2024-2025学年人教A版高二数学 第二章 直线和圆的方程 单元综合测试卷

第二章直线和圆的方程单元综合测试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若直线ox+y-2=0经过两直线5*-3k17=0和x-y-5=。的交点，贝丑=（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

5x-3y-17=0(x=l

【解析】联立,解得jy=-4

x-y-5=0

将点（LY）代入至U直线2=0,得a—4—2=0,故a=6.

故选：C.

2.已知两直线4：3x—4y+4=0和4：6x+my—2=。，若〃4，则机=（）

9

A.-8B.8C.-D.2

2

【答案】A

机+

【解析】由题可知1匕3x（4-x26）-=0（m=—8，

m=—8.

故选：A.

3.已知两点A（-3,2）,3（2,1）,过点P（0,T）的直线/与线段A8（含端点）有交点，则直线/的斜率的取

值范围为（）

A.（3,-1]141，心）B.[-1,1]C.f-oo,—lju[l,+co）D.-1,1

【答案】A

【解析】

故直线/的取值范围为(-1]U(1,+”)，

故选：A.

4.直线x+y+2=0分另IJ与X轴，V轴交于A,8两点，点p在圆(X—2)?+y2=2上，贝必ABP面积的取值范

围是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[0,3友]D.120,3应]

【答案】A

【解析】因为线x+y+2=o分别与X轴，y轴交于A,2两点，

所以4-2,0),5(0,-2),所以IA3|=J(0+2)2+(-2-0)2=2&,

由(x-2)2+/=2,可得圆的圆心为(2,0),半径为逝，

因为点P在圆(x-2)2+V=2上，所以圆心到直线钻的距离为d=,2^21=20,

故P到直线AB的距离4的范围为[&,30],

则显树=；148卜4=忘4e[2,6].

故选：A.

5.直线/:依+勿+1=。始终平分圆〃：/+/+41+2丫+1=0,则(°一2)2+(6-7)2的最小值为()

A.45B.20C.275D.5

【答案】B

【解析】圆M：(X+2)2+(y+1)2=4的圆心为M(-2,-1),

由直线/始终平分圆得一2。-6+1=0,则6=-2。+1,

因此(a-2)2+(b-7)2={a-2)2+{-2a-6)2=5a1+20a+40=5(fl+2)2+20>20,

当且仅当a=-2时取等号，所以(a-2y+(b-7)2的最小值为20.

故选：B

6.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣

的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军

营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为Y+Vvi,若将军从点4(2,0)

处出发，河岸线所在直线方程为无+丫=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，贝IJ“将军饮马”

的最短总路程为()

A.V10-1B.2A/5-1C.2百D.回

【答案】B

【解析】设点A关于直线x+y=4的对称点A(a,b),

则A4'的中点为(彳()，以=。，

要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离，

由点与圆上点的距离的最小值为点与圆心距离减去半径知，

“将军饮马”的最短总路程为亚中-1=2君-1，

故选：B

7.方程|x|-l=1)?表示的曲线是()

A.两个圆B.一个圆和一条直线

C.一个半圆D.两个半圆

【答案】D

【解析】方程可化为(以|-1)2+。-1)2=1,

因为|x|—1N0,

所以x4-l或xNl,

若xW-1时，则方程为(x+l)2+(y-l)2=l,是以(-1,1)为圆心，以1为半径的左半圆;

若时，则方程为(x-l)2+(y-l)2=l,是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆；

总之，方程表示的曲线是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆与以(-1,1)为圆心，以1为半径的左半圆合

起来的图形.

故选：D

8.已知圆M：x2+y2+4x-6y+n=0,尸为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切上4,PB,切点为

A,B,则四边形尸AMB面积的最小值为()

A.2B.20C.2D.4女

【答案】B

【解析】圆加的方程可化为(x+2y+(y-3)2=1,

所以x轴与圆M相离.

又SpAMB=SvPAM+SVPBM，且和△尸则均为直角三角形，

=；|陷"，r为圆M的半径，M|PM|2=|PA|2+r2,

所以面积的最小值转化为求|尸”|最小，

当R0垂直于x轴时，四边形面积取得最小值，

此时|上4|=2点，所以四边形面积最小值为2x；x2应xl=2行.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若三条直线/|：2x-y+l=0,4：x+y-l=04：2x+ay+2=0不能围成一个三角形，则实数。的值可以

为()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】ACD

2x-y+1=0

【解析】当三条直线交于一点时不能围成三角形：由

x+y-l=0

解得乙和的交点A的坐标为（0,1）,

由A在4上可得2x0+a+a—2=0,解得a=l,

因为4与4的相交，所以当三条直线444有两条直线平行时不能围成三角形，

当时，==二2一,解得。=一1,

当4〃/3时，£=解得。=2,

显然乙，与4不可能重合.

综上，。=2或。=-1或。=1,这三条直线不能围成三角形，

二实数。的取值可以是2或-1或1.

故答案为：ACD.

10.下列说法中，正确的有（）

A.直线x+y+l=0在y轴上的截距是1

B.当初变化时，圆彳2+_/+（〃?+2）工+>-2=0恒过定点有且只有一个

C.过（孙兀），（巧，无）两点（玉*%，y产％）的所有直线的方程为七江=三红

D.直线2x-y+3=0关于点（3,2）对称的直线方程是2元一>一11=0

【答案】CD

【解析】对A：直线无+y+l=0中，令x=0得>=-1,所以直线在V轴上的截距为-1,故A错误；

对B：令x=0得：V+y-2=0=丁=-2或y=l,所以当加变化时，圆Y+/+（加+24+>-2=0恒过定

点（0,-2）和（0,1）,故B错误;

对C：根据直线两点式方程的概念知，C正确；

对D：设点（x,y）关于点（3,2）的对称点为伍,％）,则；=4=[y=47

由点（为，%）在直线2x-y+3=0上，得2（6—x）—（4—y）+3=0=2x-y—11=0,故D正确.

故选：CD

11.已知圆O1：/+y2-4y-6=。与圆。2：，+/-6尤+8y=。交于两点，尸是圆。?上的一动点，则

A.直线MN的方程是x-2y-1=。B,线段A/N中垂线方程为2尤+1-2=。

C.线段ACV的长度是6D•点P到直线ACV的距离的最大值为5+2拓

【答案】ABD

【解析】对于A,由优+9-4尸6)-(尤2+y2—6x+8y)=0nx-2y-l=。，

所以直线肱V的方程是x—2y—1=。，故A正确；

对于B,因为直线的方程是x-2y-l=0,

所以线段MN中垂线方程可设为2x+y+根=。，圆。।化为标准式为无2+仃一2)2=10,

所以由圆的对称性可知线段MN中垂线过圆心Q(0,2),故2x0+2+a=0=/"=-2,

所以线段MN中垂线方程为2尤+y-2=0,故B正确；

10-2x2-11广

对于C,圆心Q(0,2)到直线MN的距离是d=I2=*,

＜「+(一2)

又圆。1：/+。-2)2=10,故圆。1半径为r=J记，

所以线段的长度是|MN|=24T2=2J而一后=26，故C错误；

对于D,圆.：/+一6x+8y=0化为标准式得(X-3)2+(y+4)2=25,

所以圆心Q(3,T),半径为R=5,

|3-2x(-4)-ll厂

所以圆心Q。，-4)到直线MN的距离是d'=2『=20

所以圆。2上的点P到到直线MN的距离的最大值为R+d=5+2百，故D正确.

故选：ABD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0),3(0,2),当NPBA最小时，|产理=.

【答案】30

【解析】设圆(尤-5)2+G-5)2=16的圆心为“(5,5),半径为4,

如图所示：当NP8A最小时，PB与圆M相切，连接

WlJPM±PB，|BM|=7（0-5）2+（2-5）2=A/34,而IS=4,

由勾股定理得|PB|=7lBM|2-|MP|2=3版，

所以当NPBA最小时，|尸例=30.

故答案为：3A/2-

2

13.P是函数y=x+女图象上任意一点，过P向直线y=x和y轴分别作垂线，垂足分别为A8,则

X

PAPB=.

【答案】-1

【解析】设尸］，，］+1'）（'>°），贝IJ%PA=T，EPt+^-m=m-t,解得m=f+

所以则PAJ］'-?），尸8=（-f,0）,

所以西.而=Tx；+Ox（_「=_l.

故答案为：—1

14.若圆A:/+y2+°x+Ej+片=0与圆8:/+>2+3%+£^+月=。相交，我们把经过圆A和圆B交点

的圆称为圆A、圆B的圆系方程，其方程可设为

尤~+y?+£）/+4、+片+/1（厂+9+£）2彳++鸟）=0（彳*—1）.根据以上信息，解决如下问题：已知圆

G:/+V+2x-3=0与C?:Y+y2-4x-5=0交于V,N两点，则以"N为直径的圆的一般方程为.

【答案】%2+y2+|x-y=0

【解析】由题意可设经过点MN的圆的方程为f+y2+2x-3+/1卜2+丫2-4》-5）=0（/1片-1）,

整理得。+2）/+（1+/1）/+（2—4X）x—（3+54）=0,贝IJ圆心为［一^1,。］.

圆C]:尤2+y2+2x-3=0(D，圆C?:尤2+y2-4x—5=0②，

由①②得，3x+l=0,即直线AW的方程为3x+l=0.

因为MN为直径，圆心在直线MN上，所以31岩^+1=。，解得4=2,

I1+A)7

731

故以为直径的圆的方程为炉+/+1X-]=0.

故答案为：+y2+-X---0.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

已知直线/：ax-y+4=0及圆C：(x-1)2+(y-2)2=4.

(1)若直线/与圆C相切，求。的值；

(2)若直线/与圆C相交于A,B两点，且弦的长为2道，求。的值.

【解析】(1)圆心C(l,2),半径为厂=2,

|«-2+4|4

由题意得:'1=2解得“=0或a=§.

V«2+1

(2)如图:

设点C到直线/的距离为d,利用勾股定理得：d==-\/4—3=1，

|«-2+4|3

同时利用圆心到直线的距离:d==1‘解得"一“

[a2+1

16.(15分)

已知直线I：(2+㈤％+(加一l)y-3相=0(根wR).

(1)直线/经过定点吗？若经过定点，求出定点尸坐标；若不经过定点，说明理由；

(2)求原点到直线/距离的最大值；

(3)若直线/分别与x轴正半轴、，轴正半轴交于A,8两点，当VABC面积最小时，求对应的直线/的方

程.

【解析】(1)直线/：(2+心+(根-1)、-3〃?=°可化为%0+，-3)+2X-丫=°,

[%+y—3=0

令cc,解得X=l,y=2,即直线/恒过定点尸(1,2)；

[2x-y=0

(2)当0尸，/时，原点到直线/的距离最大，此时最大值d=炉两=石;

(3)设直线/的方程为±+：=1,(。>0*>0),

ab

因为直线/过定点尸(1,2),所以±+：=1,

ab

由基本不等式得122、律，当且仅当。=2,8=4时取等号，得必28,

Vab

故AABO面积S=；abN4,即面积的最小值为4,

此时直线方程为：+与=1,即2x+y-4=0.

24

17.(15分)

已知圆C：X2-6x+y2-6y+3=0,直线/：%+y-2=。是圆E与圆。的公共弦A8所在直线方程，且

圆E的圆心在直线y=2x上.

(1)求公共弦A8的长度；

(2)求圆E的方程；

(3)过点。(-1,0)分别作直线MN,RS,交圆E于M,N,R,S四点，且肱\比那，求四边形MANS面

积的最大值与最小值.

【解析】(1)圆C:%2—6x+y2—6y+3=0=>(%—3)2+(y—3)2=15,所以圆。的圆心坐标(3,3),半径

rx=715,

|3+3-2|

圆心到直线/：%+y—2=0的距离4=2A/2,

•••公共弦|=2".

(2)圆石的圆心在直线y=2x上，设圆心颐〃,2〃)，

由题意得CE，/,--=l:.a=0,即E(0,。)，石至U/的距离=

a-3yJ2

22

所以E的半径r2=^2+(|AB)=A/2+7=3,

所以圆E的方程：x2+/=9；

(3)

当过点Q（T,。）的互相垂直的直线MN,RS为x轴，垂直于x轴时，|MN|=2弓=6,这时直线RS的

方程为x=T,代入到圆E中，|y|=20,

所以|RS|=4A历，四边形MRVS的面积s=g|MN|“RSJ=，6-4&=120；

当过点。（-1,0）的互相垂直的直线MN,RS不垂直于x轴时，

设直线MV为：x=my-l^x-my+1,

贝ij直线底为：>=一根（％+1）=如+>+机=0,

1,,\m\

所以圆心E到直线MN的距离h7=/,圆心E到直线RS的距离〃=丁不,

vl+m+m

IMN|=2介一/?2=29-—,\RS\=2J9-=2.8+,

V1+m-Vl+m2V1+m2

设”^^（0<t<l）,

l+m

当r=0或1时，正好是％轴及垂直x轴，

面积s=g•2^/^7・2^/^T7=2^/v2+^+72,

当f=g时，s最大且s=17,t=0或1时，s最小12®，

四边形VRVS面积的最大值17,最小值12vl.

18.（17分）

已知圆E经过点4（0,0）,3。』），从下列3个条件选取一个

①过点C（2,0）；

②圆E恒被直线〃觊一｝?一"2=0（7〃€1^）平分；

③与y轴相切.

⑴求圆E的为程；

(2)已知线段PQ的端点。的坐标是(4,3),端点P在圆E上运动，求线段尸。的中点M的轨迹方程.

【解析】(1)选条件①.设圆的方程为/+22+。尤+£y+尸=0(。2+F2-4/>0),

将4(0,0),3(1,1),C(2,0)代入可得

F=0D=-2

<2+D+E+F=0,解得<E=0,

4+20+/=0[F=0

贝U圆E的方程为x2+y2-2x=0.

选条件②.

直线〃zx-y-相=0恒过点(1,0).

因为圆E恒被直线s-y-m=0(机eR)平分，所以的-y=。恒过圆心,

所以圆心坐标为(1,0),

又圆E经过点4。，0),所以圆的半径厂=1,

所以圆E的方程为(x-l)2+y2=1,BPx2+y2-2x=Q.

选条件③.

设圆E的方程为(x-疗+(、_»*=/,

|a|=ra=l

由题意可得，/+〃=’,解得6=0,

(l-a)2+(l-Z?)2=r2[r=l

则圆E的方程为(x-l)2+y2=1,BPx2+y2-2%=0.

(2)设(2(4,3),

因为M为线段P。的中点，所以P(2x-4,2y-3),

因为点尸是圆E上的动点，所以(2x—4)2+(2y—3)2-2x(2x—4)=0,

所以M的轨迹方程为无2+y2-5x-3y+F=0.

4

19.(17分)

蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂

蝶自来.如图，已知圆"的方程为一+（）；-＞）2=户，直线*=冲与圆M交于C&,yJ,D（x2,y2）,直线

x=，。与圆M交于E（w，%），尸（%，%）.原点。在圆〃内.设C厂交了轴于点P,即交x轴于点Q.

⑴当6=0,r=A/5,加=-；〃=2时，分别求线段。尸和OQ的长度;

X+%％+”

⑵①求证:

②猜想|OP|和|OQ|的大小关系，并证明.

【解析】（1）当b=0,r=>/5,〃?=-；,〃=2时，

圆M：x2+y2=5,

22

X+y=5[x=\[x=-\

直线CD：%=-白，由1n。或。，故C（T2）,D（l,-2）；

2x=——y[y=-2[y=2

、2

x2+y2=5[x=2[x=-2/、/、

直线班：x=2y,由-n或