2024-2025学年福建省龙岩市高一数学下学期7月期末考试（附答案）

2024-2025学年福建省龙岩市高一数学下学期7月期末考试

(含答案)

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.

2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

若圆锥的母线长为2,其侧面积为2百兀，

1.则该圆锥的底面半径为()

A.2B.也c.V2D.1

若复数z=F，则三的虚部为()

2.

2-1

A.iB.1C.-1D.-i

3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门,若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则

第二次才能打开门的概率为()

112

A.—B.一C.；D.

63

4.己知如〃是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，下列命题错误的是。

A.若加_La,nila,则冽_L〃

B.若。〃mua,则加///?

C.若m_Ltz,nilP,则(Z_L1

D.若加〃“，a!1/3,则卬与。所成的角和〃与尸所成的角相等

5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男

生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答

对题目的平均数为10,方差为1;女生答对题目的平均数为15,方差为0.5,则这10人答对题目的方差为

()

A.6.8B.6.9C.7D.7.2

6.在ABC中，内角4B,。的对边分别为a,b,c,C=—,若乙43。的面积为J,则二()

48ab

C.3V2D.4>/2

7.已知球。内切于圆台阴其轴截面如图所示，四边形/以/为等腰梯形，ABHCD,且CZ）=2/8=6,

则圆台）的体积为（）

.27收兀051V2JI.57也rn636K

4444

8.已知点0是单位圆内接正十二边形44…42边上的任意一点，设a=^^2+042+…+，则a

的值可以为。

A22.5B.23.5C.24.5D.25.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲/kg560580570590600

乙/kg550600580580590

若用，豆分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，s；,s；分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选

项正确的是（）

A.=x2

B.Si<4

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.乙种水稻的产量有三年位于（元2-§2,无2+§2）之间

10.莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler,1707年4月15日〜1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在

1765年首次提出定理：“8。的外心。，重心G,垂心〃依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是

重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若/B=5,AC=3,则下列结论正确的是（）

A-OH=OA+OB+OCB.3BG=BO+2BH

C.A0BC=-8D.AG-Jc=4

11.如图，在菱形48切中，M,“分别为棱48,的动点（不含端点），将菱形力8切沿对角线切折起，使

点/不在平面比》内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）

A.若BC=BD=AC,则存在点〃，N,使得研与6c垂直

B.对任意点M,存在点儿使得疝与赤，前共面

C.对任意点也存在点从使得仞V与6c所成的角相等

D.若存在某个位置，使得直线与直线圈垂直，则N8CD一定为锐角

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若虚数i是方程f-/+4=0（0应61i）的一个根，则7+4=.

13.设样本空间。={123,4}含有等可能的样本点，若事件4B,。是。的子集，且4B,。两两独立,

尸⑷尸⑻P（C

其中2={1,2},3={1,3},C={a,b},p则P（/5+C）=

P（ABC）

14.空间四边形力比》的四个顶点都在同一球面上，若AC上BC,AD1BD,ABLCD,AB=2CD,

空间四边形/四的体积为匕，它的外接球体积为七,则才的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知扇3忑是同一平面内的三个向量，其中值=（1,-1）.

（1）若很=（2/）,且（21+3）,求忖；

QjrI

⑵若用5的夹角为亍，同=亚同，求己-彳在M上的投影向量的坐标.

16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率

分布直方图如图所示.

A频率/组距

X

l0

o9

o7

So6

OS.o4

O2

O.

O92949698100102104106尺寸/mm

(1)求图中X的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数(同一组中的

数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数)；

⑵记尺寸在［98,100)内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在［92,94)内的产品为不合格品，每件

亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能

达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要

对该工厂设备实施升级改造.

17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0,规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正

面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷〃次硬币后，质点位

于位置工(〃=1,2,3,4).

1IIIIIII1

-4-3-2-101234

(1)请直接写出？(3=1)和？(丫2=1)的数值；

(2)求尸(禺|=3)；

(3)用a表示质点向右移动一个单位，用6表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间

Q,并证明：P(X4=0)>P(X4=2).

18.在中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,jl3acosB+bcosA=a+c.

(1)求B；

(2)设“BC外接圆的半径为1,圆心为M,。为圆M上异于点B的一个动点.

(i)若/0=/8=1,求证：四边形4BC。为等腰梯形；

(ii)若b?=ac，求遢•班的取值范围.

19.如图，在几何体CD—尸中，四边形/颂为正方形，CD//EF,幺尸，。尸.记二面角

。一/尸一£的大小为0，二面角。一5£-厂的大小为〃.

(1)证明：AFICE；

(2)若DF=gaB=2,且1=力=60°.

(i)求直线劭与平面侬所成角的正弦值；

(ii)作出二面角。一5C—E的平面角6,说明理由并求tan。的值.

数学试题答案

注意事项：

1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.

2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若圆锥的母线长为2,其侧面积为2省兀，则该圆锥的底面半径为()

A.2B.73C.72D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据扇形侧面积公式计算即可.

【详解】设圆锥底面半径为r,

贝ij1~X2RZX2=2，解得r=V3，

2

故选：B.

2.若复数z=j,则三的虚部为()

2-1

A.iB.1C.-1D.-i

【答案】C

【解析】

【分析】首先化简复数z,再根据共轨复数的特征求虚部.

55(2+1)

【详解】z=二-2+i,亍=2—i,

(2+I)(2T)

所以z的虚部为-1.

故选：C

3.某人有3把钥匙，其中只有1把能打开门，若随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，则

第二次才能打开门的概率为()

1112

A-B.-C.-D.一

,6323

【答案】B

【解析】

【分析】由古典概型概率计算公式直接计算即可求解.

【详解】符合题意的选择是：第一次取到不能打开门的钥匙有两种选择，第二次取到能打开门的钥匙只有

一种选择，

2x11

从而由古典概型概率计算公式可得所求概率为P=--=--

3x23

故选：B.

4.己知处〃是两条不同的直线，生尸是两个不同的平面，下列命题错误的是()

A.若加a,nila,则根_L〃

B.若all/3,mua,则加//尸

C.若〃？_!_〃，m_Lcr,nilP,则cJ_夕

D.若加〃“，allp,则0与a所成的角和〃与尸所成的角相等

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D.

【详解】A：若加_La,///a,则〃故A正确；

B：若aI[(3,mua,则机//齐，故B正确；

C：若mLn,mLa,n/10,则a//尸或a,0相交，故C错误；

D：若〃z///,&//〃，由线线平行的性质知加〃〃时，心,〃与a所成的角相等，

当a//。时，由面面平行的性质知〃与a,尸所成的角相等，故D正确.

故选:C

5.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男

生30人，女生20人.按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题.相关统计情况如下：男生答

对题目的平均数为10,方差为1;女生答对题目的平均数为15,方差为0.5,则这10人答对题目的方差为

()

A.6.8B.6.9C.7D.7.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.

【详解】男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3:2.则10个人中男女分别抽取了6人和4人.这

10人答对题目的平均数为，x(6x10+4x15)=12.

6n4

所以这10人答对题目的方差为^x[l+(10-12)2]+—X[0.5+(15-12)92]=6.8.

故选：A.

兀「2I人2

6.在中，内角4B,。的对边分别为a,b,c,C=—,若入43。的面积为J,则".二()

48ab

A.—^―B.2A/2C.3^2D.4^2

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的面积公式可得/=2缶入根据余弦定理可得。2=/+/—也必，则

2y[lab=a2+b2-yllab,即可求解.

【详解】由题意知，S“BC=；absinC=^~ab，又S/BC=r,

B2

所以--ab=一，得c?=26ab，

48

由余弦定理得=。2+/_2abcosC=a2+b2-41ab，

所以2gab=a1+b2-Cab，得°=3后.

ab

故选：C

7.已知球。内切于圆台册其轴截面如图所示，四边形/题为等腰梯形，AB//CD,且8=245=6,

则圆台)的体积为()

A276TlD51扃r57V271n63扃

A.----------D.----------C.----------u.------

4444

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，作出图形，得到上下底面的半径，进而分析运用勾股定理求出高即可.

【详解】根据圆和等腰梯形的对称性知道，瓦尸分别为上下底的中点.

连接E尸，则跖_L。。，过BGLDC于G.四边形£BCG为矩形.

33

由于CD=6,/8=3,则FC=3,EB=一，则GC=尸。—尸G=尸。—=—.

22

39

由切线的性质知道3C=B£+C户=—+3=—

22

则BG=yjBC2-GC2=J(g)2_(|)2=372.

3(S上+S下+VR，S尸x(|)2=*下=兀x32=9兀,jG=3板.

代入计算可得，/=；x(事+9兀十竹嬴)、3亚=当瓦.

8.已知点0是单位圆内接正十二边形44…42边上的任意一点，设0=04?+瓯…+M：贝!la

的值可以为（）

A.22.5B.23.5C.24.5D.25.5

【答案】B

【解析】

【分析】如图建立平面直角坐标系，表示出12个顶点的坐标，设Q（x,y）,然后表示出

0=函2+瓯2+—+0工2,化简得。=12（/+3；2+1）,不妨设。（x,y）在44上，表示出线段44的

方程，则表示出/+了2+1=2/—（百+i）x+（G：1）2+1,利用二次函数的性质可求出其范围，从而

可求出。的范围，进而可求得答案.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则4（i,o），4（^，4（g,日），4（0,1），4（-；,^^），4（-理,；）,

Az1八、AzA/311A/31、//1A/3Az,\/31x

4(T，°)，4(一~—?一~^-)，4O(°，T)，4I(5,--^-)，42(彳，一不)，

设0("),则

22-2=x_2+2

04=(x-l)+y,QA2=(x-+(J^-),QA(~)(y~~^~^,

2222+2

Q4=x+(y-1),Q^4S=(x+^-)+(y--^-),QA6=(x+(y~~),

2*422222

Q4=(x+l)+y,QA^=(x+—)+(y+—),Q^49=(X+—)+(y+-^-)>

240=—+('+I)'。/”=(X_g)2+(y+2^)2,%=(x—曰了+(/+f2,

所以@=函2+就2+…+瓯2=]2(》2+)2+1),

由正十二边形的对称性，不妨设。(xj)在44上，

因为小（理,［），4，,亭），所以3出=；爹=t'

2-T

所以44为v—万即y=t+

所以X2+/+1=12+班+1+1=2x2-(6+l)x+(6+1)__p1,

、2J4

因为对称轴为》=史上i,

4

22…nnc(百+1),n,、6+1(6+1),(6+1),6+6

所以厂+y2+1的最小值为2x-----(V3+1)X-----+------—+1=————+1=----,

•44484

最大值为2x；—（G+l）xg+（逝：I』+1=2,

所以^±1三/+；/+142,

4

所以36+18V12(x2+72+1)<24,

即3G+18<。424,

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的运算，考查二次函数的性质，解题的关键是建立平面直角坐标系，

表示出各顶点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下：

品种第1年第2年第3年第4年第5年

甲/kg560580570590600

乙/kg550600580580590

若司，司分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，s；,戒分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选

项正确的是()

A.x{=x2

B.s；<s；

C.甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等

D.乙种水稻的产量有三年位于(元2-§2,亍2+$2)之间

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据方差，极差等概念即可求解.

…必、,560+580+570+590+600亦八,550+600+580+580+590,

［详解］A.X］=---------------------------------=580,x2=----------------------------------=580,所以

豆，故A正确;

（560-580）2+（580-580）2+（570-580）2+（590-580f+（1500-580/_

B-s：=

5

（550-580）2+（600-580）2+（580-580）2+（580-580f+^90-580J

-=280,

5

所以s；<sl，故B正确；

C.甲种水稻产量的极差为：600-560=40,乙种水稻产量的极差为：600-550=50,甲种水稻产量的

极差小于乙种水稻产量的极差，故C错误；

D.s2=2-\/70»所以（乙—§2，“2+§2）为（580—2^/73",580+2g3"）,因为16<zJTU'<18,所以

562<580-2J元<564,596<580+2770<598,所以乙种水稻的产量有三年位于伉一与，二2+§2）之

间，故D正确.

故选：ABD

10.莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler,1707年4月15日〜1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家.

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域.他在

1765年首次提出定理：“5。的外心。，重心G,垂心〃依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是

重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若48=5,AC=3,则下列结论正确的是（）

A-OH=~OA+~OB+~OCB-3BG=BO+2BH

C.AOBC=-8D.AG-BC=4

【答案】AC

【解析】

［分析］根据G为AABC的重心得出GA+GB+GC=0,然后由OA=OG+GA,OB=OG+GB，

历=3+历即可判断A,根据向量的线性运算即可求解B.

根据。为外心及向量数量积的计算公式可求出血.正和N0.方，从而可求出万.瑟的值，可判断C

的正误；根据/B=5,/。=3及*•前=；（刀+就）•（配-方）可判断D的正误.

【详解】如图，根据欧拉线定理，外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到

垂心的距离的一半，

A

AG-BC=^（AB+AC）-（AC-AB）=^（AC2-A82）=1x（9-25）=-y,D错误；

1.1—.

-\AC\___~\AB\__925p缶

AOBC=AO（AC-AB）=AdAC-AdAB=\Ad\\AC\^=-^--|Q|万1就『-|1|25|2=--y=-8，C止确；

・•・G为AABC的重心，「.GA+GB+GC=O，

OA+OB+OC=（OG+GA）+^G+GB）+（OG+GC）=3OG=OH，A正确，

由于04=1■曲，所以前—瓦5=g（丽—灰）n34=2巨0+而，故B错误，

故选：AC.

11.如图，在菱形/方切中，M,“分别为棱/氏2的动点（不含端点），将菱形力及力沿对角线曲折起，使

点/不在平面8切内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（）

A.若BC=BD=4C,则存在点四N,使得的V与比1垂直

B.对任意点也存在点儿使得丽与屈,南共面

C.对任意点四存在点儿使得腑与/〃氏:所成的角相等

D.若存在某个位置，使得直线46与直线切垂直，则N5CD一定为锐角

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，先证得平面/以垂直于夕G再判断9与平面/以关系即可判断选项；B选项，利用空间

向量的运算得到加=MG+丽，即可判断选项；C选项，先求得仞V与初，8c所成的角，再由题目条

件及全等知识可判断选项；D选项，依题意建立间直角坐标系，由直线力5与直线"垂直，可得阴，〃关系,

后通过tanZBCD正负可判断选项.

【详解】A选项，由题可得此时该几何体为正四面体，取比中点为E

则8C±AF,DF,又4F,DFu平面AD居AFcDF=F,

则1平面/以；要使MN-LBC,则仞V与平面/以■平行或共面，

但弘N与4。不重合，则恻不能与平面/以平行或共面，

则脉与反:不垂直，故A错误；

B选项，对任意点也过〃作4?平行线交劭于G,过G作回平行线交切于“

则加=应3+丽，设应3=xAD，

则四=xn型=]-xn而=

BDDB')

则丽=》力+(1-x)前，

即对任意点四存在点儿使得疝与ZB，前共面，故B正确；

C选项，对任意点〃，在切上取“使W=CN,

作MH/IAD交.BD千H,作NL//8C交劭于/,连接/〃，HN.

则ANMH为NM与4。所成角，NMNL为NM马比1所成角.

因/M=CN,AB=CD,则也CN_DHBL

ABCD-DBBD

则=NL,MB=DN,BL=DH,又由题可得N/BD=/COB.

贝=ANDH,得LM=HN,

从而AMNL=ANMH,则NNM"=ZMNL.

即对任意点〃，存在点儿使得脉与力。8c所成的角相等，故C正确;

D选项，取物中点为。，设乙4。。=。（。£（0,兀）），OB=m,OC=n.

如图以施所在直线为x轴，％所在直线为y轴建立空间直角坐标系.

则0（0,0,0）,5（m,0,0）,C（0,H,0）,D（-m,0,0）,Q（0,〃cos仇nsin6）.

则AB=（m,-ncos0.-nsin0）,CD二（一私一〃,0）.

____2

若4B上CD,则方•①=—加2+〃2cos6=0ncos，=彳e（0,1）.

2m

则tan/BCD=（0,1）,贝UtanNBCD=_J>0,

2ni——m

n2

即N8C£»一定为锐角，故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：本题为折叠问题，关键要注意图形折叠前后的变化；此外，利用全等及相似知识，往

往可以将复杂的立体几何问题，转化为较好处理的平面几何问题；最后，空间直角坐标系在建立时需选择

合适的原点，动态的坐标系则需引入合适的参数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若虚数i是方程V—/+4=0（0应611）的一个根，则7+4=.

【答案】1

【解析】

【分析】把i代入方程——px+q=0,化简方程，利用相等复数的概念得到°、g的值，即可求解.

【详解】因为i是方程V—px+q=O的一个根,

所以i2”i+q=0,即（4-1）一加=0,

q—l=0q=i

得《解得《

_p=0p=0

所以p+q=l.

故答案为：1

13.设样本空间。={123,4}含有等可能的样本点，若事件4B,。是。的子集，且4B,。两两独立,

尸⑷尸⑻P（CI，则P（/B+C）=

其中/={1,2},5={1,3},C={a,b},

P（ABC）

【答案】-##0.5

2

【解析】

【分析】根据题意分别求得P（/）,P（B）,P（C）,P（48）,P（48C），结合独立事件的定义，可判定事件

与C不独立，结合P（AB+Q=P（AB）+P（C）-P（ABC）计算即可求解.

【详解】由题意知。={1,4},

则P（Z）=T，P（8）=，P（C）=［且尸（N8）=P（/）P（8）=：,P（/8C）=；,

满足,；膜）P（AB）P（O^P（ABC）,

所以Z8与。不独立，

所以「（ZB+C）=P（AB）+尸（C）—P（ABC）=-

2,

故答案为：;

14.空间四边形48切的四个顶点都在同一球面上，若AC工BC,AD1BD,ABLCD,AB=2CD,

5的最大值为

空间四边形山?3的体积为匕，它的外接球体积为匕，则

,2

【答案】B

8兀

【解析】

【分析】由题意确定48的中点。为外接球的球心，如图，利用线面垂直的判定定理与性质可得

根据全等三角形的性质可得LCD,则即4。£,结合棱锥的体积公式计算即可求解.

【详解】因为

所以的中点。为外接球的球心，记外接球半径为R,

过。作。〃_L48,垂足为“，连接S,

又ABLCD,DHRCD=D,DH、CDu平面，

所以Z81平面CM,由CHu平面CDH,所以48J.C".

因为0D=0C=CD=R,OH=OH,所以AOD//=AOC〃，则CT/=£>7/,

取CD的中点£,则EHLCD.

在A。。。中，OD=OC=DC=R,所以OE=RR，

2

由EH4OE=GR得S皿=~CDEH<—R2,

2"CM24

所以匕的最大值为L妇心.AB=L0R2.2尺=也正,

34346

3

y—RV3

则亍的最大值为4一

,2士成3871

3

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过明VOE=之尺确定匕的最大

值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知万了,已是同一平面内的三个向量，其中5=(1,-1).

(1)若3=(2)),且1L(2G+B),求忖；

QjrI--

⑵若用5的夹角为半，同同，求己在彳上的投影向量的坐标.

【答案】(1)2A/10

(2)(-2,2)

【解析】

【分析】(1)根据数量积垂直的坐标运算求参，再求模即可;

（2）先求出\c\,\a\,再求出数量积结合投影向量公式计算即可.

【小问1详解】

因为3=(1,—1),2G+B=2(1,—1)+(2))=(4/_2),

所以+B)=-2)=lx4-lx(j-2)=-j+6=0,y=6,

所以B=(2,6)，W=j22+62=闻=2所.

【小问2详解】

因为同=J12+（_i『=0国

a\c-a)aa-c-a

所以己在彳上的投影向量为(1,-1)=-2(l,-l)=(-2,2)

16.为了解某工厂生产的产品尺寸情况，通过抽样，得到200件产品的尺寸（单位：mm）的数据，其频率

分布直方图如图所示.

X

1

0

O9

OS.

7

S.06

O.04

O.

（1）求图中x的值，并根据频率分布直方图，估计这200件产品尺寸的平均数和上四分位数（同一组中的

数据用该组区间的中点值代表，结果保留两位小数）；

⑵记尺寸在［98/00）内的产品为优等品，每件可获利5元；尺寸在［92,94）内的产品为不合格品，每件

亏损2元；其余尺寸的产品为合格品，每件可获利3元.若此工厂某月生产5000件产品，当该月利润未能

达到15000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.用样本的频率代替总体在各组的频率，试判断是否需要

对该工厂设备实施升级改造.

【答案】（1）x=0.12,平均数为99.64,上四分位数为102.14,

（2）不需要对该工厂设备实施升级改造，利用见解析

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1进行求解即可x=0.12；由平均数和百分

位数的计算个数即可求解，

（2）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出单月利润，最后比较大小即可.

【小问1详解】

（0.02+0.04+0.06+0.07+0.09+0.10+x）x2=l,

解得x=0.12；

平均数为2x（93x0.02+95x0.04+97x0.12+99x0.09+101x0.10+103x0.07+105x0.06）=99.64

由于数据位于（104,106］的频率为0.06x2=0.12,

数据位于（102,104］的频率为0.07x2=0.14,故上四分位数位于（102,104］,

设为则（104—a）x0.07=0.13,解得。引02.14,

【小问2详解】

优等品的概率为0.09x2=0.18,不合格品的概率为0.02x2=0.04,

合格品的概率为1—0.04—0.18=0.78,

故5000件产品中，优等品的个数为5000x0.18,不合格品的个数为5000x0.04,

合格品的概率为5000x0.78,

故所获利润为5000x0.18x5+5000x0.04x（-2）+5000x0.78x3=15800>15000

故不需要对该工厂设备实施升级改造.

17.如图，在一条无限长的轨道上，一个质点最初位于位置0,规定：每次投掷一枚质地均匀的硬币，若正

面向上，则质点向右移动一个单位，若反面向上，则质点向左移动一个单位，设投掷〃次硬币后，质点位

于位置X"（〃=l,2,3,4）.

1IIII1III

-4-3-2-101234

（1）请直接写出P（Xj=l）和P（Xz=1）的数值；

（2）求尸（禺|=3）；

（3）用a表示质点向右移动一个单位，用办表示质点向左移动一个单位，请写出投掷4次硬币的样本空间

。，并证明：P（X4=0）>P（X4=2）.

【答案】（1）P（X1=1）=-,P（X2=1）=0,

⑵-

4

（3）证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据x“的定义即可求解,

(2)X”的含义可知3次都向右或者3次都向左运动。即可根据相互独立事件的概率公式求解，

(3)列出样本空间，结合古典概型概率公式求两事件的概率，完成证明.

【小问1详解】

P(X=1)=；，2区=1)=0，

【小问2详解】

|工|=3表示投掷3次硬币后，质点位于位置3或-3,

故3次都向右或者3次都向左运动，

故尸(寓|=3)=出x2=；

【小问3详解】

掷4次硬币的样本空间。为

>4=2包含的样本点有[a.a.a.h].[a.a.b.a].[a.b.a.a].｛b.a.a.a].

所以尸氏=2)=；；

4=。包含的样本点有｛见“耳，｛见"a，'｝，｛见“仇。｝，｛“仇。，。｝，｛“。，a，5｝，｛"。，仇a｝

3

所以尸(工=0)=^；

o

故尸(凡=0)>?(凡=2)，

18.在AA8C中，内角4B,C的对边分别为。，b,c,j=L3acosB+bcosA-a+c.

(1)求3；

(2)设AA8C外接圆的半径为1,圆心为M,。为圆M上异于点5的一个动点.

(i)若/0=/8=1,求证：四边形4BC。为等腰梯形；

(ii)若〃=ac，求垣•函的取值范围.

JT

【答案】(1)-

3

(2)(i)证明见解析；(ii)—

22

【解析】

【分析】(1)借助正弦定理计算即可得解；

(2)(i)借助正弦定理计算可得M为中点，从而可结合圆中等弦对等角与内错角相等，两直线平行得

到结合菱形的判定与性质即可得48=C。，即可得证;

(ii)法一；借助余弦定理可得-5。形状，结合向量的线性运算与数量积公式及余弦函数值域即可得解.

法二：取48中点。，可得谖•班=|丽方，从而只需计算4的范围即可得解，结合圆的性质

计算即可得解.

【小问1详解】

由正弦定理可得3sin/cos5+sin5cos4=sinA+sinC，

即3sinAcos5+sinScos/=sin/+sin(4+5)=sin4+sin4cos5+sinScosA,

即2sin4cosB=sin4,又A、5e(0,7i),故sin/wO,

1兀

则cosB=—,故3=—；

23

【小问2详解】

(i)由正弦定理sinC=£=L,则。=2或。=里，又B=J故。=2，

2R26636

jr

则/=兀—5—C=—,故8C为外接圆直径，"为5c中点,

2

JI

又MA=MB=AB=1，故为等边三角形，故,

3

7T

又4Q=4B=MQ=1,则=故NQ//BC,

又/0=MC=/M=1,则四边形/MC。为菱形，则。。=1,

故4B=C。，故四边形4BC。为等腰梯形；

(ii)法、I一：由।b2=ac=a2+c2-2accos—L=a2+c2-ac,

3

即a2+c2—2ac=(a—c1=o,故。=°,

又3=故为等边三角形，则a=6=c=2xsin]=百，

则NAMB=2C=—,

3

故谖.班=（疝-说）.（而-近）=忘.施_师+访）说+W.加

=1研.西

=lxlxxlxcosMA+MB,MQ+1

1—>—>—►

=---CGSMA+MB,MQ+\

1—>—■—.

-cosMAMB,MQ,

由。为圆M上异于点8的一个动点，贝Ucos忘+而，近e[—1,1],

故。4,。3=^-cosMA+MB,MQe

即a2+c2—2ac=（a—c『=o,故。=°,

又3=巴，故"BC为等边三角形，则a=6=c=2xsin2=