2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：平行四边形的性质（八大题型）解析版

重难点12平行四边形的性质

八大重难点题型

EQ知识梳理

▲知识点一：平行四边形的定义：

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

★2、表示方法：平行四边形用符号“口”表示，平行四边形ABCD记作：

4BCD”,

读作：“平行四边形/BCD”.

【注意】表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不

能打乱顺序.

★3、几何语言：（双重含义）

：AB//CD,AD//BC,：.四边形ABCD是平行四边形（判定）

：四边形/3CD是平行四边形，,AB//CD,3c（性质）

▲知识点二：平行四边形的性质：

★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等.

几何语言：•••四边形ABCD是平行四边形，

.■.AB//CD,AD//BC,AB=CD,AD=BC,

★2、角：①平行四边形的对角相等.②平行四边形的对角互补.

几何语言：，•・四边形48co是平行四边形，.•.乙4=NC,AB=3

★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分.

几何语言：：四边形/BCD是平行四边形，

/.AO=OC,B0=0D

▲知识点三：两条平行间的距离:

★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行

线之间的距离.

★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

★3、如果有两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.

如图（1）,a//b,c//d,c,d与a,b分别相交于N,B,C,。四点.由平行四边形的

概念和性质可知，四边形48DC是平行四边形，即Z3=CD；如图（2）线段N3（或

CD）的长即为两条平行线之间的距离.

★4、三种距离之间的区别与联系

距两条平行线之间的

两点之间的距离点到直线的距离

离距离

两条平行线中，一条直

线上任意一点到另一

区

连接两点的线段的长度.点到直线的垂线段的长度.条直线的距离，叫做这

别

两条平

行线之间的距离.

联

都是指线段的长度.

系

★5、“两条平行线间的距离处处相等”，在作平行四边形的

高时，可根据需要灵活选择位置.（常常用来解决三角形同底等高问题.）

m题型解读

E□典题精练

【题型一利用平行四边形的性质求角度】

1.（2024春•丹徒区期末）如图，在平行四边形45cZ）中，平分NA4。且交5C于点

ZZ）=58°，则N4EC的度数是（）

A.61°B.109°C.112°D.119°

【分析】由平行四边形的性质得4D〃8C,NB=ND=58°,则而/

DAE=ZBAE,所以NBE4=/B4E=《x(180°-58°)=61°,则N/EC=180°-Z

BEA=119。，于是得到问题的答案.

【解答】解：•..四边形/BCD是平行四边形，

J.AD//BC,/B=ND=58°,

NDAE=/BEA,

■:AE平分/8/D且交BC于点E,

：.NDAE=ZBAE,

：.ZBEA=ZBAE=~x（180°-58°）=61°,

AZy4£C=180°-ZBEA=1SO°-61°=119°,

故选：D.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，

证明ZBEA=ZBAE是解题的关键.

2.（2025•长治一模）如图，四边形N8C。是平行四边形，对角线NC,8。相交于点O,Z

340=135°,ZACD=S0°,/CBD=20°,则NCOD的度数为（）

C.85°D.90°

【分析】根据平行线的性质求出NOC3=55°,再根据三角形外角的性质可得结论.

【解答】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

J.AB//CD,AD//BC,

：.ZBAC=ZACD=80°,

:NBAD=135°,

：.ZCAD=ZBAD-ZBAC=135°-80°=55°,

'：AD//BC,

：.ZBCA=ZCAD=55°,

,:NCBD=20°,

ZCOD=ZCBD+ABCA=200+55°=75°,

故选：A.

【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质是解题的关键.

3.（2025•阜平县校级一模）如图，在口48c中，交对角线NC于点£若/2=

130°,则/I的度数为（）

【分析】由平行四边形的性质得/8〃CD,再由平行线的性质得N8/E=N1,易证//3E

=90°,然后由三角形的外角性质即可得/2=N1+N/5E,由此即可求解.

【解答】解：•..5EL48,

AZABE=90°,

:四边形/BCD是平行四边形，

：.AB//CD,

：.ZBAE=Zl,

'：Z2=ZBAE+ZABE,

：.Z2=Z1+ZABE,

AZ1+90°=130°,

AZI=130°-90°=40°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解

题的关键是熟练掌握以上知识点.

4.如图，在口48C。中，。为对角线/C与AD的交点，ACLAB,E为4D的中点，并且

OFLBC,Z£>=53°,则/FOE的度数是（）

AED

A.143°B.127°C.53°D.37°

【分析】先由等角的余角相等证明/POC=ND=53°,再根据三角形的中位线定理证明

OE//CD,则/COE=180°-ZACD^90°,即可求得/尸OE=143°,于是得到问题的

答案.

【解答】解：•..四边形/BCD是平行四边形，

J.AB//CD,AD//BC,

：.ZCAD^ZOCF,

\'AC±AB,OF±BC,

：.ZACD=ZCAB=ZOFC=90°,

VZD+ZCAD=90°,ZFOC+ZOCF=90°,

：.4FOC=4D=53°,

为对角线/c与8。的交点，

为/C的中点，

；E为AD的中点，

C.OE//CD,

.,.ZCO£=180°-Z^C£>=180°-90°=90°,

：.AFOE=ZFOC+ZCOE=530+90°=143°,

故选：A.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形

的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE〃CD是解题的关键.

5.如图，在平行四边形48co中，AB=AE.若AE平分NDAB.

(1)求证：△ABgLEAD；

(2)若NE4c=25°,求：N/助的度数.

【分析】(1)由平行四边形的性质可得/D=8C,ZB=ZDAE,结合/3=4E,利用MS

可证明结论；

(2)由全等三角形的性质结合角平分线的定义可得△/8E为等边三角形，利用等边三角

形的性质可求解/8/£=60°,进而可求解N4E。的度数.

【解答】解：(1)•••四边形/5CD为平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC.

：.ZDAE=ZAEB.

；AB=AE,

：.NAEB=NB.

：.NB=NDAE.

在△45C和△/££(中，

AB=AE

乙B=Z.DAE,

AD=BC

:.LABC咨LEAD(SAS),

(2),；AABgLEAD,

：.ZAED=ZBAC,

平分N0/2(己知)，

/DAE=NBAE；

又,:ZDAE=AAEB,

：./BAE=N4EB=NB.

...△4BE为等边三角形.

/.ZBAE=60°.

'：ZEAC=25°,

，/8/C=85°,

：.ZAED^85°.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定

与性质，利用S/S证明△N8C且是解题的关键.

【题型二利用平行四边形的性质求线段长】

1.（2025•山东一模）如图，IZJABCD中,/O/8的平分线交DC于点£,交的延长线

于点尸，若ND=3,AB=5,则CF的长为（）

【分析】根据角平分线的定义及平行四边形的性质可知△瓦切、△FEC是等腰三角形,

再根据等腰三角形的性质即可解答.

【解答】解：尸是乙D4B的平分线，

ZDAF=ZFAB,

■:在EJABCD中，

：.AD//BC,CD//AB,AB=CD,AD=BC,

：.ZBFA=ZDAF=ZFAB=ZDEA,

,?ZDEA=ZFEC,

：.ZBFA=ND4F=NFAB=ZDEA=ZFEC,

:ADA、△bEC是等腰三角形，

：.DE=DA,CF=CE,

\'AD=3,AB=5,

:.CE=CD-DE=AB-AD=5-3=2,

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质,

掌握平行四边形的性质是解题的关键.

2.（2024秋•龙口市期末）如图，在CL4BCD中,AB=3,40=10,AE,。产分别平分N

DAB,ZADC,那么EF的长为（)

B.4

C.5D.以上都不对

【分析】由平行四边形的性质可得4Z）〃5C,结合角平分线的定义可求得5£=45、CD

CF,再由线段的和差可求得斯.

【解答】解：・・•四边形为平行四边形,

J.AD//BC,AB=CD=3,AD=BC=W,

：.ZDAE=/AEB,

平分NB/O,

:.NBAE=NDAE,

：./BAE=/AEB,

:・BE=BA=3,

同理CF=CZ>=3,

：.EF=BC-BE-CF=10-3-3=4,

故选：B.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，结合平行四边形的性质求得/B=2E=CF是

解题的关键.

3.（2024秋•晋江市期末）如图，在口N8CD中，AD：AB=3：4,4E平分/D4B交CD于

DE

点、E,交BD于点F,则打的值是（）

/1Z5

B.9：16C.4：3D.16：9

【分析】由已知条件和平行四边形的性质易证是等腰三角形，再进而可求出。氏

AB的值.

【解答】解：•・,四边形45CZ）是平行四边形,

J.DC//AB,

：.NDEA=NBAE,

'：AE平分/DAB交CD于点E,

：.NBAE=NDAE,

：./DEA=NDAE,

：.AD=DE,

u：ADz48=3：4,

：.DE：AB=3：4,

故选：A.

【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

4.（2024•凉州区三模）如图，四边形45CZ）是平行四边形，ZBAD,N45C的平分线4E,

即分别交CD边于点EF.若4。=3,EF=\,则45的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】由CD//AB,得NDEA=/BAE,NCFB=/ABF,而NDAE=NBAE,ZCBF=Z

ABF,则NDE4=/Q4E,/CFB=/CBF,所以EZ)=4Q=3,FC=BC=3,贝！J1+45=

6,求得45=5,于是得到问题的答案.

【解答】解：,・•四边形/BCD是平行四边形，

C.CD//AB,AD=BC=3,

：.ZDEA=ZBAE,ZCFB=ZABF,

•；AE,BF分别是/B4D,N4BC的平分线，

：・/DAE=/BAE,ZCBF=AABF,

:・NDEA=NDAE,/CFB=/CBF,

:,ED=AD=3,FC=BC=3,

EF+DF+FC=ED+FC=3+3=6,

'：EF=\,DF+FC=CD=AB,

l+AB=6,

：.AB=5,

故选：B.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识,

证明FC=8C是解题的关键.

5.(2024秋•开远市校级期中)如图，在平行四边形4BCD中，已知4B=3c/n,4B垂直于

3D,点。是两条对角线的交点，OD=2cm,则cm.

【分析】由平行四边形的性质得出3。=2。。=8°加，由勾股定理求出即可.

【解答】解：•••四边形/BCD是平行四边形，

.".BD=2OD=4cm,

'JABLBD,

:./ABD=90°,

"：AB=3cm

'.AD=y/AB2+BD2=V32+42=5(cm),

故答案为：5.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

6.如图，平行四边形/BCD中，BDLAD,ZA=45°,E、尸分别是/8、上的点，

旦BE=DF,连接E尸交2。于。.

(1)求证：BO=DO；

(2)若EFLAB,延长即交4D的延长线于G,当尸G=1时，求/£的长.

G

【分析】（1）由平行四边形的性质和也4s证明得出对应边相等即可；

（2）证出4E=GE,再证明。G=。。，然后由等腰三角形的性质得出。/=/6=1,即可

得出结果.

【解答】（1）证明：・・•四边形45CZ）是平行四边形，

:,DC〃AB,

：.ZOBE=ZODF,

在△QBE与△8尸中，

YOBE=乙ODF

Z.BOE=Z.DOF

BE=DF

:•△OBEQAODF（AAS）.

：.BO=DO.

（2）解：*：EFLAB,AB//DC,

:・/GEA=/GFD=90°.

VZA=45°,

：.ZG=ZA=45°.

：.AE=GE

■:BD2AD,

：.ZADB=ZGDO=90°.

：.ZGOD=ZG=45°.

：.DG=DO,

•；EF2AB,

：.EFLCD,

：,OF=FG=\,

由（1）可知，OE=OF=\,

：.GE=OE+OF+FG=3,

：.AE=3.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判

定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键.

【题型三利用平行四边形的性质求周长】

1.（2024春•萝北县期末）如图，£产过平行四边形/BCD对角线的交点O,交AD于E,

交BC于F,若平行四边形4BCD的周长为36,OE=3,则四边形ABFE的周长为（）

A.24B.26C.28D.30

【分析】先利用证明△40E注△COR从而得OE=O尸，AE=CF,再求得平行四边

形周长的一半为多少，然后利用关系式N8+NE+5//=/8+5/+C尸+2OE,即可求得答

案.

【解答】解：•••四边形为平行四边形，对角线的交点为。，

：.OA=OC,AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

又,:NAOE=NCOF,

.♦.△NOE四△COP（ASA）,

：.OE=OF,AE=CF,

•••平行四边形/BCD的周长为36,

1

.,.^5+5C--x36=18,

四边形/以王的周长为：

AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2X3=18+6=24.

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识

点是解题的关键.

2.（2024春•宽城区校级期中）如图，在口18。中，对角线NC和8。相交于点。，EOL

BD,交ND于点E,连接BE,△48E的周长为5,则口/BCD的周长为（）

A.5B.10C.12D.15

【分析】由平行四边形的性质得O8=OD,AB=CD,AD=BC,再由△48E的周长为5

得4B+BE+4E=5,然后由线段垂直平分线的性质得则/2+2E+/£=N8+/O=

5,即可解决问题.

【解答】解：•••四边形N3CD是平行四边形，

：.OB=OD,AB=CD,AD=BC,

■：^ABE的周长为5,

：.AB+BE+AE=5,

'：OE±BD,

：.OE是线段BD的垂直平分线，

：.BE=ED,

：.AB+BE+AE^AB+AD=5,

.•.□NBCD的周长=2（.AB+AD）=2X5=10,

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、三角形周长以及线段的垂直平分线的性质等知

识，熟练掌握平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键.

3.在平行四边形N8CD中，//的角平分线把边8c分成长度为4和5的两条线段，则平

行四边形/BCD的周长为（）

A.13或14B.26或28C.13D.无法确定

【分析】设//的平分线交BC于点E,可证明/8=班，再分两种情况讨论，一是EB=

5,EC=4,贝iJ/8=£8=5,BC=EB+EC=9；二是EB=4,EC=5时，贝！］/8=朋=4,

BC=EB+EC=9,分别求出平行四边形48co的周长即可.

【解答】解：设//的平分线交于点£,

:四边形/BCD是平行四边形，

J.BC//AD,

：.NBEA=NDAE,

:NBAE=ZDAE,

：.NBEA=/BAE,

:.AB=EB,

当EB=5,EC=4时，如图1,

则4B=EB=5,BC=EB+EC=9,

：.2AB+2BC=2X5+2X9=28；

当£8=4,EC=5时，如图2,

则48=班=4,BC=EB+EC=9,

：.2AB+2BC=2X4+2X9=26,

平行四边形48co的周长为26或28,

故选：B.

图1

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，熟

练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键.

4.(2024春•郑城县期中)如图，口4BCD的对角线/C与3。交于点O,若N8=8,/C=

12,BD=20.

(1)求NBAO的度数；

(2)求口4BCD的周长.

【分析】(1)通过平行四边形性质求出线段长，得出。42+/82=。4，即可求出结论;

(2)先求BC=7AB2+4井2=即可求出周长.

【解答】解：(1):四边形/BCD是平行四边形，且/C=12,BD=20,

'.OA=6,OB=IQ,

\"AB=8,

：.OA2+AB2=OB2,

△NOB是直角三角形，且/90=90°；

(2)\'AB=8,AC=n,ZBAO=90°,

在直角三角形/8C中，由勾股定理得：BC=7AB2+g=4g,

平行四边形ABCD的周长为2Q4B+BC)=16+8V13.

【点评】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解答本题的关键

是熟练掌握勾股定理及其逆定理.

5.(2024秋•招远市期末)如图，在口/BCD中，N4BC的平分线交40于点E,/BCD的

平分线交/。于点R交BE于点、G.

(1)求证：AF=DE.

(2)若/。=16,EF=\2,请求出口/BCD的周长.

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得：AD//BC,N2=CD,根据平行线性质和角平

分线的定义求出推出同理求出。尸=C£>,即可证明/£=。尸,

即可求解；

(2)由/。=16,可得/尸=2,从而得出的长，即可得出口N8CD的周长.

【解答】(1)证明：•..四边形/BCD是平行四边形，

J.AD//BC,AB=CD,

：.ZAEB=ZCBE,

是NZ8C的平分线，

1

ZABE=ZCBE=-ZABC,

NABE=NAEB,

：.AE=AB,

同理可得：DF=CD,

：.AE=DF,

：.AE-EF=DF-EF,

：.AF=DE；

(2)解：-：AD=16,

：.AF+EF+DE^16,

,:AF=DE,斯=12,

：.AF+12+AF^16,

解得/尸=2,

：.AB=AE=AF+EF=2+\2=\4,

；.口48。的周长为2(AB+AD)=2义(16+14)=60,即口ABC。的周长为60.

【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识

点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.

【题型四利用平行四边形的性质求面积】

1.(2025•大渡口区模拟)如图，在口/BCD中，4B_L8C于点£,于点尸.若/£=

4,AF=6,且口ABCD的周长为40,则口48co的面积为()

A.24B.36C.40D.48

【分析】设5C=龙，由平行四边形的周长表示出8,再根据平行四边形的面积列式求出

x,然后根据平行四边形的面积公式列式进而求出x=12,即可得出结论.

【解答】解：设2C=x,

:四边形ABCD是平行四边形,

：.AB=CD,AD=BC,

,：aABCD的周长为40,

：.BC+CD=2Q,

：.CD=20-x,

于点E,NF_LCD于点尸，

"：aABCD的面积=5CJE=CZ）JR

；.4x=6（20-x）,

解得：x=12,

C.EJABCD的面积=3C・/E=12X4=48.

故选：D.

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积公式，熟练掌握平行四边形

的性质是解题的关键.

2.（2024春•江津区期中）如图，四边形/BCD是平行四边形，尸是CD上一点，且4P和

8P分别平分乙0/3和NC8N.如果4D=5c加，AP=?,cm,则尸的面积等于（）

cm2.

A.24B.30C.6V7D.1277

【分析】根据平行四边形性质得出4D〃C2,AB//CD,推出ND4B+/CR4=180°,求

出/尸48+NP8/=90°,在△/心中求出//P8=90°,由平行线的性质和角平分线的

性质可求N2的长，由勾股定理可求尸3的长，即可求解.

【解答】解：•••四边形N8CD是平行四边形，

：.AD//CB,AB//CD,

：.ADAB+ZCBA=\^°,

又'：AP和BP分别平分NDAB和ZCBA,

1

AAPAB+APBA=~(ZDAB+ZCBA)=90°,

在△NP3中，N/P3=180°-(/PAB+NPBA)=90°,

J.APLPB,

\,AP平分NDABS.AB//CD,

：.ZDAP=NPAB=ZDPA.

尸是等腰三角形.

.'.AD=DP=5cm,

同理可得CP=BC—5cm,

CD=AB=10cm,

:.PB-7AB2-AP2=V100-64=6cm,

1、

4ABP的面积=5x6X8=24cm2,

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形

的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理

是关键.

3.(2024秋•崂山区期末)如图，在口4BCD中，2c的垂直平分线交/。于点E,垂足

为点。，连接BE,CE,过点C作C/〃交的延长线于点R连接8E若AD=

8,CE=6,则四边形AFCE的面积为.

【分析】先根据平行四边形的性质得出8c=8,再由EF是线段8C的垂直平分线

1

得出所，3C,OB=OC=5BC=4,根据勾股定理求出OE的长，再由CF〃3£可得出

ZOCF=OBE,故可得出△OCF2△O5E,OE=OF,利用S四边形BFCE=SABES△跳c即

可得出结论.

【解答】解：•..四边形/BCD是平行四边形，40=8,

・・AD=BC'=8,

•・・由跖是线段BC的垂直平分线,

：.EF±BC,OB=OC=-BC=49

■:CE=6,

OE=>JCE2-OC2=V62-42=2V5.

■:CF//BE,

：・NOCF=NOBE,

在△OCF与△OBE中，

2COF=乙BOE

OC=OB,

/.OCF=乙OBE

：./\OCF^/\OBE(ASA)f

：・OE=OF=2后

•S四边形BFCE=S丛BCE~S^BFC

11

=-B^OE+-BC*OF

1「1「

=5x8X2V5+5x8义2V5

=8遮+8遮

=16V5.

故答案为：16西.

【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根

据题意得出OE=O9是解题的关键.

4.(2024春•义乌市期中)如图，P为平行四边形/8CQ内一点，过点尸分别作4。的

平行线，交平行四边形4BCD的四边于£、F、G、H四点，若平行四边形5印/面积为

6,平行四边形GPED面积为4,则尸。的面积为.

BH

23

A.-B.-C.1D.2

【分析】由平行四边形的性质得S■BC=阻4c。，证出四边形EPG/、四边形G尸四、四

，一,1

平行四边形力=

边形EPHB、四边形尸〃。尸均为平行四边形，^SAAEP=SAAGP=-SEPG，^/\PHC

1

S

S^PCF=2平行四边形PHCF，进而通过二角形与四边形之间的面积转化得出结论•

【解答】解：,・•四边形是平行四边形，

•\AB//CD,AD//BC,S4BC=S“CD，

9：EF//AD,GH//AB,

J.EF//AD//BC,AB//CD//GH,

・•・四边形EPG4、四边形G尸FZX四边形£77加、四边形户均为平行四边形,

•1工

••S/\AEP=S“GP=5s平行四边形AEPG，SAPHC=S△尸c尸=5s平行四边形PHCF，

=+

^AABC=^AAEP+^平行四边形△尸-Snd尸。①，S/^ACDS/^4GPS平行四边形GPFD^SAPFGS

4PC②,

・・・②-①得：S平行四边形G7¥Z）-S平行四边形2s?c=°,

即2sMpc=6-4=2,

••・黑4?。=1•

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线平分平行

四边形的面积.

5.（2024秋•招远市期末）如图，在口/BCZ）中，N4BC的平分线交4。于点£,N8CZ）的

平分线交4。于点尸，交BE于点、G.

（1）求证：AF=DE.

（2）若40=16,斯=12,请求出口45。。的周长.

【分析】（1）根据平行四边形的性质可得：AD//BC,AB=CD,根据平行线性质和角平

分线的定义求出推出同理求出。歹=CD,即可证明

即可求解；

(2)由40=16,可得4/=2,从而得出45的长，即可得出口45CD的周长.

【解答】(1)证明：・・,四边形/BCD是平行四边形，

J.AD//BC,AB=CD,

：./AEB=/CBE,

・・・5E是N48C的平分线，

1

・•・/ABE=/CBE=Q/ABC,

：./ABE=/AEB,

：.AE=AB,

同理可得：DF=CD,

；・AE=DF,

：.AE-EF=DF-EF,

：.AF=DE；

(2)解：9：AD=16,

.*.^+£^+^£=16,

•；AF=DE,EF=U,

•••4F+12+4产=16,

解得4/=2,

：.AB=AE=AF+EF=2+12=14,

・・・口/5。。的周长为2=2*(16+14)=60,即口48c。的周长为60.

【点评】本题考查了平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形的性质和判定等知识

点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.

【题型五利用平行四边形的性质进行证明】

1.（2025•雁塔区校级二模）如图，在口4BCD中，点E,尸分别在4D,BC上,且/£=

CF,EF,8。相交于点O,求证：OE=OF.

【分析】先判断出。£=2/，进而判断出注/XBO尸即可.

【解答】证明：•••四边形/BCD是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZODE=ZOBF,

\'AE=CF,

：.DE=BF,且/DOE=NBOF,ZODE=ZOBF,

:.丛DOE组丛BOF(AAS),

：.OE=OF

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△OOE咨△BO尸

是本题的关键.

2.（2025•南安市模拟）在平行四边形N8C®中，E为8C上一点，点尸为NE的中点，连

接。尸并延长，交C2的延长线于点G,求证：BG=CE.

【分析】根据平行四边形的性质证明得到GE=BC,即可证明.

【解答】证明：：点尸为/E的中点,

：.AF=FE,

•/四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZADF=ZEGF,

,：NAFD=ZEFG,

：./\AFD^AEFG(AAS),

：.AD=GE,

：.GE=BC,

：.BG=CE.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是

解题的关键.

3.（2025春•湖里区校级月考）如图，在口48CD中，E,尸是对角线8c上两点，且N/FC

=/DEB.求证：AF=DE.

---------------------7c

【分析】根据平行四边形的性质得出/C=8O,/C〃3。，根据平行线的性质求出//CF

=ZDBE,进而利用全等三角形的判定和性质解答即可.

【解答】证明：•••四边形/8C。是平行四边形，

：.AC=BD,AC//CD,

：.ZACF=ZDBE,

在与ADBE中，

（Z.AFC=Z.DEB

\^ACF=^DBE,

[AC=BD

：./\ACF^ADBE（AAS）,

：.AF=DE.

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出NC=AD,AC

〃AD解答.

4.（2024秋•周村区期末）如图，在口488中，ZABC,/BCD的平分线分别交4D于点

E,F,BE,C尸相交于点G.

(1)求证：BELCF；

(2)若/8=5,CF=6,求BE的长.

ED

【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得N45C+N5CZ）=180。，再根据角

11

平分线的性质可得/防。+//。5=5445。+5/。。8=90°,进而可得5E_LCF；

（2）过力作/”〃/C,首先证明△/5E是等腰三角形，进而得至！］8。=£0,再利用勾股

定理计算出EO的长，进而可得答案.

【解答】（1）证明：・・•四边形485是平行四边形，

:,AB〃CD,

：.ZABC+ZBCD=\SO°,

•・•/ABC、/BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F,

11

：・/EBC+/FCB=Q乙ABC十5/DCB=90°,

：.EB±FC；

：.NAOB=NFGB,

•:EBLFC,

:./FGB=9G°,

AZAOB=90°,

〈BE平分/4BC,

：.NABE=/EBC,

,:AD〃BC,

：./AEB=/CBE,

:.ZABE=NAEB,

..AB—AE—5,

,:AOLBE,

:.BO=EO,

在△/(?£1和中，

{/.AEO=/.MBO

\BO=EO,

(乙40E=乙BOM

:.丛AOE空丛MOB(ASA),

C.AO^MO,

,JAF//CM,AM//FC,

...四边形AMCF是平行四边形，

:.AM=FC=6,

：.AO=3,

EO=y/AE2—AO2=4,

:.BE=8.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是

掌握平行四边形的性质.

5.如图，在平行四边形/BCD中，E,尸是对角线/C上的两点,

且AE=EF=FC.

(1)求证：DE//BF-,

(2)若BELBC,DE=6,求对角线/C的长.

【分析】(1)根据平行四边形的性质得出/O=2C,AD//BC,AB=CD,NBAC=NDC4,

利用全等三角形的判定和性质得出NNE8=/CEA,再由平行线的判定即可证明；

(2)根据(1)中全等三角形的性质得出。£=8尸=6,再根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半得出BF=CF=EF=6,即可得出结果.

【解答】（1）证明：•••四边形/BCD为平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,AB=CD,

：.ZBAC=ZDCA,

'：AE=FC,

:.AE+EF=FC+EF,即AF=EC,

:.AABF经4CDE（SAS）,

：.ZAFB=ZCED,

：.DE//BF；

（2）解：由（1）得4ABF4LCDE,

：.DE=BF=6,

:BELBC,CF=EF,

，点尸为△BEC的中点，

：.BF=CF=EF=6,

；CF=EF=AE,

：.AC=18.

【点评】此题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上

的中线的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

6.在平行四边形/BCD中，点E在CD边上，点尸在45边上，连接/£、CF、DF、BE,

ZDAE=ZBCF.

（1）如图1,求证：DE=BF；

（2）如图2,设/£交DF于点G,BE交CF于点、H,连接G”,若E是CD边的中点,

在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以G为顶点并且与△瓦C全等的所有三

角形.

图1图2

【分析】（1）由平行四边形的性质得出/ADE=NCBF,AD=BC,由/“证

明AADE出/XCBF,得出DE=3F；

（2）由中点的定义得出。£=CE,由平行四边形的判定方法即可得出平行四边形.

【解答】（1）证明：•••四边形N8CD是平行四边形，

J.AB//CD,ZADE=ZCBF,AD=BC,

在△4DE和△CAF中，

YADE=4CBF

AD=BC,

^DAE=7.BCF

:.△ADEmACBFCASA）,

：.DE=BF；

（2）解：是CD的中点，

：.DE=CE,

...以为边的平行四边形有平行四边形G//E4、平行四边形尸、平行四边形

GHED、平行四边形G//CE.

【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平

行四边形的性质，证明三角形全等得出。£=8尸是解决问题（1）的关键.

【题型六两条平行线间的距离】

1.如图，直线4B〃C£>,EFL4B于E,交,CD于F.直线交42于点M,CD于点、N,

跖于点O.若直线N8和CZ）之间的距离可以是图中一条线段的长，则这条线段是（）

A.MNB.OEC.EFD.OF

【分析】夹在两条平行线间的垂线段的长度即为两平行线的距离.

【解答】解：因为直线42〃CO,EFLABE,交CD于尸，所以直线斯也垂直于直线

CD,则直线AB和CD之间的距离是线段EF的长.

故选：C.

【点评】本题主要考查垂直于同一条直线的两条直线平行，也就是说，垂直于一条直线，

必定也垂直于平行于这条直线的直线.

2.如图，四边形/BCD是平行四边形，点M在边48上，AELBC,MNLCD,垂足分别

为E、N,则平行线AB与CD之间的距离是()

A./£的长B.的长C.48的长D./C的长

【分析】由平行四边形的性质和平行线之间的距离可直接求解.

【解答】解：•.•四边形/3CD是平行四边形，

：.AB//CD,

■:MN1CD,

...平行线AB与CD之间的距离是MN的长，

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线之间的距离，掌握平行四边形的性质是解

题的关键.

3.(2024春•冷水滩区校级期末)在同一平面内，己知a〃6,b//c,若直线°、b之间的距

离为7c机，直线6、c之间的距离为3c加，则直线a、c间的距离为()

A.4cm或10cmB.4cmC.10cmD.不确定

【分析】分两种情况，当直线c在直线。、6之间时，当直线c在直线a、6外部时，即

可解决问题.

【解答】解：当直线c在直线a、6之间时，如图(1),

-----------------a------------------a

-----------------b-------------------b

(1)(2)

直线a、c间的距离为7-3=4(cw)；

当直线c在直线a、6外部时，如图(2),

直线a、c间的距离为7+3=10(cm),

直线a、c间的距离是4或10cm.

故选：A.

【点评】本题考查平行线的距离，解题时注意分类讨论.

4.（2024春•巴彦县期末）已知/8〃CD,点E,尸分别为CD上的点，连接EF,EF=

10,若//所=135°,则两直线与CZ）间的距离是（）

A.5B.6C.3V2D.5加

【分析】作咫，于〃，得到是等腰直角三角形，因此AF=¥EE=5VL

【解答】解：如图，作切，于X,

VZAEF=\3>5°,

:・NFEH=1800-ZAEF=45°,

・・・AFEH是等腰直角三角形，

：.HF=^FE,

'：EF=10,

:.FH=5五.

故选：D.

【点评】本题考查平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间的距离的定义；作尸〃，/8

于H,得到△尸瓦？是等腰直角三角形，即可求解.

5.（2024春•香洲区期末）四边形"BCD中，AD//BC,4D与2c之间的距离为4,AB=AD

=CD=5,则边5c的长为.

【分析】先根据勾股定理得到的以、CN的长，根据矩形得到的长，再利用线段之间

的关系得到BC的长.

【解答】解：过点/作AMLBC于点M,过点D作DNLBC于点N,

DDD

,：AD与BC之间的距离为4,

:.AM=DN=4,四边形为矩形，

:.AD=MN=5,

在RtZUBM中，8河=<AB2-AM2=<52-42=3,

'：AM=DN,AB=CD,

:.CN=3,

在图1中，5C=3+5+3=11；

在图2中，5（7=3+5-3=5；

在图3中，BC=5-3+3=5.

综上所述，8C的长为11或5.

故答案为：11或5.

【点评】本题考查了两平行线间的距离，其中能考虑到分类讨论是解题关键.从一条平

行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离.

【题型七平行四边形与平面直角坐标系的综合】

1.（2024秋•长安区期末）在平面直角坐标系中，平行四边形4BCD的顶点/,B,