2024-2025学年人教版八年级数学下册重难点专练：三角形中位线定理的运用（七大题型）解析版

重难点14三角形中位线定理的运用

IEQ知识梳理

▲知识点1：三角形的中位线

★1、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

几何语言：如下图：在zMBC中，E分别是边AB、AC的中点,

.•.OE是△48C的中位线.

A

★2、性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.

几何语言：：D、E分别是边AB、AC的中点，

1

DEWBC,S.DE=^BC.

★3、一个三角形有三条中位线，如图。E,DEEB都是△NBC的中位线，中位线是一

条线段.

★4、三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，三个面积相等的平行

四边形；四个全等小三角形的周长都是原三角形周长的一半.

m题型解读

国典题精练

【题型一利用三角形中位线定理求线段长】

【例题1】（2024秋•长沙期中）如图，在△NBC中，D,E分别是48,/C的中点，F,G

分别是AD,NE的中点，且FG=2c",则8c的长度是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

11

【分析】利用三角形中位线定理求得尸G=5DE,DE=-BC,于是得到结论.

【解答】解：如图，:△4DE中，F、G分别是40、NE的中点，

：.DE=2FG=4cm,

,:D,E分别是48,4C的中点，

是△NBC的中位线，

:.BC=2DE=8cm,

故选：C.

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是

解题的关键.

【变式1-1】（2024秋•海淀区期中）如图，8。是△48C的中线，E,尸分别是8C的

中点，连接£尸.若/。=4,则跖的长为（）

35

A.-B.2C.-D.4

【分析】根据三角形的中线的概念求出DC,根据三角形中位线定理计算即可.

【解答】解：。是△/BC的中线，/。=4,

"：E,尸分别是。D,5c的中点，

:.EF是ABCD的中位线，

1

：.EF=~DC=2,

故选：B.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题

的关键.

【变式1-2】（2024秋•射洪市校级期中）如图，是等腰三角形/5C的顶角平分线，BC

=10,点E,尸分别是4D,/C边的中点，连结即，EF//BC,则斯=.

11

【分析】根据等腰三角形的性质得到CO=]BC=5x10=5,根据三角形中位线定理即可

得到结论.

11

【解答】解：由条件可知。。=万8。=5乂10=5,

；点、E,尸分别是4D,NC边的中点，

:.EF是AACD的中位线，

115

：.EF--CD=5x5=5,

5

故答案为：

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定

理是解题的关键.

【变式1-3】（2024春•青县期末）如图所示，OE为△N8C的中位线，点尸在上，且

ZAFB=90°,若/3=6,8c=8,则E尸的长为（）

【分析】先根据三角形中位线定理求出DE的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半求出DF的长即可得到答案.

【解答】解：：是△/BC的中位线，BC=8,

1

：.DE=~BC=4,。是的中点，

VZAFB=9Q°,

1

：.DF=~AB=3,

:,EF=DE-DF=1,

故选：A.

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟知三角形中

位线定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

【变式1-4】（2024秋•东营期末）如图，四边形N8CO中，P、R分别是BC、CD上的点,

E、尸分别是/尸、R尸的中点，当点尸在C8上从C向。移动而点R不动时，那么下列

结论成立的是（）

A.线段昉的长逐渐增大

B.线段环的长逐渐减小

C.线段E尸的长不变

D.线段跖的长与点P的位置有关

1

【分析】连接根据三角形中位线定理得到E尸=p凡得出结论.

【解答】

解：如图，连接/火，

；E、1分别是4尸、RP的中点,

:.EF是LAPR的中位线，

1

：.EF=~AR,

:点R不动，

；.4R大小不变，

线段E尸的长不变，

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

【变式1-5]（2024春•东港市期末）如图，中，ZBAD=ZCADfBE=CE,AD1.

13

A.6B.—C.7D.8

【分析】延长AD交力C于尸，可证得△ZB□名从而4尸=48=4,可证得DE是

△5CF的中位线，从而得出W的值，进一步可得出结果.

ZADB=ZADF=90°,

在△45。和△/即中，

YBAD=/.FAD

AD=AD,

/-ADB=Z-ADF

公

:.AABDAAFDCASA)f

:.BD=DF,AF=AB=4,

■:BE=CE,

:.CF=2DE=3,

：.AC=4F+CF=4+3=7,

故答案为：C.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的

关键是作辅助线，构造全等三角形.

【变式1-6】（2024春•雁塔区校级期末）如图，点。，K分别是△/2C的边/C的中

点，连接过点C作C/〃3E,交的延长线于点尸，若斯=3,求DE的长.

【分析】先证明DE为△/BC的中位线，得到四边形8CFE为平行四边形，求出5c=EF

=3,根据中位线定理即可求解.

【解答】解：£分别是△/BC的边/8、NC的中点，

：.DE为4ABC的中位线，

1

C.DE//BC,DE=-BC,

J.EF//BC,

,JCF//BE,

四边形BCFE为平行四边形,

:.BC=EF=3,

13

:・DE=/C=万.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形判定与性质，熟知三角形中位线定

理是解题关键.

【变式1-7]如图，在△48C中，4B=12cm,AC=8cm,AD、NE分别是其角平分线和中

线，过点C作于点/，交于点G,连接ER求线段所的长.

【分析】首先证明则/G=/C=4,GF=CF,证明斯是4206的中

位线，利用三角形的中位线定理即可求解.

【解答】解：在△NGF和△NCF中，

{/.GAF=^CAF

\AF=AF,

UAFG=^AFC

:.AAGF咨AACF(ASA).

：.AG=AC=S,

：.GF=CF,则8G=/8-/G=12-8=4(cm).

又,：BE=CE,

:.EF是ABCG的中位线.

1

/.EF=~BG—2cm.

答：的长为2c»z,

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键.

【题型二利用三角形中位线定理求周长】

【例题2】（2024秋•隆回县期末）如图，D,£分别是△48C的边N8,NC上的中点，如

果△/£）£的周长是10,则△48C的周长是（）

111

【分析】根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到=AE=~AC,DE=~

BC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：,:D,E分别是△ABC的边/£ZC上的中点，

11

.•.OE是△48C的中位线，AD--AB,AE=~AC,

1

：.DE^~BC,

•.,△/DE的周长=10,

：.AD+AE+DE=10,

.•.△48C的周长=4B+/C+2C=2（AD+AE+DE）=20,

故选：D.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第

三边的一半是解题的关键.

【变式2-1]（2024秋•莱芜区期末）如图，△/BC是边长为2的等边三角形，取8C边中点

E,作废）〃48,EF//AC,得到四边形EZX4R它的周长记作G；取中点回，作。1项

//FB,E[Fi〃EF,得到四边形即1，它的周长记作C2,则。2=（）

c

3

A.4B.2C.-D.1

【分析】根据三角形中位线定理可求出Q的值，进而可得出C2的值得出答案.

【解答】解：是3C的中点，ED//AB,

是△4BC的中位线,

：4ABC是边长为2的等边三角形，

11

.'.DE—~^AB=AF—1,AD=~AC—1,

:.DE=AD,

,:EF〃AC,

四边形瓦切尸是菱形，

ACi=4Xl=4,

1

同理求得：C2=4X^=2.

故选：B.

【点评】本题主要考查三角形的中位线，等边三角形的性质，找出计算周长的规律是解

题的关键.

【变式2-2］（2024秋•汉寿县期末）如图，在△N3C中，。是NC边的中点，且

ED//BC,ED交4B于点E,若NC=4,BC=6,则△/£）£的周长为.

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到NB=8C=6,根据三角形中位线定理求出DE,

根据直角三角形的性质求出根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：•••。是/C边的中点，BDLAC,

1

・・・5。是线段4C的垂直平分线，AD=-AC=29

:・AB=BC=6,

是4C边的中点，ED//BC,

1

.•.点E是N2的中点，DE=~BC^3,

在RtZ\4D8中，点E是的中点，

1

：.DE=~AB=3,

：.AADE的周长=AE+DE+AD=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行

于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式2-3]（2024秋•姜堰区期末）如图，在△/BC中，4D是高，E、尸分别是/2、AC

的中点，且N5=5,AC=4,则四边形/££/的周长为.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DE、。尸，根据线段中点的概念分

别求出/E、AF,进而求出四边形4EDk的周长.

【解答】解：Y4D是△N8C中2C边上的高，

:.NADB=NADC=90°,

■:E、尸分别是48、ZC的中点，

1111

:.DE=5AB=25,DF=~AC=2,AE-~AB=2.5,AF=]4C=2,

：.四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=9,

故答案为：9.

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理，熟记相关性

质和定理是解题的关键.

【变式2-4］（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，在△N8C中，CDLAB于点、D,E,尸分别

为NC,8c的中点.AB=\Q,8C=8,DE=4.6,则的周长是.

【分析】根据三角形中位线定理求出所，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DE

根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：尸分别为/C,3c的中点

尸是△NBC的中位线，

11

：.EF=~AB=~x10=5,

".'CDLAB,

:.NBDC=90°,

在RtzXADC中，尸为2c的中点，BC=8,

11

则。尸=严。=5*8=4,

4DEF的周长=£>£+£尸+。尸=4.6+5+4=13.6,

故答案为：13.6.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形

中位线等于第三边的一半是解题的关键.

【变式2-5】（2024春•本溪期末）如图，AC,3。是四边形N2CD的对角线，点、E,尸分

别是4D,2c的中点，点M,N分别是/C,AD的中点，顺次连接EM,MF,FN,NE,

若/8=CO=2,则四边形ENFM的周长是.

B

11

【分析】利用三角形中位线定理推知=EM=NF=~CD,所以利用四边

形的周长公式计算即可.

【解答】解：,点E是40的中点，点N是3。的中点，

:.EN是LABD的中位线，

1

：.EN=­AB.

同理，MF、EM、NF分别是△/8C、△/1)(?、△BCD的中位线，

11

EN=MF=-AB=1,EM=NF=~CD=1,

.•.四边形及VFM的周长是：EN+MF+EM+NF^4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于

第三边的一半.

【变式2-6](2024春•鼎城区期末)如图，在△N8C中，ADLBC,垂足为。，E,尸分别

为边/C,2C的中点，连接DE,EF.

(1)若N3=40°,ZC=55°,求NDEF的度数；

(2)若40=6,BD=8,CD=4,求△£)£尸的周长.

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出N3/C,根据三角形中位线定理得到环〃N8,

根据平行线的性质得到NCM=/A4C=85°,根据直角三角形的性质得到DE=EC,进

而得到NEOC=NC=55°,计算即可；

(2)根据勾股定理求出根据三角形中位线定理求出EE根据勾股定理求出/C,根

据直角三角形的性质求出DE,结合图形计算即可.

【解答】解：(1)；/8=40°,/C=55°,

AZ5y4C=180°-AB-ZC=85°,

■:E,尸分别为边/C,8c的中点，

：.EF//AB,

ZCEF=NA4C=85

在Rtzxaoc中，E为边zc的中点，

1

：.DE=~AC=ECf

：.ZEDC=ZC=55°,

AZZ)EC=180°-ZEDC-ZC=70°,

:./DEF=85°-70°=15°；

(2)在中，AD=6,BD=8,

由勾股定理得：AB=y/AD2+BD2=V62+82=10,

,:E,方分别为边ZC,SC的中点，

1

：.EF=~AB=5f

在中，AD=6,0)=4,

由勾股定理得：AC=、AD2+CD2=a2+42=2g,

1、_

.U•DE=-AC=

,:BD=8,CD=4,

：.BC=\2,

•・,下为边的中点，

：.CF=6,

:.DF=6-4=2,

二△DEF的周长=5+2+疝=7+V13.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行

于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

【题型三利用三角形中位线定理求角度】

【例题3】（2024秋•安岳县期末）如图，在△48C中，D、E、尸分别是45、AC.8c的

中点，若NCFE=55°,则的度数为（）

【分析】根据三角形中位线定理得到所〃DF//AC,再根据平行线的性质求出/

ADE.

【解答】解：:。、E、P分别是/2、AC.2C的中点，

J.EF//AB,DF//AC,

：.ZB=ZCFE=55°,

,CDF//AC,

：.ZADE=ZB=55°,

故选：C.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键.

【变式3-1】（2024秋•鼓楼区校级期末）如图，点M,N分别是△N8C的边48,NC的中

点，若/N=60°,Z5=75°,贝.

A

【分析】根据三角形内角和定理求出/C,再根据三角形内角和定理得到九W〃BC,根据

平行线的性质解答即可.

【解答】解：在△NBC中，//=60°,/B=75：

则NC=180°-Zy4-Z5=180°-60°-75°=45°,

:点M,N分别是△48C的边48,/C的中点，

:.MN是丛ABC的中位线，

C.MN//BC,

：.ZANM=ZC=45°,

故答案为：45°.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平

行于第三边是解题的关键.

【变式3-2】（2024•永安市模拟）如图，DE是△N8C的中位线，/4BC的平分线交。E于

点、F,若/DFB=32°,N/=75°,则.

【分析】根据三角形中位线定理得到DE//BC,根据平行线的性质得到NE8C=/DE8=

32°,根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】解：是△/BC的中位线，

C.DE//BC,

:.NFBC=/DFB=32°,

尸是N48。的平分线，

:.NDBF=/FBC=32",

:.NADE=NDBF+NDFB=64°,

.•./4ED=180°-N4-/4DE=18Q°-75°-64°=41°,

故答案为：41°.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的外角性质、角平分线的定义、平行

线的性质，掌握三角形中位线平行于第三边是解题的关键.

【变式3-3】如图，在四边形4BC。中，点E,F,G分别是4D,BC,/C的中点，AB=

CD,/EG尸=144°,则NG斯的度数为

A

E

D

G

11

【分析】根据三角形中位线定理得到EG=58,FG=~AB,进而证明EG=/G,根据

等腰三角形的性质得到NG斯=NGEE,根据三角形内角和定理计算即可.

【解答】解：：点E,F,G分别是AD,BC,4C的中点，

：.EG是△4CD的中位线，FG是△4C5的中位线，

11

：.EG=~CD,FG^-AB,

；4B=CD,

：.EG=FG,

：.ZGEF=ZGFE,

：NEGF=144°,

1

：.ZGEF^-x(180°-144°)=18°,

故答案为：18°.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌

握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键.

【变式3-4】(2024春•顺德区校级期中)如图，在四边形/BCD中，点£、尸分别是边

AB.的中点，BC=15,CD=9,EF=6,ZAFE=5Q°,求NNOC的度数.

【分析】连接2。，根据三角形中位线定理得到斯〃8D,BD=2EF=U,根据平行线的

性质求出根据勾股定理的逆定理得到/2DC=90°,计算即可.

【解答】解：连接AD,

:点E、尸分别是边N3、4。的中点，EF=6,

J.EF//BD,BD=2EF=\2,

；.NADB=NAFE=50°,

在△5OC中，BD2+CD2=122+92=225,5C2=225,

则BD2+CD2^BC2,

:.NBDC=90°,

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，熟记三角形的中位线平

行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式3-5】（2024春•鼓楼区期中）如图所示，在△4BC中，N/=40。，D,E分别在

AB,AC±,BD=CE,BE,CD的中点分别是N,直线MN分别交48,AC^P,

Q.求/NP。的度数.

【分析】取3c的中点连接Mf,NH,根据三角形中位线定理得到EC,MH=

11

-EC.NH//BD,NH^-BD,根据平行线的性质、三角形内角和定理计算，得到答案.

【解答】解：取8C的中点“，连接加”，NH,

,:M,H为BE,5c的中点，

1

J.MH//EC,MH=~EC.

"：N,〃为CD,8c的中点，

1

C.NH//BD,NH=~BD.

•；BD=CE,

：.MH=NH.

：.ZHMN=ZHNM,

"：MH//EC,

：./HMN=ZPQA,

同理，ZHNM=ZQPA,

-//)=70°.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角

形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【题型四利用三角形中位线定理证明线段关系】

【例题4】（2024秋•杜尔伯特县期末）如图，已知△48C中，。是上一点，AD=AC,

AELCD,垂足是E,尸是8c的中点.求证：BD=2EF.

【分析】根据等腰三角形的性质得到CE=E。，根据三角形中位线定理证明结论.

【解答】证明：'：AD=AC,AELCD,

：.CE=ED,

:尸是8c的中点，

；.EF是4CDB的中位线，

：.BD=2EF.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式4-1】（2024春•秦都区期末）如图，在△4BC中，4B=AC,点、D、E分别是边/2、

/C上的点，连接3E、DE,ZADE=ZAED,点尸、G、H分别为BE、DE、2c的中

点.求证：FG=FH.

【分析】根据等腰三角形的判定定理得到/D=/E，根据线段的和差得到2D=CE,根据

三角形的中位线定理即可得到结论.

【解答】证明：：AAED,

：.AD=AE,

；4B=4C,

：.AB-AD=AC-AE,

即BD=CE,

•:点、F、G、H分别为BE、DE、8c的中点，

：.FG是AEDB的中位线，FH是ABCE的中位线，

11

：.FG=~BD,FH^-CE,

：.FG=FH.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中

位线定理是解题的关键.

【变式4-2】（2024秋•互助县期中）如图，已知BD=CD,DB±AB,DCLAC,

且£、F、G、，分别为49、AC.CD、3。的中点，求证：EH=FG.

【分析】连接根据三角形中位线定理证明即可.

【解答】证明：连接

•:E、”分别为/8、8。的中点，

:.EH是AABD的中位线，

1

：.EH=~AD,

1

同理可得：FG--AD,

:.EH=FG.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三

边的一半.

【变式4-3】已知：如图，E为口42CD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连接

NE分别交2C、AD于点尸、G,连接NC交RD于。，连接。足求证：AB=20F.

【分析】先证明4/8尸名△£3得8尸=尸。，再利用三角形中位线定理即可解决问题.

【解答】证明：：CE〃4B,

:.NE=NBAF,NFCE=NFBA,

又,：CE=CD=AB,

:.AFCE冬AFBA(ASA),

:.BF=FC,

尸是8c的中点,

是/C的中点,

OF是ACAB的中位线，

：.AB=2OF.

【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，出现中点条件想到三角形中位线定理.

【变式4-4】（2024春•富平县期末）如图，在四边形/BCD中，对角线NC、BD相交于点

O,且E、尸分别是/8、CD的中点，E、尸分别交3D、NC于点G、H,取

3c边的中点连接EN、FM.求证：

（1）尸是等腰三角形；

（2）OG=OH.

【分析】（1）根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形；

（2）根据等边对等角，即可证得然后根据平行线的性质证得/OGH=

根据等角对等边即可证得.

【解答】证明：（1）'：M,尸分别是8C、CD的中点，

1

：.MF//BD,MF=~BD,

1

同理：ME//AC,ME=~AC,

'：AC=BD,

：.ME=MF,

即△MM是等腰三角形；

（2）,:ME=MF

：./MEF=ZMFE,

'：MF//BD,

ZMFE=ZOGH,

同理，ZMEF=ZOHG,

：.ZOGH=ZOHG

：.OG=OH.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，证明△ME尸为等腰三角

形是解题关键.

【变式4-5】(2024春•瑶海区期末)已知：如图，在△NBC中，点、D、E分别是48、AC

的中点

(1)若DE=2,则8C=；若/ACB=7Q°,则1

(2)连接CD和交于点。，求证：CO=2DO.

【分析】(1根据三角形中位线定理即可得到结论；

(2)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】(1)解：：点。、£分别是/3、/C的中点，

.•.£>£是三角形的中位线，

：.BC=2DE=4,DE//BC,

；./AED=NACB=70°,

故答案为：4,70；

(2)取80、CO中点G、H-,

1

则G8〃2C,GH=~BC,

1

,:DE〃BC,DE=~BC,

J.DE//GH,DE=GH,

四边形DGHE为平行四边形，

：.DO=OH=HC,

即CO=2DO.

【点评】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线

是解题的关键.

【变式4-6】（2024春•虎丘区校级期中）如图，线段是的角平分线，取8c中

点N,连接NN,过点C作/M的垂线段CE垂足为£.

（1）求证：EN//AB.

（2）若NC=13,AB=37,求EN的长度.

【分析】（1）延长CE交N2于尸，证明根据全等三角形的性质得到CE

=斯，根据三角形中位线定理证明结论；

（2）根据三角形中位线定理计算即可.

【解答】（1）证明：延长CE交于凡

是NCAB的角平分线，

ZCAM=/BAM,

在△C4E和中，

{/.CAE=^FAE

\AE=AE,

UAEC=AAEF=90°

:.△CAE2MAE（ASA）,

：.CE=EF,

,:CN=NB,

:.EN是丛CFB的中位线，

J.EN//AB-,

（2）解：由（1）可知，ACAE丝AFAE,

：.AF=AC=13,

：.BF=AB-AF=24,

,:EN是4CFB的中位线,

1

:.EN=5BF=12.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中

位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式4-7】(2024秋•天河区校级月考)如图所示，在四边形48C。中，48=DC,E,F

分别是4D,5c的中点，G,〃分别是3D,NC的中点.

(1)连结EG,GF,FH,HE,请证明四边形EGEH■是平行四边形；

(2)猜一猜£尸与G4的位置关系，并证明你的结论.

【分析】(1)由三角形的中位线定理得小〃尸G,EH=FG,由平行四边形的判定方法,

即可求证；

1

(2)由三角形的中位线定理得等量代换得FH=E"，即可求证.

【解答】(1)证明：：G,H分别是BD,/C的中点，E,尸分别是4D,5c的中点，

/.FG是ABCD的中位线，EF是△NOC的中位线，

1

C.EH//CD,EH=-CD,

1

FG//CD,FG=~CD,

J.EH//FG,

,:EH=FG,

四边形EGFH是平行四边形；

(2)解：EFLGH,

理由如下：

•尸是5c的中点,

〃是/C的中点，

是△NBC的中位线，

1

：.FH=~AB,

；AB=DC,

1

：.FH=­CD,

：.FH=EH,

,/四边形EGFH是平行四边形，

四边形EGF”是菱形.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质，掌

握三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定及性质是解题的关键.

【题型五利用三角形中位线定理证明角关系】

【例题5】（2024春•莆田期末）如图，在四边形/BCD中，AD=BC,E、厂分别是边DC、

的中点，尸E的延长线分别AD、3c的延长线交于点8、G,求证：ZAHF^ZBGF.

H

1

【分析】连接8。，取8。的中点尸，连接EP,FP,根据三角形中位线定理得到PF=5

1

AD,PF//AD,EP=~BC,EP//BC,根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论.

【解答】证明：连接8。，取3。的中点P,连接EP,FP,

,:E、F、尸分别是DC、AB、3。边的中点，

.♦.EP是△BCD的中位线，P尸是的中位线，

11

：.PF=^AD,PF〃AD,EP=-5C,EP//BC,

:・NH=NPFE,/BGF=/FEP,

■:AD=BC,

：.PE=PF,

：.ZPEF=/PFE,

：.ZAHF=ZBGF.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平

行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

【变式5-1】（2024春•西峰区校级月考）如图，四边形45c。中，AD=BC,尸是对角线

5。的中点，N、/分别是48、CD的中点，求证：ZPMN=ZPNM.

11

【分析】先说明7W是的中位线得到尸N=58C,同理可得外/=万/。，进而得到

PN=PM,最后根据等腰三角形的性质即可证明结论.

【解答】解：•・•尸是对角线的中点，N分别是力5的中点,

・・・PN是△08。的中位线,

1

：.PN=-BCf

1

同理：PM=~ADf

•:AD=BC,

：.PN=PMf

/PMN=ZPNM.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运

用相关判定、性质定理成为解答本题的关键.

【变式5-2】(2024春•歙县期中)如图，CD是△NBC的角平分线，AELCD^E,F是

NC的中点，

(1)求证：EF//BC-,

(2)猜想：/B、ZDAE,NE4c三个角之间的关系，并加以证明.

【分析】(1)延长NE交8C于“，证明得到E是/〃的中点，根据三

角形中位线定理证明；

(2)利用(1)中全等三角形的对应角相等和三角形外角定理推知：ZEAC=ZB+Z

DAE.

【解答】证明：(1)延长4E交于“，

在△。4£1和4。上出中，

/.ACE=/.HCE

cp=cp

“EA=NCE”=90。'

:.ACAE沿ACHE(ASA),

是NX的中点，又尸是/C的中点，

尸是的中位线，

：.EF//BC；

(2)解：NEAC=NB+NDAE.理由如下：

由(1)知△CAEmACHE,

：.ZEAC=ZEHC.

又NAEH=ZB+ZBAH,

：.NEAC=ZB+ZDAE.

A

D,

BH

【点评】本题考查的是三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等

于第三边的一半是解题的关键.

【变式5-3】如图，中，D、£分别为川9、/C上的点，且BD=CE,M、N分别

是BE、CD的中点.过MV的直线交48于P,交NC于。，求证：ZQPA=ZPQA.

【分析】根据中位线定理证明进而证明ZHMN=ZPQA,

所以得到/QPA=ZPQA.

【解答】证明：如图，取8c的中点X,连接NH,

'：M,N为BE,CD的中点，〃为BC的中点，

:.MH、NH分别是ABCE、△BCD的中位线，

11

：.MH//EC,MH=~EC,NH//BD,NH=《BD.

又,：BD=CE,

：.MH=NH,

：.ZHMN=ZHNM.

・：MH〃EC,

：./HMN=APQA.

同理可得：ZHNM=ZQPA.

：.ZQPA=ZPQA.

【点评】本题考查中位线定理在三角形中的应用，关键是作出辅助线构造三角形的中位

线.

【变式5-4】一个对角线相等的四边形/BCD,E、产分别为43,CZ）的中点，斯分别交

对角线氏9,ZC于M,N,求证：ZOMN=ZONM.

【分析】取/。的中点。，连接E0、FQ,根据三角形中位线定理得到E0〃/C,EQ=-

1

BD,FQ=-ACfFQ//AC,根据平行线的性质证明即可.

【解答】证明：取4。的中点。，连接E。、FQ,

,:E,F、。分别为48,CD、4。的中点，

11

：.EQ//BD,EQ=-BD,FQ=-AC,FQ//AC,

:./QEF=/OMN,ZQFE=ZONM,

•；AC=BD,

:・QE=QF,

:・NQEF=/QFE,

：.ZOMN=ZONM.

D

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

【变式5-5](2024秋•唐河县期中)如图①是华师大版九年级上册数学教材第80页的第3

题:

在四边形/BCD中，AD=BC,

尸是对角线2。的中点，

M是。C中点，N是48的中点.

求证：/PMN=/PNM(不用证明)

结论应用：

(1)如图②，在上述题目的条件下，延长图中的线段/。交的延长线于点£,延长

线段8c交M0的延长线于点足求证：/AEM=NF；

(2)若(1)中的N/+N/2C=122°,则/尸的度数为.

AEN,再根据/尸皿=/尸?31即可证明/4£村=/尸；

(2)先由三角形中位线定理得到PN〃/。，则由三角形外角的性质得到

ZDPN=ZA+ZABD,再由尸河〃BC,得到ND2C,ZMPN=ZA+ZABC=

122°,据此求解即可.

【解答】(1)证明：是5。的中点，M是中点，

:,PM是ADBC的中位线，

1

：.PM\\BC,PM=-BC,

：.ZPMN=ZFf

1

同理可得尸NilAD,PN=-ADf

：.ZPNM=ZAEN,

•；AD=BC,

:.PM=PN,

：.ZPMN=ZPNMf

：.ZAEM=ZF；

(2)*：PN//AD,

：.ZPNB=ZA,

9：/DPN是丛PNB的一个外角,

：.ZDPN=ZPNB+ZABD=NA+NABD,

'JPM//BC,

：./MPD=/DBC,

：.ZMPN=ZDPN+ZMPD=ZA+ZABD+ZDBC=ZA+ZABC=122°,

■;PM=PN,

1

：.^PMN=-X(180°-122°)=29°,

AZF=ZPMN=29°.

故答案为：29。.

【点评】本题考查了三角形中位线定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，熟知

三角形中位数定理是解题的关键.

【题型六利用三角形的中位线求最值】

【例题6】（2024秋•洪洞县期末）跷跷板是在狭长的木杆中间装上轴，然后架在支柱上，

两人对坐两端，轮流用脚蹬地，使一端跷起，图1是两个小朋友玩跷跷板实物图；图2是

其示意图，支柱儿W垂直于地面，点M是N8的中点，MN=35cm,那么小朋友在游戏中,

点2离地面的最大高度是（）

【分析】由平行线等分线段定理推出/N=CN,得到儿W是△NBC的中位线，因此九火=5

BC,即可求出2C=70米，于是得到点2离地面的最大高度是70米.

【解答】I?：\'MN//BC,MA=BM,

:.AN=CN,

:.MN是AABC的中位线，

1

：.MN=~BC,

■:MN=35米，

:.BC=10米，

点B离地面的最大高度是70米.

故选：C.

1

【点评】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到=

【变式6-1］（2024秋•杜尔伯特县期末）如图，在RtZX/BC中，NC=90°,/C=6,BC=

8,点N是2c边上一点，点M为48边上的动点，点。、E分别为CN,的中点，则

的最小值是（）

c

1224

A.2B.-C.3D.—

【分析】连接CM,当时，DM的值最小（垂线段最短），此时。E有最小值，根

1

据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CM,根据三角形的中位线得出DE=-CM

即可.

【解答】解：连接CM,当时，CN的值最小（垂线段最短），此时。£有最小值，

理由是：VZC=90°,AC=6,BC=8,

•'•AB=V>1C2+BC2=V62+82=10,

11

：.-AC^BC=~AB^CMf

11

x6x8=~xl0xCM,

24

：.CM=—,

・・,点。、E分别为CN,MN的中点，

112412

.'.DE=-CM=-X—=—,

12

即DE的最小值是M，

故选：B.

【点评】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点,

熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键.

【变式6-2］（2024春•西山区校级期中）如图所示，在四边形/BCD中，CD=凤,ZC=

30°,M为中点，动点尸从点2出发沿2c向终点C运动，连接4P,DP,取4P中

点N,连接MV,求线段的最小值（）

V13V133

A.——B.--C.-D.3

42N

【分析】过点。作。EL8C于E,根据垂线段最短得到点尸与点E重合时，DP最小，根

据含30°角的直角三角形的性质求出DE,根据三角形中位线定理计算，得到答案.

【解答】解：过点。作DEL3c于E,

则当点尸与点E重合时，DP最小，

在RtzXCDE中，ZC=30°,CD=V13,

则。£=#=受，

丁川为4D中点，N是4P中点，

1

：.MN=-DP,

・・・线段MN的最小值为半，

4

故选：A.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短,

掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键.

【变式6-3】如图，在RtZ\48C中，Z5=90°,AB=6,fiC=8,点。在8c上，以NC

为对角线的所有平行四边形4DCE中，DE的最小值是（）

A.10B.8C.6D.5

【分析】平行四边形/OCE的对角线的交点是NC的中点O,当。。时，O。最小，

即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解.

【解答】解：平行四边形4DCE的对角线的交点是NC的中点。，当。8c时，OD最

小，即DE最小.

■：OD.LBC,BC1.AB,

C.OD//AB,

又；OC=O4

：.CD=DB,

是△NBC的中位线，