2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：勾股定理中五种常用的思想方法（原卷版）

重难点06勾股定理中五种常用的思想方法

m知识梳理

▲思想方法一：方程思想：

在直角三角形中，利用方程思想解题也是很好的解题方法，设一条未知线

段长为X,用已知数或含X的代数式表示出其它线段长，在直角三角形中

应用勾股定理列出关于X的方程，解这个方程即可求出线段长.

▲思想方法二：转化思想：

在运用勾股定理时，直角三角形为前提条件，在非直角三角形中求三角形

的边或角或推理论证时，常通过作垂线构造直角三角形，将问题转化到直

角三角形中来解决.

▲思想方法三：数学结合思想：

勾股定理是三角形是直角三角形（形），得到三角形三边的数量关系

（数），勾股定理的逆定理的是由三角形三边的数量关系（数），得到这个

三角形是直角三角形（形），二者相互结合，能使抽象的数量关系直观化，

从而有效分析和解决问题.

▲思想方法四：建模思想：

运用勾股定理解决实际问题的实质是将生活中的实际问题转化为数学问

题，然后将已知和未知转化为直角三角形的边，利用勾股定理求出直角三

角形的边，最后得出实际问题的解.

▲思想方法五：分类讨论思想：

在研究三角形的高时，应分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种情

况考虑，另外在探究直角三角形的边长时也应注意分类.

m题型解读

国典题精练

【题型1方程思想在勾股定理中的应用】

1.（2024春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,

则该三角形的面积为（）

A.8B.10C.24D.48

2.（2024秋•徐汇区期末）一个直角三角形两条直角边的比是3：4,斜边长为10cm,那么

这个直角三角形面积为.

3.如图，RtA42C中，48=18,BC=12,N3=90。，将AIBC折叠，使点/与2C的中点

。重合，折痕为则线段瓦V的长为（

C.4D.10

4.(2024春•海淀区校级期中)如图，为一棵大树，在树上距地面10米的。处有两只猴

子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从。处往上爬到树顶/处，又沿滑绳NC

滑到C处，另一只猴子从。滑到8,再由8跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15

米，求树高48.

5.(2024春•青山湖区校级期中)如图，在RtZk48C中，ZA=90°,AB=\2,8c=20.

(1)求NC的长；

(2)若点P为线段/C上一点，连接8尸，且BP=CP,求4P的长.

6.（2024春•碑林区校级期末）如图，学校高17.6加的教学楼48上有一块高5羽的校训宣

传牌NC,为美化环境，对校训牌NC进行维护.一辆高2.6加的工程车在教学楼前点又

处，伸长25m的云梯（云梯最长25加）刚好接触到NC的底部点/处.问工程车向教学

楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处?

7.（2024春•番禺区校级期中）如图，RtZ\4BC中，ZC=90°,BD平分/ABC交AC于点

D,DELAB交AB于点、E,已知CD=6,AD=10.

（1）求线段/E的长；

（2）求△NBC的面积.

【题型2转化思想在勾股定理中的应用】

1.（2024春•大冶市期中）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是

。的面积依次为5、6、20,则正方形3的面积是（）

C.10D.21

2.如图，长方体的底面长和宽分别为4c加和2c加，高为5c加.若一只蚂蚁从尸点开始经过

4个侧面爬行一圈到达。点，则蚂蚁爬行的最短路径长为cm.

3.如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24"?,高为10"?.从/处环绕油罐建梯子，梯子

的顶端点8正好在点/的正上方，梯子最短需要m.

一2

4.（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为一0"2,高为9c%，点N,8分别是圆

7T

柱两底面圆周上的点，且8在同一条竖直直线上，用一根棉线从N点顺着圆柱侧面

绕3圈到8点，则这根棉线的长度最短为c”.

5.（2024秋•安岳县期末）如图所示，N8CD是长方形地面，长/8=10加，宽AD=5m,

中间竖有一堵砖墙高MN=l〃z.一只蚂蚱从N点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则

它至少要走m的路程.

6.（2024秋•高新区校级月考）如图，四边形48CD中，AB=20,8c=15,CD=7,AD=

24,NB=90；求四边形/BCD的面积.

D

7.(2024春•崇阳县校级月考)如图，四边形48cZ)中，AB=AD=6,ZA=60°,ZADC=

150°,ABLBC.

CD

(1)直接写出：NC的度数为_______，弁的值为________.

DL

(2)求四边形ABCD的面积.

【题型3数形结合思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•玉州区期中)先阅读一段文字，再回答下列问题：己知在平面内两点坐标尸1

(X1，为)，B(%2，»2)，其两点间距离公式为-X1)2+仇-Pl)?，同时，当

两点所在的直线在坐标轴上或平行于X轴或垂直于X轴时，两点距离公式可简化成

司或历一加.

(1)已知N(3,4),8(-2,-3),试求/,8两点的距离；

(2)已知/,5在平行于丁轴的直线上，点/的纵坐标为6,点8的纵坐标为-4,试求

A,8两点的距离；

(3)已知一个三角形各顶点坐标为/(0,6),3(-3,2),C(3,2),找出三角形中

相等的边？说明理由.

2.(2024春•平桥区校级期末)如图所示，四边形/BCD,ZA=90°,AB=3m,BC=

12m,CD=13m,DA=4m.

(1)求四边形/BCD的面积；

(2)如图2,以4为坐标原点，以/8、所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系，点

1_

尸在〉轴上，若&PBD=1S四边形/BC。，求尸的坐标.

3.(2024春•长沙县期末)阅读下列一段文字，并结合图中的信息理解平面内两点间的距离公

在直角坐标系中，已知两点的坐标是M(修，为)，N(X2，了2)，那么M、N两点之间的

距离可以用公式MV=&2—X02+(乃―月)2计算.试根据公式解决下列问题：

(1)若点Ml(2,4),N[(-3,-8),则Ml，N1两点间的距离为；

(2)若点跖(5，m)与M(2,0)的距离为6,求加的值；

(3)若点地(1，2),N3(4,-2),点O是坐标原点，试判断△必。座3是什么三角形，

并说明理由.

4.(2024春•交城县期中)先阅读下面的一段文字，再解答问题.

已知：在平面直角坐标系中，任意两点M(xi，为)，N(x2,及)，其两点之间的距离公

式为MV=J(久2-肛)2+(及一月产-同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标

轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可以简化为g-对或取-以「

(1)已知点N(1,5),8(-3,6),试求8两点之间的距离；

一1

(2)已知点工,3在垂直于y轴的直线上，点/的坐标为(-5,48=8,试确定

点B的坐标；

(3)已知点N(0,6),B(-3,2),C(3,2),请判断△N8C的形状，并说明理由.

5.如图，A,2两个工厂位于一段直线形河的异侧，/厂距离河边NC=5fon,2厂距离河边

BD=\km,经测量CD=8痴，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂£.

(1)设ED=x,请用x的代数式表示NE+5E的长；

(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想两+

J(15—%)2+25的最小值为多少?

E

*

6.(2024春•越秀区校级期中)如图1,C为线段3。上一动点，分别过点8、。作

BD,ED1BD,连接/C、EC.已知AB=2,DE=1,BD=8,设CD=x.

I_____I

I-------1I-------1I--------1

।____।।____।L_J

।-------1r-1r

।____।।_____।L

图2

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长为.

(2)求/C+CE的最小值

(3)根据(2)中的规律和结论，请模仿图1在网格中(图2)构图并求代数式FTT+

J(3-x)2+4的最小值.

【题型4建模思想在勾股定理中的应用】

1.(2024春•昆玉市期末)如图，有一只小鸟在一棵高13根的大树树梢上捉虫子，它的伙伴

在离该树12m,高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小

树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

2.如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长4B=65c%,拉杆最大伸长距离3C=35CTM,

在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6c加.当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中

的/处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55c机到H处.请求点C离

地面的距离(假设点C的位置保持不变)

3.(2024秋•蒲江县校级期中)一架梯子长25”，如图斜靠在一面墙上，梯子底端2

离墙0.7加.

(1)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)如果梯子的顶端下滑了0.4掰.那么梯子底部在水平方向滑动了0.4加吗？为什么？

4.（2024秋•郑州期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”.又到了放风筝的最佳时

节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高

度CE,他们进行了如下操作：①测得水平距离2。的长为15米；②根据手中剩余线的

长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.

（1）求风筝的垂直高度CE；

（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？

5.（2024春•合江县期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的

社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图是该校开垦的一块

作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，AB=AD=13m,BC=8m,CD=6m,且

BD=10m.该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植1加2花卉需要花费io。

元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？

AA

BD

6.(2024秋•南岸区校级期中)如图1,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半

圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高为4米，宽为2.8米，

(1)请问这辆送家具的卡车能通过这个通道吗？为什么？

(2)如图2,若通道正中间有一个0.4米宽的隔离带，问一辆宽1.4米高3.9米的车能通

过这个通道吗？为什么？

图1图2

7.(2024春•汉南区校级月考)如图，台风中心沿监测点2与监测点/所在的直线由东向西

移动，已知点C为一海港，且点C与1,8两点的距离分别为300碗、400km,且N/C8

=90°,过点C作CELN8于点E,以台风中心为圆心，半径为260而？的圆形区域内为

受影响区域，台风的速度为25加1".

(1)求监测点A与监测点B之间的距离；

(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？

若不受影响，请说明理由.

北

【题型5分类讨论思想在勾股定理中的应用】

1.已知直角三角形两边的长分别为3和4,则此三角形的周长为（）

A.5B.7+V7C.12D.12或7+V7

2.（2024秋•肃州区期末）已知直角三角形两边的长分别为3°加，4cm,则以第三边为边长

的正方形的面积为.

3.（2024春•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长为10和12,则等腰三角形的面积

为.

4.（2024•扶沟县一模）如图，在△N3C中，ZACB=90°,AC=4,NB=30°，点、P在4

N8C的内部，PC=V3,。是的中点，连接尸/,PD,当为等腰三角形时，PA

5.（2024秋•威海期末）如图所示，已知CM=10,P是射线ON上一动点，/。=60°.

（1）当△/（?尸是等边三角形时，求。尸的长；

（2）当尸是直角三角形时，求。尸的长.

A

N

0P

6.(2024春•献县月考)已知：/D是A48C边8C上的高，ZACD=45°,48=13,AD=5.

(1)若。在线段8c上，求线段3C的长；

(2)若。在直线2C上，求△4BC的面积.

7.(2024秋•东莞市期末)如图，在直角三角形N8C中，ZA=90°,若/8=16厘米，AC

=12厘米，2C=20厘米.点P从点/开始，以2厘米/秒的速度沿/-2-C的方向移

动，终点为C;点。从点C开始，以1厘米/秒的速度沿CTfB的方向移动，终点为

B.如果P,0同时出发，用/秒表示移动时间.

(1)分别求出尸，0到达终点时所需时间；

(2)若点P在线段上运动，点。在线段。上运动，试求出当/为何值时，=

API

1

(3)当，为何值时，s_：角形0BC=V角形4BC?

A-APB

8.（2023春•红谷滩区校级月考）如图，已知在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=S,BC=

16,点P从2点出发沿射线2C方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运动时

间为力.连接NP.

（1）当f=3秒时，求NP的长度（结果保留根号）；

（2）当△N8P为等腰三角形时，求才的值；

BQ限时测评

1.直角三角形的两条边长为5和12,它的斜边长为（）

A.13B.V119C.13或D.13或12

2.在△48C中，AB=2,AC=243,ZC=30°,则线段8c的长为（）

A.4B.2V2C.4或2&D.2或4

3.（2024•宣城模拟）如图，某自动感应门的正上方/处装着一个感应器，离地面的高度

为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离3c

为1.2米，头顶离感应器的距离为1.5米，则这名学生身高为（）米.

A

A.0.9B.1.3C.1.5D.1.6

4.△4BC中，48=20,NC=13,高40=12,则△/8C的面积为（）

A.66B.126C.54或44D.126或66

5.在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且

荷花恰好落在水面.花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是

尺.

6.如图，在直角坐标系中，是RtZ\0/8的角平分线，已知点。的坐标是（0,-4）,

AB的长是14,则△ARD的面积为

7.（2024春•上杭县校级月考）如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°，ZC=6,2C=8.动

点。从点2出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线2C运动，若△ND2为等腰三角形,

则运动时间为.

8.（2024春•南京期末）如图，在线段N8上取一点C,分别以NC、8c为直角边作等腰直

角二角形/CD、等腰直角三角形C3E.若这两个等腰直角二角形的面积和为11,ACDB

的面积为3.5,则AB的长为.

9.（2024春•海淀区校级期中）在RtZ\48C中，ZACB=90°,NC=5C=1,点。在直线

8c上，且/。=2,则线段8。的长为.

10.如图，一只蚂蚁沿着棱长为2的正方体表面从顶点/出发，经过3个面爬到顶点3,如

果它运动的路径是最短的，则最短路径为

11.如图，已知在RtZ\/8C中，/ABC=9Q°,AB=3,BC=4,点。是边8c上的任意一

点，以/。为折痕翻折△ARD,使点3落在点E处，连接EC,当△DEC为直角三角形时,

BD的长为

A

12.（2024春•开州区期中）如图，开州大道上4,2两点相距14碗，C,。为两商场，DA

_L4B于CB_L4B于B.已知ZM=8痴，CB=6km.现在要在公路48上建一个土特

产产品收购站£,使得C,。两商场到E站的距离相等.

（1）求E站应建在离A点多少km处？

（2）若某人从商场。以5筋皿的速度匀速步行到收购站£,需要多少小时？

13.（2024春•顺德区校级月考）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄C,河边原

有两个取水点B,且由于某种原因，从取水点C到/的路现在已经不通,

该村为方便村民取水，决定在河边