2024-2025高一数学下册期中试卷（基础篇）解析版

2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（基础篇）

参考答案与试题解析

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

I.（5分）下列说法正确的是（）

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度为零，方向是任意的

D.AB||而就是荏所在的直线平行于而所在的直线

【解题思路】AB根据相等向量和共线向量的定义作出判断；C选项，根据零向量的定义得到C正确；D选

项，举出反例.

【解答过程】A选项，长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；

B选项，方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；

C选项，零向量的长度为零，方向是任意的，C正确；

D选项，当而II丽时，同所在的直线与方所在的直线可能重合，故D不正确.

故选：C.

2.（5分）设z=3—2i,则在复平面内。对应点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】由共貌复数，及复数几何意义可得答案.

【解答过程】因z=3-2i,则万=3+2i,其在复平面内对应的点为（3,2）,在第一象限.

故选：A.

3.（5分）已知平面向量I=（g,—1）,同=4,且（五一2刃）1方，则|五-回=（）

A.2B.3C.4D.5

【解题思路】根据模的坐标运算得同=2,根据垂直关系可得方i=2,再根据模长关系运算求解.

【解答过程】因为五=（71,-1）,所以同=2,|同=4,

又因为G一2股13,所以（五―2办）•五=|同2—2a7=0,则五力=2,

所以®一百=郎+|fo|2—2a-b=74+16—4=4.

故选：c.

4.(5分)在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是2+i,-l+2i,0,则第四个顶点对应

的复数是()

A.-1+3iB.1+3iC.-1+iD.1+i

【解题思路】如图，由彷=万？+而运算得解.

【解答过程】如图,正方形的三个顶点对应的坐标为0(0,0),4(2,1),5(-1,2),

设第四个顶点为D(m,n),由市=2x(—l)+lx2=0,贝叱4。8=宏

所以。D/B为正方形的对角线，则而=市+南，

•1•(m,n)=(2,1)+(-1,2),解得m=l,n=3,

•••0(1,3),即第四个顶点对应的复数为1+3i.

故选：B.

5.(5分)如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()

A.四棱台B.四棱锥C.四棱柱D.三棱柱

［解题思路】根据几何体结构特征直接判断即可.

【解答过程】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为2旦小£1，如图所示，

由三棱锥性质可知，4BED和力iBiEiDi是全等的梯形，

又平面ABBMi//平面DEE1%,

平面力分别与平面和DEEiDi相交于

所以44"/£＞小，同理BBJ/EE1，

又A41//BB1,所以D£)i,EEi互相平行，

所以盛水部分的几何体是四棱柱.

故选：C.

6.（5分）不锈钢实心陀螺是早起民间的小孩子的娱乐工具之一，现在成了一些城市老年人健身和娱乐的

工具，目前的成人陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如下图，已知一陀螺的圆柱的底面

直径为16,圆柱和圆锥的高均为6,则该陀螺的表面积为（）

A.240-rtB.220TTC.160itD.176n

【解题思路】分析该陀螺的表面结构，结合圆柱、圆锥的侧面积公式运算求解.

【解答过程】该陀螺的表面积有：底面圆面、圆柱的侧面和圆锥的侧面，

因为圆柱的底面直径为16,所以半径为8,

则底面圆面面积为：TTX82=64-rt,

因为圆柱的高为6,

所以圆柱的侧面为：2x8nx6=96TT,

根据圆锥的高为6,底面圆的半径为8,

得圆锥母线长为V62+82=10,

所以圆锥的侧面为：|x10x2x8ir=807t,

所以该陀螺的表面积为：64TT+96n+80IT=240m

故选：A.

7.（5分）在△4BC中，角B,C所对的边分别为a,b,c,若（3a+b）cosC+ccosB=0,且c2-a2-炉

=2,则△ABC的面积为（）

A.V2B.2V2C.V6D.2V3

1

【解题思路】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简（3a+b）cosC+ccosB=。可得cosC=进而结合余

弦定理可得ab=3,进而结合面积公式即可求解.

【解答过程】由(3。+b)cosf+ccosB=0,

根据正弦定理得，(3sin4+sinF)cosC+sinCcosB=0,

即3siiL4cosc+sinBcosC+sinCcosB=0,

即3sim4cosc+sin(B+C)=0,

即3siiL4cosc+sinA=0,

因为/6(Ojr),则sinZW0,

所以3cosc+1=0,即cosC=—I，

所以cosC=。/i

39

又＜2—Q2_』2—2,

-211

则cosC1,即ab=3,

2abab3

又sinC=Vl-cos2c=11-工=零.

793

所以△力BC的面积为gabsinC=9x3x警=鱼.

故选：A.

8.（5分）如图，两个共底面的正四棱锥（底面48。。是正方形，顶点£、歹与正方形/BCD的中心的连

线与底面45CD垂直）组成一个八面体E-/BCD-F,且该八面体的各棱长均相等，则（）

A.异面直线4£与5。所成的角为45°

B.BD1CE

C.平面平面CZ）/

D.直线4E与平面8QE所成的角为60°

【解题思路】对于A,异面直线AE与BC所成的角转化为直线AE与AD所成角即可;对于B,只需证明1

平面/CE即可；对于C,需证4F〃平面CDE与BF〃平面CDE,得出面面平行判断即可；对于D,先证4。1

平面故N4E。即为直线NE与平面所成的角，求解即可.

【解答过程】因为〃4D,所以NR4D（或其补角）即为异面直线/£与8C所成的角，

又力D=DE=4E,所以NE4D=60。，即异面直线NE与5c所成的角为60。，A错误;

连接/C交AD于点。，则点。为正方形48C。的中心，连接所，

根据正棱锥的性质可知所必过点O,且OEJ.平面4BCD,

所以。E18。，又BDJ.AC,OECiAC^O,OE,ACu平面NC£,

所以BD1平面4CE,又CEu平面4CE,所以BDJ.CE,B正确；

由对称性可知OE=OF,OA=OC,所以四边形2FCE为平行四边形，

所以47/CE,又4FC平面CDE,。£^平面。。凡所以2F〃平面CDE,

同理BF〃平面CDE,又4FnBF=F,AF,BFu平面4BF,

所以平面48F〃平面COE,C错误；

由=OE=OF,得4。1EF,在正方形/BCD中，AO1BD,

又BDClEF=O,BD,EFu平面BEDF,所以4。1平面BEDF,

所以乙4EO即为直线AE与平面BDE所成的角，

设该八面体的棱长为2,则4。=派=+BC2=VL

所以E。=AME2-4O2=鱼=4。,所以N4EO=45。，D错误.

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)已知虚数z满足2=—：+学，则()

A.z的实部为弓B.z的虚部为孚

C.|z|=lD.z在复平面内对应的点在第三象限

【解题思路】根据共辗复数概念写出z,进而判断各项的正误.

【解答过程】由2=6+孚i,得z=号一争，

所以z的实部为-3z的虚部为-冬|z|=1,

Z在复平面内对应的点(-3，-亨)在第三象限，

故选：ACD.

10.(6分)已知向量2=(3,?n),b—(n,!),a—2b=(—1,2),则下列结论中正确的是()

A.a//[3a+2b)B.(2a-5h)la

C.cos(a])=等D.|a|=V5|b|

【解题思路】利用平面向量的坐标运算可求出小、n的值，可得出向量入书的坐标，利用平面向量共线的坐

标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项.

【解答过程】因为向量2=(3,m),b=(n,l),a—2b-(3—2n,m—2)—(—1,2),

所以，21'解得则2=(3,4)，3=(2,1),

对于A选项，3a+2b=3(3,4)+2(2,1)=(13,14),

因为3x14。13x4,贝必与33+2办不共线，A错；

对于B选项，2a—5b=2(3,4)—5(2,1)=(—4,3),则(2五—5石)•a=-124-12=0,

故(2五一5办)1五，B对；

对于C选项，cos(五㈤=；[=黑=平，C对；

''\a\-\b\5V55

对于D选项，同=匕2+42=5,同=,22+12=1,故同=遮同，D对.

故选：BCD.

11.(6分)如图，在棱长为1的正方体48CD—刈8也1。1中，E、F分别是4Bi、的中点，下列结论正

B.£77/平面N8CZ)

C.异面直线BQ与4当所成的角为三

D.点E到平面BCiD的距离为亨

【解题思路】根据E/7/4C,但NC与4B1不垂直，即可判断A,根据线面平行的判定即可求解B,根据线线

平行可得NBCiD就是异面直线BQ与4%所成的角或其补角，利用三角形的边角关系即可求解C,根据线面

平行，结合等体积法即可求解D.

【解答过程】对A：连接4心,则交于E,

又F为中点，可得EF〃71停1，^EF//AC,但NC与4%不垂直，故A错误；

对B：由EF〃4C,EF(tnABCD,ACu平面4BCD,故EF〃平面4BCD；故B正确.

对C：由于ABJ/DCi，故NBCi。就是异面直线BQ与A%所成的角或其补角，

由正方体可知8。=DCi=BCi，即△BCiD为等边三角形，

故48。。=》即异面直线与所成的角为与故C正确；

对D：由于4B1//JD,射。C平面BQ。，4B1U平面BCi。，故28“/平面8的。，

所以点E到平面BCiD的距离等于点/到平面BCW的距离，设为力

SA4RD-CCI-X1X1X1后

=

由体积法可知，d=S&BC1D=1XV2X(^XV2)故D正确，

故选：BCD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)若复数z满足(l-i)z=2+i,则z在复平面内对应的点位于第一象限.

【解题思路】利用复数的除法与乘法运算，化简复数为标准式，结合复数的几何意义，可得答案.

【解答过程】由(l—i)Z=2+i,则z=^=誓产=—2=3+》，

所以复数Z在复平面上对应点为6,|),该点位于第一象限.

故答案为：一.

13.(5分)如图是三角形4BC用斜二测画法得到的水平直观图三角形其中轴，BxCJ/x'

轴，若三角形力iBiCi的面积是6.则三角形ABC的面积是_122.

【解题思路】利用结论平面图形的直观图面积与原图面积之比为?，结合三角形力1B1M的面积是6求结论.

【解答过程】因为平面图形的直观图面积与原图面积之比为半，

4

所以/=¥，又SMB&=6,

6_

所以=返=12V2.

4

故三角形2BC的面积是12四.

故答案为：12鱼.

14.（5分）圣・索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称

之美.为了估算圣.索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物/瓦高约为36m,在它们

之间的地面上的点〃（瓦M,。三点共线）处测得建筑物顶/、教堂顶C的仰角分别是45。和60。，在建筑

物顶/处测得教堂顶C的仰角为15°,则可估算圣.索菲亚教堂的高度CD约为54m.

【解题思路】根据题意求得AM,在△4MC中由正弦定理求出CM,即可在直角中求出CD

【解答过程】由题可得在直角中，所以

^AMB=45°,4B=36,4M=-si^n4=o36VL

在△4MC中，Z.AMC=180＜，-60°-45°=75°,/.MAC=15°4-45°=60°,

所以乙4cM=180°-75°-60°=45°,

所以由正弦定理可得篇=篇，所以CM=胃式-368，

T

则在直角△CDM中，CD=CM-sin60°=54,

即圣・索菲亚教堂的高度约为54m.

故答案为：54m.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)已知向量五=(1,8)石=(0,一g).

(1)若单位向量下与汇共线，求向量花勺坐标；

(2)若五一m办与2五+办垂直，求m的值.

【解题思路】(1)根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可；

(2)根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可.

【解答过程】(1)因为两向量共线，之是单位向量，

所以设2=(m,n),

m=—

,解得

m—n=0n=-也

得工=G，亭)或(4,-?)-

(2)因为五一血石与2五+石垂直，

—>—>—>—>

所以(五—m刃)・(23+h)=0,而向=2,a-b=-3,|b|=3,

_—»—>2

即2a2+(1—2m)a-b—mb=5+3m=0,

解得TH=-|.

16.(15分)设znER,复数z=(血2_57n+6)+(7n2_3根)]

(1)求加为何值时，z为纯虚数；

⑵若复数Z在复平面内对应的点位于第四象限，求冽的取值范围.

【解题思路】(1)根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可；

(2)复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0,同时纵坐标小于0,据此列出不等式求解即可.

【解答过程】(1)由血2—5m+6=0解得m=2或m=3；

当m=2时，z=-2i是纯虚数，

当m=3时，z=0为实数，

所以TH=2.

(2)因为z=(m2—5m+6)+(病-血》在复平面内对应的点位于第四象限，

所以代含装消解得。<皿<2.

17.(15分)如图，平面4BEF1平面4BCD,四边形4BE尸与四边形2BCD都是直角梯形,

4BAD=^FAB=90°,BCIIAD^BC=\AD.BE||AF^BE=豺凡6冉分别为F4尸。的中点.

(1)证明：四边形8CHG是平行四边形；

(2)C,D,F,E四点是否共面？为什么？

【解题思路】(1)运用中位线性质，结合平行四边形判定即可解;

(2)运用中位线性质，结合平行线传递性，证明EC,FH共面,进而得到四点共面.

【解答过程】(1)由题意知，由已知FG=G4FH=HD,可得GH〃AD,GH=工。.

又BC"AD,BC=^AD,GH//BC.GH=BC.

•••四边形BCHG为平行四边形.

(2)C,2F£四点共面.理由如下：

•­•BE//AF.BE=/F,G是F4的中点，BE//FG.BE=FG,

则四边形BEFG为平行四边形，所以E77/BG

由(I)知BG〃CH,所以E尸〃CH,故EC,FH共面.

又点。在直线FH上

所以&。冏E四点共面.

18.(17分)如图，在△ABC中，已知角力，B,C所对的边分别为a,b,c,角力的平分线交BC于点0,且

AD=3V2,asin^—=bsinX.

(1)求角B的大小；

(2)若BD=2』，求△ABC的面积.

【解题思路】(1)由正弦定理“边化角”，由二倍角正弦化简，求出3；

(2)在△48。中，△ZDC中由正弦定理求得4CD,得BC,代入面积公式求解.

【解答过程】（1）vasin-^-=bsinA,

由正弦定理得sinAsin-^—=sinBsinA,

vsinAW0,

-,.sin^—=sinB,

由4+