2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：勾股定理中五种常用的思想方法（解析版）

重难点06勾股定理中五种常用的思想方法

m知识梳理

▲思想方法一：方程思想：

在直角三角形中，利用方程思想解题也是很好的解题方法，设一条未知线

段长为X,用已知数或含X的代数式表示出其它线段长，在直角三角形中

应用勾股定理列出关于X的方程，解这个方程即可求出线段长.

▲思想方法二：转化思想：

在运用勾股定理时，直角三角形为前提条件，在非直角三角形中求三角形

的边或角或推理论证时，常通过作垂线构造直角三角形，将问题转化到直

角三角形中来解决.

▲思想方法三：数学结合思想：

勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系

（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个

三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，

从而有效分析和解决问题.

▲思想方法四：建模思想：

运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问

题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三

角形的边，最后得出实际问题的解.

▲思想方法五：分类讨论思想：

在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情

况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类.

m题型解读

国典题精练

【题型1方程思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•天门校级月考)一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,

则该三角形的面积为()

A.8B.10C.24D.48

【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x,根据三角形的面

积公式计算，得到答案.

【解答】解：设另一直角边长为X,则斜边长为(x+2),

22

由勾股定理得，X+6=(X+2)2,

解得，x=8,

1

...该三角形的面积=]X6X8=24,

故选：c.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长

为C,那么°2+b2=c2.

2.（2024秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4,斜边长为10cm,那么

这个直角三角形面积为.

【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：•••一个直角三角形两条直角边的比是3：4,

设两条直角边分别为3x,4x,

根据勾股定理得，（3x）2+（4%）2=根2,

两条直角边分别为6cm和8cm,

1°

.•.这个直角三角形面积为5X8X6=24（c%2）,

故答案为：2W.

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

3.如图，RtA48C中，48=18,8c=12,z5=90°,将zMBC折叠，使点4与8c的中点

。重合，折痕为则线段2N的长为（）

A.8B.6C.4D.10

【分析】设BN=x,则由折叠的性质可得£W=/N=18-x,根据中点的定义可得3D=6,

在RM8A©中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解.

【解答】解：设BN=x,由折叠的性质可得DN=/N=18-x,

•・•£）是8c的中点，

••.BD=6,

在RMN8。中，X2+62=(18-x)2

解得x—8.

即BN=8.

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程

思想，综合性较强.

4.（2024春•海淀区校级期中）如图，为一棵大树，在树上距地面10米的。处有两只猴

子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从。处往上爬到树顶/处，又沿滑绳/C

滑到C处，另一只猴子从。滑到3,再由3跑到。处，已知两只猴子所经路程都为15

米，求树高48.

【分析】在RtZ\/8C中，Z5=90°,则满足/82+BC2=/C2,BC=a（米），AC=b

（米），AD=x（米），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a=x+6=15解方程组可以

求x的值，即可计算树高=10+x.

【解答】解：RtZ\4BC中，48=90°,

设BC=a（米），AC=b（米），AD=x（米）

则10+a=x+6=15（米）.

；.a=5（米），6=15-x（米）

又在RtZi/BC中，由勾股定理得：（10+无）2+层=庐，

二（10+x）2+52=（15-x）2,

解得，x=2,即40=2（米）

：.AB=AD+DB=2+\Q=\2（米）

答：树高为12米.

【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等

的等量关系，并且正确地运用勾股定理求的值是解题的关键.

5.（2024春•青山湖区校级期中）如图，在Rtz^/BC中，N/=90°,4B=12,2C=20.

（1）求NC的长；

（2）若点尸为线段/C上一点，连接BP,且AP=CP求4P的长.

【分析】（1）根据勾股定理，可以求得NC的长；

（2）先设NP=x,则3P=CP=16-x,然后根据勾股定理，即可求得/尸的长.

【解答】解：（1）VZ^=90°,4B=12,8c=20,

'：AB2+AC2=BC2,

：.AC=y/BC2-AC2^BC2-AB2=<202-122=16；

（2）设NP=x,贝！|3P=CP=16-x.

：//=90°,

：.AB2+AP2=BP2,

:.n2+x2=（16-%）2,

解得x=3.5,

的长为3.5.

【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答.

6.（2024春•碑林区校级期末）如图，学校高17.6加的教学楼48上有一块高5加的校训宣

传牌/C,为美化环境，对校训牌NC进行维护.一辆高2.6加的工程车在教学楼前点M

处，伸长25加的云梯（云梯最长25加）刚好接触到NC的底部点/处.问工程车向教学

楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？

【分析】过点。作。48父43于点E,由勾股定理求出DE=20〃?，设DD'=xm,

则。'E=(20-x)m,然后在Rt/XCED'中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解答】解：如图，过点。作。交N3于点E,

C

BM

由题意得：AE=AB-BE=11.6-2.6=15(m),CE=AB+AC-5£=17.6+5-2.6=20

(m),

在RtdAED中，由勾股定理得：DE=<AD2-AE2=V252-152=20(m),

设。D'=xm,则。'E=(20-x)m,

在RtzXCED'中，由勾股定理得：D'E2+CE2=CD'2,

即(20-x)2+202=252,

解得：x=5,

答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

7.(2024春•番禺区校级期中)如图，RtZ\N8C中，ZC=90°,BD平分/ABC交.AC于点、

D,DEUB交4B于点E,已知8=6,40=10.

(1)求线段/£的长；

(2)求△NBC的面积.

【分析】(1)根据角平分线的性质可得DE=C£>=6,再根据勾股定理即可求解;

(2)设2C=无，则N2=8+x,在RtZ\48C中，由勾股定理得出方程求解即可得

出8c的长，进而可求解.

【解答】解：(1)VZC=90°,BD平分NABC交4C于点、D,DE_LAB交AB于点E,

：.DE=CD=6,

'.AE-7AD2-DE2=V102-62=8；

(2)设8C=x,贝i]8E=x,N8=8+x,

在RtA48C中，AC2+BC2^AB2,

即162+X2=(8+X)2,

解得x=12,

即8c=12,

11

:,SAABC=万xACxBC=-x16x12=96.

【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理以

及角平分线的性质是解题的关键.

【题型2转化思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•大冶市期中)在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是

直角三角形，若正方形/、C、。的面积依次为5、6、20,则正方形3的面积是()

【分析】由正方形面积公式得到勿r=5,。必=6,PK2=20,由勾股定理求出产。2=犍2

-0烂=14,而MN=PQ,由勾股定理得至！]地2=四口-工解=14-5=9,即可得到正方

形8的面积.

【解答】解：•.•正方形/、C、。的面积依次为5、6、20,

.•.£、2=5,QK2=6,PK2=20,

,△尸0K是直角三角形，

：.PQ2=PK2-QK2=14,

•/四边形MNPQ是正方形，

：.MN=PQ,

,:AMNL是直角三角形，

：.ML2=MN2-LN2=14-5=9,

正方形3的面积=地2=9.

【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，关键是由勾股定理求出物2的值.

2.如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm,高为5cm.若一只蚂蚁从尸点开始经过

4个侧面爬行一圈到达。点，则蚂蚁爬行的最短路径长为<

【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开;

接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可.

【解答】解：根据题意，画出侧面展开图.

"：PA=2X(4+2)=12,QA=5,

PQ—V52+122=13（cm）.

故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm.

故答案为：13.

【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形.

3.如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24〃?，高为10〃?.从/处环绕油罐建梯子，梯子

的顶端点3正好在点/的正上方，梯子最短需要m.

【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定

理求解即可.

【解答】解：将圆柱体的侧面展开，如图所示：

则/。=底面周长=24"?,BC—10m,

在RtA48C中，AB=V242+102=26（切），

故答案为：26.

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间

线段最短和勾股定理是常用求解方法.

2

4.（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为一c%，高为%加，点4,8分别是圆

7T

柱两底面圆周上的点，且a3在同一条竖直直线上，用一根棉线从n点顺着圆柱侧面

绕3圈到2点，则这根棉线的长度最短为c%.

【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后

利用两点之间线段最短解答.

【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从/顺着圆柱侧面绕3圈到3的运动

最短路线是：ACfCD-DB；

即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，/沿着3个长方形的

对角线运动到8的路线最短；

2

•圆柱底面半径为一CTM,

7T

2

，长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2TTX-=4(cm)；

71

又,:圆柱高为9cm,

・••小长方形的一条边长是3cm；

根据勾股定理求得AC=CD=DB=432+42=5(cm)；

：.AC+CD+DB=\5(cm)；

故答案为：15.

D

【点评】本题主要考查了平面展开--路径最短问题.圆柱的侧面展开图是一个长方形,

此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高.本题就是把圆柱的侧面展

开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

5.（2024秋•安岳县期末）如图所示，/3CO是长方形地面，长48=10"?,宽AD=5m,中

间竖有一堵依墙高一只蚂蚱从/点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它

至少要走m的路程.

【分析】连接NC,利用勾股定理求出/C的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形

长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可.

【解答】1解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MM

原图长度增加2米，则/3=10+2=12m,

连接/C,

:四边形/BCD是长方形，AB=12m,宽AD=5m,

•'.AC-7AB2+BC2=V122+52=13m,

...蚂蚱从/点爬到。点，它至少要走13m的路程.

故答案为：13.

【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此

题的关键.

6.（2024秋•高新区校级月考）如图，四边形中，4B=2。,2c=15,CD=7,AD=

24,Z5=90°.

求四边形ABCD的面积.

B

【分析】连接ZC,根据勾股定理可知/。2=取2+5°2,再根据4°2=。/2+℃2即可得出

ND是直角；根据S四边形NBCZJUSUBC+SA^DC即可得出结论•

【解答】解：连接NC,

VZB=90°,

：.AC2=BA2+BC2=400+225=625,

,?DA2+CD2=242+12=625,

:.AC2^DA2+DC2,

；.△/£»（7是直角三角形，即/。是直角;

四边形48coUSZUBC+SAZDC，

11

'-S四边形4BCD=p8・3C+5/D・CZ），

11

=-x20xl5+-x24x7,

=234.

【点评】本题用到了转化的思想，把四边形的面积转化成三角形的面积来求，考查了勾

股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长。，b,C满足。2+/>2=C2,

那么这个三角形就是直角三角形.

7.（2024春•崇阳县校级月考）如图，四边形/8CD中，N8=/D=6,ZA=60°,ZADC=

150°,ABLBC.

(1)直接写出：NC的度数为，宝的值为

DC.

(2)求四边形48cD的面积.

【分析】(1)连接8D,证明是等边三角形，得/4DB=/4BD=60°,BD=AB=

1

6,则NADC=90°,ZDBC=30°,然后由直角三角形的性质得/C=60°,CD=~BC

即可；

(2)过点。作。43于点E,由勾股定理得OE=3百，8=2百，再由S四边形4BCO=

S“BD+SABCD列式计算即可.

【解答】解：(1)如图，连接8。，

•；4B=AD=6,N4=60°,

・・・△45。是等边三角形，

AZADB=ZABD=60°,BD=AB=6,

VZADC=150°,

：.ZBDC=ZADC-ZADB=\50°-60°=90°,

'：ABLBC,

：.ZABC=90°,

：.ZDBC=ZABC-ZABD=90°-60°=30°,

1

：.ZC=90°-NDBC=90°-30°=60°,CD=~BC,

.CD1

••丽=5，

1

故答案为：60°,-；

(2)如图，过点。作。于点E,

1

则=5/4)8=30°,

11

^.AE=营。=5*6=3,

:・DE=y/AD2-AE2=V62-32=3V3,

由(1)可知，BC=2CD,NBDC=90°,

：.BD=<BC2-CD2=J(2CD)2—C£)2=gCD=6,

:.CD=2也,

1111

•,•S西进形ABCD=SAABD+S&BCD=/B•DE+-BD*CD=~'X.6X3百+-x6X2百=15百.

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质

以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和等边三角形的判定与性质是解题的关

键.

【题型3数形结合思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•玉州区期中)先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标尸1

(X1，为)，P2(X2，及)，其两点间距离公式为P1P2=，(久2-％1)2+02-丫1)2,同时，当

两点所在的直线在坐标轴上或平行于X轴或垂直于X轴时，两点距离公式可简化成所-

初|或72-川.

(1)已知/(3,4),2(-2,-3),试求4,2两点的距离；

(2)已知48在平行于y轴的直线上，点/的纵坐标为6,点8的纵坐标为-4,试求

A,2两点的距离；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为/(0,6),8(-3,2),C(3,2),找出三角形中

相等的边？说明理由.

【分析】(1)直接根据两点间距离公式计算即可；

(2)直接根据两点间距离公式计算即可；

(3)先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可.

【解答】解：(1)'：A(3,4),5(-2,-3),

-"-AB=V(-2-3)2+(-3-4)2=V74;

(2)\-A,2在平行于y轴的直线上，点/的纵坐标为6,点3的纵坐标为-4,

.•.^5=|-4-6|=10；

(3)AB=AC,理由如下：

,：A(0,6),B(-3,2),C(3,2),

'•AB-J(-3-0)2+(2-6)2—5,

2c=|3-(-3)|=6,

AC-J(3-0)2+(2-6)2=5,

：.AB=AC.

【点评】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键.

2.(2024春•平桥区校级期末)如图所示，四边形/BCD,ZA=90°,AB=3m,BC=

（2）如图2,以/为坐标原点，以AB、AD所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点

1_

尸在y轴上,右SaPBD=四边形48c求尸的坐标.

q

【分析】（1）在Rt448C中，根据勾股定理可求出8。=5机，然后再证明△8OC是直角

三角形，从而可得NO3c=90°,最后根据四边形48CD的面积的面积+△9BC

的面积，进行计算即可解答；

1

（2）设尸（0,a）,可得尸。=5-4],然后根据已知可得5・|0-4卜3=9,进行计算即可

解答.

【解答】解：（1）,.•/Z=90°,AB=3m,DA=4m,

/.BD=yJAD2+AB2=V42+32=5(m),

9：BC=12m,CD=13m,

：.DB2+BC2=52+122=169,CZ)2=132=169,

:.BD2+BC2=CD2,

・・・△HOC是直角三角形，

AZDBC=90°,

・•・四边形45cZ)的面积=Z\Z5Z)的面积+ZXO5C的面积

11

=《AD・AB+3DB・BC

11

=-x4X3+-x5X12

=36(m2),

・•・四边形ABCD的面积为36m2；

(2)设P(0,a),

'.'DA=4m,

：.D(0,4),

：.PD=\a-4\,

.1

•S^PBD=N四边形ZBCD，

11

，PD・AB=:又36,

z4

1

^•\a-4|・3=9,

\a-4|=6,

a-4=±6,

a=10或a=-2,

：.P(0,10)或(0,-2).

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握勾股

定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键.

3.(2024春•长沙县期末)阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公

式的推导过程：

(X2,了2)，那么M、N两点之间的

距离可以用公式MN=d(X2—X02+(乃―%)2计算.试根据公式解决下列问题:

(1)若点Ml(2,4),N[(-3,-8),则"1，Ni两点间的距离为；

(2)若点跖(5,他)与M(2,0)的距离为6,求力的值；

(3)若点地(1，2),N3(4,-2),点。是坐标原点，试判断△V3CW3是什么三角形,

并说明理由.

【分析】(1)根据题目中两点间的距离公式，可以求出Mi，跖两点间的距离；

(2)根据题目中的距离公式和点跖(5,m)与M(2,0)的距离为6,可以列出相应

的方程，然后求解即可；

(3)先判断三角形的性质，然后根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理说明理由即

可.

【解答】解：(1)：点Mi(2,4),Ni(-3,-8),

AMi，Ni两点间的距离为：J(—3—2)2+(—8—4)2=13,

故答案为：13；

(2),点跖(5,m)与N2(2,0)的距离为6,

1(2—5)2+(0—皿)2=6,

解得m=±3百，

即m的值是±3百；

(3)△峪。鹿3是直角三角形，

•点监(1,2),N3(4,-2),点。是坐标原点，

:.M3N3=J(4—1)2+(-2-27=5，

OM3=J(l-0)2+(2-0)2=Vs，

22

ON3=V(4-0)+(-2-0)=2V5.

222222

,：OM3+ON3=(V5)+(2V5)=5=M3N3,

...△跖。N3是直角三角形.

【点评】本题考查勾股定理、两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键

是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.

4.(2024春•交城县期中)先阅读下面的一段文字，再解答问题.

已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(修，为)，N人,以)，其两点之间的距离公

式为MN="小―9)2+(及―%)2・同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标

轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为卜2-对或b2-乃1.

(1)已知点/(1,5),5(-3,6),试求N,8两点之间的距离；

1

(2)已知点8在垂直于y轴的直线上，点/的坐标为(-5,AB=8,试确定

点B的坐标；

(3)已知点/(0,6),2(-3,2),C(3,2),请判断△/2C的形状，并说明理由.

【分析】(1)根据题目中两点间的距离公式，可以求得/,8两点之间的距离；

(2)根据题意，可以设出点3的坐标，再根据/2=8,即可得到点2的坐标；

(3)先判断的形状，再根据点/(0,6),B(-3,2),C(3,2),分别求出

AB、BC、/C的长度，即可说明理由.

【解答】解：(1)'：A(1,5),5(-3,6),

：.4B=J(-3-1)2+(6-5/=V17;

(2)'：A,2在垂直于y轴的直线上，

..•点/与点8的纵坐标相等，

1

设8(x,

'：AB=S,

\x-(-5)|=8,

解得x=3或工=-13,

11

--B(3,―万)或(-13,一万)；

(3)△/BC的形状为等腰三角形，

理由：,：A(0,6),8(-3,2),C(3,2),

""AB=个(-3—0)2+(2-6)2=5,

AC—J(3-0)2+(2-6)2=5,

BC=\3-(-3)|=6,

：.AB=AC=5,

AABC的形状为等腰三角形.

【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，解答本题的关键

是明确题意，会求两点间的距离.

5.如图，A,8两个工厂位于一段直线形河的异侧，/厂距离河边/C=5碗，B厂距离河边

BD=\km,经测量CD=8碗，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂£

(1)设ED=x,请用x的代数式表示AE+BE的长；

(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想〃^工？+

J(15—久＞+25的最小值为多少?

【分析】(1)依据皮＞=无，ACLCD.BDLCD,故根据勾股定理可用x表示出/E+8E

的长；

(2)根据两点之间线段最短可知连接N3与CD的交点就是污水处理厂E的位置.过点B

作8尸，4C于尸，构造出直角三角形，利用勾股定理求出N5的长；

(3)根据AE+BE=存1百+J(15-x)2+25可作出图形,当月、E、8共线时，利用勾

股定理求出的值即可.

【解答】解：(1)在RtZUCE和中，根据勾股定理可得/£=J(8-x)2+25,

BE=y/x2+1，

：.AE+BE=7(8-X)2+25+Vx2+1,

(2)根据两点之间线段最短可知，连接与CD的交点就是污水处理厂E的位置.

过点2作于尸，则有AF=CD=8,BD=CF=1.

：.AF=AC+CF=6.

在RtA^SF中，2/=7AF2+BF2=V62+82=10,

,此时最少需要管道10km.

(3)根据以上推理，可作出下图，设皮)=x,BD=3,CD=15,AC=5,当/、E、B

共线时，求出的值即为原式的最小值.

在RtZ\4B尸中，4F=8,BF=CD=15,

由勾股定理可得：/2=,82+152=17,

•'-V%2+9+J(15-x)2+25的最小值为17.

【点评】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数

式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键.

6.(2024春•越秀区校级期中)如图1,C为线段AD上一动点，分别过点2、。作48,

BD,EDLBD,连接NC、EC.已知/3=2,DE=\,BD=8,设C£>=x.

（1）用含X的代数式表示AC+CE的长为；

（2）求NC+CE的最小值.

（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式7^工1+

J(3—x)2+4的最小值.

【分析】（1）由勾股定理即可求解；

（2）过点/作垂足为点尸，连接4E,则有尸=2,BD=AF=8,要使

NC+EC的值最小，则需满足点/、C、E三点共线即可，即最小值为/£的长，然后问题

可求解；

（3）取尸为线段8。上一动点，分别过点8、。作EDLBD,连接4P、

EP.已知AB=1,DE=2,BD=3,然后同理（2）可进行求解.

【解答】解：（1）,:ABLBD,ED1BD,

：.△4BC和△CDE是直角三角形，

'：AB=2,DE=\,BD=8,设CD=x,

：.BC=8-x,

在RtA^BC中，AC=y/AB2+BC2=j4+(8r)2,

在Rt^CDE中，CE=VZ)E2+CD2=VlTx^，

-'•AC+CE-J4+(8-久)2+V1+%2,

故答案为：44+（8—+y/1+x2;

（2）过点/作4FUDE,垂足为点尸，连接4E,如图所示:

'JAFLDE,ABLBD,EDLBD,

四边形/AD9是矩形,

：.AB=DF=2,BD=AF=8,

：.EF=3,

'."AC+CE=J4+(8-以+V1+x2,

二要使NC+EC的值最小，则需满足点N、C、£三点共线即可，即最小值为/£的长，

：.AC+CE的最小值4E=7AF2+EF2=V73;

(3)取尸为线段8。上一动点，分别过点8、。作EDLBD,连接4P、

EP.已知N8=l,DE=2,BD=3,如图所示：

设BP=x,则根据勾股定理可得：AP=Vx24-1,PE=V(3-x)2+4,

2

'■AP+PE=Vx+1+J(3T)2+4,

同理(2)可知4P+PE=彳工I+J(3—工产+4的最小值即为点4与点E之间的距离,

：.AP+PE=疗工彳+，(3—x)2+4的最小值为J32+32=3V2.

【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【题型4建模思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•昆玉市期末)如图，有一只小鸟在一棵高13根的大树树梢上捉虫子，它的伙伴

在离该树12m,高8/1?的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2机/s的速度飞向小

树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

l?m

【分析】本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13根，也就是两树

树梢之间的距离是13m,两再利用时间关系式求解.

【解答】解：如图所示：

根据题意，得

AC=4D-BE=13-8=5m,BC=12m.

根据勾股定理，得

AB=VXC2+BC2=13w.

则小鸟所用的时间是13+2=6.5G）.

答：这只小鸟至少6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起.

【点评】此题主要考查勾股定理的运用.关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路

程+速度.

2.如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长48=65c%,拉杆最大伸长距离2C=35c/w,在

箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6c加.当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的N

处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55c机到H处.请求点C离地面的

距离（假设点C的位置保持不变）

【分析】过。作CELD/E,延长4f交CE于E根据勾股定理即可得到方程652-/=

1002-(55+x)2,求得/下的长，即可利用勾股定理得到C厅的长，进而得出CE的长.

【解答】解：如图所示，过点C作CELZW于点E,延长交CE于F,则N//C=

90°.

设F—xcm,则4F=(55+x)cm,

由题可得，/C=/5+8C=65+35=100(cm),A'C=65cm.

；RtZU'CF中，CF2=652-X2,

RtZ\/C尸中，CF2=1002-(55+x)2,

A652-x2=1002-(55+x)2,

解得x=25,

：.A'F=25(cm),

：.CF=yJA'C2-A'F2=60Cem).

又EF—AD—3cm,

"£=60+3=63(cm),

.,.点C离地面的距离为63cm.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与

方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，

画出准确的示意图.

3.(2024秋•蒲江县校级期中)一架梯子长2.5加，如图斜靠在一面墙上，梯子底端2离

墙0.1m.

(1)这个梯子的顶端距地面有多高?

(2)如果梯子的顶端下滑了04”.那么梯子底部在水平方向滑动了0.4加吗？为什么？

【分析】(1)直接根据勾股定理求出/C的长即可；

(2)先求出C的长，再由勾股定理求出C9的长，进而得出的长即可.

【解答】解：(1),:AB=25m,BC=0.7m,

：.AC=y/AB2-BC2=12.52—0.72=2.4(m).

答：这个梯子的顶端距地面有2.4加

(2)梯子底部在水平方向滑动了0.8%,理由如下：

在CB'中，A'C=AC-0.4=24-0.4=2(米)，A'B'=2.5米，

：.CB'=<A'B'2-A'C2=12.52—22=1.5(m),

：.BB'=CB'-BC=1.5-0.7=0.8(m).

答：梯子底部在水平方向滑动了0.8冽.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出NC的长是解题的关键.

4.(2024秋•郑州期末)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”.又到了放风筝的最佳时

节.某校八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高

度CE,他们进行了如下操作：①测得水平距离2。的长为15米；②根据手中剩余线的

长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.

(1)求风筝的垂直高度CE；

(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度;

（2）根据勾股定理即可得到结论

【解答】解：（1）在Rt/XCDB中，

由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400,

所以，CD=2Q（负值舍去），

所以，CE=CD+DE=20+l.6=21.6（米），

答：风筝的高度CE为21.6米；

（2）由题意得，CM=12,

：.DM^8,

BM=7DM2+BD2=V824-152=17（米）,

：.BC-BM=25-17=8（米），

•••他应该往回收线8米.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理

是解题的关键.

5.（2024春•合江县期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的

社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图是该校开垦的一块

作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，AB=AD=l3m,BC=8m,CD=6m,且

BD^lOm.该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1层花卉需要花费100

元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？

【分析】过/作/石，3。于点E,三线合一求出工£的长，勾股定理逆定理，得到△BCD

是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再

乘以单价即可.

【解答】解：如图，过/作于点E,

1

/.BE=DE=5BD=5m,

在RtZX/BE中，由勾股定理得：AE=y/AB2-BE2=V132-52=12(m),

,;BC=8m,CD=6m,BD=10m,82+62=102,

：.BC1+CD-=BD2,

.♦.△BCD是直角三角形，且/BCD=90°,

1111

.*•S阴影=SAABD-SABCD=—BD-AE--BC-CD=-X10X12--X8X6=60-24=36(

m2),

.,.100X36=3600（元）.

答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，在应用勾股定理解决实际

问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定

理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

6.（2024秋•南岸区校级期中）如图1,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半

圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，

（1）请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？

（2）如图2,若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通

过这个通道吗？为什么？

【分析】（1）作弦跖〃ND,OHLEF于H,连接。尸，在直角△。自，中，根据三角函数

就可以求出。咒求出隧道的高.就可以判断；

（2）同理求得〃尸和然后求得儿牛后与1.4米比较即可.

【解答】解：（1）如图，设半圆。的半径为R,则尺=2,

作弦E尸〃/D,且即=2.8,OH_LEF于H,

连接OR（2分）

由。得〃F=1.4,（3分）

又OH—^22-1.4^=，2.04>>/1.96=1-4,

...此时隧道的高48+所>2.6+1.4=4（米），

这辆卡车能通过此隧道；

（2）当车高3.9米时，C归=3.9-2.6=1.3米，

此时22—1.32=无五米,

•.•通道正中间有一个0.4米宽的隔离带,

：.HM=0.2米,

:.MF=HF-HMO.4米,

二不能通过.

【点评】考查了勾股定理的应用，把本题转化为直角三角形的问题是解决本题的关键.

7.（2024春•汉南区校级月考）如图，台风中心沿监测点2与监测点/所在的直线由东向西

移动，已知点C为一海港，且点C与/,8两点的距离分别为300Am、400km,且N/C8

=90°,过点C作于点E,以台风中心为圆心，半径为2606;的圆形区域内为

受影响区域，台风的速度为25而J//Z.

（1）求监测点/与监测点2之间的距离；

（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？

若不受影响，请说明理由.

【分析】（1）利用勾股定理求出即可；

（2）利用三角形面积得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；利用勾股定理得

出CD以及CF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

【解答】解：（1）在RtZ\4BC中，AC=3QQkm,BC=400km,

:.AB—VAC2+BC2=V3002+4002=500(km),

答：监测点/与监测点8之间的距离为500的?；

(2)海港C受台风影响，

理由：VZACB=90°,CELAB,

11

：.S^ABC=^AC'BC=-CE'AB,

.,.300X400=500^,

；.C£=240(km),

:以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域,

海港C会受到此次台风的影响.

以C为圆心，260fow长为半径画弧，交4B于D,F,

则CD=CF=26Qkm时，正好影响C港口，

在RtZ\CD£中，

ED=y/CD2—CE2=42602—24()2=100(km),

：・DF=200km,

,/台风的速度为25千米/小时，

.•.200+25=8(小时).

答：海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时.

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

【题型5分类讨论思想在勾股定理中的应用】

1.已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为（）

A.5B.7+V7C.12D.12或7+V7

【分析】先设Rt4/BC的第三边长为x,再分4是斜边或x为斜边两种情况讨论即可.

【解答】解：设的第三边长为x,分两种情况：

①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，

由勾股定理得：x=V32+42=5,

此时这个三角形的周长=3+4+5=12；

②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，

由勾股定理得：x-V42-32-V7，

此时这个三角形的周长=3+4+77=7+V7；

综上所述：此三角形的周长为12或7+V7，

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理、分类讨论等知识；解答此题时要注意分类讨论，不要漏

解.

2.（2024秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为4cm,则以第三边为边长

的正方形的面积为.

【分析】分两种情况考虑：当4c加为直角三角形的斜边时，利用勾股定理求出第三边的

平方，即为以第三边为边长的正方形的面积；当第三边为直角三角形的斜边时，利用