浙江省杭州北斗联盟2024-2025学年高二下数学期末统考模拟试题含解析

浙江省杭州北斗联盟2024-2025学年高二下数学期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得2．等差数列{an}的公差是2，若a2,a4A．n(n+1) B．n(n-1) C．n(n+1)2 D．3．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A． B． C． D．4．已知函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．5．抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A． B． C． D．6．因为对数函数是增函数，而是对数函数，所以是增函数，上面的推理错误的是A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．以上都是7．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（）A．5 B．10 C．20 D．408．已知奇函数在上是单调函数，函数是其导函数，当时，，则使成立的的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知直线，，点为抛物线上的任一点，则到直线的距离之和的最小值为（）A．2 B． C． D．10．为直线，为平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若，，则 B．则，，则C．若，，则 D．则，，则11．已知，，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．12．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．14．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份1234用水量4.5432.5由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则等于___15．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.1．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．16．已知函数，则函数的最大值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.18．（12分）已知复数，为虚数单位，且复数为实数．（1）求复数；（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．19．（12分）已知椭圆的长轴长为，且椭圆与圆的公共弦长为（1）求椭圆的方程.（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形.若存在，求出点的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.20．（12分）已知函数.(1)判断的奇偶性并证明你的结论;(2)解不等式21．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）将直线：（为参数）化为极坐标方程；（2）设是（1）中的直线上的动点，定点，是曲线上的动点，求的最小值.22．（10分）“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.统计数据如下表所示：不善于总结反思善于总结反思合计学习成绩优秀40学习成绩一般20合计200参考公式：其中

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．2、A【解析】试题分析：由已知得，a42=a2⋅a8，又因为{an}【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．3、A【解析】

记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为.【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得，对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，，，故选A.本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.4、A【解析】

由为偶函数，知，由在（0，1）为增函数，知，由此能比较大小关系．【详解】∵为偶函数，∴，∵，由时，，知在（0，1）为增函数，∴，∴，故选：A．本题考查函数值大小的比较，解题时要认真审题，注意函数的单调性和导数的灵活运用．5、B【解析】

分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.6、A【解析】

由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，所以选A.【详解】由于三段论的大前提“对数函数是增函数”是错误的，只有当a>1时，对数函数才是增函数，故答案为：A(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前提正确和推理形式正确，结论才是正确的.7、B【解析】

首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，，所以二项展开式中的系数为．答案选择B．本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．8、A【解析】

将不等式变形，并构造函数，利用导函数可判断在时的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当时的符号，进而得解.【详解】当时，，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，，由于此时，则不合题意；当时，，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为，故选：A.本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.9、C【解析】分析：由抛物线的定义可知P到直线l1，l1的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离．详解：抛物线的焦点为F（﹣1，0），准线为l1：x=1．∴P到l1的距离等于|PF|，∴P到直线l1，l1的距离之和的最小值为F（﹣1，0）到直线l1的距离．故选：C．点睛：本题主要考查了抛物线定义的应用，属于基础题.10、B【解析】

根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除，从而得到结果.【详解】选项：若，则与未必平行，错误选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，正确选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，错误选项：可能与平行或相交，错误本题正确选项：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.11、C【解析】

构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.【详解】由题意，，，设，，设，，在单调递减，且，,所以在递减，，故选C.本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围，可得减区间.12、D【解析】

根据直线方程求得斜率，根据斜率与倾斜角之间的关系，即可求得倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，故可得，又，故可得.故选：D.本题考查由直线的斜率求解倾斜角，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、m≤1【解析】，使为真命题则解得则实数的取值范围为14、【解析】

首先求出x，y的平均数，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．【详解】：（1+2+3+4）＝2.5，（4.5+4+3+2.5）＝3.5，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是0.7x+a，可得3.5＝﹣1.75+a，故a＝．故答案为本题考查回归分析，考查样本中心点满足回归直线的方程，考查求一组数据的平均数，是基础题15、【解析】

至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．【详解】∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.1．∴连续掷一枚图钉3次，出现2次针尖向上的概率为：0.132，出现3次针尖向上的概率为：0.216，故至少出现2次针尖向上的概率，故答案为：．本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．16、【解析】

对求导，然后令，判断的单调性，再根据的值确定函数的最大值．【详解】，，令，，，令，则，令，则，当时，，当时，，在上单调递减，在，上单调递增，函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，当，即，时，，函数的最大值为．故答案为．本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和三角函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，由题知，平面，∴为平面的一个法向量，设，则，∴，设平面的一个法向量为，则，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）.【解析】

（1）将代入，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数的值，可得出复数；（2）将复数代入复数，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数的取值范围.【详解】（1），，由于复数为实数，所以，，解得，因此，；（2）由题意，由于复数对应的点在第一象限，则，解得.因此，实数的取值范围是.本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）（2）【解析】试题分析：（1）由长轴长可得值，公共弦长恰为圆直径，可知椭圆经过点，利用待定系数法可得椭圆方程；（2）可令直线的解析式为，设，的中点为，将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得点的横坐标的范围．试题解析：（1）由题意可得，所以.由椭圆与圆：的公共弦长为，恰为圆的直径，可得椭圆经过点，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）直线的解析式为，设，的中点为.假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则.由得，故，所以，.因为，所以，即，所以.当时，，所以；当时，，所以.综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线与椭圆的位置关系,基本不等式,及韦达定理的应用.解析几何大题的第一问一般都是确定曲线的方程,常见的有求参数确定方程和求轨迹确定方程,第二问一般为直线与椭圆的位置关系,解决此类问题一般需要充分利用数形结合的思想转化给出的条件,可将几何条件转化为代数关系,从而建立方程或者不等式来解决.20、(1)为奇函数；证明见解析；(2)【解析】

（1）求出函数定义域关于原点对称，再求得，从而得到原函数为奇函数；（2）利用对数式与指数式的互化，得到分式不等式，求得.【详解】（1）根据题意为奇函数；证明：，所以定义域为，关于原点对称．任取，则．则有，为奇函数．（2）由（1）知，，即，，即，∴或．又由，则有，综上不等式解集为．本题以对数函数、分式函数复合的复合函数为背景，考查奇偶性和解不等式，求解时注意对数式与指数式互化.21、（1）；（2）.【解析】

（1）先将直线的参数方程化为普通方程，再由可将