2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（考查范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步）

专题2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基

础篇）（考查范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步）

第一部分【考点目录】

一、选择填空题

【知识点一】整式的乘除

【考点1】科学记数法.........................................................2

【考点2］寨的运算+乘法公式+多项式乘以多项式..................................3

【考点3］嘉的运算的逆运算....................................................5

【考点4】多项式乘多项式中的字母参数.........................................8

【考点5］乘法公式中的字母参数...............................................10

【考点6】整式中的整体思想求值...............................................11

【考点7】多项式相乘几何图形中运用...........................................13

【考点8】乘法公式中几何图形运用.............................................15

【考点9】运用乘法公式进行有理数简便运算.....................................18

【考点10］整式乘除中的规律探究.............................................20

【知识点二】相交线与平行线

【考点n】余角、补角、对顶角、角平分线综合.................................22

【考点12】直线公理、线段公理...............................................24

【考点13］平行线的判定.....................................................27

【考点14］平行线的性质求角.................................................29

【考点15］平行线的性质与判定综合............................................32

【考点16］平行线的性质与判定在生产生活中的应用..............................35

【知识点三】概率初步

【考点17】事件的分类..........................................................38

【考点18］由频率估计概率......................................................39

【考点19］已知概率计算数量...................................................41

【考点20】由概率公式计算概率.................................................43

【考点21】游戏的公平性.......................................................44

【考点22］几何概率.......................................................................46

二、解答题

【考点23］整式的乘除中的计算...........................................................49

【考点24］整式的乘除中的化简求值.......................................................51

【考点25］整体的乘除中的几何图形.......................................................54

【考点26】概率初步中的求解..............................................................56

【考点27】相交线运算求值证明............................................................59

【考点28］平行线中的求值证明...........................................................62

第二部分【题型梳理与方法展示】

一、选择填空题

【知识点一】整式的乘除

【考点11科学记数法

1.（24-25八年级上•河南商丘・期末）人体内一种线粒体的直径约为0.56微米，相当于0.00000056米.将

数据"0.00000056"用科学记数法表示为（）

A.5.6x10-6B.0.56x10-5C.5.6X107D.56x10^

【答案】C

【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为“xlO"的形式，其中w为整数，正

确确定。、〃的值是解题的关键.

将0.00000056写成“xlO"其中以。|<10,〃为整数的形式即可.

解:0.00000056=5.6xl0-7.

故选C.

2.（2025・云南昆明•模拟预测）袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，"白日不到处，

青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开."若苔花的花粉直径为0.0000084米，用科学记数法表示

0.0000084=8,4x10%则"为（）

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】A

【分析】将00000084的小数点向右移动6位，则〃=-6.

本题考查科学记数法表示较小的数，正确记忆科学记数法的形式是解题关键.解：

解：0.0000084=8.4x10^.

则n为—6.

故选：A.

3.（24-25七年级下•全国•课后作业）我国北斗三号卫星上装载的新一代原子钟，使授时精度达到了百亿

分之三秒.百亿分之三用科学记数法可以表示为（）

A.30x10-°B.3xlO-10C.0.3x10-8D.3xl0-9

【答案】B

【分析】本题考查了科学记数法”将一个数表示成axlO"的形式，其中1《同〈10,〃为整数，这种记数

的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数

点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.先将百亿分之三化为数字而3嬴而，再根据

科学记数法的定义即可得.

3

解：百亿分之三化为数字

10000000000

333

用科学记数法可以表示为=3x10r°,

1000000000010000000000凝

故选：B.

4.（24-25八年级上•江西南昌•期末）北斗卫星导航系统（BDS）是我国自行研制的全球卫星导航系统.北

斗卫星导航系统可在全球范围内全天候为各类用户提供高精度，高可靠的定位、导航、授时服务，授时精

度达到0.00000001秒.将Q00000001用科学记数法可表示为.

【答案】1X10-8

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1＜忖＜10,

〃为整数即可求解，确定”的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移

动的位数相同，当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值＜1时，〃是负整数，解题的关键要正

确确定。的值以及〃的值.

解：0.00000001=1X1O-S,

故选：c.

【考点2］寨的运算+乘法公式+多项式乘以多项式

1.（24-25八年级上•湖北武汉•期末）下列运算正确的是（）

4248

A.=aZ?2B.a-a-aC.。,+=d~D.d~+a，—Cl

【答案】A

【分析】本题考查了同底数基的乘法,累的乘方,合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键.根

据运算法则逐一计算判断即可.

解：回（4%）~=“%2,正确，

故A合题意.

ffla2-a4=a6,错误,

配不合题意.

团*+q3=q3,错误，

0C不合题意.

Sa2,a3,不是同类项，无法计算，错误，

0D不合题意.

故选：A.

2.（2024•江苏徐州•中考真题）下列运算正确的是（）

A.x3+x3=x6B.%3-%9=X21C.„'=工5D.x3-i-x=x2

【答案】D

【分析】本题考查合并同类项、同底数幕的乘法、幕的乘方、同底数幕的除法，熟练掌握运算性质和法则

是解题的关键.根据合并同类项法则；同底数幕相乘，底数不变，指数相加；事的乘方，底数不变，指数

相乘；同底数神相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解.

解：A、?+?=2?,故此选项不符合题意；

B、8-9=钞,故此选项不符合题意；

C、卜2丫=尤6,故此选项不符合题意；

D、X3-i-x=x2,故此选项符合题意；

故选：D.

3.（2024・四川・中考真题）下列计算正确的是（）

A.2（a+2）=2<?+2B.a+a—a2

C.3ci-5a—D.（tz+b^~=a"+b~

【答案】C

【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，塞的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行计算即可.

解：A、2(a+2)=2a+4,选项错误，不符合题意;

B、a+a=2a,选项错误，不符合题意；

C、3a-5a=15a2,选项正确，符合题意；

D、(<7+Z?)2=a2+2ab+b2,选项错误，不符合题意；

故选：C.

4.(2025・福建泉州•模拟预测)下列运算正确的是()

A.2a-3a=6aB.(a-2)2=a2-4

C.(—ab)~=-al>2D.l)=6z2—1

【答案】D

【分析】本题主要考查了计算单项式乘单项式，完全平方公式，积的乘方，平方差公式等知识点，熟练掌

握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键.根据单项式乘单项式法则、完全平方公式、积的乘方法则、

平方差公式逐项分析判断即可.

解：A.2a-3a=6a2^6a,原计算错误，故选项A不符合题意；

B.5一2)2=/-4“+4片/_4,原计算错误，故选项B不符合题意；

C.(-游=时手-石，原计算错误，故选项C不符合题意；

D.(a+l)(a-=计算正确，故选项D符合题意；

故选：D.

【考点3］寨的运算的逆运算

1.(24-25七年级下•全国•周测)已知(/)"=27,'=4,a>0,贝iWf的值为()

QIQ1

A.73B.73或89C.—D.±—

88

【答案】C

【分析】本题考查了事的乘方，同底数幕的除法，熟练掌握运算法则是今天的关键.

根据幕的乘方得到a"=3,/=2,代入a4A3y计算即可得到答案.

解：,.,(/)=27,(")'=4,a>0,

Q"=(Q*)=33,a2y==22,

/.ax=3,ay-2,

a4x-3y=a4x-i-a3y=（/）+（，）=34-23=y

故选：c.

41

2.（24-25八年级上•河南信阳•期末）已知°=8产，/>=27c=961,则。，b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>obC.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【分析】本题主要考查了幕的乘方的逆运算和幕的乘方运算,正确把a、b、c的底数全部换成3是解题的

关键.把。、b,c的底数全部换成3即可得到答案.

解:回。=8产，用=2741,c=96i（

4311243411226122

0£Z=（3）=3,Z,=（3）=3\C=（3）'=3,

^\a>b>c,

故选：A.

2024

3.（24-25九年级上•山东滨州•期中）计算：策2025

®.6（-1严=（

55-88

A.-B.——C.一D.——

8855

【答案】D

【分析】本题主要考查积的乘方和同底数幕相乘的知识，掌握以上知识是解题的关键;

2。244展I

本题先将1.62°25化简为’1,然后再根据积的乘方逆运用进行计算，即可求解;

故选：D；

4.（24-25八年级上•河南新乡•期中）已知10。=20,1000=50,则。+2人—1=

【答案】2

【分析】本题考查累的运算，代数式求值，逆用幕的乘方，得到IO?"=50,再根据同底数塞的乘法，得到

10“X1（）2〃=20x50=1000,求出a+2）的值，整体代入法求出代数式的值即可.

解:01004=50

01O2fc=50

010"xIO?'=10a+2i=20x50=1000=103,

回。+2/?=3,

团a+2b—1=3—1=2；

故答案为：2.

5.（24-25七年级下•全国・周测）若屋=a"（a>0且是正整数），则"?=".利用上面结论解决

下面的问题：

（1）如果8,=2,，那么x的值为；

（2）如果3*+2一3，+1=54,那么x的值为.

7

【答案】j2

【分析】本题考查了同底数幕的乘法，幕的乘方，积的乘方，解一元一次方程，理清指数的变化是解题的

关键.

（1）因为8"=23",所以231=27,得至lj3x=7,解方程即可得到答案；

（2）因为3，+2_3川=54,所以3，（32-3）=54,得到3,=3?,即可得到答案.

解：⑴8r=27,8J=（23）'=23X,

23%=27，

3x=7,

7

解得：x=§,

7

故答案为：—■

（2）3A+2-3X+1=54

3%X32-3XX3=54

3X（32-3）=54

..%=2,

故答案为：2.

【考点4】多项式乘多项式中的字母参数

1.（24-25八年级上•湖北宜昌•期末）若（x-ZXx+B'ux2+妆+6,则a+b的值为（）

A.-7B.7C.-5D.5

【答案】C

【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则，先根据多项式乘多项式法则展开，合并同类项，求出。、6值，

再代入求出即可.能正确根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键.

解：（x—2）（%+3）==x2+3x—2x—6=尤？+无一6,

•«,（x—2）（尤+3）=x2+ax+b,

6Z—1,H--—6,

.,.〃+/?=—5,

故选：C.

2.（24-25八年级下•甘肃武威•开学考试）若将（2x+a）（2x-A）展开的结果中不含有x项，则a,6满足的

关系式是（）

A.ab=lB.ab=OC.a—b=。D.a+b=O

【答案】C

【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.原式利用多项式乘以多项式法则

计算，由结果不含x项，得出。与6的关系即可.

解：=4x2-2bx+2ax—ab

=4x2+2（^a-b）x-ab

•.•（2x+a）（2x-6）展开的结果中不含有x项

:.a-b=O.

故选：C.

3.（23-24九年级下・安徽宣城咱主招生）若丁+无8+~+/+%+1=（）,则x的值为.

【答案】-1

【分析】本题考查了单项式乘以多项式，整式的加减，掌握这些知识及运算法则是解题的关键.

由/+炉+…+f+x+i=o,贝U尤（无，+尤8+-..+f+x+l）=0,即9。+*9+...+*3+/+*=0,然后两式相

减得出9°—1=0,最后讨论即可.

解：回了9+%8H-------(_x2+%+1=0,

团XW0,%9+%8+...+无2+%=-1,

回兀(%9+f+..•+/+%+1)=0,

团A4。+%9+・..+%3+%2+%=o，

团无°i—1=0,

回％=±1,

团当％=1时，/+%8+(_%2+%+1=10工0,

9

团当％=-1时，X+%8+.・・+/+%+1=0，

故答案为：-1.

4.(24-25七年级下•全国•周测)已知5、=160,32,=160,贝lj(―2025)eD(xz=.

【答案】1

【分析】本题考查了幕的乘方和积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键.

根据题意得至1」(5")'=1603继而得至总孙=5%5'=5也，得到孙=%+%计算即可得到答案.

解：v5x=160,

.•.(5“y=160,，

「.5-=(5x32)，=5,x32"

・.・32、=160,

.•.5*5%5》=54%

/.xy=%+y,

二(一2025)“TX>TZ=(_2025严工+>)山=(-2025)°=1,

故答案为：1.

5.(24-25七年级下•全国•期中)若@-3)(%+<7)=/+灰-6,则2025""=.

【答案】2025

【分析】本题考查了求代数式的值及多项式乘以多项式运算，由多项式乘以多项式得(x-3)(x+a)

=^2+(«-3)X-3«,可得a-3=6,3。=6,即可求解；能熟练进行多项式乘以多项式运算是解题的关键.

解:(x—3)(x+〃),

=x1+ax-3x-3a

—%2+(〃—3)%—3a

,/（x-3）（x+tz）=x2+/?x-6,

：•a—3=b,3a=6,

解得〃=2,b=—l,

2025“=20252"f=2025,

故答案为：2025.

【考点5】乘法公式中的字母参数

1.（24-25八年级上•四川宜宾•期末）若公—（根_1卜+9是完全平方式，则机的值为（）

A.7B.4或—2C.7或一5D.4

【答案】C

【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点得到加-1）=±6是解决问题的关键.

先根据两平方项确定出这两个数，然后再根据完全平方公式的乘积的二倍项即可确定m的值.

解：0X2—（Z77—1）X+9=X2—（Z77—1）J；+32,

=±6

解得=7或m=-5.

故选：C.

2.（24-25八年级上•云南昭通・期末）若关于。的二次三项式9/一24°+〃?是一个完全平方式，则机的值

是（）

A.16B.-3C.一16或16D.1或-3

【答案】A

【分析】本题主要考查了完全平方的公式，根据完全平方公式（4-6）2=/-2必+力2,观察其构造，即可

得出，"的值，掌握完全平方公式的特征是解题的关键.

解：由9a2—24。+〃?=（3。）一一2x30x4+4?,

国m=16,

故选：A.

3.（2025七年级下•全国•专题练习）若（20242-4）（20232-4）=2026x2022x2021相，则m的值是.

【答案】2025

【分析】本题考查了平方差公式的应用，由平方差公式得

（2024+2）（2024-2）（2023+2）（2023-2）=2026x2022x2021m,即可求解；能熟练利用平方差公式进行运

算是解题的关键.

解：回（20242-4）（20232-4）=2026x2022x202Im,

0（2024+2）（2024-2）（2023+2）（2023-2）=2026x2022x2021m,

02026x2025x2022x2021=2026x2022x2021m,

=2025,

故答案为:2025.

4.（2025七年级下•全国・专题练习）若（炉+9）（尤+3）（》-3）=彳"-81,则〃等于.

【答案】4

【分析】本题主要考查了平方差公式，解决本题的关键是利用平方差公式，把等号左边的计算出来，得到：

原式=/一92,再根据（丁+9）5+3）（》一3）=》"一81可得/_92=/_81,从而可知”=4.

解：-.-（%2+9）（%+3）（%-3）=（%2+9）（%2-9）=%4-92,

又•.•优+9）（工+3）（工-3）=/-81,

,-.%4-92=尤”—81,

.二〃二4,

故答案为：4.

【考点6】整式中的整体思想求值

ab12

1.（23-24七年级下•安徽合肥・期中）我们规定历，例如,/=1x4-2x3=—2,已知

ca34

m+2n

=5,贝!J代数式2〃？—6〃一1的值是（)

m—2n+3

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【分析】本题主要查了整式的混合运算.根据新定义可得（租+2”）（加-〃）-”（加-2〃+3）=5,从而得到

加2一3〃=5,再代入，即可求解.

解：根据题意得：（机+2”）（机-〃）一”（〃7-2〃+3）=5,

团疗+2mn—mn—2n2—rnn+2n2—3〃=5,

即加2—3〃=5,

团2（/—3〃）=2疗—6〃=10,

团2w2一6〃-1=10—1=9.

故选：D

2.（2023•山东临沂•一模）已知根+〃=；根〃，则（加一2）（几一2）的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】把所求式子去括号整理得加-2（加+〃）+4,再将已知整体代入即可求解.

叼

解：Bm+n=—1mn,

2

团（m-2乂〃-2）

=OTt-2（m+n）+4

「

=mn—2x—1mn+44

2

=4,

故选：D.

【点拨】本题考查了多项式乘多项式一化简求值，掌握计算多项式乘多项式的方法是解题的关键.

3.（24-25八年级下•重庆•开学考试）已知4+。=3,则（2。-4）（〃+3）的值是—.

【答案】-6

【分析】本题考查多项式乘多项式并求值.根据多项式乘多项式的法则，以及整体代入法，进行求值即可.

解：回/+Q=3,

团（2〃-4）（〃+3）-2a2—4〃+6〃-12

=24+2。—12

=2(a?+a)-12

=2x3-12

=-6;

故答案为：-6.

4.(24-25七年级上•上海宝山•期中)已知尤2+丁=22,xy=7,那么(2尤一y)(x—2y)的值为

【答案】9

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式的计数法则求出

(2x-y)(x-2y)=2d+力-5H,再利用整体代入法代值计算即可.

解：(2x-y)(x-2y)

=2x2—4xy—xy+2y2

=2x2-5xy+2y2

—2(f+y2)—5xy,

•/x2+y2=22,xy=7,

原式=2x22-5x7=44-35=9,

故答案为：9.

【考点7】多项式相乘中几何图形的应用

1.(24-25八年级上•山西大同•期末)如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式

()

IaIbb

a

b

A.(<7+Z?)(a+2Zj)=a2+3ab+2b2B.(a+Z?)(2a+Z?)=2a2+3ab+b2

C.(o+Z?)(fl-2&)=o2-ab-2b2D.(a+Z?)(2a-Z?)=2a2+ab-b2

【答案】A

【分析】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，

根据题意可知大长方形的面积为(a+b)(a+26),等于一个小正方形的面积/加上三个长方形的面积3成再

加上两个正方形的面积2〃，可得答案.

解：根据题意，得

(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.

故选：A.

2.（24-25八年级上•四川眉山・期末）如图，在长4m,宽3m的长方形空地上规划一块长方形花园（图中

阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为皿1（0<%<1）的小路（图中空白部分），则花园的面

A.(2x2-10x+6)m2B.(4x2-10x+12)m2

C.(4x2+10x-12)m2D.(2x2-10x+12)m2

【答案】D

【分析】根据题意，得到花园的长为（4-2x）m,宽为（3-x）m,根据公式计算即可.

本题考查了多项式乘多项式与图形的面积，正确列式是解题的关键.

解：根据题意，得花园的长为（4-2x）m,宽为（3-x）m,

故面积为（4-2力（3-尤）=（2f-10x+12）（ni2）.

故选：D.

3.（2025七年级下•全国•专题练习）如图，若要拼一个长为3a+从宽为2a+2b的长方形，则需要C类

纸片的张数为.

【答案】8

【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答

案.

22

解：SA=a,SB=b,Sc=ab

S长方形=(3a+b)(2a+2b)=6/+6ab+2ab+2b2=6a2+2b2+8ab,

即$长方形=6sA+2sB+8$c，

故需要C类纸片的张数为：8,

故答案为：8.

4.(24-25八年级上•湖南长沙•期末)如图，为美化小区，给居民营造良好的宜居环境，某物业公司准备

在如图所示的长方形ABCD的场地上，修建两条宽为2m的长方形甬道，剩下的其它四个区域种植花草绿

2

化，若=AB=(x+4)m,则种植花草的四个区域面积总和为—m.(用含尤的式子表示)

【答案】x2-4

【分析】本题考查多项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会利用平移的知识得到剩余的四块草坪组

成了一个矩形，熟练掌握多项式的混合运算法则，属于中考常考题型.将两条通道分别向上向左平移，则

剩余的四块草坪组成了一个矩形：矩形的长是(x+4-2),矩形的宽是(x-2),根据矩形的面积公式计算即

可.

解：由题意，可得修建后剩余草坪的面积是：

(x+4-2)(x-2)

=(x+2)(x-2)

2

=(0-4)m

故答案为：必-4.

【考点8】乘法公式中几何图形运用

1.(24-25八年级上•内蒙古鄂尔多斯•期末)在数学实践课上，“智慧小组"将大正方形的阴影部分裁剪下

来重新拼成一个图形，以下4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的是()

【答案】C

【分析】本题考查了几何图形的面积与平方差公式的应用，正确计算阴影部分的面积是解题的关键.

分别计算原图阴影部分面积与拼后图中阴影部分的面积，根据面积相等即可作出判断，从而确定结果.

解：①左边阴影图形面积为“2一凡右边平行四边形的底为S+6）,高为（4-9，面积为（4+3（4-3,

可得（4+3（4-。）=片-从，能够验证平方差公式，符合题意；

②左边阴影图形面积为^-片，右边长方形的长为（0+6）,宽为（4-a，面积为（。+3（。-3，可得

（a+b\a-b）=a2-b2,能够验证平方差公式，符合题意；

③左边阴影图形面积为/-巴右边平行四边形的底为（。+6）,高为（。-9，面积为（。+6）（。-6）,可得

（a+b）（a-b）=a2-b2,能够验证平方差公式，符合题意；

④左边阴影图形的面积为（。+勾2右边长方形的面积为2a.26=4",不能够验证平方差公式，

不符合题意；

回能够验证平方差公式的有图①②③，

故选：C.

2.（19-20七年级下•陕西西安•阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（）.

A.(a+Z?)(a-Z?)=<72-b2B.[a+b'f=a2+2ab+b2

C.(a-b^~=a2—lab+b2D.a2-lab+b~-(^a-b^2

【答案】C

【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可.

解：由题意可得：

阴影部分的面积为：(。-A),,也可以表示为：a2-2ab+b2,

能验证的乘法公式是：(a-t>¥=/-2ab+b2.

故选：C.

【点拨】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键.

3.(24-25八年级上,贵州黔南•阶段练习)如图，在边长为。的正方形中挖掉一个边长为6的小正方形>6),

把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式是.

【答案】a2-^=(a+b)(a-b)

【分析】根据两个图形的特征结合正方形、长方形的面积公式，即可求解，

本题考查了平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.

解：左图中阴影部分的面积小一廿，

右图中阴影部分的面积(。+6)伍-6),

可以验证a?-k=(a+，)(a-^),

故答案为：c^-b1=（a+b）（a-b）.

4.（22-23七年级下•浙江湖州•阶段练习）三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类、。类各若

干块,5类4块，小双用这些地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小双拼成正方形的边长是.（用

含根，〃的代数式表示）

【答案】加+2〃或2m+〃

【分析】设A类需用〃块，C类需用c块，根据题意得拼成的正方形的面积为：劭4加7+0?是一个完

全平方式，据此求解即可得.

解：设A类需用〃块，C类需用。块，

这些地石专拼成的正方形的面积为：am2+4mn+cn2,

根据题意，am2+4.+c〃2是一个完全平方式，4mn=2x2mx^=2xmx2n,

所以a=2?=4,c=1?=1或者a=I2=1,c=2?=4；

当〃=4,c=l时，a/n?+4mn+c〃2=4加2+4^^+〃?=（2租+〃）2,

此时正方形的边长为：2m+n；

当a=l,c=4时，am1+^mn+cn1—m2+4mn+4n2=（m+2n）2,

此时正方形的边长为：m+2n；

故答案为：M+2〃或2根+〃.

【点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式的结构特征.

【考点9】运用乘法公式进行有理数简便运算

23

1.（24-25七年级下•全国•课后作业）用简便方法计算505、49三，变形正确的是（）

A.[50+|：49+|]B.（49+.51一|）

C.（50+|150司口.（50+|）（50同

【答案】D

【分析】本题考查了平方差公式，掌握（。+。）（4-6）=片-^是解题的关键.根据平方差公式变形即可.

23

解:50-x49-

55

=[50+|][50-f];

故选：D.

2.（24-25七年级下•全国•随堂练习）下列关于1032的简便计算方法正确的是（）

A.97x97B.（100+3）（100-3）C.1002-32D.（100+3）2

【答案】D

【分析】本题主要考查完全平方公式，将1032变形为（100+3产，运用完全平方公式进行计算即可.

解：1032的简便计算方法是（100+3尸，

故选：D.

3.（23-24七年级下•河南郑州•期中）运用乘法公式简便计算：20242-2025x2023=.

【答案】1

【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.

解：20242-2025x2023

=20242-（2024+l）x（2024-1）

=20242-（20242-1）

=20242-20242+1

=1.

故答案为：1.

4.（24-25七年级下•全国•课后作业）用简便方法计算2025?-4050*2024+2024?的结果是

【答案】1

【分析】本题考查了完全平方公式，先根据完全平方公式进行变形，再求出答案即可.

解：2025?-4050x2024+20242

=20252-2x2025x2024-20242

=（2025-2024）?

=12

=1.

故答案为：L

【考点10］整式乘除中的规律探究

1.（24-25八年级上•四川眉山・期末）我国南宋数学家杨辉用"三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨

辉三角"，这个"三角形”给出了（。+6），伽=1,2,3,4,…）的展开式的系数规律（按”的次数由大到小的顺序）.请

依据上述规律,写出展开式中含/。22项的系数是（)

11(a+b)'=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a3+3>a2b+,3ab2+b3

14641(a+Z>)4=<74+4t73/7+6672Z>2+4a/>3+/?4

A.-2024B.2024C.4048D.-4048

【答案】D

【分析】根据展开式的规律，发现每个展开式的第二项系数是小第一个字母的指数为第二个字母

的指数为1,依此规律解答即可.

本题考查了规律的探索,熟练掌握规律的发现是解题的关键.

11(a+b)'^a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

解：由1331(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3发现：(》)"中，每个展开式

14641(。+6)4=。4+4。36+6。262+4加+64

的第二项系数是小第一个字母的指数为〃-1,第二个字母的指数为1,

故口_2：°”的第二项为2024x.3x1—j[=一4048—022,

故含炉侬项的系数是T048.

故选：D.

2.（24-25七年级下•全国•课后作业）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运

算中，可得机”是（）

相加

(x+/n)(x+n)=x2-3x-10

相乘

图1图2

A.—3B.3C.-10D.10

【答案】C

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握图1中的运算规律是解题关键.根据图1中的运算规律

求解即可得.

解：由图1中的运算规律得：〃"2=-10,

故选：C.

3.（24-25八年级上,湖北咸宁•期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书

中，揭示了（。+6）"（〃为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角如图，此三角形中第3

行的3个系数1,2,1,恰好对应着（。+6）2=1+2"+从展开式中各项的系数，类似规律如下：

（a+b^3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+Z?）4—a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；,则（4+6）,展开式中，所有项的

系数和是.

I

11

121

1331

14641

15101051

【答案】512

【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意可知各项系数之和为2"，然后把"=9代入计算即可.

解：各行系数和：当〃=0时：所有项系数之和为：1+1=21=2，

当〃=1时，所有项系数之和为：1+1=21=2，

当〃=2时，所有项系数之和为：1+2+1=2?=4，

当力=3时，所有项系数之和为：1+3+3+1=23=8,

可知，当〃=9时，各项系数之和为：2。=512,

故答案为：512.

4.（24-25七年级上•上海•期中）将大小相等的圆点按如图规律摆放，则第〃个图形共有圆点个.

••••

・•・・••・....:::::

••••••••••••••

-A._••••••••・

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【答案】（〃2+〃+4）

【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，单项式乘以多项式，观察可知每个图形的最外圈有4个小圆

点，中间的小圆点数是序号乘以序号加1,据此规律求解即可.

解：第1个图形有4+2xl=6个圆点，

第2个图形有4+2x3=10个圆点，

第3个图形有4+3x4=16个圆点，

第4个图形有4+4x5=24个圆点，

以此类推，可知第〃个图形共有圆点：4+"5+1）=（〃2+〃+4）个，

故答案为：（"+"+4）.

【知识点二】相交线与平行线

【考点11】余角、补角、对顶角、角平分线综合

1.（24-25七年级下•全国•期中）如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若NACD=44。，则

NBCF等于（）

A.22°B.44°C.45°D.54°

【答案】B

【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得/3CF=/A8,熟知同角的余角相等是解题的关

键.

解：■.■ZACB=ZDCF=90°,

ZACD+NBCD=90°,ZBCD+NBCF=90°,

:.ZACD=ZBCF=44°.

故选：B.

2.（22-23七年级上•浙江绍兴,期末）如图，在三角形ABC中，ZACB=90°.。是AB边上的一个动点（点

。不与48重合），过点。，C作射线DE,与边CB,C4形成夹角分别为/I,Z2,则/I与/2满足数

量关系（）

A

A.Z2=2Z1B.Z2+Z1=18O°

C.Z2+2Z1=18O°D.Z2-Zl=90°

【答案】D

【分析】本题考查了余角和补角，根据N2与44co互补，N1与NACD互余可得N2+/ACD=180。,

Zi+ZACD=90°,列式相减即可得出结论.

解：由图可知N2与NACD互补，N1与NACD互余,

团N2+ZACD=180°①，Nl+ZACD=90°②,

②-①得/2-/1=90°.

故选：D.

3.（24-25七年级下•全国•期中）如图，直线AB,CD,EF都过点0,且跖_LAB,OG平分NE0D,

【答案】149°/149度

【分析】此题考查了角平分线定义，垂直的定义，熟练掌握定义及性质是解本题的关键.根据对顶角相等

得出NDOB,进而利用互余和角平分线的定义得出/G0D的度数，进而解答即可.

解：0ZAOC=28°,

0ZDOB=28°,

SEF±AB,

0ZBOE=ZBOF=9O°,

0ZEOr>=9Oo-28o=62°,

I3OG平分/EOD,

0ZGOD=31°,

0ZGOF=90。+28。+31。=149°,

故答案为：149。.

4.（23-24七年级下•山东日照•期中）如图，已知直线AB,CD相交于点O,OE,OP为射线，/AOE=90。,

平分工AOC,ZAOF+ZBOD=57°,则NEOD的度数为.

【答案】128。/128度

【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线.明确角度之间的数量关系是解题的关键.

由题意知，ZAOC=ZBOD,由。/平分/AOC,nT^ZAOF=|ZAOC=|ZBOD,贝|

gNBOD+NBOD=57°,可求/3OD=38。，ZEOD=（180°-ZAOE）+ZBOD,计算求解即可.

解：由题意知，/AOC=/BOD,

国。尸平分4OC,

EIZAOF=-ZAOC=-ZBOD,

22

0ZAOF+ZBOD=57°,

0-NBOD+ZBOD=57°,

2

解得，ZBOD=38°,

回ZEOD=（180°—ZAOE）+ZBOD=128°,

故答案为：128。.

【考点12］直线公理、线段公理

1.（24-25九年级上•广西南宁•开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用"垂线

段最短”来解释的现象是（）

起

跳

A.测量跳远成绩

线

D.两钉子固定木条OO

【答案】A

【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质.根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可.

解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；

B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；

C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；

D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；

故选：A.

2.（23-24七年级下•山西大同•期中）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，

会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，体育课上老师测量跳远成绩时，测

量线段的长度即可.这样做的数学道理是（）

测量跳远成绩

A.垂线段最短

B.两条直线相交只有一个交点

C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

D.两点确定一条直线

【答案】A

【分析】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用.熟练掌握垂线段最短是解题的关键.根据垂

线段最短作答即可.

解：体育课上老师测量跳远成绩时，测量线段A3的长度即可.这样做的数学道理是垂线段最短，

故选：A.

3.（24-25八年级上.山东德州•期中）如图，在四边形ABCD中，ZABC=60°,ZBCD=45°,BD平分^ABC,

若尸、。分别是3。，边上的动点，当。尸+尸。的值最小时，/PCD的度数为.

AI)

【答案】15。/15度

【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短.作点。关于3。的对称点则尸Q=P",则

CP+P。=C尸+尸"，当C、”、P三点在同一直线上，且CH_L时，CP+尸。最短，再由平分ZABC,

可得点”在边上，即可求解.

解：如图，作点。关于8£＞的对称点反，贝UPQ=PH,

团当C、H、P三点在同一直线上，且时，CP+P。最短，

团3£）平分NABC,

回点H在AB边上，

回此时/8HC=90。，

EIZABC=60o,

0ZBCW=30°,

0/30）=45°,

0/PCD=ZBCD-ABCH=15°.

故答案为：15。

4.（18-19七年级下•山东济宁•期中）如图所示，在VABC中，