2024-2025学年北师大版七年级数学下册 第四章 三角形（培优卷·单元重点综合测试）解析版

第四章三角形（培优卷）

考试时间：120分钟，满分：120分

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.下列由三条线段组成的图形是三角形的是（）

【答案】C

【分析】本题考查了三角形的定义,掌握"在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫

做三角形"是解题关键.

【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形,

故选：C.

2.如图，以点A为顶点的三角形有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】本题考查三角形的定义：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形.根据三角形

的定义即可解答.

【详解】解：以点A为顶点的三角形有VABC,Z\ABD,LACE,7ADE,共4个.

故选：A

3.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，贝UVABC

的重心是（）

A.点。B.点EC.点/D.点G

【答案】A

【分析】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点.三角形

三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可.

【详解】根据题意可知，直线CD经过AABC的边上的中点，直线经过AABC的8C边上的中点，

回点。是AABC重心.

故选A.

A.20°B.30°C.35°D.40°

【答案】B

【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到NACB=NA，CB，，根据角的和差

计算得到答案.

【详解】解:0AACB^AA,CB,,

0ZACB=ZA,CB,,

0ZACB-ZACB=ZACB'-ZACB,

即ZBCB'=ZACA,

又NAC4'=30°,

EIN3CB'=30°,

故选：B.

5.如图，已知NABC=NOCB,能直接用〃SAS〃证明△ABC也△OCB的条件是（）

A.AB=DCB.ZA=ZD

C.ZACB=ZDBCD.AC=DB

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定方法SAS即可求解，掌握全等二角形的判定方法是解

题的关键.

【详解】解：在VA5C和△DC5中,

AB=DC

</ABC=NDCB,

BC=CB

0AABC^ADCB(SAS),

故选：A.

6.如图，AD是VABC的中线，点E是AD的中点，连接CE.若VABC的面积为12,则Z\ACE的面积为

)

A.12B.8D.3

【答案】D

【分析】此题考查了依据三角形的中线求解面积，解题的关键是利用中线求得三角形面积之间的关系.根

据三角形的面积公式，确定三角形面积之间的关系，即可求解.

【详解】解：AD为VABC的中线,

则=-5AABC-6,

E为的中点,

则SAACE=万S^ACD=3.

故选：D.

7.下列长度的三根木棒能组成三角形的是（）

A.1,2,4B.2,3,4C.2,2,4D.2,3,6

【答案】B

【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三

边，据此求解即可.

【详角军】解：A、01+2<4,

团长分别为1,2,4的三根木棒不能组成三角形，不符合题意；

B、回2+3>4,

国长分别为2,3,4的三根木棒能组成三角形，符合题意；

C、02+2=4,

团长分别为2,2,4的三根木棒不能组成三角形，不符合题意；

D、02+3<6,

国长分别为2,3,6的三根木棒不能组成三角形，不符合题意；

故选：B.

8.下列说法正确的是（）

A.周长相等的两个图形定是全等图形

B.两个正方形一定是全等图形

C.形状相同的两个图形一定是全等图形

D.两个全等图形的面积一定相等

【答案】D

【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键;

利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案；

【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形一定全等，故选项A错误；

选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误；

选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误；

选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确；

故选：D

AF

9.如图，在长方形ABC。中，£是5c中点，尸在边上，若以。〃=55a跖/=10,则3=()

BF

5

A.3B.2

3

【答案】A

【分析】本题主要考查了二角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长DE,A5交于点G,构造

BEG均CED(ASA),利用三角形中线的性质得出=S亚.=1°，进而求出器=合皿=4,再由

"3Z\BEF

BG=CD=AB求出答案.

【详解】解：延长DE,交于点G,

团在长方形ABCD中，AB//CD,AB=CD,

⑦NGBE=NC,

在「BEG和△CED中，

ZGBE=ZC

<BE=CE,

ZBEG=NCED

回BEG公XJED(ASA),

⑦DE=GE,BG=CD=AB,

团S.EGF=SDEF=10,

团SADEF=5s△5EF=10,

团S/\BEF=2,

回S/\BEG=S公FEG~S^BEF=8,

BGS△BEG_4

回=~■■

BFS△BEF

ABBG

团---------4A

BFBFf

AFAB-BFAB

团——=---------=------1A=3o,

BFBFBF

故选：A.

10.如图，己知。是2C的中点，AE.AF分别是VABC的角平分线、高线，则下列结论正确的是（）

A.AD=CDB.NCAE

2

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判

断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键.

【详解】A、回。是BC的中点，回8£>=£>。，但A£）不一定等于CD,故本选项结论错误，不符合题意;

B、回AE是VABC的角平分线，0ZCAE=|ZBAC,本选项结论正确，符合题意；

C、EIAE是VABC的角平分线，不是高线，I3NAEB不等于90。，故本选项结论错误，不符合题意；

D、0P与C/的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意；

故选：B.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.

11.已知一个三角形的两边长分别是2和7,若第三边的长“为奇数，则。=.

【答案】7

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系.设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得

7-2<x<7+2,即可求角星.

【详解】解：设第三边长为x,根据题意得：

7—2Vx<7+2，

即5〈工<9,

团第三边的长为奇数，

取的值为7,

即第三边的长是7.

故答案为：7.

12.如图，在7ABe和.BAD中，AC=如，2c=AD,在不添加任何辅助线的条件下，可以判断ABC注BAD,

则判定这两个三角形全等的依据是.

【答案】SSS/边边边

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握证明全等三角形的判定定理.根据

已知条件结合公共边AB=BA,即可根据"SSS"证明两三角形全等即可.

【详解】解：在VABC和一中，

AB=BA

<AC=BD,

BC=AD

回VABC丝V54Z)(SSS).

故答案为：SSS.

13.如图，AFLBD,垂足为E,AF交2c于点/，连接DA请写出一对面积相等但不全等的三角形

【答案】和DBF（或△ABD和△AFE>,或△BCD和△AFD，^AABE^ADEF）

【分析】此题主要考查了三角形面积公式应用及全等三角形的概念，根据已知得出三角形的高与底边

是解题关键.根据要找出三角形面积相等但不全等的三角形，利用三角形面积公式等底等高面积相等，

即可得出答案.

【详解】

解：.四边形ABCD是长方形，

:.AD//BC,

SABD与必ADF，底边为AD,高为

*-*uVABD-=uQADF

-S—S2E=SABE，

-•2qABE-=°vDEF'

:S,ABF与sBDF，底边为BF,高为AB,

…•uQABF-=°VBDF'

^AADF与SABCD,等底,等高,

S的=S，・.•图中能确定面积相等但不全等的三角形共有4对，即ZXABF和、DBF,△ABD和4AFD,

△BCD和△AED,一ABE和.DEF,

故答案为：&W尸和DBF（或△ABD和△AFD，或△BCD和△AFD，或^ABE和DEF）.

14.如图，ZA=40°,ZC=110°,则/CD3的度数是.

【答案】150。/150度

【分析】本题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解

题的关键.

根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】I2NA=4O°,ZC=110°,

0ZCDB=ZA+ZC=150°.

故答案为：150°.

15.如图，在VABC中，AD,AE分别是边CB上的中线和高，BC=10cm,S®。=1501?,则的长是.

A

【答案】6cm

【分析】本题考查了三角形的中线和高线，由题意得CD=；8C=5cm,S=5AAM）=15cm?,据此即

可求解；

【详解】解：回AD是边CB上的中线，

19

团CD=—BC=5cm,S.ZAlLCzZDy=S/.\rA\rB>!nJ=15cm,

0—xCDxAE=15,

2

解得：AE=6cm,

故答案为：6cm

三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.

16.如图，已知VABC,求作.AaC'，使—A'3'C'四"ABC.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定.作射线C'M，以

C为圆心，CB长度为半径画弧，交c'M于点？；分别以C'、？为圆心，C4、54长度为半径画弧，

两弧交于点A,连接C'A,B'A,贝hABC'即为所求.

【详解】解：如图：A'B'C'即为所求.

17.如图，在VABC中，D,E分别是边BC,AC上的点，连接BE,AD,相交于点?

(1)图中共有多少个三角形？用符号表示这些三角形.

⑵请写出V3Z用的三个顶点、三条边及三个内角.

⑶以线段A8为边的三角形有哪些？

⑷以NC为内角的三角形有哪些？

【答案】⑴8；AABF2EF,AABE,AABD,AACD,AABC,ABDF,ABCE

(2)VBZ阳的三个顶点是点2,D,F,三条边是线段BO,DF,BF,三个内角是NEBD,ZFDB,ZBFD

⑶以线段AB为边的三角形有AABF,^ABD,AABE,AABC

⑷以/C为内角的三角形有AACDABCE,博CB

【分析】本题考查了三角形的基本特征，解答此题的关键是根据三角形的角和边的概念进行解答.

(1)由题意观察图形，结合三角形的特征进行判断即可；

(2)由题意依据三角形顶点、边以及角的表示方法进行表示即可；

(3)由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以A3为边的三角形即可；

(4)由题意观察图形，结合三角形的特征寻找以NC为内角的三角形即可.

【详解】(1)解：图中共有8个三角形，分别是：

AABF,/^AEF,AABE,/^ABD,/^ACD,AABC,/\BDF,ABCE.

(2)解：中的三个顶点是点8,D,F,三条边是线段BD,DF,BF,三个内角是

ZFBD,ZFDB,ZBFD.

(3)解：以线段A3为边的三角形有

(4)解：以NC为内角的三角形有△ACDABCEAAC8.

18.已知：如图，E,尸是线段BC上两点，AB=DC,AF=DE,BE=CF.求证：AABF名公DCE.

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题关键.利用全等三角形SSS

的判定方法证明AABF四△DCE即可.

【详解】证明：BE=CF,

:.BE+EF^CF+EF,

:.BF=CE,

在Z^ABF和&DCE中,

AB=DC

<AF=DE,

BF=CE

ABF^tZ)CE(SSS).

四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.

19.如图，AD是VA3C中3c边上的高，BE平分/ABC交AD于点、E,若NC=65。，ZBED=60°,求/ER。

和N54C的度数.

【答案】NEBD=30°；ZBAC=55°

【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高，先根据AD是VABC的高得出NAD3=90。，

再在△EBO中利用三角形内角和求出NEBD,接着根据BE平分/ABC得出NABC=2N£Br>=60。，最

后ZBAC+ZABC+ZC=180。求/BAC的度数.

【详解】解：AD是VABC中BC边上的高，

:.ZADB=90°,

ZEBD=90°-ZBED=90°-60°=30°,

班1平分/ABC,

ZABC=2ZEBD=60°,

/.ABAC=180。—ZABC—"=180。—60°-65°=55°.

20.(1)如图1所示的折叠凳的设计所运用的数学原理是什么？

X

图1

（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料的宽度忽略不计），其中凳腿A3和CO的长度相

等，交点。是它们的中点，折叠凳的宽AD为38cm,则BC的长度是多少？

【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）BC=38cm

【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，以及三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法

和性质定理；

（1）利用三角形的性质进行解答；

（2）利用SAS定理判定"。。三功。。，再利用全等三角形的性质可得答案.

【详解】解：（1）这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；

（2）。是和的中点，

/.AO=BO9CO=DO,

在△AQD和出OC中，

AO=BO

<ZAOD=ZBOC

DO=CO

/.AOD=BOC（SAS）,

又AD=38cm,

BC=AD=38cm.

21.如图，点。，E分别在AB,AC上，AB=AC,ZADC=ZAEB=90°,BE,CD相交于点。，OB=OC.试

说明：4=N2.小虎同学的说理过程如下：

解：因为NADC=NAEB=90。，

所以NDOB+NB=ZEOC+ZC=90°.

因为/DOB=NEOC,

所以=第一步

又04=04,OB=OC,

所以△ABO四△ACO,第二步

所以/1=N2.第三步

⑴小虎同学的说理过程中，第步出现错误；

(2)请写出正确的解题过程.

【答案】⑴二

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

(1)因为。4=Q4,OB=OC,ZB=/C,不符合全等三角形的判定方法，故第二步是错误的；

(2)先证明△£)03/△EOC,得到OD=OE,BD=CE,再证明=即可进一步证明

^ADO^AAEO,从而得出结论.

【详解】(1)解：因为。4=Q4,OB=OC,ZB=NC,不符合全等三角形的判定方法，

所以不能判断AABO^AACO,

所以小虎同学的说理过程中，第二步出现错误；

故答案为：二；

(2)解：因为NADC=NA£B=90。，

所以ZBDO=/CEO=90°,

ZBDO=NCEO

在qDOB和AEOC中，<NDOB=ZEOC,

OB=OC

所以△DOB四△EOC(AAS),

所以OD=OE,BD=CE,

因为AB=AC,

所以AB—3D=AC-CE,

即=

AD=AE

在AADO和△AEO中，<ZADO=ZAEO,

OD=OE

所以△ADO之△AEO(SAS),

所以4=N2.

五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分.

22.已知VABC的三边长分别为。，b,c.

(1)化简：|tz—ZJ—c|—|/?—c—G|++Z?—c|；

(2)若a=5,b=2,且三角形的周长为偶数.

①求c的值；

②试判断VABC的形状.

【答案】⑴31-a-c

⑵①c=5②VABC为等腰三角形

【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类，化简绝对值：

(1)根据三边关系结合绝对值的意义，进行化简即可；

(2)根据三角形的三角关系求出c的值，根据三角形的分类判断三角形的形状即可.

【详解】(1)解：^\a+b>c,a+c>b,b+c>a,

^\a-b—c<Q,b—c—a<0,a+b—c>0,

团原式=Z?+c—ci—ci—c+Z?+a+Z?—c=3b—a—c；

(2)0)回〃=5,b=2,

团5—2vcv5+2,

回3<c<7,

回三角形的周长为偶数，。+6=7为奇数，

团c为奇数，

回。=5；

②回。=c=5,

回VABC为等腰三角形.

23.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

【模型呈现】

某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模