2024-2025学年人教B版高二数学选择性必修第三册压轴题：等差数列（解析版）

专题01等差数列

目录

解题知识必备.......................................................2

压轴题型讲练.......................................................2

类型一、数列...................................................................3

类型二、等差数列基本量的运算...............................................5

类型三、等差数列的证明.......................................................9

类型四、等差数列的前n项和..................................................11

压轴能力测评（20题）..............................................23

”解题知识必备”

1.等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为（常数）

（〃GN*,n>2）.

2.等差中项

若三个数a,A,6成等差数列，则/叫做。与b的等差中项，且有〃+6.

A=------

2

3.等差数列的通项公式

如果等差数列｛4｝的首项为％,公差为“，那么它的通项公式是a,=q+（〃-l）d.

4.等差数列的前〃项和公式

设等差数列也,｝的公差为d,其前〃项和Sn="/+%义4=.

5.在等差数列｛a*｝中，若%>0,一<0,则满足1%>°的项数加使得S“取得最大值S,“；若/<0,d>0,

〔限<°

则满足rm-0的项数加使得取得最小值乂.

&+i20

2n

6.Sn=y«+~~^）-数列｛%｝是等差数列=S“=A”？+砌（42为常数）.

7.等差数列的前〃项和的最值

公差d>0o｛%｝为递增等差数列，与有最小值；

公差d<0o｛%｝为递减等差数列，S,,有最大值：

公差d=0o｛%｝为常数列.

特别地

若/>0，则S”有最大值（所有正项或非负项之和）；

[d<0〃

若[%（0,则S,有最小值（所有负项或非正项之和）.

[d>0〃

♦♦压轴题型讲练”

类型一、数列

【变式训练1】已知数列｛凡｝满足。用=++,，则下列说法正确的是（）

A.｛与｝所有项恒大于等于亚B.若4=1,则｛%｝是单调递增数列

C.若｛叫是常数列，则D.若％=2,则鼠+厘是单调递增数列

【答案】D

【详解】对于A,因数列｛氏｝满足％吟+：,

若%<0,可推得4<0,故A错误；

对于B,当q=1时，代入。用=才+—，解得出=:，

1%2

,3,,%13217

将出=]代入，可得4=亏+[=4+3=12，

11731

易得出-q=5>0，a3-a2=---=-—<0,故｛4“｝不是递增数列，故B错误；

对于C,若｛a.｝是常数列，即有。用=。“，则得其=2,解得为=±及，故C错误；

对于D,若q=2,可得。“>0,且。用故有％2行，

2aliV2

又因一+什氏+：,由对勾函数的单调性，可得1%+今:是单调递增数列，故D正确.

故选：D.

【变式训练2】已知数列｛为｝的前〃项和为S“,a用+（TF%=sin与（〃eN+）,贝|=（

A.--B.0C.—D.V2

22

【答案】B

【详解】当〃为奇数时有％+-si喈,函数y=sin9（"eN+）的周期为8,

故有a〃+9+%+8="〃+1+4，

.71V2.3兀V2.5兀V2V2

出+Q]=sin———2-，Q4+/=sin+%=sm——，Q&+%=—,.••,

按此规律循环重复下去，\=0，

故有$2024=253*0=0.

故选：B

【变式训练3]若在数列｛%｝中，%=2,«„=1--（«>2）,则出必=（）

an-\

11

A.2B.-C.一一D.-1

22

【答案】D

【详解】因为%=2,«„=1--（«>2）,

an-\

411।I111c

所以。2=1-----=r>%=1------=T,44=1------=2,.........,

2。2a3

所以｛%｝是以3为周期的周期数列，所以々2025=^675x3=。3~•

故选：D

【变式训练4]已知数列｛%｝的第1项和第2项均为1,以后各项由=。用+%（"eN*）给出.若数列｛a,｝

的各项除以3所得余数组成一个新数列｛"｝,则多侬+打必:（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】因为a"+2=%+%+i（"eN+）,%=出=1,所以数列｛。“｝为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

89,144,…，

此数列各项除以3的余数依次构成的数列低｝为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…

是以8为周期的周期数列，

所以62024+62025=。+1=1-

故选：A.

类型二、等差数列的基本量运算

【变式训练1】若在等差数列|%|中，。1+&+。3=21,%+。5+。6=39.贝1]|。』的公差为（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

3%+3d=21

【详解】因为％+。2+。3=21,&+。5+。6=39,所以

3q+l2d=39'

解得二，所以等差数列为正数等差数列，所以3

故选：B

【变式训练2】已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S”4=匕,S5=55,则数列｛2｝的公差是()

A.y4B.4C.-4D.-3

【答案】B

【详解】：｛%｝是等差数列，$5=55,

...5(%+%)=垩幺=5%=55,解得%=H

22

%=15,，公差d=%-%=4.

故选：B.

【变式训练3】记等差数列｛。“｝的前〃项和为5“，若品,=0,久=2邑-12,则%=()

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，由艮=2风-12,得6%+15d=2(3%+31)-12,解得9d=-12,

由So=0,得10%+456/=0,贝I」24=—9d=12,所以4=6.

故选：A

【变式训练4】已知数列｛%｝的前〃项和为S”吗=2,且｛〃'｝为等差数列，若86+%+%+。6=1，则

()

A.-63B.63C.36D.-36

【答案】A

【详解】S6+a4+a5+a6=l^S6+(S6-S3)=l,故6s6-3$3=3.

设｛"SJ的公差为"，则3"=3,解得"=1,又lxS"=%=2,

故｛"S"｝是首项为2,公差为1的等差数列，贝"必“=2+5-1)=〃+1,故S“="L

n

9

则邑=/=■7717r=_63

gS8f9_8'

87

故选：A

【变式训练5]已知数列｛%｝为等差数列，生=9,%+&+%=33.

(1)求数列｛6｝的通项公式.

⑵若或+。“=19,求数列｛囚|｝的前„项和Sn.

【答案】(1)%=2〃-1

c[19n-n2,n<10

(2)S=<

'n[H2-19H+180,«>11

【详解】(1)设等差数列｛为｝的公差为d,

因为。3+4+。9=3。6=33,所以。6=11.

又因为%=9,则4_。5=4=2,

所以数列｛%｝的通项公式«„=%+2(〃-5)=2〃-1.

(2)由(1)知，bn=19-an=20-2n.

当“010时，阳="=20-2〃，

c〃伯+")”(38-2〃).2

3“=--------=---------=[yn—n；

〃22

当"211时，同=-a=2”-20,

二品+(〃_]0)(2*]]_20)+("一]0'_11)*2=19xl0-102+2(«-10)+n2-2k+110=H2-19«+180.

"'"j«2-19n+180,«>ir

类型三、等差数列的证明

【变式训练1】己知》数列｛%｝满足：存在正整数上,对任意的〃eN*,n>k,都有a,二°喳;""一上,0：

数列｛«„｝是等差数歹U.则。是4的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【详解】当0成立时，即存在正整数左，对任意的“eN*,n>k,都有=,贝九

an+k-an=an-an_k,

若左=2,则%-*-2=%+2-。"，对任意的〃eN*,">2都成立,即%-4

对于数列1』,2,2,3,3,4,4,…，满足上述条件，但不是等差数列，故由。不能得到4.

当4成立时，即数列｛%｝是等差数列，设等差数列的公差为d,

则a“=%,an+k=aY+(n+k-l)d,an_k=ax+[n-k-l)d,

d„+k+=。]+｛ji+k—\^d+%+（H—A?-1）＜7=1ax+2（〃-1）＜7=2an,即an="+*?~~恒成立,

二由4能得到。.

综上得，。是4的必要不充分条件.

故选：B.

【变式训练2】（多选）下列说法错误的有（）

A.若a,b,c成等差数列，则a?,C?成等差数列

B.若。，b,c成等差数列，则log?。，log?6，bg2c成等差数列

C.若。，b,c成等差数列，则a+2,b+2,c+2成等差数列

D.若。，b,c成等差数列，则2”,2J2。成等差数列

【答案】ABD

【详解】A选项，1,2,3显然成等差数列，但是1,4,9显然不成等差数列，因此A不正确;

B选项，0,0,0显然成等差数列，但是log?。，log?6,log2c这三个式子没有意义，

因此B项不正确；

C选项，因为。，b,c成等差数列，所以26=a+c,

因为2（6+2）-（a+2+c+2）=2b-a-c=0,

所以a+2,b+2,c+2成等差数列，因此C项正确；

D选项，1,2,3显然成等差数列，但是2"=2，2d=4，2C,=8,

显然2",2J2。不成等差数列，因此D项不正确.

故选：ABD.

【变式训练3】设S”为数列｛七｝的前力项和，5„=2/r-30«.

⑴求见;

⑵证明｛七｝是等差数列.

【答案】（1M=4〃-32；（2）证明见解析.

【详解】（1）数列｛与｝的前〃项和邑=2〃2-30力，

则当”=1时，4=4=2xF-30xl=-28；

当〃22时，a„==（2«2-30H）-[2（H-1）2-30（«-1）]=4«-32,%=-28满足上式,

所以4=4”32.

（2）由（1）知％=4〃-32,当〃22时，an_1=4（n-1）-32,

因此%_%=（4〃_32）_[4（"1）_32]=4（常数），

所以数列｛0“｝是等差数列.

【变式训练4】设数列｛4｝的前〃项和为S“，若2szi-%=/,〃eN*.

(1)证明:数列｛%+%+J是等差数列;

⑵求$20.

【答案】(1)证明见解析(2)210

2

【详解】(1)V2Sn-an=n,

2

.•.当“22时，2S„_1-«„_1=(n-l),

两式相减得2S"—%—(2S“_1-a“_])=—1)=2??—1,

又1•12Sn--(2S“_]-%_])=2S,-2s,_1-%+an_x

=2%-%+%

=%+%

a„+an_x=2n-\,

故(%+1+。“)一(。”+。“—1)=[2(〃+1)-1]-(2〃-1)=2,且出+q=3,

所以数列｛。川+。“｝是以3为首项，公差为2的等差数列.

(2)由(1)知。=2〃-1(“22),

所以,^20=(%+%)+(。3+。4)+(。5---------^(。19+。20)

10x(3+39)

=3+7+11+…+39=——-------^=210.

2

31

【变式训练5】设S,为数列｛g｝的前〃项和，且E=5，S“M=2-丁.

(1)证明：数列[止是等差数列；

(2)求数列｛0“｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

‘3,

—,n=1

2

⑵。〃41

------------,n>2

【详解】(1)由题意，数列｛%｝满足Sm=2-3，

所以」_____1_=二-一-二=上1

sn+1-lS„-lS„-lS„-lS„-l

31c

又由岳=彳，所以「=2,

2-1

所以数列］£，表示首项为2,公差为1的等差数列.

(2)由数列表示首项为2,公差为1的等差数列,

可得力=2+(I)xl=〃+l,所以S〃=a+1,

1

当〃之2时，可得%=S〃-S〃T=—+1--+1

〃+1n+1)

因为E=53,可得/MSI：］3,不适合上式,

所以数列｛对｝的通项公式为

1

n>2.

n(n+V)'

a+1,〃为奇数

【变式训练6】已知数列｛%｝的前〃项和为S〃，且4=1,〃用n

%+2』为偶数

⑴证明｛%a｝是等差数歹U；

(2)求同〃;

11112

(3)求证：—+—+----------1-------<一

%%S*2$2"3

【答案】(1)证明见解析

2

(2)S2n=3n

(3)证明见解析

a+1,”为奇数

【详解】(1)证明：因为在数列｛%｝中,n

4+2,”为偶数'

a

所以2n+l=。2"+2=+1+2=a2n_t+3,

所以｛g"1｝是以1为首项，3为公差的等差数列.

(2)由(1)可知｛出1｝是以1为首项，3为公差的等差数列,，

所以。2“-1=l+(n-l)-3=3n-2.

同理由«„+1=1+2,”为偶数，可得%="(2"T)M=+1=%一2+3.

又因为。2=4+1=2,

所以｛的,｝是以2为首项，3为公差的等差数列,

故%=2+（«-1）-3=3«-1,

+a

贝！J12n=3〃-1+3〃-2=6〃-3.

……\/、/、（3+6〃-3）・〃°

以S2n=（4]+a2）+.......++a2n）=3+9+........+（6〃_3）=-----------------=3〃.

（3）证明：因为邑〃=3",

11

所以用二前.

12222_2<11）

因为/—3,薪〈3,4〃2一1——1-2〃+J

所以n

1112

即一+一++---<一

$254Si.3,

类型四、等差数列的前n项

【变式训练。设等差数列｛%｝的前〃项和为邑，若。5+必<。，配>0,则J的最大值为（）

A.S$B.S6C.SiD.Ss

【答案】B

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，

由。5+%<0n必+%<0；

由儿>0n11（%+%J>。=%+%]>0=。6>0.

2

所以。7<0.

所以等差数列｛七｝是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数.

所以其最大.

故选：B

【变式训练2】记等差数列｛%｝的前力项和为S“，公差为d,若由+阳>0，又<0,则（）

A.邑0<0B.06+%7<0C.%>0D.6（-9,-8）

【答案】C

【详解】由生+4>0有%+电。=%+阳>0=S"=20（"；出。）=10（%+?。）>0，故A错误；

由几<0n几=19（“广）=”为=]%<°n%。<0,%。+%|=%+%8>0,所以用i>0,故C正确；

a6+a„=atl+al2>0,故B错误;

a,.=(2.+1Orf>0a

由11皿nn_10<寸<_9,故D错误.

%o=%+9d<0a

故选：C.

【变式训练3】（多选）已知等差数列｛%｝的前〃项和为s“，%>0,%=-%5,则下列说法正确的是（）

A.a9=0B.a„+1<anC.Ss<S9D.当S“<0时，”的最大值为18

【答案】AB

【详解】对于选项A：因为数列｛%｝为等差数列，且生=-％5，

可得2a9=%+。15=°，即为=。，故A正确；

对于选项B：因为%>0,可知等差数列｛%｝的公差d<0,

所以等差数列｛%｝为递减数列，即。2<见，故B正确；

对于选项C：因为Sg=518+%=$8,故C错误；

对于选项D：当〃48时，。〃>0；当〃210时，。〃<0;

gpax>•••>网>为=0>6z10>­••,

当“417时，S=”（％+""）」（4+%）=0,当且仅当”=17时，等号成立，

22

当〃218时，S”=S17+（a18H---Fa“）=阳H---\-an<0,

所以当S“<0时，"的最小值为18,故D错误；

故选：AB.

【变式训练4】（多选）等差数列｛2｝是递增数列，满足%=3%，前"项和为S”，下列选项正确的是（）

A.d>0B./<0

C.S.>o时〃的最小值为8D.当〃=5时s”最小

【答案】ABC

【详解】对A,设公差为d,因为等差数列｛%｝是递增数列，则4>0,故A正确；

对B,因为%=3%，则％+6"=3（可+4d）,即％=-3d<0,故B正确；

对D,Sn=nax+^^-d=^r-^-n,则对称轴为〃=g,开口向上，所以当〃=3或4时，S”取得最小值,

故D错误；

对C,由S“>0,即日/一弓〃>o,即〃2一7〃>0,解得“<0（舍去）或〃>7,所以S“>0时，"的最小值

为8,故C正确.

故选：ABC

【变式训练5】已知数列｛%｝为等差数列，出=11,%=5.

(1)求数列｛勾｝的通项公式；

(2)-100是数列｛%｝中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；

(3)求数列｛%｝前〃项和的最大值.

【答案】⑴见=-2〃+15

(2)不是，理由见解析

(3)49

【详解】(1)设等差数列｛2｝的公差为d,

,.fa,+d=11

因为数列｛%｝为等差数列，且的=11，%=5,则1+44=5'

解得q=13,d=-2,

所1以，a”=4+(〃-l)d=13+(〃-1)x(-2)=-2〃+15.

(2)令-100=-2〃+15,得”=口^,

2

又〃=早eN*,故-100不是数列｛%｝的项.

(3)设数列｛4｝的前〃项和为

法1：S"=]3〃+"；1)+(-2)=—M2+14〃=一-7)~+49,

所以当〃=7时，S”取最大值，最大值为49.

法2：因为d<0,所以数列｛%｝单调递减，

令。“=15-2〃20,得〃W—,

又由〃eN*,故前7项均为正数，且。8=7，

7x6

所以前7项和最大，57=13X7+^-X(-2)=49.

♦♦压轴能力测评”

1.已知数列｛为｝满足：①任意相邻两项的积不等于1;②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之

和；③q=2,七=3.记数列｛%｝的前项和为5,,贝!]邑025-昆012的值为()

A.27B.26C.25D.24

【答案】C

【详解】依题总，1且""。用。"+2=%+%+1+"”+2>则an+ian+2an+3=%+1+%+2+%+3，

相减得氏+4+2(%-a“+3)=%-%+3，故(*氏+2T)(a“-a,+3)=0，

因为%+1。"+2Hl，所以。“一。“+3=0，故见=。0+3

故数列｛6｝是周期为3的数列，由％=2,电=3及4"“+1。“+2=%+。“+1+。”+2可得%=1，

所以

(S，2Q25—S，012=。。013+。，014+'''+。21P5=("1jX4+=(2+3+l)x4+l=25,

故选：C.

2.南宋数学家杨辉所著《九章算法•商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1

个球，第二层有3个，第三层有6个…，设各层球数构成一个数列｛与｝,数列｛"｝满足2=。用-。“，以下

说法错误的是()

A.%=10

B.bx+b2+b3=9

C.｛，｝是以2为首项，1为公差的等差数列

D.设也｝的前〃项和为5"，则

【答案】D

【详解】q=1,g=2+4=3,%=3+电=6,%=4+%=1。，故A正确；

4=2也=3,4=44+瓦+b3a9,故B正确；

由图形可知：a„+l-an=n+l,

b

„+l-b.=an+2-an+l-(a„+1-an)=n+2-n-l=l,故C正确；

Sn=bl+---+bn^(a2-al)+---+(an+l-an)^an+l-al^an,故D错误.

故选：D.

3.若四个正数。，b,c,”成等差数列，x是。和d的等差中项，y=4bc,则x和7的大小关系为()

A.x>yB.X"C.x<>D.x"

【答案】B

【详解】由条件可知，a+d=b+c,(a,b,c,d>0,x=早，夕=而，

因为>=痴4等=审=》，当且仅当b=c时，等号成立，

又。，b,c,4成等差数列，故a=6=c=d时，等号成立，

所以X》.

故选：B

4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,

叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛七｝,

则的值为（）

A.24294B.24296C.24298D.24300

【答案】C

【详解】被3除余1且被4除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，

构成首项为10,公差为3x45的等差数列，

所以%=10+12x（n-l）=12〃一2,

贝！J%025=12*2025-2=24298.

故选：C.

5.（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,

13,.…该数列的特点是前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把

这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为｛%｝,有q=%=1，an+2=a„+an+l,前〃项和

为S1，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（）

A.1+$2022=02024B.该数列的前2024项中能被3整除的有507项

C.。2024是偶数D."II"。2024=。2024。2025

【答案】AD

【详解】对A选项：因为。“+2=%+%+1，即氏=%+2-%+1，

a=

所以^2022=%+%+。3---------2022（%—%）+（为一）+（%一。4）----（%024—%023）="2024一02'

a

乂。2=1，所以1+$2022=2024.故A正确；

对B：因为“斐波那契数列”的前若干项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…，它们除以3所得的余数

为：1,120,2,2,1,0,1,1,2,0,…，可以发现余数是以1,1,2,022,1,0为周期的，在一个周期内有两个能被3整

除的数.

2024

又^=253,所以该数列的前2024项中能被3整除的有253x2=506个.故B不正确；

O

对C：因为q=。2=1均为奇数，且奇数+奇数为偶数，所以%=。1+。2为偶数;

因为奇数+偶数为奇数，所以&=。2+。3为奇数；…

所以“斐波那契数列”中的项是“奇，奇，偶”规律出现的，又2024=3x674+2,所以

的024为奇数，故C不正确;

对D：因为

a2024a2025=42024“2023+。2024)=。2024+。2023〃2024

=02024+。2023(°2022+02023)=fl2024+02023+02022a2023

。2024+。2023+“2022(。2021+°2022)=°2024+°2023+°2022+。2021a2022

^2024+。；023+…+W+

因-为。］二出=1，所以。2024。2025="2024+。2023+…+。2+.故D正确.

故选：AD

6.（多选）意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（Leonard。Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这

样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,该数列的特点是：前面个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它

的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着〃趋于无穷大，其前一项与后一

项的比值越来越逼近黄金分割避二'■y0.618,因此又称“黄金分割数列”，其通项公式为

2

,它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为{6},其前〃

国）一〔丁,

项和为工，则下列结论正确的有（）

1012

A.Z%左=°2025B.几=291

k=l

2024

C.(以+2。左-。

D.Sn=an+2-l

k=l

【答案】BCD

【详解】选项A：可以发现生+〃4=。5-1，。2+%+。6-1…，

1012

因此我们归纳，猜想E〜。2025T，

k=l

1012

事实上，Z%左=&++〃6+“8+…+”2024=(“3-1)+〃4+，6+。8+…+。2024

k=l

=-1+%+-----1"。2024=一1+〃7+°8-----1"。2024='''=-1+”2025，故A错误；

ax=a2=1,%—2,6Z4=3,a5=5,a6=8,6Z7=13,%=21,a9=34,al0=55,

6zn=89,6Z12=144Ml3=233,

选项B：计算可得品=609=21x29=2948,故B正确；

选项C：由ak+2ak-=(4+]+ak)ak-底=%+ak+1®-ak+i)=~ak+iak_,+%=-(为+~一城)及-雨=1,

===

-d——1,Q5Q3_aj15—Q；-1?**'5^2026^2024—^2025一1，

2024

故23+2以一03）=0，故c正确；

k=[

选项D：可以发现，S]=%-1,邑=%—1,S3=a5—1,归纳得到S"=。”+2—1,

1

事实上'Sn=+a2+<23H---\-an=（%—。2）+（。4—。3）+（。5—44）"--^（^„+2—。"+1）

故S"=%+2-。2=。”+2-1，故D正确.

故选：BCD

7.（多选）已知数列｛%｝的前〃项和为%=2,且对于任意”>l/eN*,满足S,,+i

+S„_1=2（S„+1）,则（）

A.旬=17B.«10=18C.59=81D.510=91

【答案】BD

【详解】因为对于任意〃>l,"eN*,满足5用+兀=2（5.+1）,

贝1JS"+「Sa=S"-S,_I+2,可得a“+]-a,=2,

数列｛叫在"22时是等差数列，公差为2.

且％=lg=2,则。9=2+7x2=16,%（）=2+8x2=18,故A错误，B正确；

8x79x8

S9=l+8x2+—x2=73,510=1+9x2+—x2=91,故C错误，D正确.

故选：BD.

1

8.（多选）设等差数列｛凡｝的公差为“，前〃项和为J.已知弓=5,S24>0,邑5<0，，贝J（）

A.an>0B.d的取值范围是,：,一[]

ss

C.s”的最大值为耳3D.」•的最小值为」1

an〃13

【答案】AD

【详解】等差数列｛〃/的公差为d,前〃项和为S〃，%=5,S24>0,525<0,

对于A选项，§25=25（%；-5）*q<0,可得/<0，

§24=-=12（6Z12+«13）>0,可得％2+%3>°，贝lj〉一/3〉0，A对；

对于B选项，〃13=%+12d=5+12d<0,解得d<—,

an+。]3=%+1ld+/+12（7=10+23d>0,解得d>一詈,

因此，d的取值范围是B错；

对于C选项，因为d<0,所以，数列｛。“｝为单调递减数列，且％2>0>%3，

当1OW12且“eN*时，an>al2>0,

当〃213且〃wN*时，an<al3<0,

所以，工的最大值为句2,C错；

对于D选项，因为数列｛%｝为单调递减数列，

且当1V〃W12且〃6N*时，an>ai2>0,此时，S〃>0,则｝~>。，

an

当“213且“wN*时，％4%3<。，此时，数列｛S,｝单调递减，

s

当13W〃<24且〃eN*时，>S>0,此时，^<0,

24an

当篦225且〃cN*时，S〃WS25<0,此时，3>°，

an

s

所以，要考虑j的最小值，只需考虑〃e｛13,14,15,…,24｝即可，

an

当〃e｛13,14,15,…,23｝时，名红一葭="£+L=%（S"+：+J-%+6,

aaaaa

«„+ln„„+lnn+l

=S'（。用一%）=。“。向一电>。即&<鸟以，此时数列单调递增，

a„an+lanan+i%an+l[a"

ss

所以，行的最小值为」D对.

a

„«13

故选：AD.

9.（多选）设d,S“分别为等差数列｛%｝的公差与前“项和，若％=$2。，则下列论断中正确的有（）

A.〃=15时，S“取最大值B.$30=。

C.若d>0,a10+a22>0D.若d<0时,|a10|>|a22|

【答案】BC

【详解】等差数列｛%｝中，

-v.inJ°x9,20x19_29

・J]。—020，••1。%H——u—2V6Z|H-----——u,角牛%———d,

13y29-1）

对选项A,因为S-naH-------------d=---dnH--------------d，

n｝1222

所以S“=：而2一15赤=；"（"-15）2+言d,

因为无法确定d的正负性，所以无法确定S,是否有最大值，故A错误，

30x2929

对选项B,S3O=3O%+—--d=30x（—万4）+15、294=0,故B正确，

对选项C,因为d>0f所以《o+22=246=2(弓+15d)=2(——d+15d)=d>0,故C正确，

291811294213

又寸项D,。]0=%+9d=——d+d=——d,a??=4+2Id=——d+d—d,

]]13

d<0,|a10|=—■—d|a22|=—~—d,|a10|<|a22|,故D错误，

故选：BC.

10.1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若

此数列各项被3除后的余数构成一新数列｛%｝,则数列｛。“｝的前2025项的和为.

【答案】2278

【详解】由数列1」,2,3,5,8,13,21,34,55…各项除以3的余数，

可得数列｛。“｝为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,…，所以数列｛七｝是周期为8的数列,

一个周期中8项和为1+1+2+0+2+2+1+0=9,

又因为2025=253x8+1,

所以｛«„)的前2025项的和邑025=253x9+1=2278.

故答案为：2278

11.在等差数列｛%｝中，%<0,品=品，贝"=，数列的前“项的和最小.

【答案】10或11

【详解】设数列的公差为“，

9x812x11

因为品二几，所以9%+^^=12%+-y-d,

所以〃i=-10d<0,则d>0.

所以。〃二一104+(〃一l)d-ndId.

^an=nd-lid<0,贝W(11,其中即=0,

所以当〃=10或11时，S〃有最小值.

故答案为：10或11

12.设等差数列｛叫的前〃项和为S.，且S4047>0,S4046<0,则当"时，尺最小.

【答案】2023

【详解】根据等差数列的前n项和公式和性质得：

(a.+&4。47)x4047

$4。47=54?---------=4047a23>0=%。24>0，

(q+&046)x4046(、

§4046="=2023(Q[+%046)<°n“2023+“2024<0，

,•。2023<°，“2024>o,•.•｛%｝的前2023项为负，从2024项开始为正，故前2023项和最小.

故答案为：2023

13.在等差数列｛%｝中，«„=3«-31,记”=㈤，则数列也,｝的前30项和为.

【答案】755

【详解】当“410时,。“<0,当”>11时，a„>0,

故$30=|%|+|&|+|?|+…+|4()|=一(4+°2+a3+…+%。)+(41+ai2+ai3+-"+a3o)

=10(fl[+a,0)|20(ail+fl30)；10(-28-1)।20(2+59)；⑷+610=755

2222

故答案为：755

14.已知直线x+2y+石=0与直线x-力+11g=0互相平行，等差数列｛%｝的公差为d,且％网=35,

«4+«10<0>令S"=图+|出|+同+…+|%|，则Ho的值为.

【答案】52

【详解】由题意知dwO,因为两直线平行，所以1=工工下，解得"=-2,

1~d11V5

由%・〃8=%•(%—2)=35,解得%=-5或%=7,

又&+qo=2%<0,贝!J%二-5,

由%=4+6d=—5,解得q=7,

故4=7+(〃-1)x(-2)=-2〃+9,

则Bo=同+|。2|+|。3|+…+|%01

=l7l+l5l+l3l+W+H+H+1-5|+|-7|+|-9|+|-11|=52.

故答案为：52

15.已知数列｛%｝的前"项和S"满足后=AT+l(〃N2,〃eN*),且%=1.

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

⑵记”=-1—£为数列也,｝的前n项和，求使［2,成立的〃的最小值.

anan+\an

【答案】（1）证明见解析（2）2

【详解】（1）由底=河+1（〃22,〃€曰）可得｛后｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

故#T=l+（“—1）=〃，即S“=1,

当“22时，S,T=（〃一1）2,故氏=5“一5,1="2-（"-1）2=2〃一1,

当〃=1时，1=1也符合,

故。〃