2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：菱形的性质与判定的综合（八大题型）原卷版

重难点06菱形的性质与判定的综合运用

EQ知识梳理

▲知识点一：菱形的定义

•定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等，二者必须同时具备,

缺一不可.

★2、菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的基本判定方法.

▲知识点二：菱形的性质

★1、菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质.

②菱形的四条边都相等.

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

⑤利用菱形的性质可证线段线段，角相等.

性质定理应用格式：

•/四边形/BCD是菱形，

AB=BC=CD=AD,ACY,BD-,

4c平分乙BAD,/C平分ABCD；

BD平分乙4BC,BD平分乙4DC；

★2、菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式=底义高.②菱形面积=品4（。、6是两条对角线的

长度）

（3）四个小直角三角形的面积之和（或一个小直角三角形面积的4倍）;

▲知识点三：菱形的判定

・菱形的判定方法：

★1、定义法：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形.

★2、判定定理1(从对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

定理1应用格式：

,/四边形/BCD是平行四边形，且

，四边形/8CD是菱形.

★3、判定定理2(从边)：四条边相等四边形是菱形.

定理2应用格式：

•?AB=BC=CD=AD,

四边形ABCD是菱形.

【要点解析】

(1)判断菱形时，一定要明确前提条件是从“四边形”出发的，还是从“平行四边形”出

发的；

(2)①若从“四边形”出发的，则还需四条边相等.

②若从“平行四边形”出发的，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直.

(3)①若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或

直接证明四边形的对角线互相垂直平分；

②若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边

形的四条边都相等.

m题型解读

国典题精练

【题型一利用菱形的性质求角度】

【例题1】（2024•自贡一模）若菱形的周长为8,高为1,则菱形两邻角的度数比为（

A.3：1B.4：1C.5：1D.6：1

【变式1-1】（2024秋•丰城市校级期末）如图，菱形N8CD中对角线相交于点。，AB

AC,则的度数是（)

C.50°D.60°

【变式1-2】（2024秋•电白区期末）已知如图，菱形/BCD中，对角线/C与3。相交于

点。，DEL4B于E,交ZC于点尸，若NBAD=a,则NO尸。一定等于（）

D

11

A.2aB.45°+aC.90°--aD.45。+5a

【变式1-3】（2024秋•三明期末）如图，AC,2。是菱形4BCD的对角线，若Nl=20°,

则/2的度数为.

【变式1-4】（2024秋•碑林区校级期末）如图，菱形4BCD的周长是40CM,对角线/C

为10cm,则菱形相邻两内角的度数分别为

AB

【变式1-5】如图所示，在菱形/BCD中，E、尸分别是2C、CD上的点，且尸

=60°,/B4E=24°，求NC£产的度数.

【题型二利用菱形的性质求线段长】

【例题2】（2024秋•甘州区校级期末）菱形的边长为5,它的一条对角线的长为6,则菱

形的另一条对角线的长为（）

A.8B.6C.5D.4

【变式2-1】（2024秋•滕州市校级期末）如图，菱形N2CD的对角线NC、3。相交于点

O,过点D作DHLAB于点H,连接OH,若。/=8,S^ABCD=M,则OH的长为（）

D

A.4V5B.8C.4D.2V5

【变式2-2】（2024秋•神木市期中）如图，四边形N2CD中，/C=90°,点£是8C上

一点，连接/E,DE,BD,AE与BD交于点、O,四边形N5即是菱形，若EC=3,CD=

4,则8。的长为（）

A.4B.3V3D.2V5

【变式2-3】（2024秋•红古区期末）如图，已知菱形48CD,Z5=60°,AC=3,贝UN8

的长为.

【变式2-4】（2024秋•山亭区期末）如图，菱形/BCD的对角线NC与8。相交于点O,

点£为4D的中点，连接/ABC=6Q°,2。=4百，贝U。£=.

【变式2-5】（2024秋•渝中区校级期末）如图，己知四边形/BCD是边长为4的菱形，Z

340=60°,对角线/C与AD交于点。，过点。的直线即交4D于点£,交BC于点

E.

(1)求证：LAOE咨ACOF；

(2)若NEOD=30°,求CE的长.

【题型三利用菱形的性质求周长或面积】

【例题3】（2024•深圳模拟）如图，在菱形4BCD中，NB=60°,连接NC,若NC=6,

则菱形/2CD的周长为（）

A.24B.30C.18V3D.36百

【变式3-1】（2024秋•长春期末）如图，菱形4BCD的对角线ZC,AD相交于点O,4C=

24,BD=10,则菱形4BCD的周长为（）

A.40B.44C.48D.52

【变式3-2】（2024秋•峰峰矿区校级期末）如图，在菱形43CD中，对角线ZC,相

交于点O,若NBAD=60°,4C=2百，则菱形45CD的周长为（）

C.6D.4

【变式3-3】（2024秋•朝阳区校级期末）如图，在菱形45c。中，对角线4G助相交

于点。，点E为CD的中点.若OE=4,则菱形45CZ）的周长为（）

C.24D.16

【变式3-4】（2024秋•龙岗区校级月考）如图，菱形43CD的对角线ZC、相交于点

O,过点。作于点“，连接。〃，若。/=8,OH=3,则菱形的面积为

()

A.48B.72C.96D.108

【变式3-5】（2024秋•达州期末）如图，菱形/8C。的边长为26,对角线ZC的长为48,

延长45至E,5/平分NC5E,点G是8尸上任意一点，则△ZCG的面积为.

DC

F

G

A，E

B

【变式3-6】（2024•德城区校级开学）如图，点。是菱形48CQ对角线的交点，CE//BD,

EB//AC,连接困交BC于F.

（1）求证：OE=CB；

求菱形ABCD的面积.

【题型四利用菱形的性质进行证明】

【例题4】（2024秋•富平县期中）如图，点£,歹分别在菱形45cA的边。C,以上，且

CE=AF,连接BF,BD.求证：ZDBF=ZDBE.

D

$―7C

AB

【变式4-1】（2024秋•三元区期中）如图，菱形4BCD中，点E,尸分别是BC边

上的点，AE=CF.

求证：ZDEF=ZDFE.

【变式4-2】（2024秋•楚雄州期末）如图，在菱形4BCD中，E是对角线ZC上的一

【变式4-3】（2024秋•武功县期末）如图，在菱形4BCD中，对角线/C,3D相交于点

O,E,尸在对角线AD上，且BF=DE,连接/E,AF.求证：AE^AF.

E

BC

【变式4-4】（2024秋•渭滨区校级月考）如图，在菱形/3CD中，点、E,尸分别在边

AB,3c上，AE=CF,DE,。尸分别与NC交于点M,N.求证：DM=DN.

【变式4-5】（2024•祁江区校级三模）如图，在口/BCD中，E,尸分别是边N。，8c的

中点，连结NRCE,AC.

（1）求证：四边形/尸CE是平行四边形.

（2）若四边形/FCE是菱形，判断△NBC的形状，并说明理由.

【变式4-6】（2024春•江汉区校级月考）如图，四边形N8CD是菱形，AC,BD交于点、

O,DHLAB于点H.

(1)若对角线/C=8cm,BD=6cm,求。*的长;

(2)连HO,求证：ABOH=ADAH.

【题型五菱形判定的条件】

【例题5】（2025•大渡口区模拟）如图，要使平行四边形N8CD成为菱形，需添加的条件

是（）

A.AC=BDB.ZABC=AADCC.ZABC=90°D.ACLBD

【变式5-1】（2024秋•蓼城区校级期中）在实验课上，为判断地板瓷砖是否为菱形，甲、

乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙测量出,

最后得到结论：地板瓷砖是菱形.则横线处应填（）

A.两组对边分别平行B.一组邻边相等

C.两条对角线相等D.一组邻角相等

【变式5-2】（2024秋•温县期中）如图，已知口/BCD的对角线交于点O,下列条件不能

证明口45cZ）是菱形的是（）

A.ZABD=ZADBB.OA2+OB2=CD2

C.ZBAO=ZDCOD.ZABO=ZCBO

【变式5-3】（2024•邯郸模拟）如图，已知按以下步骤作图，如图1〜图3.

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形

B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.四条边相等的四边形是菱形

【变式5-4】（2024•灵山县一模）如图，在平行四边形/BCD中，点E,尸分别在4D,

2C上，AE=FB.只需添加一个条件即可证明四边形/EEB是菱形，这个条件可以

是_____________（写出一个即可）.

【变式5-5】（2024春•海伦市期末）如图，已知是△48C的角平分线，DE〃/C交

4B于点、E,请你添加一个条件,使四边形/ED尸是菱形.

A

【变式5-6】如图，将△NBC沿着8C方向平移得到△£>£n只需添加一个条件即可证

明四边形m是菱形，这个条件可以是.（写出一个即可）

【题型六菱形的判定的证明】

【例题6】（2024秋•武功县期末）如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,ZABC=60°,

点。为N8的中点，连接CO,过点。作。£〃8C,MDE=BC,连接求证：四边形

是菱形.

【变式6-1】（2024秋•莲湖区期末）如图，在四边形4BCD中，AB//CD,AB=CD,对角

线/C,AD相交于点。，AC平分/B4D.求证：四边形/BCD是菱形.

【变式6-2】（2024秋•新城区期末）如图，己知四边形N3即为平行四边形，点,C为BE

的中点，连接/C并延长交尸£的延长线于点。，若DE=2CE,求证：四边形48所为

菱形.

【变式6-3】（2024秋•虹口区校级月考）如图，ZABC^ZADC=90°,〃为/C中点,

MN上BD于点、O,BN//DM,求证：BNDM为菱形.

N

【变式6-4】（2024•东莞市模拟）如图，在平行四边形/BCD中，对角线NC,8。相交于

点。，点£,尸在AD上，MBE=DF.

（1）求证：AADF当4CBE；

（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形/EC尸是菱形；并给予证明.

B

【变式6-5】(2024•市南区校级开学)如图，在△4BC中，。是8C的中点，E是4D的

中点，过点/作/尸〃3C,/尸与CE的延长线相交于点尸，连接AF.

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当△NBC满足什么条件时，四边形/五即是菱形？请说明理由.

FA

BDC

【变式6-6】(2024•市南区校级一模)如图，△48C中，。是N3上一点，OEL/C于点

E,尸是/。的中点，尸G_L8c于点G,与。£交于点“，若尸G=NF,NG平分/C4B,连

接GE,GD.

(1)求证：AECG也△GH9；

(2)当N2为多少度时，四边形NEG尸为菱形，请说明理由.

B

CG

【题型七菱形的性质与判定的综合应用】

【例题7】（2024春•龙沙区期末）如图，菱形N8CD中，ZBAD=60°,幺C与BD交于点

O,£为CD延长线上的一点，且。£=CD,连接分别交NC,4D于点、尸,G,连接

1

OG.则下列结论：①。G=yB；②/FOG=30°；③S四边形ODEG=S四边形/BOG；④由

点4,B,D,E构成的四边形是菱形.其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【变式7-1】（2024春•高邑县期末）如图，在/MON的两边上分别截取ON,OB,使。/

=OB；再分别以点/,8为圆心，ON长为半径作弧，两弧交于点C；再连接NC,BC,

「5

A.4V5B.8C.4D.-

【变式7-2】（2024•邯山区校级一模）如图1,在菱形/BCD中，对角线/C、8。相交于

O,要在对角线AD上找两点M、N,使得四边形NMCN是菱形，现有图2中的甲、乙

两种方案，则正确的方案是（）

A

仿案乙：不另准A45加口口

&4D。的角平分线月M西j

图1图2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲乙都不是

【变式7-3】（2024春•惠民县期末）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一

起，重合的部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条，则下列相等关系：

@AD=AB；

②AD=BC；

③NDAC=/4CD；

®AO=BO,

其中一定成立的是.（只填序号）

【变式7-4】（2024秋•渝中区校级期末）如图，在直角中，ZAEC^90°,B是边

/£上一点，连接5C,。为/C的中点，过。作8〃/8交2。延长线于。，且/C平分

NBCD,连接/D

（1）求证：四边形/BCD是菱形.

（2）连接交8c于尸，ZACD=21°,求/CF。的度数.

A

【变式7-5】(2024秋•遵义期末)小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯(图1),其正面的

平面图如图2所示，四边形N8CD是一个菱形外框架，对角线/C,8。相交于点O,四

边形NECF是其内部框架，且点E、F在2D上,BE=DF.

(1)求证：四边形内部框架NECF为菱形.

(2)若4EUD,尸为DE的中点，AB=66,求四边形NECF的周长.

【变式7-6】(2024春•颍州区校级月考)如图，在平行四边形N8CD中，点£,尸分别

在边5C,上，CE=DF,AB=BE,4E与59相交于点O,连接斯.

(1)求证：四边形45环是菱形；

(2)若平行四边形/5CZ)的周长为20,CE=DF=2,ZABE=60°,求/£的长.

BEC

【题型八菱形与矩形的综合应用】

【例题8】(2024秋•通川区期末)如图，已知在菱形中，对角线NC与8。交于点

O,延长DC到点£,使CE=CD,延长3C到点尸，使C尸=8C,顺次连接点8,E,F,

D,若BD=1,AC=V3.

(1)求证：四边形2EFD是矩形；

(2)求四边形2EED的周长为多少.

【变式8-1】(2024•五华区校级模拟)如图，NP是△NBC的角平分线，垂直平分

AP,且交NP于点D,判断以下结论错误的是()

A

M^D

BP

A.MP//ACB.AM=AN

C.PN是NMPN的平分线D.四边形©WPN是矩形

【变式8-2】(2024春•海淀区校级期中)如图，在菱形/BCD中，对角线/C和8。交于

点。，分别过点8、C作BE〃4C,CE//BD,BE与CE交于点、E.

(1)求证：四边形03EC是矩形；

(2)当N/AD=60°,AD=4时，求ED的长.

【变式8-3】(2024秋•铁西区校级期末)如图，菱形NBCD的对角线NC与8。相交于

点O,于点£交/C于点尸，5FLCD于点尸.

(1)判断四边形。防尸的形状，并说明理由；

(2)如果B£=3,BF=6,求。尸的长.

【变式8-4】(2024秋•通川区期末)如图，已知在菱形N8CO中，对角线NC与3。交

于点O,延长DC到点E,使CE=CD,延长3c到点尸，CF=BC,顺次连接点3,E,

F,D,若2。=1,AC=43.

(1)求证：四边形8EED是矩形；

(2)求四边形2EED的周长为多少.

BE

【变式8-5】(2022春•虹口区校级月考)如图，菱形48co的对角线/C,2。相交于点

O,E是AD的中点，点尸，G在上，EFL4B,OG//EF.

(1)判断四边形。EFG的形状，并证明.

(2)若/C=8,BD=6,求四边形OEFG的面积.

【变式8-6】(2024春•琅珊区校级月考)如图，平行四边形/BCD的对角线NC,8。相

交于点。，点£,尸分别是ON,OC的中点.

(1)求证：四边形。匹尸是平行四边形;

(2)①对角线NC,8。满足时，四边形。£3尸是矩形;

②对角线NC,2。满足时，四边形DE2尸是菱形.

国限时测评

1.（2024秋•法库县期末）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形

ABCD,若/48C=50°,则/。4c的度数为（）

A

A.50°B.60°C.65°D.70°

2.（2024秋•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗根的三交六惋菱花

图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形/BCD（如图1所示）.若N8的长度为0,则

菱形ABCD的面积为（）

C

太和殿窗根图1

V3a2V3a2

—；~B.---C.a2D.V3a2

B.

3.（2025•汕头模拟）如图，NC为菱形N5CD的对角线，N/CO=30°,过点。作。

CE

BC,垂足为点则二77=（）

4.（2024春•昭通期末）下面是关于如图的不完整推理过程:

VZBAD+ZABC=1SO°,

C.AD//BC,

"：AD=BC,

...四边形ABCD是平行四边形,

四边形/BCD是菱形；

为使推理成立，横线上可以添加的条件是（）

A.ZBCD+