2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：平行四边形的性质与判定的综合（九大题型）解析版

重难点15平行四边形的性质与判定的综合

九大重难点题型

m知识梳理

D

▲知识点一：平行四边形的定义：

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.B

★2、几何语言：（双重含义）

•/AB//CD,AD//BC,：.四边形ABCD是平行四边形（判定）

四边形/BCD是平行四边形，AB//CD,AD//BC（性质）

▲知识点二：平行四边形的性质：

★1、边：①平行四边形的对边平行；②平行四边形的对边相等.

★2、角：①平行四边形的对角相等.②平行四边形的对角互补.

★3、对角线：平行四边形的对角线互相平分.

▲知识点三：两条平行间的距离:

★1、定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行

线之间的距离.

★2、两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.

▲知识点四：平行四边形的判定:

类别判定方法图形几何语言

两组对边分别平行的'：AB//CD,4D〃BC,

四边形是平行四边形.，四边形ABCD是平行

四边形.

边两组对边分别相等的c'."AB=CD,AD=CB,

，D

四边形是平行四边形.，四边形4BCD是平行四

Bt

边形.

一组对边平行且相等*.•ABWCD,AB=CD,

的四边形是平行四边，四边形ABCD是平行四

形.边形.

角两组对角分别相等的'：Z-A=/-C,/B=/D,

四边形是平行四边形.，四边形4BCD是平行四

边形.

'：AO=CO,DO=BO,

D

对角线互相平分的四，四边形/BCD是平行四

对角

边形是平行四边形.边形.

线

▲知识点五：三角形的中位线定理

★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

★2、三角形中位线的定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.

几何语言表示：在AABC中，DE是中位线，

1

DE//BC,且DE=^BC.

A

BC

m题型解读

E□典题精练

【题型一利用平行四边形的性质求线段长】

1.(2024秋•岱岳区期末)如图，在平行四边形/BCD中，48=3,4D=5,N/2C的平分

线交/。于£,交CD的延长线于点R则。尸=()

B

A.4B.3C.2D.1

【分析】根据平行四边形的性质得到/B〃CQ,AD//BC,结合角平分线的性质推出

=NABE=NF=NDEF,得到4E=45=3,即可求出尸=4。-4E=5-3=2.

【解答】解：・・•四边形/BCD是平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC,

:・/ABF=/F,/AEB=NCBE,

〈BE平分乙4BC,

・•・/ABE=/CBE,

：.NAEB=ZABE=ZF=/DEF,

：.AE=AB=3f

：.DF=DE=AD-AE=5-3=2,

故选：C.

【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质

是解题的关键.

2.（2024•柯桥区模拟）如图，E是口的边CZ）的中点，延长4E交的延长线于点

A.6B.8C.10D.12

【分析】由平行四边形的性质得出AB//CD,证出NZU£=N尸，NQ=N

ECF,由全等三角形的性质得出力E=斯=3,由平行线的性质证出=

90°,求出DE,即可得出CZ）的长.

【解答】解：・.•四边形45。。是平行四边形，

C.AD//BC,AB//CD,

：・/DAE=NF,/D=/ECF,

•:E是口ABCD的边CD的中点，

:・DE=CE,

在和△尸CE中，

[A.DAE=lF

\/.D=AECF,

[DE=CE

•・•△ADE/&CE(AAS)9

:,AE=EF=3,

■:AB〃CD,

：.ZAED=ZBAF=90°,

在△4DE中，AD=BC=5,

••DE-y/AD2-AE2=V52-32=4,

：.CD=2DE=8.

故选：B.

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握

平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

3.如图，在平行四边形45CD中，AB=5,AD=7,AE平分/BAD交BC于点、E,作Z)G

于点G并延长交于点R则线段斯的长为()

【分析】据平行四边形的性质证明NADF=NCFD,进而证明NA4£=N

BE4得至"BE=BA=5,NCDF=/CFD得至"CF=CD=5,由此即可得到答案.

【解答】解：・・•四边形45CZ）是平行四边形，

C.AD//BC,AB//CD,CD=AB=6,BC=AD=7,

：.ZBAD+ZADC=1SO°,ZDAE=ZBEA,NADF=/CFD,

'：AG±DG,

：.ZAGD=90°,

AZDAE+ZADF=90°,

NBAE+NCDF=ZBAD+ZADC-/DAE-ZADF^90°,

平分NB/。，

ZBAE=ZDAE,

：.ZBAE=ZBEA,

VZBEA+ZCFD=90°,

：.BE=BA=5,ZCDF=ZCFD,

：.CE=BC-BE=1,CF=CD=5,

：.EF=CF-CE=3,

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明3£=胡=

5,CF=CD=5是解题的关键.

4.（2024秋•江北区校级期末）如图，平行四边形4BCD的对角线NC,皿交于点O,AB

±AC,AB=V3,//。2=60°,过点。作OEL/C,交4D于点E,过点E作斯，

1V3

【分析】设O8=x,依据含30。角的直角三角形的性质可求解/。=亍，AB=争,利

用三角形的面积公式计算的面积，结合平行四边形的性质可得DO=BO=x,除

4DO=S》BO=理口，即可得到OE+2EF的值.

O

【解答】解：-：ZBAO=90°,ZAOB=60°,

AZABO=30°,

：・BO=2AO,

V31

设05=%,贝lj45=-^-x,AO=~^x,

•:AB=收

：・OB=2,

.111V3V3

AOAB=XxXx=x2?f

•­SAABo=2*22~~8~

四边形ABCD为平行四边形,

DO—BO=x，S丛ADO=S“BO=，

o

'：OELAO,EF±OD,

11111V39

SAADO=SAAEO+SAEDO=^AO-EO+-OD'EF=~x-'E0+-x'EF=—x2,

乙乙乙乙X乙Xo

即。£+2防=争，

V3r-

：.OE+2EF=—OB=V3，

故答案为：OE+2EF=五

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，求解S

A.4DC=SMFQ+S八EDC是解题的关键.

5.如图，平行四边形4BCZ)中，BDLAD,N4=45°,E、尸分别是N2、CD上的点,

MBE=DF,连接£尸交8。于O.

(1)求证：BO=DO；

(2)若EFUB,延长环交/。的延长线于G,当尸G=1时，求/£的长.

【分析】(1)由平行四边形的性质和44s证明△。。/名△。。尸，得出对应边相等即可；

(2)证出NE=GE,再证明。G=。。，然后由等腰三角形的性质得出OF=FG=1,即可

得出结果.

【解答】(1)证明：•••四边形是平行四边形，

C.DC//AB,

：.ZOBE=ZODF.

在△03E与△OD尸中，

Z.OBE=乙ODF

乙BOE=Z.DOF

BE=DF

，丛OBE学丛ODF(AAS).

:・BO=DO.

（2）解：EFLAB,AB//DC,

：.ZGEA=ZGFD=90°.

VZA=45°,

：.ZG=ZA=45°.

：.AE=GE

\UBD.LAD,

：.ZADB=ZGDO=90°.

：.ZGOD=ZG=45°.

:・DG=DO,

9：EFLAB,

：.EFLCD,

：・OF=FG=\,

由（1）可知，OE=OF=\,

：.GE=OE+OF+FG=3,

：.AE=3.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判

定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键.

【题型二利用平行四边形的性质求角度】

1.（2024秋•张店区期末）如图，在口/BCD中，的平分线交边4。于点£.已知/

AEB=40°,则的度数为（）

A.70°B.75°C.80°D.85°

【分析】主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行.②角：平

行四边形的对角相等.由平行四边形的性质得N/BC=N。，AD//BC,则N4£8=NBEC

=40°,再由角平分线定义得N/2C=2N4BE=80°,即可得出结论.

【解答】解：在口ABCD中，

AZAEB=ZEBC=40°.

■:BE平分/ABC交4D于点瓦

：.N4BC=2NABE=80°.

由题意可得：ZABC=ZD=80°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.

2.（2024春•罗甸县期中）在四边形/BCD中，AB=CD,AD=BC,ZA+ZC=90°,则ND

的度数为（）

A.45°B.90°C.135°D.无法确定

【分析】证明四边形/BCD是平行四边形，再利用其性质即可解决问题.

【解答】解：：/台=。，AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形，

：.ZC=ZA,AB//CD,

.,.//+/£）=180°,

VZA+ZC=90°,

：.ZA=45°,

：.ZZ）=180°-45°=135°,

故选：C.

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是平行四边形性质的熟练掌握.

3.如图，在口/BCD中，。为对角线NC与AD的交点，ACLAB,E为4D的中点，并且

OF±BC,ZZ）=53°,则/FOE的度数是（）

7A^E7D

B

A.143°B.127°C.53°D.37°

【分析】先由等角的余角相等证明/尸OC=ND=53°,再根据三角形的中位线定理证明

OE//CD,则/COE=180°-ZACD=90°,即可求得//O£=143°,于是得到问题的

答案.

【解答】解：:四边形是平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC,

：.ZCAD=ZOCF,

•：AC±AB,OFLBC,

：.ZACD=ZCAB=ZOFC=90°,

VZD+ZCAD^90°,ZFOC+ZOCF^90°,

：.4FOC=4D=53°,

为对角线/c与80的交点，

.♦.O为NC的中点，

■:E为AD的中点，

J.OE//CD,

.•./COE=180°-ZACD=180°-90°=90°,

：.ZFOE=ZFOC+ZCOE=530+90°=143°,

故选：A.

【点评】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、等角的余角相等、直角三角形

的两个锐角互余、三角形的中位线定理等知识，证明OE〃。是解题的关键.

4.（2025•乐清市校级模拟）如图，在口48co中，E是2C边上一点，AB=AE,AD=DE,

若/B=70°,则/CDE的度数为.

【分析】根据题意等边对等角得出//仍=/5=70°,根据平行线的性质可得ND4E=

NAEB=7Q°,根据等边对等角以及三角形内角和定理可得N/D£=40°,进而根据/

CDE=ZADC-AADE,即可求解.

【解答】解：•••四边形N3CD是平行四边形，

：.AB//CD,AD//BC,

：.ZB+ZBAD=\SOQ,AADC+ABAD=\^°（两直线平行，同旁内角互补），

AZADC=ZB=70°,

；AB=AE,

；.NAEB=NB=70°,

'：AD//BC,

ADAE=ZAEB=70°（两直线平行，同位角相等），

\"AD=DE,

:.NAED=NDAE=70°,

-2X70°=40°,

：.ZCDE=AADC-ZADE=70°-40°=30°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理的应用,

熟练掌握平行四边形的性质是本题解题关键.

5.（2024秋•新泰市期末）如图，四边形/8CD为平行四边形，£为/。上的一点，连接£8

并延长，使BF=BE,连接EC并延长，使CG=C£,连接尸G.〃为尸G的中点，连接

DH.

（1）求证：四边形/EHD为平行四边形；

（2）若CB=CE,ZEBC=75°,ZDCE=\Q°,求/D18的度数.

【分析】（1）证明8C为△尸EG的中位线，得出8C〃尸G,BC=~FG,证出2c=/H,

由平行四边形的性质得出NO〃8C,AD=BC,得出AD=FH,即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出ZDAB=ZDCB,由等腰三角形的性质得出ZBEC=ZEBC=

75°,由三角形内角和定理求出N2CE,得出/DCB=/DCE+/BCE=40°,即可得出

结果.

【解答】（1）证明：•.,AF=2E,CG=CE,

.•.2C为△尸EG的中位线，

1

J.BC//FG,BC=~FG,

又；〃是尸G的中点，

1

：.FH=~FG,

：.BC=FH.

又,:四边形/BCD是平行四边形，

J.AD//BC,AD=BC,

C.AD//FH,AD=FH,

.•.四边形AFHD是平行四边形；

（2）解：•.•四边形/BCD是平行四边形，

NDAB=NDCB,

,:CE=CB,

:.NBEC=NEBC=75°,

AZSCE=180°-75°-75°=30°,

：.ZDCB=ZDCE+ZBCE=W°+30°=40°,

“48=40°.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、

三角形内角和定理：熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解

决问题的关键.

【题型三利用平行四边形的性质求周长或面积】

1.（2024秋•重庆期末）如图，在口/BCD中，N4BC=60°,4B=AC,对角线/C,BD

交于点。，点M是CD的中点，OM=\,则△N8CD的周长为.

【分析】根据平行四边形的性质得出08=。。，进而利用三角形中位线定理得出2C=

2OM,进而利用等边三角形的性质解答即可.

【解答】解：•••四边形/3CD是平行四边形，

：.BC=AD,AB=CD,OB=OD,

:点M是。。的中点，

：.OM是ADBC的中位线，

:.BC=2OM=2,

VZABC=60°,AB=AC,

：.AABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC=2,

C.EJABCD的周长=2义4=8,

故答案为：8.

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出08=0。解答.

2.（2024秋•沂源县期末）如图，在口/BCD中，点E是DC边上一点，连接/£、BE,已

知/£是/。的平分线是/CA4的平分线，若/£=3,8£=2,则平行四边形48CD

的面积为（）

A.3B.6C.8D.12

【分析】利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出NE42+NEA4=90°,进而利

用直角三角形的性质求出答案.

【解答】解：是ND4B的平分线，2E是NCA4的平分线，

AZDAE=ZEAB,ZCBE=ZABE,

,:AD〃BC,

：.ZDAB+ZCBA=ISO°,

AZEAB+ZEBA=90°,

'：AE=3>,BE=2,

1

S&ABE=]X2X3=3,

平行四边形N3CD的面积为：6.

故选：B.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质，得出是解题

关键.

3.（2024秋•沂源县期末）如图，过口ABCD对角线的交点O,交4D于点交BC于

点N,若口/BCD的周长为20,OM=2,则四边形的周长为.

【分析】先利用平行四边形的性质求出/8=CD,BC=AD,AD+CD=IO,可利用全等

的性质得到△4WOgaCNO,求出。M=ON=2,即可求出四边形的周长.

【解答】解：•.•四边形/BCD是平行四边形，周长为20,

：.AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD//BC,

：.CD+AD=10,ZOAM=ZOCN,

在△NMO和△CNO中,

/.OAM=Z.OCN

OA=OC,

AAOM=乙CON

：.AAMO^/XCNO(ASA),

：.OM=ON=2,AM=CN,

则四边形48MW的周长=2N+48+/M+A/7V=(BN+AM)+AB+MN^BC+AB+MN^10+4=

14.

故答案为：14.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边

形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.

4.(2024秋•新泰市期末)如图，平行四边形/BCD的对角线ZC和AD相交于点O,过点。

的直线分别交。和N8于点£、F,且/B=7,BC=4,/BCD=30。，那么图中阴影

部分的面积为.

【分析】过点。作。尸，于点P,勾股定理求得/尸，证明△EOC丝△尸CM,进而可得

阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可求解.

【解答】解：如图所示，过点。作。于点尸，

:.NDAB=NBCD=30°,AD=BC=4,

1

：.DP=-AD^2,

.".AP-7AD2—DP2—V42-22=2V3，

;平行四边形ABCD的对角线NC和8。相交于点。，

C.AB//CD,AO=CO,

：.ZECO=ZFAO,

XV/EOC=NFOA,

:.AEOC冬AFOA(AAS)

,•SAEOC-SAFCM

同理：SABOF=S&DOE

11

.,•阴影部分面积面积S^ABD^-ABxP。=^x7x2=7,

故答案为：7.

【点评】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质.解

题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

5.（2024秋•崂山区期末）如图，在口48CD中，5c的垂直平分线EO交4。于点£,垂足

为点0,连接8£,CE,过点。作C/〃BE,交"9的延长线于点R连接5?若

【分析】先根据平行四边形的性质得出/。=8。=8,再由斯是线段的垂直平分线

1

得出EFLBC,OB=OC=3BC=4,根据勾股定理求出OE的长，再由C/〃5E可得出

/OCF=OBE,故可得出△OC尸gaOBE,OE=OF,利用S四边形瓦（石=S4BC£+S△成c即

可得出结论.

【解答】解：•・,四边形是平行四边形，AD=8,

：.AD=BC=8,

•・,由EF是线段BC的垂直平分线，

1

：.EFLBC,OB=OC=-BC=4f

■:CE=6,

OE=y/CE2-OC2=V62-42=2近.

■:CF//BE,

：./OCF=NOBE,

在△OCF与△O5E中，

2C0F=乙BOE

OC=OB,

乙OCF=乙OBE

：・AOCF学/\OBE（ASA）,

：・OE=OF=2后

•'•S四边形BFCE=S^BC肝S^BFC

11

=-B^OE+-B^OF

11

=5X8X27^+5x8X27^

=8V5+8V5

=16心

故答案为：16点.

【点评】本题考查的是平行四边形的性质，三角形的面积及线段垂直平分线的性质，根

据题意得出。£=0尸是解题的关键.

6.（2024秋•东平县期中）如图，在口/BCD中，DF平分NADC,交BC于点E,交N5的

延长线于点F.

（1）求证：4D=4F；

（2）若4D=6,4B=3,44=120°,求平行四边形48co的面积.

【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合。尸平分N/DC可推出即可证

明AD=AF；

（2）过点。作垂足为〃，可推出ND4H=6O°,利用。77=4DsinN1/f,

得到DH,最后根据SCJABCD=AB-DH即可得到答案.

【解答】（1）证明：:四边形是平行四边形，

J.AB//CD,

：.NF=NCDF,

尸平分//DC,

:.NCDF=ZADF,

：.ZF=ZADF,

；.AD=AF；

（2）解：过点。作。垂足为“,

：・/DAH=1800-ZBAD=180°-120°=60°,

DH=ADsin^DAH=ADsin600=6X亨=3百，

；.S04BCD4B,DH=3x9v

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握

以上知识点是解题的关键.

【题型四利用平行四边形的性质进行证明】

1.（2024秋•厦门期末）如图，四边形48co是平行四边形，4C=AD,AEVBC,DF1

AC,垂足分别为E,F.证明/尸.

D

【分析】根据平行四边形的性质得出AD//BC,进而利用AAS证明4ADF与4ACE全等,

利用全等三角形的性质解答即可.

【解答】证明：：四边形N2CD是平行四边形，

：.AD//BC,

：.NDAF=ZACE,

'：AE±BC,DFLAC,

：.ZAEC=ZAFD=90°,

在△/£＞尸与△4CE中,

YDAF=4ACE

^AEC=^AFD=90°,

AC=AD

；.△4DF/AACE(AAS),

：.AE=DF.

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边平行解答.

2.(2024•泉山区校级三模)己知，如图，在平行四边形/BCD中，点E、尸分别在48、CD

的延长线上，BE=DF,连接£尸，分别交8C、4D于G、H.求证：EG=FH.

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】证明：•四边形/BCD是平行四边形，

C.AB//CD,/ABC=NCDA,

：.Z.EBG=ZFDH,ZE=ZF,

在ABEG与△DFH中,

ZE=ZF

BE=DF,

“BG=乙FDH

：.ABEG<ADFH(ASA),

：.EG=FH.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是

解题的关键.

3.(2024•岳池县模拟)如图，在口/BCD中，对角线/C与2。相交于点。，点E,尸分别

在C4和NC的延长线上，且连接DE,BF.求证：DE=BF.

【分析】证ADOE当ABOF(SAS),即可得出结论.

【解答】证明：：四边形N2CD是平行四边形，

：.OA^OC,OB=OD,

；AE=CF,

：.OA+AE=OC+CF,

即OE=OF,

在△DOE和△50F中，

(OE=OF

\/-DOE=/-BOF,

(。£)=OB

:ADOE%ABOF(SAS),

:.DE=BF.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平

行四边形的性质，证明△OOE丝尸是解题的关键.

4.(2024•碑林区校级四模)如图，在平行四边形4BC。中，点E为5c边的中点，DFLAE

于点RG为。尸的中点，分别延长/E,DC交于点、H,求证：CG，。尸.

【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,进而利用ASA证明△/5E与&HCE全等,

利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可.

【解答】证明：：四边形N2CD是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD,

/B=/HCE,

•点E为8C边的中点，

：.BE=EC,

在4ABE与AHCE中，

ZB=乙HCE

BE=EC,

/.AEB=4CEH

:.AABE出AHCE（ASA）,

：.AB=CH,

:.DC=CH,

：G为。尸的中点，

；.CG是△。切的中位线，

：.CG//EH,

；DF_LAE,

：.CG±DF.

【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出AB=CD解答.

5.（2024•长沙模拟）如图，在平行四边形4BCD中，/B=/AFE,£/是N2斯的角平分

线.求证：（1）AABE冬AAFE；

(2)NAFD=NECD.

【分析】（1）根据角平分线的性质可得/1=/2,再加上条件公共边

可利用44s证明△43E也△4FE；

（2）根据平行四边形的性质可得结论.

【解答】证明：（1）•・•加是斯的角平分线，

ZBEA=ZAEF,

在△N3E和△4FE中，

2BEA=^AEF

Z-B=Z.AFE,

AE=AE

••・△ABEm4AFE（AAS）；

（2）•・・四边形/BCD是平行四边形，

；・NB+/ECD=180°,

•；/B=/AFE,ZAFE+ZAFD=180°,

I.ZAFD=ZECD.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正

确证明AABEm/\AFE.

6.（2024春•郑城县期中）如图，点E是口/BCD对角线/C上一点，点厂在的延长线

上，且EF=BE,EF与CD交于点G.

（1）求证：DF//AC；

（2）若G是CD的中点,连接CF,MDELAC,求证：BF=2AB.

【分析】（1）连接8。交/C于点O,证明是△2D尸的中位线，即可证明结论;

(2)先证△DFGgACEG(AAS),再证△OECg/kED尸(SAS),根据CD=N8,BF=

2即得出结论.

【解答】证明：（1）如图1,连接8。交NC于点O,

•/四边形ABCD是平行四边形,

：.BO=DO,

；BE=EF,

是△3。尸的中位线,

：.OE//DF,BPDF//AC；

(2)由(1)得DF〃4C,

5L'：DELAC,

：.ZDFG^ZCEG,NGDF=NGCE,NDEC=NEDF=90°,

：G是CD的中点，

:.DG=CG,

在ALIFG和△CEG中，

（^DFG=Z.CEG

]^GDF=AGCE,

[DG=CG

:.ADFG出ACEGCAAS）,

:.FD=CE,

在△OEC和△££）尸中，

DE=ED

乙DEC=乙EDF,

CE=FD

MDEC必EDF（SAS^,

：.DC=EF,

,:CD=AB,BF=2EF,

:.BF=2AB.

【点评】本题考查的是平行四边形性质、三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质,

解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理.

【题型五平行四边形判定的条件】

1.（2024秋•河口区期末）下列说法正确的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.平行四边形的对角互补

C.有两组对角相等的四边形是平行四边形

D.平行四边形的对角线平分每一组对角

【分析】由平行四边形的判定分别对各个说法进行判断即可.

【解答】解：4.••一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形,

错误，不符合题意；

反：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

•••3错误，不符合题意；

C...•两组对角分别相等的四边形是平行四边形，

正确，符合题意；

；菱形对角线平分每一组对角，平行四边形的对角线不平分每一组对角，

错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键.

2.（2025•安阳模拟）如图，四边形4BCD中，对角线NC,2。相交于点。，下列条件不能

判定这个四边形是平行四边形的是（）

A.NABD=/BDC,ZACB=ZCAD

B.AB=BC,AD=CD

C.AB=CD,ZBAC=ZACD

D.4O=CO,BO=DO

【分析】根据平行四边形的判定方法判断得出即可.

【解答】解：根据平行四边形的判定方法，

A.NABD=NBDC,ZACB=ZCAD,推出/8〃CD,AD//BC,则能判定这个四边形

是平行四边形，所以本选项正确，不符合题意；

B、AB=BC,AD=CD,不能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项错误，符合题

忌；

C、由/A4c=/NCD,推出又AB=CD,能判定这个四边形是平行四边形,

所以本选项正确，不符合题意；

D、AO=CO,BO=DO,能判定这个四边形是平行四边形，所以本选项正确，不符合题

忌；

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，关键掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是

平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的

四边形是平行四边形.

3.（2024春•蓬江区期末）如图，已知△NBC,用尺规进行如下操作：①以点/为圆心，

2C长为半径画弧；②以点C为圆心，A8长为半径画弧；③两弧交于点。，连接AD、

CD.可直接判定四边形为平行四边形的依据是（）

A.两组对边分别相等B.两组对边分别平行

C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等

【分析】根据圆的半径相等，得到3c=/£>,CD=AB,根据平行四边形判定定理解答即

可.

【解答】解：根据圆的半径相等，得到2C=4D,CD—AB,

故两组对边分别相等，

故四边形ABCD为平行四边形，

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

4.在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（）

①一组对边平行，另一组对边相等

②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线

③一组对边平行，一组对角相等

④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可.

【解答】解：①错误.这个四边形有可能是等腰梯形；

②正确.可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等.故是平行四边形；

③错误.不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行；

④正确.可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等且平行.故是平行四边形.

故选：B.

【点评】本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记

住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法，属于中考常考题型.

5.（2024秋•重庆期末）如图，已知四边形48CD,下列条件不能判定四边形N5C。是平行

四边形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AD=BC,AB=CD

C.ZA=ZC,ZB=ZDD.AB//CD,AD=BC

【分析】由AB//CD,根据平行四边形的定义证明四边形/BCD是平行四边形,

可判断/不符合题意；由4D=8C,N8=CD,根据“两组对边分别相等的四边形是平行

四边形”证明四边形N8CD是平行四边形，可判断3不符合题意；由NZ=NC,ZB=Z

D,推导出//+/2=180°,//+/£>=180°,则4D〃BC,AB//CD,再根据平行四

边形的定义证明四边形N3C。是平行四边形，可判断C不符合题意；由N8〃CD,AD=

BC,可判定四边形/BCD是平行四边形或等腰梯形，可判断。符合题意，于是得到问题

的答案.

【解答】解：:AB〃CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

故/不符合题意；

\'AD=BC,AB=CD,

四边形ABCD是平行四边形，

故8不符合题意；

VZA=ZC,ZB=ZD,且N/+/C+/3+/r）=360°,

.*.2//+2NB=360°,2/4+2/0=360°,

.,.//+/2=180°,//+/£>=180°,

J.AD//BC,AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形,

故C不符合题意；

"JAB//CD,AD=BC,

四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，

由AB//CD,AD=BC不能判定四边形/BCD是平行四边形，

故。符合题意，

故选：D.

【点评】此题重点考查平行四边形的定义及判定定理，适当选择平行四边形的定义或判

定定理证明四边形/BCD是平行四边形是解题的关键.

【题型六平行四边形判定的证明】

1

1.如图，在△4BC中，点。，£分别是48,NC的中点，延长2c至点尸，使

连接DE、CD、EF.求证：四边形DCFE1是平行四边形.

【分析】证明。E是△/8C的中位线，WDE//BC,DE=­BC,再证明DE=CF,即可得

出结论.

【解答】证明：丁点。，E分别为“£ZC的中点，

是△48C的中位线，

1

C.DE//BC,DE=-BC,

1

\'CF^-BC,

:.DE=CF,

又,：DE//CF,

四边形DCFE是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定以及三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的判

定是解题的关键.

2.(2024春•荔湾区期末)如图，在四边形4BCD中，AB//CD,E和尸为对角线/C上的

两点，AE=CF,ZABE=ZCDF.

求证：四边形/BCD为平行四边形.

【分析】证△/班名△CFO(44S),得4B=DC,再由N3〃DC,根据平行四边形的判

定即可得出结论.

【解答】证明：

/EAB=/FCD,

在AAEB和△CFO中,

YABE=MDF

乙EAB=AFCD,

AE^CF

：./\AEB^/\CFD(AAS),

：.AB=DC,

又,：AB〃CD,

：.四边形/BCD是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等

知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.

3.(2024春•澄迈县期中)如图，点3,E,C,尸在一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=

FC.

(1)求证：AABC咨ADFE.

(2)连接NRBD,求证：四边形481m是平行四边形.

A

【分析】（1）由SSS证明△ZBC丝△。也即可；

（2）连接4F\BD,由全等三角形的性质得出N4BC=ND尸E,证出45〃。尸，即可得

出结论.

【解答】证明：（1）'：BE=FC,

:.BC=EF,

在△N3C和△£>££•中，

AB=DF

AC=DE,

BC=EF

:.AABC咨ADFE（SSS）；

（2）由（1）知AABCmADEE,

：.ZABC=ZDFE,

C.AB//DF,

,:AB=DF,

四边形ABDF是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟

练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键.

4.（2024春•凉城县期末）如图，E,尸是四边形/3CD对角线NC上的两点，AD//BC,DF

//BE,AE=CF.

求证：（1）4AFD咨ACEB；

（2）四边形488是平行四边形.

AB

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理Z&4证得丝△CE8;

（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到/Z>=CB,则由“有一组对边相等且

平行的四边形是平行四边形”证得结论.

【解答】证明：（1）如图，•.【D〃8C,DF//BE,

Z.Z1=Z2,Z3=Z4.

又AE=CF,

：.AE+EF=CF+EF,即4F=CE.

在4AFD与ACEB中，

21=z2

AF=CE,

,Z3=44

AAAFD^/XCEB（ASA）；

（2）由（1）知，△4FD附△CE3,则4D=C2.

又‘：AD"BC,

：.四边形/BCD是平行四边形.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定.全等三角形的判定

是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是

选择恰当的判定条件.

5.（2024春•巴彦淖尔期末）如图，AB,CD相交于点O,AC//DB,OA=OB,E、尸分别

是OC,中点.

（1）求证：OD—OC.

（2）求证：四边形NE8E平行四边形.

A

E

\/0\\

F！/l\\

DB

【分析】(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△/OC四△20D,根据全

等三角形的性质即可得解.

(2)此题已知04=08,要证四边形/EBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证

OE=O/就可以了.

【解答】证明：(1),：AC//BD,

：.ZC=ND,

在△NOC和△80。中，

2c=4D

/.COA=/.DOB,

,0A=OB

:.△AOC妾△BOD(AAS),

：.OD=OC-,

(2)'：OD=OC,

:E、尸分别是OC、OD的中点，

11

：.OF^~OD,OE--OC,

：.EO=FO,

又<04=OB,

四边形AFBE是平行四边形.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观

察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法.

6.(2024春•柯桥区期末)已知△48C和△/£>£均为等边三角形，点尸、。分别在NC、BC

上，AF=CD,连接BEEF.求证：

(1)AD=BF；

(2)四边形2EED为平行四边形.

A

【分析】（1）根据"S证明/也△C4。即可得出结论;

（2）证明5月〃。《且8/=。后即可得出结论.

【解答】证明：（1）;△Me和△4。《均为等边三角形，

：.AB=AC,ZBAF=ZC=60°,

又,：AF=CD,

・•・△ABF咨ACAD（SAS\

：.AD=BF；

（2）如图，设4c与。E相交于点，，

'/△4£＞《是等边三角形，

:・AD=DE,

:・BF=DE,

'：ZC=ZAED=60°,/DHC