2024-2025学年山东省青岛某中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛二中高二（下）期中

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知随机变量X服从正态分布N（3,M）,且p（X>2）=0.7,贝|P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

2.为研究光照时长久（小时）和种子发芽数量y（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了9组数据，绘制散点图

如图所示，并对x,y进行线性回归分析.若在此图中加上点P后，再次对x,y进行线性回归分析，则下列说

法正确的是（）Ay

A.x,y不具有线性相关性・P.:

B.决定系数R2变大.••

••

C.相关系数r变小__________：_________

O

D.残差平方和变小

3.某中学环保社团计划利用社团前空地栽种五棵高低不一样的树木，其中最高和最矮的两棵树木种在两头

的方法有（）

A.6种B.12种C.24种D.48种

4.已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组x,y的样本数据如表所示：根据表中

数据利用最小二乘法得到的回归方程是（）

X12345

y0.50.611.41.5

A.y=0.21x+0.53B.y=0.25x+0.21C.y=0.28%+0.16D.y=0.31x+0.11

5.某篮球运动员每次投篮投中的概率是,,每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能

投中的次数为W，则m的值为（）

A.5B.6C.7D.8

6.设a==sin§,c=2）/，则（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aT).b<a<c

7.某校高二年级有5名同学计划前往崂山、黄山、华山三个景点旅游.已知5名同学中有2名男生，3名女生.

每个景点至少有1名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生4不去同一处景点游玩，女

生B与女生C去同一处景点游玩，则这5名同学游玩行程的方法数为()

A.30B.36C.42D.54

8.已知函数/(%)的定义域为(0,+8),导函数为尸(x),不等式(x+l)[2/(x)+x-(久)]＞x/(x)恒成立，且

/(6)=今，则不等式/(%+3)＜含芥的解集为()

A.(0,3)B.(-3,3)C.(-3,6)D.(3,6)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

6ax3456

9.若(1—%)=a。+i+g/+a3x+a4x+a5x+a6x,则下列结论中正确的是()

A.展开式中二项式系数最大项为第3项

B.当％=-8时，(1一%＞除以8的余数是1

C.%++。3+。4++。6=-1

D.a1+2a2+3电+4a4+5a5+6。6=0

10.有n(neN*,n210)个编号分别为1,2,3,n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子

中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以

此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件人。=1,2,3，…,n),贝1()

44412

C-D<%<

9-5-4)8-2--3-

131

%+92

11.已知函数/(%)3-2--2ax-a2+§在久=2处取得极值，且在(2,+8)上单调，则下列结

论中正确的是()

A.a的取值范围是(一2,+8)

B./(%)不可能有两个零点

C.当a=2时，过点(2,-当作曲线y=/(%)的切线有且仅有两条

D.当a=2时，/(久)的图象与g(x)=22-2-2-押象交点的纵坐标之和为一号

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2+£)(1-*)5的展开式中/的系数为.

13.已知函数/(久)=ex~k-Inx-k,若/'(久)有两个零点，则实数k的取值范围____.

14.某盒中有12个大小相同的球，分别标号为1,2,…，12,从盒中任取3个球，记f为取出的3个球的标号

之和被3除的余数，则随机变量f的期望为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

某校为了解本校学生每天的体育活动时间，随机抽取了100名学生作为样本，统计并绘制了如图的频率分

布直方图：

（1）从这100名学生中按照分层抽样的方式在体育活动时间位于［60,80）和［80,100）的两组学生中抽取9名学

生，再从这9名学生中随机抽取3人，用X表示这3人中属于［60,80）的人数，求X的分布列和数学期望；

（2）每天的体育活动时间不低于40分钟的同学被称为“体育爱好者”.以这100名学生体育活动时间的频率估

计该校学生体育活动时间的概率，从该校学生中随机抽取10名，求其中“体育爱好者”人数丫的均值和方

差.

频率/组距

0.004

0.003

020406080100120工（分钟）

16.（本小题15分）

某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量

情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量双单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如表所

示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示.

X1234567

y611213466101196

（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型y=a+或指数函数模型y=

c-d\c>0,d>0）对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量%与年使用人次y的回归方

程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出y关于x的回归方程；

（2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑

行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%.请根据统计数

据完成2x2列联表，并根据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？

保养未保养合计

报废20

未报废

合计60100

参考数据：V；=lgyr,"=

77

w%/100.54

yV口%

i=li=l

62.141.54253550.123.47

参考公式：对于一组数据（勺,月），（久2,%），…。团,y回），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分

别为:

人蟹:没"a=y一族,—谢瑞然可其中ua+"c+d.

P(%2>fc)0.250.10.050.0250.010.001

k1.3232.7063.8415.0246.63510.828

17.（本小题15分）

已知函数/（久）—ex—ax—l（aGR）.

（1）讨论/'（久）的单调性；

（2）当尤>0时，/（%）>/恒成立，求实数a的取值范围.

18.（本小题17分）

甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直

进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.己知每局比赛中，甲获胜的概率为a,乙获胜

的概率为S，两人平局的概率为y(a+0+y=l,a>O,/?>O,yNO),且每局比赛结果相互独立.

(1)若a=y=I，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率;

ZJO

(2)当y=0时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值.

19.(本小题17分)

-x+1

已知函数/(X)=lnx+1—a(e-§+1)；

X

(1)当。=0时,求/(%)的最大值;

(2)当a=1时，证明：/(%)<0；

(3)若％1，的E+8)且%1W%2，e*2Tl=%,证明：就+好>2.

参考答案

l.B

2.C

3.B

4.C

5.D

6.D

1.A

8.B

9.BCD

10.BCD

ll.ACD

12.-10

13.（1,+oo）

14区

,55

15.解：（1）因为体育活动时间位于［60,80）和［80,100）的频率分别为0.2和0.16,

所以抽取的9名学生中位于［60,80）的有9x漉春=5人，

位于［80,100）的有9-5=4人，

所以随机变量X所有可能取值为0,1,2,3,

且X服从超几何分布，

故P（X=0）=黄=焉=奈，

P（X=1）=等/=能

P-2）=警若T

p（v—3'）—^————

（）一回—84—42，

所以X的分布列为：

X0123

15105

P

21142A42

所以9侬)=。*2+”亮+2*/+3义总=全

(2)由频率分布直方图可知，每天的运动时间不低于40分钟的频率为:

20X(0.014+0.010+0.008+0.003)=0.7,

贝Ijy〜B(10,0.7),

所以E(y)=np=7,D(Y)=np(l-p)=2.1.

16.解：(1)由散点图判断，y=c-#适宜作为投放量久与年使用人次y的回归方程类型.

由y=c-d*,两边同时取常用对数得=lg(c•d*)=Zgc+x/gd,设2gy=v,则u=匈c+x/gd.

因为x=4,v=1.54,蜡=140,Xt=ixivi50.12,

所以/gd="=1栉厂71=50.12-7X4X产7

<=0.25.

蜻-7/140-7X42Zo

把(4,1.54)代入6=Zgc+agd,得仞c=0.54,所以=0.54+0.25%,

所以Igy=o.54+0.25%,则y=10°-54+0-25x=3.47X10025x,

故y关于％的回归方程为y=3.47x100,25x；

(2)设零假设%：是否报废与是否保养无关.由题意，报废电动车中保养过得共20X30%=6台,

未保养的电动车共20-6=14台，补充2x2列联表如下:

1保养未保养合计

报废61420

未报废542680

合计6040100

同2=n(ad-bc)2=100x(6x26-14x54)2=彳4

人以一(a+b)(c+d)(a+c)(力+d)-20x40x60x80

根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断/不成立，即认为是否报废与保养有关.

17.解：(l)f(%)=ex-a,

①当a<0,/'(%)>0,/(%)在(-8,+8)上单调递增，

②若当a>0,当％E(-8,仇a)时，((%)V0,/(%)在(-8,"a)上单调递减,

当久e("a,+8)时，/'(%)>0,/(%)在(仇a,+8)上单调递增，

综上所述：当a<0,/(%)在(一8,+8)上单调递增，

当。>0,/(%)在(-8,仇a)上单调递减，在(仇a,+8)上单调递增，

(2)当％>0时，/(%)之g(%)恒成立，即e'—a%—IN/,

即a<-——x—1恒成立.

XX

令h(%)=^—%—|(x>0),贝!JY(%)=入1)(；2*1).

令(p(x)=ex-x—1(%>0),则"(%)=ex—1>0在(0,+8)恒成立,

•・・奴工)在(。，+8)单调递增，

<p(x)>9(0)=0,

令h'(x)=0,解得久=1,

二当xG(0,1)时，即八'(%)<0,则%(久)单调递减；

当x6(1,+8)时，即〃(%)>0,则h(x)单调递增，

h{x)min=八⑴=6-2,

u€(—co,e-2].

18.解:(1)记事件4为每局比赛“甲获胜”，

记事件B为每局比赛“乙获胜”，

记事件C为每局比赛“甲乙两人平局”，

-111

此时「(4)=a=京P⑻=8=3,P⑹=y=/

记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件。，

贝!1事件。包括事件4BA4,BAAA,ACCA,CACA,CCA4这5种情况，

此时P(D)=P(ABAA)+P(B4力力)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA)

=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)P(C)P(A)P(A)

1115

2XX3+3Xr32Xr\2

-J-一

-3kUk-27

48

(2)右y=0,

此时每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，

则a+0=1,

此时X的所有取值为2,4,5,

可得P(X=2)=P(A4)+P(BB)=a?+02,

P(X=4)=PQABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(a0+/?a)a2+(a/?+0a)俨=2as(a?+

所)，

p(x=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=1x(a2/?2+a2/?2+a2/?2+a2^2)4a2/?2,

则X的分布列为：

X245

pa2+p22邓(a?+俨)4a2倒

222

则E(X)=2X(仇2+夕2)+4x2aBlce2+)5)+5x4a/?=4a2s2+4as+2,

因为a+/?=1>2,a/7,

所以如WJ,当且仅当a=0=1寸等号成立，

4Z

1

则如e(0,-4],

112

此时E(X)=4a2所+4a£+2=(2a£+I)2+1<(2X4+l)2+1=

44

故E(X)的最大值为学.

q

19.解：(1)当a=0时，/(%)=^i(x>0),

所以(。)=要(无>0),

当0<%<1时，ffx)>0,/(%)单调递增，当I>1时，/'(%)<0,/(%)单调递减，

所以fCOmax=/⑴=1；

(2)证明：要证/(x)=2乎—(e-x+i—：+i)wo,

只需证仇工+1—xe~x+1+1—%<0,

令g(X)=I