2024-2025学年七年级数学下册题型专练：平方根（知识解读+达标测试）解析版

第01讲平方根

题型归纳

【题型1平方根的概念和表示】

【题型2平方根的性质】

【题型3利用开平方解方程】

【题型4算术平方根的概念】

【题型5算术平方根的非负性】

【题型6算术平方根的小数点移动规律】

【题型7与算术平方根有关的规律探索】

基础知识,知识梳理理清教材

考点1：平方根

1.算术平方根的定义

如果一个正数X的平方等于。，即V=即那么这个正数x叫做。的算术平方根（规定0

的算术平方根还是0）；a的算术平方根记作夜，读作“a的算术平方根”，a叫做被

开方数.

注意：当式子■有意义时，。一定表示一个非负数，即、份20,a》0.

2.平方根的定义

如果一=。，那么x叫做。的平方根.求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.平

方与开平方互为逆运算.a（a》0）的平方根的符号表达为土丘（a20）,其中五是。

的算术平方根.

考点2：平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：土和

2.联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0.

注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负

数没有平方根.

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方

根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

考点3：平方根的性质

aa>Q

=\a\=<0a=0(a>0)

-aQ<0

考点4：平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右

或者向左移动1位.例如：V62500=250，V625=25,V625=2.5,

V0.0625=0.25.

题型分类深度剖析,

【题型1平方根的概念和表示】

【典例1】9的平方根是（）

A.3B.±3C.±V3D.81

【答案】B

【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的求解方法是解题关键.根据平方

根的定义即可得.

【详解】解：;（±3）2=9,

••.9的平方根是±3,

故选：B.

【变式1-1】下列各数中，没有平方根的是（）

A.2B.（—2）2C.-22D.23

【答案】C

【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握负数没有平方根，分别判断各个选项的

正负，即可解答.

【详解】解：A、2>0有平方根，不符合题意；

B、（―2）2=4>0有平方根，不符合题意；

C、-22=-4<0没有平方根，符合题意；

D、23=8>0有平方根，不符合题意；

故选：c.

【变式1-211—251的平方根为（）

A.5B.-5C.25D.5或一5

【答案】D

【分析】本题考查求绝对值，平方根.熟练掌握会求一个数的绝对值和平方根是解题的

关键.

先求出|一25英25,再求25的平方根即可.

【详解】解：|一25|=25,则|一25|的平方根为5或—5.

故选：D.

【变式1-3】内的平方根是（）

A.V3B.-V3C.±V3D.±3

【答案】C

【分析】本题主要考查了求算术平方根，平方根.先根据算术平方根的性质可得向=3,

再根据平方根的性质计算，即可求解.

【详解】解：•.诋=3,

西的平方根是土V3.

故选：C

【题型2平方根的性质】

【典例2］已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15.

⑴求这个正数；

（2）求a+12的平方根.

【答案］⑴49

（2）±4

【分析】（1）由题意知，a+3+2a—15=0,解得a=4,根据这个正数为（a+3/，计

算求解即可；

（2）根据a+12的平方根为±GII，代值求解即可.

【详解】（1）解：由题意知，a+3+2a—15=0,

解得a=4,

・•.(a+3)2=7?=49,

・•・这个正数为49；

(2)解：由题意知，a+12的平方根为±Ja+12=±+12=±4,

.•.a+12的平方根为±4.

【点睛】本题考查了平方根.解题的关键在于熟练掌握：正数的平方根互为相反数.

【变式2-11a+3与2a-15是正数小的平方根，求a,ni的值.

【答案】a=18或4,机=441或49

【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0

的平方根是0；负数没有平方根.根据题意可得(a+3)2=(2a-15)2,得到即

a+3=2a-15或a+3+2a-15=0,可求出a,再根据平方根的定义求出?n即可.

【详解】解：由题意得：(a+3)2=(2a-15)2,

即a+3=2a—15或a+3+2a-15=0,

解得：a=18或a=4,

a+3=21或a+3=7,

m=21?=441或m=7?=49.

【变式2-21已知一个正数的两个不同的平方根分别是a+6与2a-9.

⑴求。的值；

(2)已知af-16=0,求x的值.

【答案】(l)a=l；

(2)%=±4

【分析】(1)根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答.

(2)移项，利用平方根解方程即可解答.

【详解】(1)解：由题意得，a+6+2a—9=0,

解得，a=1；

(2)解：由(1)得/-16=0,

■,■X2=16,

：.x—+4.

【点睛】本题考查的是平方根的概念，掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为

相反数是解题的关键，

【变式2-31已知2k-5与3k-10是同一个正数的平方根.

⑴求k的值；

(2)求这个正数的值.

【答案】⑴上的值为3或5；

(2)这个正数的值为1或25.

【分析】(1)根据平方根的意义，分两种情况讨论，然后进行计算即可解答;

(2)把左的值代入(2k-5)2进行计算即可解答.

【详解】(［)解：分两种情况：

当2h5+3G10=0,

解得：上=3；

当2%-5=3%-10时，

解得：k=5,

■-k的值为3或5；

(2)解:当妹3时，(2k—5)2=(6-5猿=1；

当上5时，(2k-5)2=(10—5)2=25,

・•.这个正数的值为1或25.

【点睛】本题考查了实数，熟练掌握平方根的意义是解题的关键.

【题型3利用开平方解方程】

【典例3］解方程：

(1)25X2-49=0；(2)2(%+1猿-49=1

［答案］⑴久=(或%

(2)%=4或%=-6

【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题关键：

(1)先将方程整理为/=||,再利用平方根解方程即可得；

(2)先将方程整理为Q+1)2=25,再利用平方根解方程即可得.

【详解】(1)解：25久2—49=0,

25久2=49

249

X二云

X=［或％=-1；

(2)解：2(%+1)2—49=1

2(%+I)2=50

(%+I)2=25,

%+1=5或％+1=—5,

x=4或％=—6.

【变式3-1】求下列各式中的此

(1)9%2-25=0；(2)(%+1)2+8=72；(3)2(%-1)2-32=0.

【答案】(1)久=±|

(2)x=-9或久=7

(3)%=-3或x=5

【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义，掌握等式的性质是正确解答的前提.

(1)根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；

(2)根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可；

(3)根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可.

【详解】(1)解：移项得，9/=25,

两边都除以9得，/=得，

由平方根的定义得，x=±f;

(2)移项得，(%+1)2=72—8,

合并同类项得，(x+l)2=64,

由平方根的定义得，*+1=±8,

即久=—9或久=7；

(3)移项得，2Q—1)2=32,

两边都除以3得，(x—l)2=16,

由平方根的定义得，x-l=±4,

即第=—3或％=5；

【变式3-2］求下列各式中x的值.

⑴4*2—81=0(2)(X-3)2=||

Q

【答案】(l)x=士段

(2)X=y^X=y

【分析】本题考查了求平方根知识点，熟练掌握求平方根的方法是解本题的关键;

(1)将等式整理为%2=?，再直接开平方计算求值即可；

(2)直接开平方计算求值即可.

【详解】(1)解：4/-81=0,

281

%=彳，

,9

%=±5；

(2)(%—3猿=—,

%—3=±去

19f11

X=三或%=

【变式3-3】求下列各式中工的值：

(1)(%-4)2=4；(2)|(X+3)2=3.

【答案】(1)%=6或尤=2

(2)x=-6或x=0

【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程:

(1)根据求平方根的方法解方程即可；

(2)根据求平方根的方法解方程即可.

【详解】(1)解：4)2=4,

,.x—4=±2,

,•%=6或%=2；

(2)解：+3猿=3,

••・0+3）2=9,

：.x+3=±3,

・,・％=-6或久=0.

【题型4算术平方根的概念】

【典例4】化简正可的结果是（）

A.-9B.9C.-3D.3

【答案】D

【分析】本题考查算术平方根计算.根据题意先将根式中计算出来，再开根号即可得到

本题答案.

【详解】解：后可=百=3,

故选：D.

【变式4-1】算术平方根等于它本身的数（）

A.不存在B.只有1个C.有2个D,有无数个

【答案】C

【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据算术平方根的定义可知算术平方根等于它本身的数有0和1.

【详解】解：算术平方根等于它本身的数有0和1,

故选：C.

【变式4-2】右的算术平方根为（）

ic>y

A-WB-c.士亲D-（焉）

【答案】A

【分析】此题主要考查了算术平方根的定义：如果一个数的平方等于那么这个数就

叫做a的平方根，其中非负的平方根叫做这个数的算术平方根.根据算术平方根的定义

解答即可.

【详解】解：总的算术平方根是白，

loyID

故选：A.

【变式4-3】4的算术平方根是,a的值是.

【答案】27

【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可得出答案.

【详解】解：4的算术平方根是返=2,

•''V49=7

的值是7,

故答案为：2,7.

【题型5算术平方根的非负性】

【典例5】已知正三+/一4|=0，贝方的平方根是()

3333

++

A.2-B.-2--4-4-

【答案】B

【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根.

根据算术平方根与绝对值的非负性求出。、方的值，进而即可解答.

【详解】解：vVa—92|b-4|20,且五―9+|b—4|二

a-9=0,|6-4|=0,

.,.a=9,=4,

a9

：'~b=4f

•母的平方根是土*

故选：B.

【变式5-1】已知a,b,c为△ABC的三边长，且G工+|b-c|=0，则△4BC的形状是

()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定；根

据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b,c的关系，即可得解.

【详解】解：根据题意得，a-b=0,b-c=0,

解得a=b,b=c,

所以，a=b=c,

所以，△ABC的形状是等边三角形.

故选：B.

【变式5-2】已知式2a+b+—3|=。，则/=.

【答案】~

【分析】本题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，非负数的性质：几个非负

数的和为0时，这几个非负数都为0.首先根据非负数的性质，可求出.、6的值，然

后再代入求值计算.

【详解】解：Z2a+b+\b—3\=。，

.,.2a+b=0,b—3=0,

解得：a=b=3,

,b_(3\327

故答案为：-W

【变式5-3］已知x、y是实数，且，三二+(y-3)2=0,则久y的值是.

【答案】8

【分析】本题考查的是非负数的性质.根据平方和算术平方根的非负性，求出无、y的

值，代入计算得到答案.

【详解】解：由题意得，x-2=0,y-3=0,

解得，x—2,y—3,

・"=23=8,

故答案为：8.

【题型6算术平方根的小数点移动规律】

【典例6】已知例0.1156=0.34,111.56=3.4,则V115600=()

A.34B.0.034C.3400D.340

【答案】D

【分析】本题考查了求算术平方根，关键是算术平方根定义的掌握.由题意得出被开方

数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解.

【详解】解：,；V0.1156=0.34,V11.56=3.4,

被开方数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，

­,­V115600=340,

故选：D

【变式6-1】已知，102x10.10,V10.2~3,194,则J1.021（）

A.110B.31.94C.0.3194D.1.01

【答案】D

【分析】本题考查了算术平方根，理解小数点的移动规律是解此题的关键.

据算术平方根的意义，被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行求解即可.

【详解】解：因为VI应=10.1。，

即=V1.02X100=V1.02X10=10.10,

所以V1.02X1.01,

故选：D.

【变式6-2］已知，23.6X4.858,12.3661.536.则4236000-（）

A.485.8B.48.58C.15.36D.153.6

【答案】A

【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知，236000=V237x/旃进而即可

解答.

【详解】解：•••2360000是23.6向右移动4位得到的，

•••V236000=V23.6x1002=723.6X71002,

,•'V23,6«4.858,

■,々236000=723.6xV1002»4.858x100-485.8,

故选A.

【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，掌握算术平方根的小数点的移动

规律是解题的关键.

【变式6-3】已知，5.2"2.28,152.”7.22,则，0.0521的值约为（）

A.0.228B.0.0722C.0.0228D.0.722

【答案】A

【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内

的小数点移动两位，对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致.

【详解】解：Zs21H2.28,

•••Vo,0521~0.228.

故选：A.

【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握小数点的移动规律是解本题的关键.

【题型7与算术平方根有关的规律探索】

【典例7】如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至

右第5个数是（）

1

近百

_2V5V6

V72V23V10

A.2V10B.V41C.5V2D.V51

【答案】B

【分析】由图形可知，第n行最后一个数为可1+2+3+•••+.=J竺罗，据此可得答案.

【详解】解：由图形可知，第〃行最后一个数为+2+3+…+n=电理，

.•.第8行最后一个数为J孕=7^=6,

则第9行从左至右第5个数是百圣=V41,

故选：B.

【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第〃行最后一个数为

^n（n+l）

【变式7-1］已知：^2+|=2^|，^3+1=3^1，14+94区,15+5=5点,

若』0+9=lojj符合上面规律，贝M+6的值为（）

A.179B.109C.210D.104

【答案】B

【分析】分析数据可得：2+|-22X|,有3=22—1；3+1=32X1,有8=3?—1；…

33oo

若10+5=102xg,必有。=庐一1；且b=10,则a=99；则a+b=109.

【详解】解：••・2+|=22x|,可得3=22—1：

3+1=32X|,可得8=32—1；...

10H—,则a=b2—1,6=10,

aa

则a=99,

a+b=109.

故选：B.

【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键.

【变式7-2】将一组数百，V6-3,TH，V15.……，屈按下面的方法进行排列：

V3V63V12V15

V18V21V24V27V30

若任的位置记为(1,4)，场的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记为()

A.(14,4)B.(14,5)C.(15,5)D.(16,1)

【答案】C

【分析】依据每组数的排列规律，设即=痴，这列数中最大的有理数为3=

V3V75.从而得出n=75,根据每行5个数进一步求解即可.

【详解】解：设厮=收，

••,该列数中，最大的有理数为我元，

/.3n=225,即几=75,

・••每行5个数，

•••亚元在第15行第5列，

.•・这组数中最大的有理数的位置记为：(15,5)，

故选：C.

【变式7-3］我们知道有一些整数的算术平方根是有理数，如VI，V?,西，…已知〃=

1,2,3,99,100,易知日中共有10个有理数，那么后中的有理数的个数是()

A.20B.14C.13D.7

【答案】D

【分析】在2,4,6,198,200的这组数据中，找出完全平方数即可.

【详解】解：•.•岳是有理数，

••.2«是完全平方数，

'：n=1,2,3,...»99,100,

•'•2n—2j4,6,...J198,200,

・•.在2,4,6,198,200的这组数据中，完全平方数有2,8,18,36,64,100,

144,196,

•••历中的有理数的个数是7,

故选D

【点睛】本题考查了有理数和无理数的区别，解答关键是找出全部完全平方数.

嗡达标测试/

L（24-25八年级上•福建泉州•期中）16的平方根是（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】D

【分析】本题考查求一个数的平方根.根据题意可知16的平方根是±4,即可得到本题

答案.

【详解】解：•••16的平方根是土是

故选：D.

2.（海南省海口四校2024—2025学年八年级上学期期末联考数学试题）W石的算术平方根

等于（）

A.4B.±4C.2D.±2

【答案】C

【分析】本题考查了算术平方根的意义，掌握一个非负数的正的平方根，即为这个数的

算术平方根是解题的关键.

先化简嬉，再根据算术平方根的意义求解即可.

【详解】解：:俄=4,4的算术平方根等于2,

・•.VI石的算术平方根是2.

故选：C.

3.（24-25八年级上•安徽合肥・期末）+|2a-引=0，则（）

A.a+b=—1B.a+b=1C.a+b=2D.a+b=3

【答案】B

【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，求代数式的值，先由算术平方根和

绝对值的非负性得出a=2,6=-1,代入计算即可得解.

【详解】解：a—b—3+|2a-4|=。，

一b—3=0,2a—4=0,

解得：a=2,b=-1,

.,.a+b=2+（—1）=1,

故选：B.

4.（24-25七年级上•浙江宁波・期中）若a,b互为相反数，c,d互为倒数，e是9的平方根,

则（a+6）3+2cd—e的值为（）

A.-1B.-2C.5或-1D.4或—2

【答案】C

【分析】本题考查了相反数和倒数的性质，以及求一个数的平方根，互为相反数的两数

和为零，互为倒数的两数积为1,9的平方根是±3,据此即可求解.

【详解】解：由题意得a+b=O,cd=l,e=±3；

当e=-3时，（a+b'）3+2cd—e=0+2+3=5；

当e=3时,（a++2cd-e=0+2—3=—1；

故选：C

5.（24-25九年级上•福建泉州•期中）计算：北=.

【答案】2

【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.

直接利用算术平方根的定义即可解答.

【详解】解：虫？：*

V4—2,

故答案为：2.

6.（22-23八年级下•安徽合肥・期末）"可=.

【答案】5

【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，

根据（-5）2=25,再求出25的算术平方根即可.

【详解】根据题意，得/百济=后=5.

故答案为：5.

7.（2024七年级上•浙江宁波•竞赛）已知x-l的平方根为±2,已知3x+y-l的平方根为

±4,贝1|3久+5y的算术平方根是.

【答案】5

【分析】此题考查了平方根、算术平方根，解题的关键是熟练掌握平方根、算术平方根

的性质，从而完成求解.

根据平方根的平方等于被开方数的性质，通过求解一元一次方程，计算得x和y的值,

根据代数式的性质计算，即可完成求解.

【详解】解：的平方根为±2,

■■-x—1=4,

■■■X=5

・；3x+y—l的平方根为±4,

.-.3%+y—1=16,

.*.3x5+y—1=16,

•••y=2,

•••3%+5y=25

■■.3x+5y的算术平方根为5.

故答案为：5.

8.(24-25七年级上•浙江宁波•期中)若一个正数的平方根分别为4-爪和2m-11,则这个正

数是.

【答案】9

【分析】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握平方根的概念是解题的

关键.根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于。求出加值，再求出一个平

方根，进而就可以得到这个正数.

【详解】解：•.・一个正数的平方根分别为4-m和2m-11,

・•・4—zn+2m-11=0,

解得m=7,

则这个正数是(4m)2=(4-7)2=%

故答案为：9.

9.(22-23八年级上•江苏扬州•阶段练习)求下列各式中的x值：

⑴25久2—9=0；

(2)4(1+%)2=49.

=-

【答案】(1比1=|,X2t

(2)x1=-,x2=-

【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义.

(1)根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可;

(2)根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可.

【详解】(1)解：25%2-9=0

25/=9

25

33

久1=于