点A和点A关于直线尤=3对称,

4-m=6,

解得：m=-2,

点尸的坐标为（3,-2）,

（3）解：设点P的纵坐标为小

由（2）得：A（4-及,3+”），

A"（〃+2,3+〃）,

在。上，

（n+2）2+（3+n）2=1,

解得：附=-2（舍去）或-3,

.••点尸的坐标为（3,-3）,

VAB=1,AB其关于点P的二次关联图形上的任意一点都在1。及其内部,

此时点3"是一个临界点，连接08,如图，

OA"=A"B"=OB"=L

.•…是等边三角形,

过点B"作轴于点贝UA"M=OM=',

2

/.B"M=—,

2

由对称性得：另一个点的坐标为

力的取值范围为04%4J.

【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关

知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形.

17.(1)作图见解析

(2)OC,同弧所对的圆周角相等

【分析】(1)按照步骤作图即可

(2)由垂直平分线性质，以及圆周角性质补全证明过程即可.

【详解】(1)如图所示

A

■:AB=BC,8D平分NA8C,

：.BD±ACS.AD=CD.

：.OA=OC.

,/EF是线段BC的垂直平分线,

JOB=OC.

：.OB=OA.

；.。。为△ABC的外接圆.

:点尸在。。上，

ZBPC=ZBAC(同弧所对的圆周角相等).

【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线性质、圆周角性质，线段垂直平分线性质：线段垂直平分

线上的点到这条线段两个端点的距离相等，圆周角性质推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.

18.⑴8和C；(2)V2</<2;(3)4<%42+26

【分析】(1)根据图形可确定与点A组成。的“成对关联点”的点；

(2)如图，点E在直线上，点/在直线》=一%上，当点E在线段综&上，点F在线段耳片上时，有

。的“成对关联点”，求出即可得出f的取值范围；

(3)分类讨论：点G在，=4上，点G在y=4的下方和点G在y=4的上方，构造。的“成对关联点”，

即可求出m的取值范围.

【详解】(1)如图所示：

在点8,C,。中，与点A组成。的“成对关联点”的点是8和C,

故答案为：8和C；

(2);Eg)

：.在直线y=x上，

:点尸与点E关于x轴对称，

/(5)在直线y=_%,

如下图所示：

-4l~

直线、=》和>=-%与。分别交于点心,FQ,与直线x=2分别交于印,月,

由题可得：&（虎,夜），

当点E在线段综弓上时，有，。的“成对关联点”

V2<r<2；

如图，当点G在y=4上时，GH〃工轴，在O上不存在这样的矩形;

当恰好只能构成一个矩形时，

设G(0,m),直线y=4与>轴相交于点K,

贝l|NG欣=NOGA/,OM=2,OG=m,GH=MN=4,=m—4,

•*.sinNGHK=sinNOGM,即---=----,

GHOG

.m-4_2

••—~———，

4m

解得：m=2+2^3^m=2—2A/3(舍)，

综上：当4<%<2+26时，点G,H是。的“成对关联点”.

【点睛】本题考查几何图形综合问题，属于中考压轴题，掌握“成对关联点”的定义是解题的关键.

19.(1)作图见解析；(2)况，在同圆中，等弧所对的圆周角相等

【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；

（2）由作图可得AD=BC,证明A£）=BC，利用圆周角定理可得N£>BA=NC4B,从而可得答案.

【详解】解：（1）如图，直线2。就是所求作的直线

（2）证明：连接AD,

•.•点A,B,C,D在。上，AD=BC,

AD=BC-