2024-2025学年浙教版七年级数学下册题型专练：分式方程及应用（知识解读+达标检测）解析版

第03讲分式方程及应用

题型归纳

【题型1分式方程定义】

【题型2解分式方程】

【题型3分式方程的增根】

【题型4分式方程应用-工程问题】

【题型5分式方程应用-行程问题】

【题型6分式方程应用-销售问题】

【题型7分式方程应用-方案问题】

【题型8分式方程应用-其他问题】

基础知识/知识梳理理清教材

知识点1：分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程.

注意：

（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.

（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.

分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

题型分类深度剖析/

【题型1分式方程定义】

【典例1】下列关于x的方程是分式方程的是（）

x+1Y2+xcx-1c汽九f-n2T

AA--~1=—B.、=2fC,--1=-D•x答=1

【答案】D

【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是

解题的关键.根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、亨-1=竽不含有分式，不是分式方程，不符合题意；

B、滴=2-x分母中不含有x,不是关于x的分式方程，不符合题意；

C、《-1=巳分母中不含有心不是关于x的分式方程，不符合题意；

D、牝平=1分母中含有心是关于x的分式方程，符合题意.

X—1

故选：D.

【变式1-1】下列方程中，属于分式方程的是（）

1V—Qr+5X

A.-=2B.—=—C.时D.xy-1=0

【答案】A

【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据

此求解即可.

【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程，

故选：A.

【变式1-2】下列是关于x的分式方程的是（）

【答案】D

【分析】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中

是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）.

【详解】解：A、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；

B、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；

C、分母中不含未知数，不是分式方程，不符合题意；

D、分母中含未知数X,是分式方程，符合题意；

故选：D.

【变式1-3】下列式子：①<=1;=署；③京+9④9=8;⑤七=1；

⑥?—2=x（a40）.其中，是关于x的分式方程有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可.

【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；

②分母中含有未知数，故是分式方程；

③不是等式，故不是方程；

④分母中含有未知数，故是分式方程.

⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；

⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；

综上所述：分式方程有②④，共2个，

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键.

基础知识,知识梳理理清教材

知识点2：分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：

(1)方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：当分母是多项式

时，先分解因式，再找出最简公分母)；

(2)解这个整式方程，求出整式方程的解；

(3)检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0,则这个解是原分式

方程的解，若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.

题型分类深度剖析,

【题型2解分式方程】

【典例2］解下列分式方程：

(1)胃="-2；(2)岩-*=1.

''x—33—x''x—l%2—1

【答案】⑴%=:

(2)%=1(增根)，原方程无解

【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键.

(1)将分式方程化为整式方程得到％—2=-1-2(X-3),继而得到3%=-1+6+2,解

得久=5,经检验比=:是原方程的解；

(2)将分式方程化为整式方程得到。+1)2—4=(久+1)Q—1),继而得至U2x=2,解

得％=1,当*=1时久2-1=12-1=0,所以久=1是分式方程的增根，原方程无解.

【详解】⑴解:三|=白一2

x-2=-l-2(x-3)

3%=-1+6+2

解得X，

经检验x=(7是原方程的解；

⑵解:土"

(X+1)2—4=(%+1)(x-1)

x2+2%4-1-4=%2-1

2x=-1+4-1

2%=2,

解得x=1,

当X=1时%2-1=12-1=0,

久=1是分式方程的增根，原方程无解.

【变式2-1］解下列方程：

5223

(1)----=o；(2)—+—=0.

''aa—2'zx—34+x

【答案】⑴a="

⑵尤=:

【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键,

(1)先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即

可；

(2)先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即

可.

【详解】(1)解：--^=0,

aa—2

去分母得：5(a-2)-2a=0,

去括号得：5a—10—2a=0,

解得：a=《,

检验：把。=可代入a(a—2)得：Q(a—2)工。，

.•.a=学是原方程的解.

92

⑵解:口+本=0，

去分母得：2(4+%)+3(%-3)=0，

去括号得：8+2%+3%-9=0,

解得：%=：，

检验:把久=：代入得：(%—3)(4+%)W0,

1

.，=己是原方程的解.

【变式2-2]解方程：

2_11_10

(1)定=^^1^5~X2-25'

【答案】⑴X=5

(2)方程无解

【分析】本题考查了分式方程的解法，理解分式方程的解法是解答关键，分式方程一定

要检验方程的根.

(1)先将原方程去分母，再去括号，移项合并同类项，求出方程的解，再检验方程的

根即可求解；

(2)先将原方程去分母，求出方程的解，再检验方程的根即可求解.

【详解】([)解：原方程去分母得

2(x-l)=x+3,

去括号得

2%-2=x+3

移项并合并同类项得

x=5,

经检验，久=5是原分式方程的根，

••・原分式方程的解是工=5.

(2)解：原方程变形为

110

三一(x-5)(x+5)，

方程去分母得

%+5=10,

解得x=5,

经检验x=5是原方程的增根,

原方程无解.

【变式23］解方程:

（1七=七;哈=£-2

【答案】（1）%=3；

⑵方程无解

【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键.

（1）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案;

（2）去分母化为整式方程并解整式方程，经检验即可得到答案.

【详解】（1）解：*1=会?

去分母得到，2x-3=3（x-2）

解得x=3

经检验，*=3是分式方程的解;

(2)2=2

x—22—x

去分母得到，1一万=一1一2（尤—2）

解得工=2,

当久=2时，久-2=0,

・"=2是增根，分式方程无解.

【题型3分式方程的增根】

【典例3］若关于"的分式方程达+方=2无解，贝必的值是（）

A.3或2B.1C.1或3D.1或2

【答案】D

【分析】本题考查分式方程增根情况及运用，解题的关键是注意关键词"无解"与增根的

关系.

找出方程中的最简公分母：久-3,然后方程两边同乘最简公分母，化为整式方程可解，

然后根据分式有无意义即可得出结果.

【详解】解：2+岂=2

3—ax=2(3—x)

3—ax=6—2x

(a_2)%=—3

根据题意，原分式方程无解，

①当a-2=0时，即a=2时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；

②当原分式方程最简公分母乂-3=0时，即久=3,是原分式方程的增根，也符合题意，

此时，3(a—2)=-3,

解得a=1；

.•.a的值是1或2,

故选：D.

【变式3-1］如果关于x的分式方程£+白=0有增根，那么增根可能是()

A.x—1B.x——2C.x=1或x=-2D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了分式方程的增根，先把分式方程转化为整式方程，再根据分式方程

有增根可得整式方程的解为1或-2,进而代入整式方程即可判断求解，理解增根的定义

是解题的关键.

【详解】解：方程两边乘以+2)得，ax(x+2)+x-l=0,

整理得，ax2+(2a+l)x-l=0,

•••分式方程有增根，

.••整式方程a/+©a+1)%-1=0的解为1或一2,

当久=1时，a=0；

当x=-2时，x=—2不是整式方程的解；

•••分式方程的增根可能是1,

故选：A.

【变式3-2］若关于x的分式方程安=^+1无解，则小的值是()

A.-2B.-3C.-4D.-5

【答案】D

【分析】本题考查了分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题关

键.将分式方程去分母转化为整式方程，解得％=竽，根据原方程无解得X=-1,即可

求出血的值.

【详解】解：室=*1+1，

去分母得：3%-2=TH+（%+1）,

解得：x=竽，

•••分式方程案=黑+1无解，

.*.x+1=0,

・•・X=—1,

m+3y

F=-1,

.・.m=—5,

故选：D.

【变式3-3］若关于x的方程其=原+1无解，则。的值是（）

A.0B.0或1C.0或2D.1或2

【答案】D

【分析】本题考查了分式方程的解，把分式方程转化成整式方程，把分式方程的增根代

入整式方程，求出答案.

根据解分式方程的步骤，可求出分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况：当

。-1=0时，当a—lAO时，可得a的值.

【详解】解：方程两边同乘Q-2），得"=4+（久一2）,

（a—l）%=2,

对于，关于x的方程式=六+1无解，

当。-1=0时，即。=1时，方程（a-l）%=2无解，即原方程无解；

当a-lWO时，即aWl时，方程（。一1）%=2的解为X=言，

当久=2=2,久—2=0,则x=2是方程的增根，即原方程无解，此时a=2；

综上，当a=l或。=2时关于%的方程当=白+1无解，

故选：D.

基础知识知识梳理理清教材

知识点3：分式方程应用

类型一：工程问题

类型二：行程问题

类型三：销售问题

类型四：方案问题

类型四：其他问题

题型分类深度剖析,

【题型4分式方程应用-工程问题】

【典例4】新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具.在新

能源电池正极材料的制备过程中，镒是不可或缺的重要元素.现安排甲、乙两个采矿队

开采镒矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的2倍，甲队开采2400吨铳矿石

所用时间比乙队开采同样数量的锦矿石所用时间少3天，求甲、乙两队每天开采锦矿石

的量各为多少吨？

【答案】800吨、400吨

［分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关

键.设乙队每天开采铸矿石的量为x吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的2

倍"得甲队每天开采铳矿石的量为2久吨，利用"甲队开采2400吨锦矿石所用时间比乙队

开采同样数量的镒矿石所用时间少3天"列式，求解即可.

【详解】解：设乙队每天开采镒矿石的量为万吨，则甲队每天开采锌矿石的量为2x吨，

g工口口古土24002400c

根据题意，得:—=---3,

解得：乂=400（吨）,

经检验，久=400是原方程的解，且符合题意,

2比=800（吨），

答：甲、乙两队每天开采铳矿石的量分别为800吨、400吨.

【变式4-1】一支园林队进行某区域的绿化，在合同期内高效地完成了任务，这是记者与该

工程师的一段对话:

如果每人每小时绿化面积相同，请通过这段对话，求每人每小时的绿化面积.

【答案】2.5平方米

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关

系，列方程是解答本题的关键.

设每人每小时的绿化面积为x平方米.然后根据对话内容列出分式方程求解即可.

【详解】解：设每人每小时的绿化面积为x平方米.

根据题意，得鬻-溪^=3,

方程两边乘以24%得：180x4-18。x3=72x,

解得:%=2.5,

检验：当x=2.5时，24%=60力。，

所以，原分式方程的解为％=2.5.

答：每人每小时的绿化面积为2.5平方米.

【变式4-2］随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效.某科技公司生产了一批

新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.

运量更高:||速度更快:I

每台新型机器人比每台旧型机每台新型机器人搬运

器人每天多搬运20吨货物！1960吨货物的时间和每台

旧型机器人搬运720吨货

物的啰间相同！|

|新型机器人简田

【答案】80吨

【分析】本题考查的是解分式方程的应用，解题的关键是找准等量关键正确列出方程.

设新型机器人每天搬运的货物量为X吨，则旧型机器人每天搬运的货物量为。-20)吨,

根据等量关系列出方程即可.

【详解】解：设新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则旧型机器人每天搬运的货物量

为(%-20)吨，

根据题意得：岑=怎，

方程两边同乘乂(久-20),

得960(刀-20)=720x,

解得x=80,

经检验，x=80是分式方程的解；

答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨.

【变式4-3】为了建设“绿惠九龙•理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真"为设计愿景,

对九龙湖环湖步道进行提升改造.步道总长8000米，现由甲、乙两个工程队承包这项

改造工程.已知乙队每天改造的长度比甲队多40米.

(1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的2倍，则甲队每天要改造多少米？

(2)若甲队负责改造3000米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队

每天各改造多少米？

【答案】⑴甲队每天要改造40米

(2)甲队每天要改造60米，乙队每天要改造100米

【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程是解题的关键.

(1)根据题意，找准等量关系列方程求解即可；

(2)根据题意，找准等量关系列方程求解即可.

【详解】(1)解：设甲队每天要改造久米，则乙队每天要改造(x+40)米，

由题意得：x+40=2x,

解得：%=40,

答：甲队每天要改造40米；

(2)解：设甲队每天要改造m米，则乙队每天要改造(m+40)米，

。口X*/口30008000-3000

由题意得：--m+4Q

解得：m=60,

经检验，爪=60是原方程的解，且符合题意，

••・m+40=100,

答：甲队每天要改造60米，乙队每天要改造100米.

【题型5分式方程应用-行程问题】

【典例5】4、B两地相距180km,一辆公共汽车和一辆小汽车同时从4地出发驶往B地，小

汽车的平均速度是公共汽车的1.5倍，小汽车比公共汽车早lh到达B地.求两车的平均

速度.

【答案】公共汽车的平均速度是60km/h,小汽车的平均速度是90km/h

【分析】本题考查了分式方程的应用，设公共汽车的平均速度为xkm/h,则小汽车的平

均速度为1.5xkm/h,根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关

键.

【详解】解：设公共汽车的平均速度为xkm/h,则小汽车的平均速度为1.5xkm/h,

由题意得，?一言=1，

解得X=60,

经检验，久=60是原方程的解，符合题意，

.,-1.5%=1,5X60=90,

答：公共汽车的平均速度是60km/h,小汽车的平均速度是90km/h.

【变式5-1］某游客计划驾车从/地前往B地旅游，有两条路线可供选择：

路线L全程35km,路况复杂，易出现拥堵.

路线2：全程50km,路况较好，红绿灯少.

若走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的浙，走路线2比走路线1到达8地的

时间少10分钟.求走路线1到达B地所需的时间.

【答案】走路线1到达B地需要》时

【分析】本题考查分式方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键，设

走路线1到达B地需要xh,根据走路线2的平均速度是走路线1的平均速度的弓倍，走

路线2比走路线1到达B地的时间少10分钟，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设走路线1到达8地需要xh,10分钟=1小时，

O

QCtr50

由题意，得至X?=「，

x3x--

解得：X=-,

经检验，久=:是原方程的解且符合实际.

6

答：走路线1到达2地需要;小时.

【变式5-2】在一次野营训练中，/、3两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地.甲、乙

两地相距7500m,/组的步行速度是8组的1.2倍，并且比8组早15min到达乙地.求

/组的步行速度.

【答案】A组的步行速度为100m/min

【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键.设2组速

度为无m/min,根据"/组的步行速度是B组的1.2倍，并且比B组早15min到达乙地"

列分式方程求解即可.

【详解】解：设3组速度为xm/min,则N组的步行速度为1.2xm/min,

75007500

根据题意，得

x1.2%=15,

经检验，K=詈是原分式方程的解，

则1.2%=100.

■■A组的步行速度为100m/min.

【变式5-3】小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距

电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后

骑自行车（匀速）返回电影院，己知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑

自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟.

（1）小刚步行的速度是每分钟多少米？

（2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？

【答案】（1）小刚步行的速度是每分钟80米；

（2）小刚不能在电影放映前赶到电影院.

【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

（1）设小刚步行的速度是每分钟x米，则小刚骑自行车的速度是每分钟2.5万米，利用时

间=路程+速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，

可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；

（2）利用时间=路程+速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所

需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论.

【详解】（1）解：设小刚步行的速度是每分钟无米，则小刚骑自行车的速度是每分钟2.5%

米,

解得：%=80,

经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，

•••小刚步行的速度是每分钟80米.

（2）解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下：

根据题意小刚回到电影院所需时间为需+2+悬产23（分钟）,

oUZ.bXoU

23>20,

••・小刚不能在电影放映前赶到电影院.

【题型6分式方程应用-销售问题】

【典例6］据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2

亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电

影市场最高票房纪录，该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒

形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；"我命由我不由天”的不

屈精神，让观众泪目.为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了/、

5两种哪吒玩偶.已知一个8种哪吒玩偶是一个/种玩偶价格的2倍，且购进两种玩

偶的数量共15个.求购进/、8两种哪吒玩偶的单价各是多少元？

【答案】购进4B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元.

【分析】本题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键.设购进尔B两种

哪吒玩偶的单价分别是x元，2x元，根据各用300元购进了“、5两种哪吒玩偶，购进

两种玩偶的数量共15个，据此列方程，解方程并检验即可.

【详解】解：设购进4B两种哪吒玩偶的单价分别是万元，2沅,

,目古上一r,口300300y-

由题意可得，—+^=15,

解得x=30,

经检验：久=30是原分式方程的解,

即2x30=60(元)

・•・购进4B两种哪吒玩偶的单价分别是30元，60元.

【变式6-1】、----/(.SpringFestivaD,是中国民间取隆重取昌有特色的传统"P日之一,

一般指除夕和正月初一、春节期间，我国北方除夕夜多吃饺子，南方除夕一般是吃元宵

和年糕.年糕由于与"年高"谐音，取"步步高升"之意，承载着人们对新的一年的美好祝

愿，也逐渐成为了北方春节期间的一道美食.今年春节前，某超市老板用420元购进一

批年糕，又用800元购进了一批饺子，所购年糕数量是饺子数量的75%,且每袋年糕的

进价比每袋饺子的进价少3元，请你求出每袋年糕和每袋饺子的进价分别是多少元.

【答案】年糕每袋的进价为7元，饺子每袋的进价为10元

【分析】本题考查了分式方程的应用，设每袋年糕的进价为x元，则每袋饺子的进价为

(%+3)元.根据"420元购进的年糕数量是800元购进饺子数量的75%"列方程求解即可.

【详解】解：设每袋年糕的进价为龙元，则每袋饺子的进价为(久+3)元.

根据题意得：¥=75%x黑，

解得：%=7,

检验：当x=7时，x(x+3)*0,

所以原方程的解为光=7,

所以x+3=7+3=10,

答：年糕每袋的进价为7元，饺子每袋的进价为10元.

【变式6-2］第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物"滨

滨"和"妮妮"均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆.阅读下列素材解决

问题.

号硬

"滨滨"和"妮妮"

滨滨妮妮

素材1"滨宾"的单价比"妮妮"的单价少40元；

素材2购买"滨滨"和"妮妮"的费用分别为8000元和5600元；

素材3"滨滨"的数量是"妮妮"的数量的2倍.

问题解决求吉祥物"滨滨”的单价.

【答案】"滨滨"的单价为100元

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的

关键.设"滨滨"的单价为X元，贝/妮妮”的单价为（X+40）元，根据购买"滨滨"和购买"妮

妮"的费用分别为8000元和5600元，且"滨滨"的数量是"妮妮"的数量的2倍，列出分

式方程，解方程即可.

【详解】解："滨滨"的单价为x元，贝/妮妮"的单价为（久+40）元，由题意得：

8000〜5600曲/0

丁=2义病，解得：久=100，

经检验，久=100为原分式方程的解，且符合题意，

答：“滨滨”的单价为100元.

【变式6-3】重庆一体育用品店计划购进一批乒乓球拍和羽毛球拍，其中每副乒乓球拍的进

价比每副羽毛球拍的进价多60元，已知用1120元购进的乒乓球拍和用640元购进的

羽毛球拍数量相等.该体育用品店乒乓球拍售价为每副200元，羽毛球拍售价为每副

120元

⑴每副乒乓球拍和羽毛球拍的进价各是多少元？

（2）若该体育用品店售出乒乓球拍的数量比羽毛球拍数量的3倍还多20副，问羽毛球拍

卖出多少副时，获利5600元？

【答案】⑴羽毛球拍的进价为80元，乒乓球拍的进价为140元

(2)当羽毛球拍卖出20副时，该体育用品店可以获利5600元

【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程(组)

是解题的关键；

(1)设羽毛球拍的进价为光元，则乒乓球拍的进价为(久+60)元，根据题意列出分式方

程，解方程，即可求解；

(2)设羽毛球拍卖出的数量为y副，则乒乓球拍卖出的数量为(3y+20)副，根据题意

列出一元一次方程，解方程，即可求解.

【详解】(1)解：设羽毛球拍的进价为x元，则乒乓球拍的进价为(x+60)元，依题意

得，

1120640

%+60x

解得x=80,

经检验，％=80是原方程的解，且符合题意，

因此，羽毛球拍的进价为80元，乒乓球拍的进价为80+60=140元；

答：羽毛球拍的进价为80元，乒乓球拍的进价为140元；

(2)设羽毛球拍卖出的数量为y副，则乒乓球拍卖出的数量为(3y+20)副；

由题意知，总利润等于羽毛球拍的利润加上乒乓球拍的利润：

(120-80)y+(200-140)(3y+20)=5600

解得：y=20

答：当羽毛球拍卖出20副时，该体育用品店可以获利5600元.

【题型7分式方程应用-方案问题】

【典例7】2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕，本次博览会上

的超级明星是我国自主研发被誉为“蜂群母舰"的九天无人机，它首次亮相便震撼全

球.这也激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商

店了解知道：一架/款无人机模型的价格比一架3款无人机模型的价格贵600元，用

9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同.

⑴求/款无人机模型和B款无人机模型的单价各是多少元？

(2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求/、8两款模型都要购买且钱刚好用

完，请求出所有的购买方案.

【答案】(1)/款无人机模型的单价是1500元，5款无人机模型单价是900元

(2)购买方案为：/款无人机模型3架，B款无人机模型15架；A款无人机模型6架，B

款无人机模型10架；4款无人机模型9架，8款无人机模型5架

【分析】本题考查分式方程解决实际问题，二元一次方程解决实际问题.

(1)设4款无人机模型的单价是x元，则2款的单价为(比-600)元，根据"用9000元

购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同"列出方程，

求解并检验即可解答；

(2)设购买/款型无人机模型加架，8款无人机模型〃架，根据"用18000元购买无

人机模型，要求/、3两款模型都要购买且钱刚好用完”列出二元一次方程，根据题意

求出其正整数解，即可解答.

【详解】(1)解：设/款无人机模型的单价是x元，则2款的单价为(久-600)元.根据

题意，得

90005400

x%—600

方程两边乘%(%-600)，得9000(%-600)=5400%,

解得久=1500,

经检验：久=1500时，%(%-600)*0

・•・x=1500是该分式方程的解.

则2款无人机模型单价是：%-600=1500-600=900(元)

答：4款无人机模型的单价是1500元，5款无人机模型单价是900元.

(2)解：设购买/款型无人机模型加架，2款无人机模型〃架，根据题意，得

1500m+900n=18000.

3

•••m=12——n

'-m>M均为正整数

•••n=5或10或15；

此时m=9或6或3

综上，购买方案为：

/款无人机模型3架，8款无人机模型15架：

/款无人机模型6架，8款无人机模型10架；

/款无人机模型9架，8款无人机模型5架.

【变式7-1】某校七、八年级师生开展"一日游"活动，已知七年级师生共250人，八年级师

生共230人.参观某景点时，需要乘船游玩，现有力、B两种型号的游船，每艘4型船的

座位数是每艘B型船的1.25倍.若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年

级全部乘坐8型船，要比七年级乘坐的4型船总数多一艘且空10个座位.

(1)4、B两种游船每艘分别有多少个座位；

(2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案.

【答案】(1)4型船每艘有50个座位，B型船每艘有40个座位

(2)共3种租船方案：①租用12艘8型船；②租用4艘N型船，7艘8型船；③租用

8艘/型船，2艘2型船

【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找

准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程.

(1)设8型船每艘有x个座位，贝1]4型船每艘有1.25万个座位，根据七年级师生全部乘坐

N型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐8型船，要比七年级乘坐的N型船总数多

一艘且空10个座位.列出分式方程，解方程即可；

(2)设租用/型船。艘，2型船6艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰

好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论.

【详解】(1)解：设B型船每艘有x个座位，贝口型船每艘有1.25x个座位，

230+10250

由题意得,

x1.25汽

解得，x=40,

经检验，久=40是原分式方程的解，且符合题意.

•••1.25%=50,

答：4型船每艘有50个座位，B型船每艘有40个座位;

(2)设需租用2型船a艘，租用B型船b艘，

由题意得，50a+406=250+230,

b=12-a,

又b均为非负整数,

Alb=12或tb=7或tb=2'

•••共3种租船方案：①租用12艘3型船；②租用4艘/型船，7艘2型船；③租用

8艘/型船，2艘8型船.

【变式7-2】某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元

购买笔记本的数量比用160元购买锅笔的数量多8.一学校花费400元购买该文具店的

钢笔和笔记本作为奖品颁发给"优秀学生"，两种奖品的购买数量均不少于20,且购买

笔记本的数量是10的倍数.

(1)请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价.

(2)探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案.

【答案】⑴笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支

⑵见解析

【分析】(1)设笔记本的单价为x元/本，根据"用120元购买笔记本的数量比用160元

购买钢笔的数量多8件"列出分式方程，解方程即可；

(2)设购买钢笔a支，笔记本6本.根据"总花费为400元"列出方程，根据a220,

fa>20,且b是10的倍数，求出a,b的值即可.

【详解】(1)设笔记本的单价为x元/本，则钢笔的单价为2x元/本.

根据题意，得号=嘿+8，

解得久=5,

经检验，x=5是原方程的根，

此时2久=10.

答：笔记本的单价为5元/本，钢笔的单价为10元/支.

(2)设购买钢笔a支，笔记本b本.根据题意，得

10a+51=400,

1

化简得。=40-/.

由题意，得。>20,b>20,且b是10的倍数，

a-3ofa-25a-2o

或

l或

b-2olb-3Ob-4O

故有以下方案：方案一：购买钢笔30支，笔记本20本；

方案二：购买钢笔25支，笔记本30本；

方案三：购买钢笔20支，笔记本40本.

【变式7-3】荷花文化节前夕，我市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书,

甲、乙施工一天的工程费用分别为1.5万元和1.1万元，市政局根据甲乙两队的投标书测

算，应有三种施工方案：

①甲队单独做这项工程刚好如期完成.

②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天.

③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成.求：

⑴甲乙单独完成这项工程各需多少天？

(2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由.

【答案】⑴甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天；

⑵方案③最省钱

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用：

(1)设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用Q+5)天，把工作总

量看做单位1,根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完

成列出方程求解即可；

(2)根据(1)所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论.

【详解】(1)解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用(x+5)天,

由题意得，.+京=1，

解得久=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，

：.x+5=25,

答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天；

(2)解：方案①的费用为1.5x20=30万元，

方案②的费用为25X1.1=27.5万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意；

方案③的费用为4x1.5+20X1.1=28万元，

0.,28<30,

.•.方案③最省钱.

【题型8分式方程应用-其他问题】

【典例8】中国快递越来越"科技范儿”，分拣机器人、大数据力/调度等智能装备系统让快递

"跑"得更快.某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提

升.该仓库主要使用力，B两种不同型号的分拣机器人，已知4型机器人每分钟分拣快递

的数量是B型机器人每分钟分拣数量的1.2倍，且4型机器人分拣900件快递所用时间比

B型机器人分拣800件所用时间少0.5分钟.问B型机器人每分钟分拣快递多少件?

工£

A型B型

【答案】B型机器人每分钟分拣快递100件.

【分析】本题考查的知识点是分式方程的实际应用，解题关键是正确列出分式方程并求

解.

根据题意列出分式方程并求解即可.

【详解】解：设B型机器人每分钟分拣快递x件，4型机器人每分钟分拣快递1.2x件，

根据题意可列方程：蜉=矍+0—5，

解得：%=100,

经检验x=1。0是原方程的解.

答：B型机器人每分钟分拣快递100件.

【变式8-1】保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减

少人类对森林资源的破坏.据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比废纸的质量

多0.15吨.已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质

量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量.

【答案】生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨

【分析】本题考查分式方程的实际应用.根据题意先设生产一吨优质纸张需要的木材质

量为x吨，根据题意列式计算即可.

【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨.

根据题忌，得==I?X-.

X—U.1DX

解，得x=1.4.

经检验，久=1.4是原分式方程的解.

答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为14吨.

【变式8-2］某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，己知每

个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送50kg物品,每个甲型机器人运送2000kg

物品所用的时间与每个乙型机器人运送1500kg物品所用的时间相等.求甲，乙两种机

器人每小时分别运送多少物品？

【答案】甲种机器人每小时运送200kg物品，则乙种机器人每小时运送150kg物品

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲种机器人每小时运送xkg物品，则

乙种机器人每小时运送Q-50）kg物品，再根据每个甲型机器人运送2000kg物品所用的

时间与每个乙型机器人运送1500kg物品所用的时间相等建立方程求解即可.

【详解】解：设甲种机器人每小时运送xkg物品，则乙种机器人每小时运送（%—50）kg物

品，

上

由题意得，—20001500

解得x=200,

经检验，*=200是原方程的解，且符合题意,

.,.%—50=150,

答：甲种机器人每小时运送200kg物品，则乙种机器人每小时运送150kg物品.

【变式8-3】某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件

的进价贵1元，用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同.

⑴求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元；

（2）若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共500个，且决定将哪吒挂件以每个14元,

敖丙挂件以每个12元的价格对外出售，若要获得总利润为1800元，应购进哪吒、敖丙

两种挂件各多少个？

【答案】（1）该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元

⑵购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个

【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找

准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程.

（1）设该批发商购进哪吒挂件的单价是X元，则购进敖丙挂件的单价是（X-1）元，根据

用400元购买哪吒挂件的个数恰好与用360元购买敖丙挂件的个数相同，列出分式方程,

解方程即可；

（2）设购进哪吒挂件m个，则购进敖丙挂件（500-爪）个，根据要获得总利润为1800元，

列出一元一次方程，解方程即可.

【详解】（1）解：设该批发商购进哪吒挂件的单价是x元，则购进敖丙挂件的单价是Q-1）

元，

由题意得：—=

解得：X=10,

经检验，久=10是原方程的解，且符合题意，

・,・x—1=9,

答：该批发商购进哪吒挂件的单价是10元，敖丙挂件的单价是9元；

（2）设购进哪吒挂件机个，则购进敖丙挂件（500-机）个，

由题意得：（14—10）爪+（12-9）（500-m）=1800,

解得：x=300,

•••500—m=200,

答：购进哪吒挂件300个，敖丙挂件200个.

%达标测试/

一、单选题

1.分式方程七=2的解是（）

A.%=-|B.x=2C.%=—|D.x=|

【答案】A

【分析】本题考查解分式方程的能力，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方

程转化为整式方程求解.观察可得方程两边只需同乘（3%-1）即可将分式方程转化为整式

方程.

【详解】解：方程两边同乘（3久-1）,得1=2（3久-1）,

解得%日,

经检验，"=2是方程的解，

故选：A.

2.为了践行“绿色生活"的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行35千米的时间

与乙匀速骑行40千米的时间相同，己知甲每小时比乙每小时少骑行2千米，设甲每小

时骑行X千米，根据题意列出的方程正确的是（）

40_3540_3540_3540_35

A-T=^B.—=C'^=~D-==三

【答案】C

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设甲每小时骑行X千米，则乙每小时骑

行（x+2）千米，再根据甲匀速骑行35千米的时间与乙匀速骑行40千米的时间相同列

出方程即可.

【详解】解：由题意得，瞿=当，

故选：C.

3.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽

为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13,且四周边衬的宽度相等，则

边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（）

„1.4-x8-1.4-2x81.4+2x8

A止L=2B----