2024-2025学年七年级数学下册题型专练：二元一次方程组的概念（解析版）

第01讲二元一次方程组的概念

题型归纳

【题型一元一次方程的定义】

【题型二元一次方程-等式的性质】

【题型三元一次方程的解】

【题型四判断是否是二元一次方程组】

【题型五判断是否是二元一次方程组的解】

【题型六已知二元一次方程组的解求参数】

基础知识,知识梳理理清教材

考点1:二元一次方程

1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次

方程.

2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一

次方程的解.

题型分类深度剖析,

【题型一元一次方程的定义】

【典例1］（24-25七年级下•山西晋城•阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（）

A.x+2=1B.x2+2y=2C.y2+y=4D.x+5y=0

【答案】D

【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别.

此题考查二元一次方程的定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）

方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程.

【详解】解：A、该方程中只有一个未知数，属于一元一次方程，故本选项错误；

B、该方程中未知数的最高次数是2,不是二元一次方程，故本选项错误；

C、该方程中未知数的最高次数是2,不是二元一次方程，故本选项错误；

D、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项正确；

故选：D.

【变式1-1］（24-25七年级下•全国•课后作业）下面是关于x,y的二元一次方程的是（）

1

A.x=2yB.x+-=2C.2x+y=zD.2x—1=x

【答案】A

【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键.二元一

次方程：含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1,这样的整式方程是二元一

次方程，据此对各个选项逐一判断即可解答.

【详解】解：A.x=2y是二元一次方程；

B.x+巳=2不是二元一次方程；

C.2x+y=z不是二元一次方程；

D.2%-1=久不是二元一次方程.

故选：A.

【变式1-2］（24-25八年级上•甘肃兰州•期末）下列式子中，是二元一次方程的是（）

A.x+y-1B.2x-l-xC.%2+y2=4D.y-2x2

【答案】A

【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满

足三个条件：①首先是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③所有未知项的次数

都是一次.根据二元一次方程组的定义即可求解.

【详解】解：A.x+y=l,是二元一次方程，故该选项符合题意；

B.2x-l=x,只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意；

C.x2+y2=4,含未知数的项的最高次数是2,不是二元一次方程，故该选项不符合题

忌;

D.y=2久2,含未知数的项的最高次数是2,不是二元一次方程，故该选项不符合题意.

故选:A.

【变式1-3］（24-25七年级下•浙江•阶段练习）己知（a-”可=1是关于对的二元一次

方程，贝必=.

【答案】-1

【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的

关键.

根据二元一次方程的定义解答即可.

【详解】解：；（£1一1）%+”3=1是关于%/的二元一次方程，

,"1a—1丰0U.|a|=1>

解得：a=—1,

故答案为：-1.

【题型二元一次方程-等式的性质】

【典例2］（24-25八年级上•山西太原•阶段练习）将方程2x-y=16改写成用含x的代数式表

示y的形式正确的是（）

X____

A.y=2—8B.y—16—2%C.久=16+2yD.y—2x—16

【答案】D

【分析】本题主要考查了二元一次方程，

先移项，再两边都除以-1,可得用含x的代数式表示y的形式即可.

【详解】2x-y=16,

移项，得一y=16-2x,

两边都除以—1,得y=2久-16.

故选：D.

【变式2-1］（24-25七年级下•全国•课后作业）己知二元一次方程x+2y=3,则用含y的式

子表示x为，用含x的式子表示y为.

［答案］x=3-2y

【分析】本题考查了解二元一次方程，等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是

解此题的关键.

根据等式的性质得出x=3-2y即可；根据等式的性质得出2y=3-元再根据等式的性

质方程两边都除以2即可.

【详解】解：,；x+2y=3,

：.x—3—2y；

vx+2y=3,

：.2y—3—x,

故答案为：x=3-2y-,y=^~.

【变式2-2］（23-24七年级下•福建福州•期末）将二元一次方程＞-3久=1写成用含尤的式子

表示〉的形式，则y=___-

【答案】3%+1

【分析】本题考查了二元一次方程，利用等式的性质对方程进行变形，熟练掌握等式的

性质是解答本题的关键.

将含有x的项移到等号右边即可.

【详解】解：,.・y-3x=1,

：.y=3x+1,

故答案为：3%+l.

【变式2-3］（23-24八年级上•山东青岛•阶段练习）在方程2久-3y=8中，用x的代数式表示

心得—.

【答案】

【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握等式的性质，对方程

2久-3y=8进行变形，即可.

【详解】解：2%-3y=8,

移项，得-3y=8-2%,

系数化为"1",得y=|x—'

故答案为：y—|x—

【题型二元一次方程的解】

【典例3］（24-25七年级下•浙江杭州•阶段练习）已知是方程2x+y=7的一个解，则

a的值为（）

A.a=-1B.a=1C.a=-3D.a=3

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是解题的关键.

将％=2代入方程2%+y-7即可求得a的值.

【详解】解：根据题意，得：

将％=2代入方程2x+y=7得,

2x2+y=7,

解得：y=3,

BRa=3.

故选：D.

【变式3-1］（24-25七年级下•全国・期末）如果是关于％,y的二元一次方程

久+my=2025的解，那么zu的值是（）

A.2022B.-2022C.-2023D.2023

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

将｛；；；代入二元一次方程x+my=2025中，可得3+爪=2025,解方程即可.

【详解】解：•••｛；；；是关于久，y的二元一次方程式+my=2025的解，

•,・将｛；=；代入二元一次方程x+my=2025中，

即3+爪=2025,

解得m=2022,

故选：A.

【变式3-2］（24-25七年级下•浙江杭州•阶段练习）已知｛；；|是二元一次方程久+ky=8的

一个解，贝依的值为.

【答案】2

【分析】本题考查了二元一次方程的解，把专代入方程计算即可求出k的值.

【详解】解：•；g:3是二元一次方程久+矽=8的一个解，

将,代入久+3=8得：2+3k=8,

解得:k=2,

故答案为：2.

【变式3-3］（24-25八年级上•河北保定•阶段练习）已知是关于x,V的二元一次方

程a%+2y=0的一组解，则a的值为.

【答案】I

【分析】本题考查了二元一次方程的解；把｛;二一1代入二元一次方程中，即可求解.

【详解】解：由于｛:二-1是关于X,y的二元一次方程ax+2y=0的一组解，

所以3a+2X（-1）=O,

解得：a=|;

故答案为：

基础知识知识梳理理清教材

考点2：二元一次方程组

1.方程组：把x+y=2和x-y=0合在一起写成fx+y=2\就组成了一个方程组

—y=0

2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是1,并且一共有两

个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.

3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程，叫做二元一次方程组的解.

题型分类深度剖析

【题型三判断是否是二元一次方程组】

【典例4］（24-25七年级上•湖南邵阳•期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是

（）

A.产+2'；7f2x+y=lfy=2x+7=7

【答案】C

【分析】本题考查二元一次方程组的定义.二元一次方程组的定义的三要点：（1）只有

两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程.据此可来逐项

分析解题.

【详解】解：A、孙是二次的，此选项错误；

B、方程组含有3个未知数，是三元的，此选项错误；

C、符合二元一次方程组的定义，此选项正确;

D、目是分式，此选项错误.

X

故选：C.

【变式4-1］（24-25七年级下•全国•课后作业）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

（y=%+1（5x+xy=6（2x+z=3f%=10

12%+y=3tx+1=7c-t3x+y=6D*Uy=20

【答案】A

【分析】主要考查二元一次方程组的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含

有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程，注意：整个方程组里只能含有2个未

知数.根据二元一次方程组的定义逐个判断即可.

【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；

B、｛6：中最高次项的次数为2,不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符

合题意；

c、,是三元一次方程组，不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题

思；

D、中最高次项的次数为2,不符合二元一次方程组的定义，故本选项不符合题

思；

故选：A.

【变式4一2】（2025七年级下.全国.专题练习）方程组，热=3：律12正3普中，

不属于二元一次方程组的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据由两个一次方程组成，共含有2个未知

数的方程组叫做二元一次方程组，进行判断即可.

【详解】解：依2丫:九不是整式方程组，不是二元一次方程组，

仁二2:g是二元一次方程组，

二:'是二元二次方程组，不是二元一次方程组，

故选c.

X

【变式4-3】(22-23六年级下,上海长宁•期末)方程组(1){久：金，°6,(2){x-z=l'

x—y=2_

x+y=4,(4){久中，属于二元一次方程组有()

{2x-3y=1y

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据二元一次方程组的定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,

就组成了一个二元一次方程组进行判定即可.

【详解】解：(1){%；室7°6符合二元一次方程组的定义；

⑵{m中含有X、y、Z三个未知数，不是二元一次方程组；

(x—y=2

(3)x+y=4符合二元一次方程组的定义；

12%—3y=1

(4){久；:二4中含有未知项的最高次数为2,不是二元一次方程组；

综上，是二元一次方程组的有2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为

二元一次方程组.

【题型四判断是否是二元一次方程组的解】

【典例5](24-25七年级下•全国•单元测试)已知一个二元一次方程组的解是{；;二;则这个

方程组可以是()

(x+y=-3(x+y=-3(2x=y(x-y=1

Lu

A-Ix-y=l&(x_2y=i-{y-x=-3-L2x-y=-4

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关

键.将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案.

【详解】解：A.把{；二二;代入得：x+y=-1+(—2)=—3,x-y--1-(-2)-1,故

该选项符合题意；

B.把｛；二二:代入得:x+y=-l+（-2）=-3,x-2y=-1-（-4）=3,故该选项不

合题意；

C.把二:代入得：y—比=—2—（―1）=—1,故该选项不合题意；

D.把二;代入得：2x-y--lx2-（-2）=0,故该选项不合题意.

故选:A.

【变式5-1］（23-24七年级下•全国•假期作业）下列各组数中，是二元一次方程组:

的解的是（）

A，］y=lB,ly=0Uly=-lD,ly=1

【答案】B

【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有:

代入消元法与加减消元法.解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法.方程

组利用加减消元法求出解即可.

【详解】解：行苕：翦,

①+②得：3%=6,即、=2,

把久=2代入①得：y=0,

故答案选B.

【变式5-2］（24-25八年级上•河北保定•期末）解是｛；:二;的方程组可能是（）

A.y+孑=:3（六=yy+y=—3e+y比

Ix—2y=11%+y=-3kx—y=-1I3x—y=5

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题

关键.将二;分别代入方程组，满足的方程组即为答案.

【详解】解：A、把二:代入方程组得：羡:3?1，不符合题意；

B、把二;代入方程组得：符合题意；

C、把二;代入方程组得：不符合题意；

D、把妆=二:代入方程组得：｛慕：；二:要，不符合题意；

故选：B.

【变式5-31（24-25七年级下•全国•单元测试）新趋势，结,井幽若关于x,y的二元一次方

程组的解为｛。;一；，则这个方程组可以是.

【答案】｛；二J二二，（答案不唯一）

【分析】本题考查了以解为条件构造方程组，熟练掌握方程组的意义是解题的关键.

以无，y为主元素，任意构造即可.

【详解】解：二元一次方程组的解为｛之二5的方程组有无数个，

如.y+y=3

为二1x-y=-6

故答案为：;二。（答案不唯一）.

【题型五已知二元一次方程组的解求参数】

【典例6】（24-25七年级下•浙江温州•阶段练习）关于x、y的二元一次方程组历;

的解为则常数。和★的值分别为（）

A.8和2B.12和2C.12和一2D.8和一2

【答案】D

【分析】本题考查的是二元一次方程组的解.把解代入方程组中求解即可.

【详解】解：将久=5的代入2x-y=12,

解得：y=-2,即★的值为一2,

将尤=5和y=-2代入2x+y=。得。=2x5+（-2）=8,

故选：D.

【变式6-1］（24-25八年级上•陕西西安•期末）已知是方程组｛葭啰二:的解，则

（a+6）缶一6）的值是（）

A.5B.-5C.25D.-25

【答案】A

【分析】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，利用整体代入法求出

代数式的值即可.

【详解】解：把代入隙二/二3得：鸳言益，

/.（a+b）（a—b）=1x5=5；

故选A.

【变式6-2］（24-25七年级下•全国・单元测试）二元一次方程组｛_3窘%或最L3的解是,

贝lja-b=.

【答案】-2

【分析】将x和y的值代入二元一次方程组，再解方程组即可得出答案.

本题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将解代入方程组解方程组即可

得出答案.

【详解】把｛；：；代入方程组，可得｛—靠;箫=3

a-5

得-

-3

贝1S一人=-5+3=-2.

故答案为：-2.

嗡达标测试

一、单选题

1.（23-24七年级下•福建泉州•期末）已知方程yr=l,下列变形正确的是（）

A.x=1—yB.x=1+yC.y=1—xD.y=1+x

【答案】D

【分析】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知

数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键.

对于方程y-X=l,用含y的代数式表示X,得％=、-1,由此可对选项A,B进行判断;

用含x的代数式表示y,得y=l+x,由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出

答案.

【详解】解：对于方程y-x=l,用含y的代数式表示X,得久=y-l,

故选项A,B不正确，不符合题意；

对于方程y-%=l,用含％的代数式表示y,得y=1+%,

故选项c不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意；

故选：D.

2.（23-24七年级下•甘肃定西•期末）下列方程组中，®｛^+②③

屋三建5,④｛£学二1属于二元一次方程组的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；®

未知数的最高次数为1次；③整式方程.据此进行逐个分析，即可作答.

【详解】解：｛真:；；含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组；

XO

-

y-3满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组;

y

[2x+3y=5满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组；

[x+2y=-l的未知数的最高次数是2,故④不属于二元一次方程组；

故选：B.

3.（24-25八年级上•陕西西安•期末）若｛:=刍是关于工和y的二元一次方程入一2y=4的

解，则左的值是。

,8

A.-1B.--C.1D.5

【答案】A

【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握该知识点是关键.把｛J｝刍代入方程

进行求解即可.

【详解】解：把方程的解｛J=？3代入入-2y=4,得：2k-2x（-3）=4,

解得：k=-l；

故选：A.

4.（24-25七年级上•吉林长春•期末）方程组产:;的解为,则被•和▲遮盖的

两个数分别为（）

A.5,1B.1,3C.2,3D.2,4

【答案】A

【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义.先把％=2代入求y的值，然后直接

求解即可.

【详解】解：由题意得：

把久=2代入x+y=3,得：y=l,

.•.得至!]2x+y—2x2+1=5；

・•・被•和▲遮盖的两个数分别为5,1.

故选：A.

5.（24-25八年级上•陕西西安•期中）如果表中给出的每一对x,y的值都是二元一次方程

ax-6y=3的解，则表中m的值为（）

X0125

y31-1m

A.-7B.-3C.0D.7

【答案】A

【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等

的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键.

O

3代入ax-6y=3中求出b=-1,再把｛；二；代入ax+y=3求出a=2,再将

久=5代入方程即可求出m.

【详解】解：把｛:1g代入以一”=3,得-36=3,

=—1,

则a%+y=3,

把｛jZ；代入a%+y=3,得a+1=3,

/.a=2,

二二元一次方程为：2x+y=3,

把x=5代入2久+y=3,得10+y=3,

■-y=-7,

：.m=—7.

故选：A.

6.（24-25八年级上•广西南宁•开学考试）要把一张面值为100元的人民币换成零钱，现有足

够的面值为20元、10元的人民币，则不同的换法一共有（）

A.5种B.6种C.8种D.10种

【答案】B

【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设面值为20元的有无张，面值为

10元的有y值，则可得方程20x+10y=100,求出方程的非负整数解即可得到答案.

【详解】解：设面值为20元的有x张，面值为10元的有y值，

由题意得，20x+10y=100,

•y—_1_0_-y

,•久一2'

■.-x>y都为非负整数，

二当y=0时，％=5；

当y=2时，%=4；

当y=4时，％=3；

当y=6时，久=2；

当y=8时，x=l；

当y=10时，%=0；

二方程20%+10y=100一共有6组不同的非负整数解，

・•.不同的换法一共有6种，

故选：B.

二、填空题

7.（24-25八年级上•重庆南岸•期中）已知x-2y=6,用含x的代数式表示y,贝0=.

【答案】）—3

【分析】本题考查了解二元一次方程，先移项得到-2y=-x+6,然后把方程两边除

以—2即可.

【详解】解：=6,

：.—2y——x+6,

•■•y=1x-3.

故答案为：1-3.

8.(23-24七年级下•全国•期末)已知仁二;是关于x,y的方程gfy=15的一组解，则

7—(m—2n)=-

【答案】-8

【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值.根据二元一次方程的解的定

义得到2n=15,再整体代入求解即可.

【详解】解：弋12是关于x，y的方程7nx-71y=15的一个解，

■■-m—2n=15,

•■-7—(m-2n)=7-15=-8.

故答案为：-8.

三、解答题

9.(23-24七年级下•山东济宁・期末)

⑴填表，使上下每对x,y的值是方程x+2y=4的解.

(2)以上表中乂的值为横坐标，y的值为纵坐标，在图1的平面直角坐标系中标出这些点观

察并思考：

①这些点是否在一条直线上？

②过这些点中的任意两点作直线，在该直线上任取一点，这个点的坐标是方程

x+2y=4的解吗？

⑶⑵中这样的点我们可以找到无数个，这些点的全体叫做方程x+2y=4的图象；请在

图1的同一平面直角坐标系中画出方程%-y=1的图象，并根据两个方程的图象直接写

出方程组巴1否4的解.

⑷图2给出了方程组｛落空1；的图象，根据图象提供的信息求帅的值.

【答案】⑴见解析

⑵①均在同一条直线上；是

哺”

1

（4）ab=-

【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象；

（1）先解出方程x+2y=4的四个解，再在平面直角坐标系中利用描点法作图，再根

据图形解答即可；

（2）根据（1）所作的图形即可解答；

（3）用描点法分别画出两个二元一次方程的图象，根据图象的交点就是方程组的解