2024-2025学年高二年级下册期中考试数学检测试卷（含答案）

2024-2025学年高二下学期期中考试数学检测试卷

考生须知：

1.本试卷分为试题、答题卡两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.认真填写所在班级、姓名、教育ID。准确粘贴条形码。

3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

1.如图所示，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地安厂-----、＞丙

不经过乙地到丙地有2条水路可走.则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的

乙

走法种数分别为（）

A.6,8B,6,6c.5,7D,6,2

,、_12s(l4-At)—s(l)__.

2.某物体做自由落体运动的位移,⑷，5=9.8m/s2,若正=24.5M/S,则

24.5机/s是该物体（）

A.从1s到（1+At）s这段时间的平均速度B.从0s到1s这段时间的平均速度

C.在t=1s这一时刻的瞬时速度D.在t=Ats这一时刻的瞬时速度

3.函数/（久）="（2乃的导数为（）

111In2+-

A.2%B.仇2%C.XD.X

4.某大学四名学生利用暑假到学校的实践基地进行实习，每人从甲、乙、丙三个基地中任选一

个，若不考虑其他条件，则不同的选法有（）.

A.9种B.13种C.64种D.81种

5.已知函数/（%）=/-s讥x,贝武（5）的值为（）

rr27T2

A.0B.兀C.7D.一至

6.已知函数/。）在久=无。处可导，/。0）=°是函数/（%）在点/处取得极值的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.曲线y=f（久）在％=1处的切线如图所示，贝叶'（1）一/（1）=（）

A.1B.-1

1

C.0D.-2

8.为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对

该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.设

该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系

为c=f(t).甲、乙两人服用该药物后，血管中

药物浓度随时间t变化的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在口时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在七时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在［5与］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

@在必4/电，与］两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.

其中所有正确结论的序号是()

A.①②B,①③④C.②③D,①③

9.曲线="(2x—1)上的点到直线2x—y+3=。的最短距离是()

A.1B.2C.衽D.3

10.已知函数"乃(aeR),

①当aW0时，/(x)在区间(0,+8)上单调递减；②当°<0<3时，/(%)有两个极值点;

③当a时，/(%)有最大值.那么上面说法正确的个数是()

A.0B,1C.2D,3

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若4i=4C：则n=.

12.r+x)的展开式中的常数项为.(用数字作答)

_2

13.在复平面内，复数z=TT7,贝旷的虚部是

14.将4B,C,D,E,尸六个字母排成一排，且4B均在C的同侧，则不同的排法共有

种•(用数字作答)

15.共享单车已经逐渐成为人们在日常生活中必不可少的交通工具.通过调查发现人们在单车选

择时，可以使用“丁械1。乩竞争函数”进行近似估计，其解析式为

a

x

S。)=x［+(ir)。'”e［0，1］，a>"其中参数a表示市场外部性强度，a越大表示外部性越强)•给

出下列四个结论：①SQ）过定点Q引；②s（X）在［。,1］上单调递增；③SO）关于*=5对称；

④取定X,外部性强度a越大，S（X）越小.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题12分）

有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法个数.

（1）全体排成一行，其中男生必须排在一起；

（2）全体排成一行，男、女各不相邻；

（3）全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；

（4）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变.

17.（本小题15分）

已知函数〃久）=ax+lnx

（1）当a=1时，求曲线y=/（x）在点（1/（1））处曲线的切线方程；

（2）求函数十（久）的单调区间.

18.（本小题15分）

如图，在多面体48CDEF中，梯形4DEF与平行四边形4BCD所在平面互相垂直，AF//DE,

DELAD,AD1BE,力F=4D=；DE=1,AB=显

（I）求证：BF〃平面CDE；

（11）求二面角”£F一。的余弦值；

（III）判断线段BE上是否存在点Q,使得平面CDQ1平面8EF?若存在，求出而的值，若不存

在，说明理由.

B

19.（本小题15分）

X2_1

设椭圆C：5十y的右焦点为尸，过尸的直线I与C交于4、B两点，点M的坐标为（2,0）.

（1）当/与久轴垂直时，求直线4M的方程；

（2）设。为坐标原点，证明：乙OMA="MB.

20.（本小题14分）

22

已知函数/⑺=aX~（2a+1）lnX~,刎=-2alnx--^其中口eR.

（1）当a>0时，求/Q）的单调区间；

⑵若存在久修滑］，使得不等式fO）Ng（x）成立，求。的取值范围.

21.（本小题14分）

已知数列但/,从中选取第'项、第项、…、第/项（％<»2<3<几），若

’1’2Sn,则称新数列工’2,…，%为｛4｝的长度为Hl的递增子列.规定：数

列｛%｝的任意一项都是｛4｝的长度为1的递增子列.

（1）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；

（2）己知数列m小的长度为p的递增子列的末项的最小值为4长度为q的递增子列的末项的

最小值为"o'若p<q,求证：。叫）<“；

（3）设无穷数列｛4｝的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛&J的长度为s的递增子列

末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2ST个（s=1,2,…），求数列

｛4｝的通项公式.

答案和解析

1.【正确答案】A

【分析】

本题考查两个计数原理的综合应用，属于基础题.

解：根据分步乘法计数原理，可知从甲地经过乙地到丙地的走法种数为2x3=6；

又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地的走法种

数为6+2=8.

2.【正确答案】力

【分析】

根据题意，由导数的定义分析可得答案.

本题考查平均变化率的计算，属于基础题.

S(1+At)-s⑴_s(l+At)-S(l)_

解：一氐——+_24bm/S,

所以24.5爪/s是该物体从1s到(1+At)s这段时间的平均速度.

故选A.

3.【正确答案】C

【分析】利用简单复合函数的求导公式进行求解

【详解】r(X)=£=l

故选：c

4.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

根据已知及分步乘法计数原理的计算，求出不同的选法.

解：由题知，每名大学生都有3种选择，根据分步乘法计数原理，共有3x3x3x3=81种选

法.

故本题选：D.

5.【正确答案】B

【分析】

本题考查导数的乘法运算，属于基础题.

由基本函数的求导公式以及求导法则求导，即可代入求值.

x2

解：/（）--sinx+xcosxt所以「（5）=兀，

故选：B

6.【正确答案】B

【分析】

本题考查了函数极值的概念，充分、必要、充要条件的判断，属于容易题.

函数f（x）在点和处取得极值的充要条件是：/（久。）=°且/（久）在点与附近的左右两侧异号，由此

结合充分、必要、充要条件的判断，即可得到答案.

解：函数八乃在“=/处可导，°推不出函数/（%）在点通处取得极值；

反之，函数/（久）在点瓯处取极值，必有「（通）=°.

故（（与）=°是函数“%）在点%。处取得极值的必要不充分条件.

故选：B.

7.【正确答案】4

【分析】

本题考查导数及其几何意义，是基础题.

由切线经过的两点求得切线的斜率与切线方程，得到r。），进一步求得f（D,即可求得.

解：.•・切线过点（2,0）与（0，-1）,

J）0-22,

则切线方程为、=产—1,取x=l,得"1）=—5,

故选A.

8.【正确答案】D

【分析】

本题考查平均变化率和瞬时变化率的概念，属于中档题.

解：对于①，在G时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正确；

对于②，在七时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的尸«2）不相等，说明甲、乙两人血管中

药物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；

对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在住2/3］内，血管中药物浓度的平均变化率均为

13Tz,即③正确；

对于④，在比七］和住2,以两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为工^和

13Tz,显然不相同，即④错误.

9.【正确答案】C

【分析I

本题考查了利用导数研究曲线的切线方程和点到直线的距离，属于基础题.

设曲线上过点PQ。）。）的切线平行于直线2x-y+3=0,此切点到直线2x-y+3=°的距离最短,

2

由‘（%0）=4五=2,得久0=1,求出点P（1,O）到直线2x-y+3=0的距离，从而得出结果.

解：设曲线上过点P（%%）的切线平行于直线2%-丫+3=0,此切点到直线2x-y+3=0的距离

最短，

2

（久）=声1，

2

•••r（o）=g=2,得和=1,

•••曲线八乂）=伉（2久一1）上的点P（l,。）到直线2尤—y+3=0的距离最短，

史

为人|不2-0+不3|=衽

故选C.

10.【正确答案】C

【分析】

本题考查利用导数研究函数单调性、极值、最值，属于综合题.

求出函数/(X)的导数，讨论a的范围，判断函数的单调性，从而判断极值点的个数及函数的最值

问题.

解：f(x)=aex--x(a6R),『(x)=aex-x,

对于①，因为%>°,所以，>1,

当aWO时，/'(x)=aex-x<0,则/'(%)在区间(0,+8)上单调递减，所以①正确.

对于②，令r(x)=aeJ=0,得令以久)=乙以无)=而=》，

1—X

当g(")__Z>o时，则x<]；当g'(x)<0时，则%>],

所以函数g(x)在(—8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以当无=1,

g^max=9(1)=j,

又当X趋近于一8时，g(x)趋近于一8,9(0)=0,当X趋近于+8时，g(x)趋近于0,

所以可作出函数或*)=7的大致图象如图所示，

由图可知，当时，直线y=a与"")一了的图象有两个交点，

即方程=aex-x=0有两个不等实根/，外。1<%2),

当或x>久2时，当(久2时，/,(x)<0,

则f(X)在(一8,乙)和(叼，+8)上单调递增，在(尤“2)上单调递减，

所以乙是函数f(x)的极大值点，”2是函数f(x)的极小值点，

故/(无)有两个极值点，所以②正确.

对于③，当时，"一7,即/'(%)》。恒成立，则函数/(X)在R上单调递增,

所以函数/(X)无最大值，所以③错误.

则说法正确的个数为2,

故选：c.

11.【正确答案】6

解：由城=4C；得5X4X3=4XF,

即/_几_30=0,解得n=6或几=—5(舍去).

故6.

直接展开排列数与组合数公式计算.

本题考查排列数与组合数公式的应用，是基础题.

12.【正确答案】84

【分析】

本题考查二项式定理中通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查.

先写出通项，在通项公式中令》的系数为0,求出卜，从而写出常数项.

9kk左

--CX

解：的展开式中的通项为九+1918-3A:

令18-3k=0,k=6,故(公+^的展开式中的常数项为77=Cg=84

故84

13.【正确答案】-1

【分析】

本题考查了复数的概念与分类，复数的除法运算，共辗复数，属于基础题.

由复数除法化简成标准形式，再求出共轨复数，即可求虚部.

7_2(17)__

解：一(l+i)(I)一~1,

故虚部是-1.

故T.

14.【正确答案】480

【分析】

本题考查了排列的应用，考查了分类讨论的思想，属于拔高题.

就C的位置分类讨论即可.

解：如图六个位置团乜]回111囱回.

若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有另种情况；

若c放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排力，B,再在余下的3个位置排D,

23

E,P,共44种排法;

23

若c放在第3个位置，则可在1,2两个位置排4B,其余位置排0,E,F,则共有4243种排法或

在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排，E,F,共有力3.4种排法；

若C在第4个位置，则有星国+用用种排法；

若c在第5个位置，则有4/种排法；

若C在第6个位置，则有另种排法.

综上，共有2(庵+A4A3+A3A3+A2A3)=48。(种)排法.

15.【正确答案】①②

【分析】

本题考查函数中的新定义问题，函数的单调性，对称性，属于中档题

_1

对于①：令尤=5即可求得定点可判断①的正误；对于②对S(x)求导，判断导函数在xe[0,1]时的

正负即可判断②的正误；对于③由②即可判断正误；对于④以a为自变量构造新函数，求导，

判断单调性即可判断正误.

1S《)=(丁二11

解：对于①，在S(x)中，令”2,贝U⑵2x(1)-2,过定点(2,2),故①正确；

[tz[x(l—x)]a—

对于②，S(X)=《+(1T)R当S'(%)>0,则S(x)为单调递增，故②正确;

对于③，由②知S(x)为单调递增，故不存在对称性，故③错误；

对于④，以a为自变量，设S(x)为7(a),则(F+(i-x)叩言，

[%(1一%)>>0X

・•・a>o,故用+(1T)+,7(a)的正负取决于‘再三，

%1

当一<1,即°<久<2时，T'(a)<0,随着a的增大，S⑺减小；

X.11

当三>]，即5<“<1时，T'（a）>0,随着a的增大，S（x）增大，故④错误.

故①②.

16.【正确答案】解：（1）捆绑法•将男生看成一个整体，进行全排列•再与其他元素进行全排列•共

有国国=720种.

⑵插空法•先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有用用=144种.

⑶位置分析法•先排最右边，除去甲外，有鹿种，余下的6个位置全排有躅种，但应剔除乙在最

右边的排法数度苗种•则符合条件的排法共有屋魔一吊用=3720种.

（4）定序排列•第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,第二步，对甲、乙、丙

耳

进行全排列，则为七个人的全排列，因此&=W种.

本题主要考查排列组合的方法，涉及到的方法有捆绑法，插空法，特殊位置优先排，定序排列,

属于中档题.

（1）相邻问题用捆绑法，即将男生看成一个整体，进行全排列；

（2）不相邻问题用插空法：先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位；

（3）特殊位置先排列，分情况讨论，最后用加法原理求排列数；

（4）定序排列.先求全排列，再除以顺序数即可.

点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：

（1）元素相邻的排列问题一一“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题一一“插空法”；（3）元素有顺

序限制的排列问题一一“除序法”；⑷带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题

---间接法.

17.【正确答案】解:（1）当a=l时,/（x）=x+lnx,定义域为xe（0,+8）,

•."（1）=1+伉1=1,所以切点为（L1）,

又ro）=i+],所以/（1）=1+1=2,即切线的斜率等于2,

所以切线方程为：y-l=2（x-l）,整理得y=2久一1；

（2）r（x）=a+[=管，xG（0,+oo）,

当a20时，尸（无）>0恒成立，所以在（。,+8）上单调递增，

当a<0时，令/（久）>0,即a久+1>0,解得

令r(x)<0,即ax+l<0,解得%>二,

11

此时下(久)在@一。)单调递增，(-3+8)单调递减.

本题考查导数的应用，属于中档题.

(1)利用导数的几何意义求解；

(2)利用导函数研究函数的单调性即可求解.

18.【正确答案】解：(I)由底面4BCD为平行四边形，知AB〃CD,

又因为48,平面CDE,CDu平面CDE,

所以4B〃平面CDE,

同理4F〃平面CD凡

又因为力BC4F=4,4B,4Fu平面ABF,

所以平面48F〃平面CDE；

又因为BF<=平面力BF,

所以BF〃平面CDE；

(11)连接8。，因为平面4DEF1平面力BCD,平面力DEFC平面4BCD=AD,DE1AD,

又DEu平面力DEF,

所以DEI平面力BCD,

又BDu平面ABCD,贝虺E_L,

又因为DE，/。，AD1BEfDEClBE=E9u平面BDE,

所以AD,平面BDE,

又BDu平面BDE,

则4。J.8D,

故£M,DB,DE两两垂直，

所以以DA,DB,DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),71(1,0,0),B(0,l,0),C(-l,l,0),E(0,0,2),F(l,0,l),

E

"=(0-1,2)T=(L0,—1)□

所以BE,EF,九=(0，L0)为平面OEF的一个法向量,

□

设平面BEF的一个法向量为血=(x/y/z)f

-.一=0—.一=()(-y+2z=0

由mBE,mEF，得IX—Z—0J

~=(121).

令Z=l,得m

,t、mnA/6

cos＜，＞=而5=-y

所以mnuu,

如图可得二面角B-EF-0为锐角，

祗

所以二面角B-EF-D的余弦值为

(m)结论：线段BE上存在点Q,使得平面CDQ1平面BEF,

证明如下：

“=厂=(0,一九24)(46[0,1])“="+”=(0,1-2,22)

设BQBE,所以DQDBBQ,

"=(a,b,c)=(—1,1,0)

设平面CDQ的法向量为u,又因为DC,

-.-=0-.-=0f(l-A)b+22c=0

所以“DQ,uDC，即I-a+b=0,

若平面CDQ,平面BEF,则即a+26+c=0,解得

BQ_1

所以线段BE上存在点Q,使得平面COQ,平面BEF,且此时而=%

本题考查了线面平行的判定，运用空间向量求二面角，立体几何中的探究性问题，考查了空间想

象能力和运算能力，属于中档题.

(1)先证明平面48F〃平面CDE,进而证明BF〃平面CDE；

（2）先证明D4DB,DE两两垂直，然后建立空间直角坐标系，运用向量法求二面角即可;

⑶设/9='[°」D,平面6Q的法向量为:=G瓦0

由〃DQ

一•一=0一•一=0

aDC,TH〃建立方程组求出a值即可得到结论.

19.【正确答案】解：（1）根据题意，c=g=l,"（1,0）,

・•,/与久轴垂直，--x=l,

(X=1(X=1

3y=4

解得u2或u2

x

•••直线AM的方程为y=~f+隹或y=今一也

（2）证明：

①当/与久轴垂直时，。时为线段4B的垂直平分线，.•.N0M4=N0MB,

②当/与x轴不重合也不垂直时，设的勺方程为y=卜。-1）,

力（5当），3（%2，%），则久1＜位，町（圾

直线AL4,MB的斜率怎〃，之和为：

^MA++x『2,

由方=k（x「l）,为=做叼一1）得

2kx1x2—3k(x1+x2)+4k

^-MA+々MB=

(XX-2)(X2-2)

fi+y2=1

则1y=做x-l)所以(2廿+l)x2-4k2x+2k2-2=0,

4fc22k2-2

%]+巧=-=2

2k2+1,142F4-1,

4k③—4k—12k3+8k③+4k八

•••2kxx—3k(x+%)+4/c=----------------o------------------=0

12<122/c2+1

从而土河』+=0,

故"AMB的倾斜角互补,

・•.Z.OMA=乙OMB,

综上所述NOMA=NO“B.

本题考查直线和椭圆的位置关系与韦达定理，直线的斜率与倾斜角，考查运算能力和转化能力,

属于较难题.

(1)先得到尸的坐标，再求出点4的坐标，进而求得直线4M的斜率，根据点斜式可得直线方程；

(2)分两种情况讨论，①与x轴垂直；②直线斜率为左的直线方程，联立方程化为一元二次方程,

再由韦达定理，证明=即可得到=

20.【正确答案】解:(1)函数y=〃＞)的定义域为(。，+8),

a(x-2)(x-i)

2a+1

/'(%)=a—

X+4X=

_1

当a=2时,/0)20恒成立，函数fQ)在(0,+8)上为增函数;

当口＞5时，当xe(°R,(2,+8)时，/(吗＞0,函数/(%)为增函数;

当时，尸(乂)＜0,/(均为减函数;

当°＜口＜1时，当xe(0,2),6+8)时，尸(吗＞0,函数/(%)为增函数;

当久e(2/时，/(乂)＜0,/(*)为减函数.

_1

综上，当a=?时，函数/(%)在(。，+8)上单调递增;

0＞5时，函数/'(尤)在(°'力，(2,+8)上单调递增，在加2)上单调递减

当

当°＜口＜1时，函数/(幻在(0,2),G+8)上单调递增，在(2》上单调递减.

22

(2)/(无)>g(x)等价于a“一(2a+->—2alnx——

X^ax—