2024-2025学年人教A版高中数学选择性必修一试题：用空间向量研究夹角问题

第2课时用空间向量研究夹角问题

课后训练巩固提升

A组

L若直线/的方向向量与平面的法向量的夹角等于120。，则直线/与平面a所成的角等

于()

A.120°B.60°

C.30°D.以上均错

解析:设直线/与平面a所成的角为a则sin6=|cos120°|=吴；0°W6W90°,."=30°.

答案:C

2.在长方体ABCDALBCLDI中43=2,30=2,=3,则直线AC与BDi所成角的余弦值为

()

A.0B.出

70

「3V70V70

C.-----D.

7070

解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.

Airr\-fs,

I\\

I\\

—方

01(0,0,3),3(220)4(2,0,0),0(0,2,0),

.♦.西=(2,2,3),格(2,2,0).

'：BD^-AC=0,：.AC1~BD1.

：.AC±BDI.

故直线AC与BDi所成角的余弦值为0.

答案:A

3.如图，在空间直角坐标系Dxyz中,四棱柱A3CD4山ICLDI为长方体A4i=A3=2AD,点E

为CLDI的中点，则平面A331A1与平面ALBE的夹角的余弦值为()

A.—B.—

32

C.—D.—

32

解析:设AD=1^]A1(1,0,2)乃(1,2,0),所以布=(0,2,2).

因为E为CiDi的中点，所以£(0,1,2).

所以举二(1/,0).设m=a,y,z)是平面ALB£的法向量，

由力i?m=0,4i〃m=0,可得平面AiBE的一^个法向量为m=(l,l,l).

又平面所以方才二(1,0,0)是平面ABBiAi的一个法向量.

所匕亡以,、？cos<m,不D二A>=m-D——A>,=1-p=V—3.

t\m\N\DA\V33

设所求夹角为。，则cos6=|cos<m,。力>|二与

即平面A3314与平面ALBE夹角的余弦值为子.

故选C.

答案:C

4.直线/的方向向量a=(2,3,2),平面a的一个法向量n=(4,0,1),则直线/与平面a所成角

的正弦值为.

解析:设直线/与平面a所成的角是仇

则sin°=|cos<a,n>|=|强|*|=9

答案!

17

5.在棱长为1的正方体A3CD4LBCLDI中,M,N分别为431,331的中点，则异面直线AM

与CN所成角的余弦值是.

解析:依题意，建立空间直角坐标系。孙z,如图所示，

从而俞丽=(1,0,。

1

由于cos<1用函/=与故异面直线AM与CN所成角的余弦值为

底在5

22

|cos<i4M,CN>|=|,

答案：|

6.已知点E,F分别在正方体ABCDAiBiCiDi的棱BBi,CCi上，且3iE=2E3,CR=2RG,则平

面AER与平面ABCD的夹角的正切值等于.

解析:建立空间直角坐标系。孙z,如图所示.

设正方体的棱长为1,则平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).

设平面AEF的法向量为m=(x,y,z).

因为41,0,0)4(1,1彳)尸(0,1身，

所以荏=(0,1,),而=

由112•力E=0,n2•前二0,可得平面AEF的一^个法向量是3).

所以cos<m,n2>=711712=旦包.设平面AE77与平面ABC的夹角为%则cos

1^111^2111

a=|cos<ni,n2>|=^p,从而sina=^.所以tan

答案］

7.如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，般是CE与AD的交点AC,3c且

AC=BC.

(1)求证:AM，平面EBC-

(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.

解:•四边形ACDE是正方形，

：.EA±AC.

•平面ACDE上平面A3C,平面ACDEA平面ABC=AC,且胡u平面ACDE,

...£4,平面ABC.

以A为原点，以过点A,且平行于3C的直线为x轴，以AC,AE所在直线分别为y轴、z轴,

建立空间直角坐标系&yz,如图所示.设EA=AC=BC=2,

则A(0,0,0),3(2,2,0),。(0,2,0),比0,0,2).

是正方形ACDE的对角线的交点,

(1)证明:前=(0,1,1),前=(0,2,2),方=(2,0,0),

'CAM-EC=0,AM-CB=0,AM1EC,AM1CB.

:.AM±EC,AM±CB.

又ECnC3=C,...AM，平面EBC.

平面EBC,

...彳而为平面EBC的一个法向量.

•.•俞=(0,1,1),同=(2,2,0),

：.C^<AB,AM>=S^=-.

\AB\\AM\2

：.<MAM>=60°.

...直线A3与平面E3C所成的角为30°.

8.如图，在直三棱柱AiBiCiABC中,AB，ACAB=AC=25AiA=4,D是3C的中点.

(1)求异面直线ArB与CiD所成角的余弦值；

(2)求平面ADG与平面ABAi的夹角的正弦值.

解:以A为原点，建立空间直角坐标系Avyz,如图所示,

yX

则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0)41(0,0,4),Ci(0,2,4).

⑴因为币=(2,0,4),9=(1』,4),所以cos〈初，用>=器需=益行=智

设异面直线ALB与CLD所成的角为优则cos0=\cos<A^B,C^D>\=^-.

所以异面直线ALB与所成角的余弦值为眄.

10

(2)设平面ADC的法向量为ni=(%,y,z),则ni•力O=0,ni•力Ci=0.

因为而二(1/,0),宿二(0,2,4),所以％+y=0,y+2z=0.所以可取ni=(221).

取平面ABAi的一个法向量为n2=(0/,0),设平面AOC与平面ABAi的夹角为“

贝Ucos0=|cos<ni,n2>|-ni=二厂=三.所以sin0=—.

IntUnzIV9xVl33

因此，平面ADCi与平面ABAi的夹角的正弦值为y.

B组

1.已知在长方体ABCZMLBICLDI中5A3=30=1,441=24是侧棱BBi的中点，则直线AE与

平面4ED1所成的角为()

A.60°B.90°

C.45°D.以上都不对

解析:以。为原点,D4,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如

图所示.

由题意知,4(1,0,2),E(1,L1),Di(0,0,2)A(l,0,0),

所以于=(0,1,1),*=(1,1,1)四=(0,1,1).

设平面AiEDi的法向量为n=(x,y,z),

则,取=0,

I九力11=0.

可得平面A1ED1的一个法向量为n=(0,l,l).

因为c°s<nJ2>=^=^=l,

所以<n,瓦?>=180°.

所以直线AE与平面AiEDi所成的角为90°.

答案:B

2.在长方体ABCD4bBiciDi中,BiC和CD与底面所成的角分别为60°和，则异面

直线B1C和GD所成角的余弦值为()

呼D

B若T

解析:建立空间直角坐标系A1盯z,如图所示,

可知NC3iG=60°,NDCLDI=45°.

设3ci=1,则CCi=V3=DDi.

VZDCiDi=45°,

CiDi=V3.1.Bi(V3,0,0),C(V3,l,V3),Ci(V3,l,0),D(0,l,V3).

B^C=(0,1,V3),Q5=(V3,0,V3).

V6

/.cos<BC,CD>—B1CCM_3

11\B^C\\C^D\―2A/641

，直线与CLD所成角的余弦值为纥

4

答案:A

3.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面A3CD是菱形，且平面ABCD,P4=AD=AC,点

R为PC的中点，则平面P3C与平面3DR的夹角的正切值为（）

A-

B-T

谓

D%

3

解析:设AC与BD交于点。，连接OF.以。为原、，&QBQCQF所在直线分别为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz如图所示.

设P4=AD=AC=1,则百，所以0（0,0,0）,B（y,0,0）,F（0,0,,0）,P（0,-

易知沃=（0，,0）为平面的一个法向量.

可得平面P3C的一个法向量为n=（l,V3,V3）.

所以cos<n,OC>=^p.

设平面PBC与平面BDF的夹角为仇

贝Ucos0=|cos<n,OC>|=^-.

所以sin6=^^,tand=~'-

所以平面P3C与平面3。歹的夹角的正切值为手.

答案:D

4.(多选题)将正方形A5CD沿对角线3。折成直二面角，则正确的有()

A.AD与5c所成的角为30°

B.4c与3。所成的角为90°

C.BC与平面ACD所成角的正弦值为日

D.平面ABC与平面BCD夹角的正切值是遮

解析:如图,正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，取BO中点连接AO,CO,

则以O为原点,0。所在直线为x轴。。所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立空间直

角坐标系，

设OC=1,则A(0,0,l),B(0,l,0),C(l,0,0),D(0,l,0),通=(0,1,1),BC=(1,1,0),

|cos〈而，前>|=警兽-；亍=

所以异面直线AD与所成的角为60°,故A不正确；

标二(1,0,1)前=(0,2,0),

因为尤•丽二0,所以故B正确；

设平面ACD的一个法向量为t=(xi,yi,zi),

则F丝=血,=0,取Z]=1,得t=(l』,l),阮=(1』,0),

kt-AD=y1-z1=0,

设BC与平面ACD所成能为优则sin0=|cos<BC,t>l=jf^=万宗=苧，故C正确；

平面BCD的一个法向量n=(0,0,l),Bl=(0,l,l),BC=(1,1,0),

设平面ABC的法向量m=(X2j2,Z2),

^(m-BA=y2+z2=0,

[mBC=犯+丫2=0,

取及=1,得m=(1,1,1),

设平面A5C与平面BCD的夹角为6,

贝"c°sgcos<m，n士流行

所以sin8=今所以tan0=y[2,

所以平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是鱼,故D正确.

答案:BCD

5.如图，已知正三棱柱ABCAiBiCi的各棱长都相等〃是侧棱CCi的中点，则异面直线ABi

和BM所成角的大小是.

解析:设正三棱柱的棱长为2.

,--->---->-->--->-->1--->

因为ZB】=BBr-BA,BM=BC+-BB1,

所以+=0+220=0,所以ZB11BM.

所以异面直线AB与BM的夹角为90°.

答案：90。

6.在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面a过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0Qa)(a>0),

如果平面a与平面。町的夹角为45°,则a=.

解析:平面。孙的一个法向量为n=(0,0,l).

设平面a的法向量为u=(x,y,z),则有[?：例二；

十CLZ—U,

即3x=4y=az.所以可取11=偿5,1).

由题意得|cos<n,u>|=।212=号

2

12

已次口。>0,故<2=—.

答案:甘

7.如图，在四棱柱ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD和侧面BCCiBi都是矩形,E是CD的中

点,DE,CD,AB=2BC=2.

⑴求证:平面CCLDLD，底面A3CD;

(2)若平面BCCbBi与平面BEDi所成的锐二面角的大小为去求线段EDi的长度.

⑴证明:因为底面A3CD和侧面BCCLBI都是矩形，所以

又CDCDDi=D,CD,DDiu平面CDDiCi,

所以AD,平面CDDiCi,又DiEu平面CDDiCi,

所以ADDE,又CDLDiE,且。。口4。=。,。。,4。匚平面43。。，

故DiE_L平面ABCD,又DiEu平面CCiDiD,

则平面CCiDiD,平面ABCD.

(2)解:如图，取A3的中点R,连接ER,则四边形EEBC为正方形，所以E7UCD,故以E为坐

标原点,建立空间直角坐标系Exyz,

设E£h=a，则E(O,O,O),F(1,0,O),B(1,1,0),C(0,1,0),Ci(0,2,a),

所以就=(l,O,O)，M=(O,l,a),丽=(1,1,0),

设平面BCCLBI的法向量为n=(x,y,z),则有卜££二即尸:°,

In-CQ=0,(y+az=

令z=l,则n=(0,a,l),

连接RC,因为FC±BE,

又FCLDiE,BECDiE=E,BE,DiEu平面BED,所以平面BEDi,

故元=(1,1,0)为平面BDiE的一个法向量，

所以|cos<n,而>|=震=后金而

因为平面BCCLBI与平面BED所成的锐二面角的大小为.

所以,cos^=:解得a-\.

V2-Va2+132’

所以即1=1.

8.如图，在四棱锥PABCD中，侧棱底面ABCDAD//BC,ZABC=90°,