2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷【天津专用测试范围：人教A版选择性必修第五章~第七章】（全解全析）

2024-2025学年高二数学下学期期中模拟卷

(天津专用)

(考试时间：120分钟,分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版2019选择性必修第二册第五章一选择性必修第三册第六章+第七章。

5.难度系数：0.68o

第I卷

一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设随机变量X服从正态分布N(3,4),若尸(X<2“-3)=P(X>a+2),则实数。的值为()

57

A.5B.3C.-D.-

33

【答案】D

【解析】因为随机变量X服从正态分布N(3,4),P(X<2"3)=?(X>a+2),

7

所以根据正态分布的性质，可得2a-3+a+2=6,解得

故选D.

2.已知函数/(x)=x、x2+x,则〃2)+八2)=()

A.-15B.15C.28D.-28

【答案】B

【解析】函数/(%)=尤3--+%，则/，(X)=3X2-2X+1,所以

/(2)+/,(2)=(23-22+2)+(3x22-2x2+1)=6+9=15.

故选B.

3.如果一个三位正整数“。化。3”满足且/<。2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275),

当中间数为3或4时，那么所有凸数的个数为()

A.18B.15C.16D.21

【答案】A

【解析】当中间数为3时，有2x3=6(个)；

当中间数为4时，有3x4=12(个).

故共有6+12=18(个).

故选A

4.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下，则尸(|X|=1)等于()

X-101

£、21

P\-2q3q-^+-

3

【答案】A

【解析】由离散型随机变量的性质可得;+l-2q+3q2F+；=l,

17

即画一1)(3仁2)=0,解得或0=

21

g=§时l_2q<o,不合题意，”=

2

—T)+P(X=1)=—。)[

故选A.

5.已知函数〃x)=3(2-机2卜-g3在》=1处取得极小值，则“X)的极大值为()

A.-4B.2C.-2D.4

【答案】D

【解析】由题得/'(司=3(2-/)-3mx)因为函数/■(》)在x=l处取得极小值,

所以/'⑴=3(2—例2)—3m=—3("J+7〃—2)=0=机=一2或机=1,

当机=-2时，/(x)=-6x+2x3,/,(x)=-6+6x2=-6(l-x2)=-6(l+x)(l-x),

所以当XG(-8,-1)。(,+力)时,f'[x)>0,当时,/(x)<0,

所以函数/(X)在X=1处取得极小值，符合题意，

所以函数在X=-1处取得极大值为/(-1)=4；

当刃=1时，/(x)=3x-x3,/'(%)=3-3%2=3(l+x)(l-x),

所以当XC(T»,-1)U(L+8)时,f'(x)<0,当时，fr(x)>0,

所以函数/(尤)在x=l处取得极大值，不符合题意；

综上加=-2,〃无)的极大值为4.

故选D

6.甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的,

且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束.已知在第一关中甲

33

乙两人通过的概率分别为历，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为()

75_

B.-C.-D.

936

【答案】D

【解析】在第一关中甲乙两人通过的事件分别为45,两人有资格挑战第二关的事件为

则尸⑷=|,尸⑻=^，尸(M)=1-P(AB)=1-(1-1)(1-^)=||,3

P(AM)=P(A)5

3

515

P(AM)-

所以若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率P(4]")=6-

P(M)18-

25

故选D

7.+1)”的展开式中的常数项为O

A.18B.20C.22D.24

【答案】B

【解析】f2+-\2x-l)11=2(2x-l)11+-(2x-l)H,

VxJx

(2x-l)H的二项展开示的通项为j=C「(2x)g.(-iy=(-1旷.2»建：3T

2(2x-I)11=(一1旷2-小婢--①，

-(2x-l)ll=(-1)*2"-葭：3"②，

X

在①式中,令11一左=0得左=11,故2(2x—l)u的常数项为(-1)"2(：；=-2,

在②式中，令10-4=0得左=10,则1(2x-l)”的常数项为(-1)”C：；=22,

X

故(2+J(2x-I)11的展开式中的常数项为-2+22=20,

故选B.

8.设玉＜工3＜工4＜&，随机变量。取值再，工2户3/4，工5的概率均为02,随机变量是取值

土吆土，红匚生马鼻,上石,石士生的概率也均为0.2,则()

A.£信)>£值)B.£(4)<E值)

c.。侑）催）D.。/）<。6）

【答案】C

［5

［解析］E（。）=0.2x$+0.2x%2H—+0.2x/=—2演，

5z=i

AOX1+2x2,AOx2+2x3,no^3+2X4,AOX4+2X5,AOX5+2X1

v2733333

_1（3（再+I2+工3+14+15）］_1三

=513）5斗

故矶。）=£值），故A、B错误；

设E（jJ=E&）=m，

则。⑷=0.2x二（%-mF=：Z（x；-2叫+m2）=|1立七+m2

1=1>z=i3z=i3z=i

—乙m'xUjm+m2+x；+x；+x；+x；-5m2）

5

同理:D值）=j5m2

15x；++5x；++为0+4工213+413工4+4工4工5+4%再

--------------------------------------------------------------------------------------5m2

59

由再</，(再一%)2=%；+后一2%％2〉0，故4否入2<2卜；+君)，

同理则有Q（J）<1+5，；+5<；+谒+婕+4玉2+44+4”；+4“；+4“；5m2

=《(x；+X：+%；+X：+x；-5m2)=Z)(4),

即。(3〉。仁)，故C正确，D错误；

故选C.

9.对于满足一定条件的连续函数/(%),若存在一个点看,使得/(%)=%,那么我们称/(x)为“不动点”

函数.若存在〃个点玉。=1,2,….)，满足/(七)=七，则称/(%)为“〃型不动点”函数，则下列函数中为“3

型不动点”函数的是()

A./(x)=l-lnxB.f(x)=5-lnx-ex

/-2

C./(%)=----D./(x)=2sinx+2cosx

【答案】D

【解析】对于A,令/(x)=l-hu=x(x>0),BPx+lux-1=0.

因为y=x/=lnx均为(O,+e)的单调递增函数，所以V=x+lnx-l在区间(0,+e)上单调递增，所以/(x)

不可能为“3型不动点”函数，故A错误；

对于B,令/(X)=5—Inx—e=x,即无+ln无+e*—5=0.

由于>=5>=1眸)=二均为(0,+8)的单调递增函数，所以y=x+lnx+e=5在区间(0,+s)上单调递增,

所以/(x)不可能为“3型不动点”函数，故B错误；

对于C,由/(月=+，得尸3=4。一?广2,

易知当x<0时，/'(x)<O/(x)单调递减，xf0目./(x)<0,所以当x<0时，=*

的图象与直线P=x有且只有一个交点；

4

当0<x<l时，/(x)<O/(x)单调递减，且/⑴=1>1；

当x>l时，/'(x)>O/(x)单调递增.令/'(x)=l,得Gy-=],解得x=2,此时〃2)=2,所以

X

直线》=》与曲线/(无)=竺:相切于点(2,2).

X

所以直线了=X与曲线/(#=号共有两个交点，所以/(X)为“2型不动点”函数，故C错误；

々/

y=f8/

4

-

e

。

对于D,/(x)=2sinx+2cosx=2^/2sin[x+：J,作出/(x)的图象，如图所示.易知其与直线>=尤有

且只有三个不同的交点，

即2sinx+2cosx=x有三个不同的解，所以/(无)=2sinx+2cosx为“3型不动点”函数，故D正确.

故选D.

第n卷

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.若则正整数x的值是.

【答案】5或7

【解析】，可得2x-l=x+6或2x-l+x+6=20,

解得尤=7或x=5,经检验，这两个数都符合要求.

故答案为：5或7.

11.五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2,

假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概

率为.

13

【答案】急他104

【解析】依题意，旅客人数X超过1100人的概率不低于0.2,即尸（X>1100"0.2,

所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率最少为

]3

P=C^XO.22X（1-0.2）+C；x0.23x（l-0.2）°=0.104=—.

13

故答案为：

12.已知随机变量X的分布列如下，则。（3X+2）=.

X1234

P0.10.20.30.4

【答案】9

【解析】E（X）=0.1X1+0.2X2+0.3X3+0.4X4=3,

£>（X）=0.1x（l-3）2+0.2x（2-3）2+0.3x（3-3）2+0.4x（4-3）2=1,

所以。（3X+2）=9D（X）=9.

故答案为：9.

13.如图，一只蚂蚁从正四面体OABC的顶点O出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一

顶点，设该蚂蚁经过〃步回到点0的概率勺，则£=,匕=.

o

【答案】*㈢

【解析】由题可知，在1步后蚂蚁位于。、B、C、A点的概率分别为0,|

故经过2步回到点O的概率++=

,，只+i=g（l-q）,，只只-；）,

•・•数列©t是公比为-g的等比数列，

又4一：=_；，尸，即匕mm,

故答案为：;*㈢

2e"+xx<0

14.已知函数/1（X）='若尤2>再，且/（乙）=/（占），则%-占的最小值是,此时在点

I2x-l,x>0

&J（xJ）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

【答案】l+'ln2(1+.2)2

24

【解析】由＞=2/+%求导得j/=2e"+l,令2e"+l=2,解得x=-ln2,

得与直线＞=2x-1平行的直线切曲线＞=2/+》,工40的切点(-ln2,l-ln2),

由2x—1=1—ln2,解得x=l—51n2,因此(％—xJmin=1—,ln2—(—ln2)=l+/ln2,

函数%/(x)的图象在点(-ln2,1-ln2)处的切线/的方程为y-(1-In2)=2(x+In2),

直线/交X于点4-岩上,0),交了轴于点3(0,l+ln2),

所以切线/与坐标轴所围三角形面积为g|CMH02|=&岑匚.

故答案为：l+gln2；(1+M2)2

24

15.已知集合A,5是集合/={1,2,3,4,5,6}的含两个元素的子集，且/彳5,则A中两元素之差的绝对值等

于8中两元素之差的绝对值的概率为一.

4

【答案】4

【解析】当A,8中两元素之差的绝对值均为1时，（48）的个数为5x4=20；

当A,5中两元素之差的绝对值均为2时，（48）的个数为4x3=12；

当A,3中两元素之差的绝对值均为3时，（48）的个数为3x2=6；

当A,8中两元素之差的绝对值均为4时，（48）的个数为2x1=2；

故满足条件的（40共有20+12+6+2=40（个）；

p404

故其概率为尸=€^^=不

4

故答案为：—

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（14分）

4234

若（2x+V3）=a。+axx+a2x+a3x+a4x.

(1)求生+&+。3+。4的值；

⑵求(%+出+%A—(%+%了的值.

4234

【解析】(1)(2x+V3)=a0+axx+a2x+a3x+a4x,

令x=l,可得(2+6)4=%+%+%+〃3+%，

令x=0,可得(0+6)4=%,

***Q]+?+4+%=%+Q]+a2+%+%-〃o=(2+A/3)4—(0+-\/3)4—88+56^/3.

44

(2)(2x+V3)=%+axx+生/+a3xi+a4x,

令X—\i可得(2+V3>=%+%+%+。3+〃4(J)，

令X=—1,Oj彳导(—2+y/3)4=-%+-%+为C2),

结合®(D可得，(。0+。2+。4)~—(%+—A=(。0-%+%—4+。4)(。0+%+%+%+%)

=(2+V3)4X(-2+V3)4

=1.

17.(15分)

“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历

史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉

馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”.乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”,3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青

团问：

(1)从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的概率是多少？

(2)若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；

(3)若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”

是蛋黄馅的概率.

【解析】⑴设事件/="取出青团是蛋黄馅”，「⑷叶.

(2)设事件8="甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅"，事件C="取出第二个青团是肉馅”，

32

尸(,昨瑞——X—

二109=2

39

To

(3)设事件"从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”.

设事件4,4,4分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”,

尸(。)=尸(4)尸(到4)+尸(4)尸(必4)+尸(4)尸(。|4)

3423533

=——X--------1--------X---------1--------X——

10111011101110

18.(15分)

已知函数/(力=3/+以+6在无=1处取得极值-1.

⑴求实数。力的值；

⑵求〃尤)在区间［-2,2］上的最大值和最小值.

(3)若方程^+ax+b-k=^k^有三个不同的实数根,求实数人的取值范围.

【解析】(1)f(x)=3x3+ax+b,则/卜)=9—+。,

因函数［(x)=3Y+ax+6在x=1处取得极值一1,

〃l)=3+a+b=T

/'⑴=9+a=

此时/(x)=3/-9x+5,/(X)=9X2-9,

/(X)>0得X<-1或X>1,/(x)<0得-1<X<1,

则/(x)在(-8,-1)和(1，+⑹上单调递增，在(T,l)上单调递减，

故"X)在x=l处取得极小值，故“=-9/=5.

(2)由(1)可知〃x)在(-2,-1)和(1,2)上单调递增，在上单调递减，而

/(-2)==1=-l,/(2)=11,

则/(x)在区间［-2,2］上的最大值为11和最小值-1.

(3)令g(x)=3x3-9x+5-左，贝ljg'(x)=/(x)=9x2-9,

则P=g(x)与V=/(x)单调性相同，

因方程3x3+办+6-左=0(丘R)有三个不同的实数根,

g(-l)=ll-A:>0

则<得—1〈左<11,

g(l)=-l-/r<0

则实数上的取值范围为(T,11).

19.(15分)

的展开式中满足”。，且常数项为彳，求:

(1)二项式系数最大的项

(2)系数绝对值最大的是第几项

(3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种不同的取法.

z、10-左5

【解析】(1)根据展开式的通项可得〃+|=(-1)C&F

令20-g左=0,解得左=8

即左=8时，常数项5=(一1『e：(4=.,

解得a=\

所以二项式系数最大的项T=C；0(-1)5QJ富6315

6-----x~1

8

(2)系数绝对值最大的项等价于系数最大的项;

设第左+1项系数最大,

3/1>19

即，又左eZ,

3k&22

所以左=7,

即第8项系数最大，也即展开式中第8项系数绝对值最大.

(3)令20—k=m,zweZ,解得左=0,2,4,6,8,10,

2

即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项；

所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有

Cg+C阻=135种.

20.(16分)

2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次