2024-2025学年四川省雅安市高三数学（理）下学期4月月考检测试题（含答案）

2024-2025学年四川省雅安市高三数学(理)下学期4月月考

检测试题

考生注意：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.若集合/={—2,1,4,8},B={x-y2\x&A,y&A\,则6中元素的最大值为()

A.4B.5C.7D.10

2.若圆C：/+/=］与圆〃.(％—3)2+(>—勺2=/斤>0)外切，贝什=()

A.2B.3C.4D.5

3.设a,尸为两个不同的平面，m,〃为两条不同的直线，且加ua,nu/3,贝!I“加，〃”是

“a"”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若复数z=(x+yi)(x-4yi)(x,yeR)的实部为4,则点(x,y)的轨迹是()

A.短轴长为4的椭圆B.实轴长为4的双曲线

C.长轴长为4的椭圆D.虚轴长为4的双曲线

5.函数/(x)=2sinx—sin2x是()

A.最小正周期为"的奇函数B.最小正周期为2;?■的奇函数

C.最小正周期为"的偶函数D.最小正周期为2〃的偶函数

6.在平行四边形48CD中，。豆+N万卜|益—疝5|=4,且/氏4C=NC4D，则四边形48CD

的面积为()

A.4B.472C.8D.4亚

7.若函数/(x)=logo,5(x2—ax+2a)(a>0)的值域为R,则/(a)的取值范围是()

A.(-oo?-3]B.(-oo?-4]C.[-4,+GO)D.[-3,+GO)

8.设“(〃eN*)的整数部分为%,则数列｛4｝的前20项和为()

A.210B.211C.212D.213

9.已知函数/(x)=|2，—1|—a,g(x)=x2-4|x|+2-«,则()

A当g(x)有2个零点时,/(x)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，/(x)有2个零点

C.当/(x)有2个零点时，g(x)只有2个零点

D.当/(x)有2个零点时，g(x)有4个零点

10.^(X+4)2+(V=4^-2)2+J(x+1)2—4x的最小值为()

A.245B.5C.2A/6D.6

11.在四棱锥P—48CD中，底面45CD为矩形，上4,底面Z8CD,ZABD=60°,PB,PC

pA

与底面4BCD所成的角分别为a,0,且a+£=45。，则二五=()

V17-2V17-3V15-2V15-3

A.-------B.-------C.-------D.-------

2222

12.已知0为函数/(x)=(ax+l-a)e*-x-3的极小值点，则a的取值范围是()

A.(―1,+co)B.(-e,+co)C.1—,+co]D.[0,+co)

第H卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.一组样本数据12,15,12,13,18,10,16,19,15,12的众数为,中位数为

14.若x,y满足约束条件<则x+y的取值范围是

2x-y<3,

15.对于1个字母串shanhushu,改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到个新

的字母串.

16.已知定义在R上的函数/(x)满足+#=—2/(x)—2/")+6,/(1)=4,

则£/⑺=("eN*).

Z=1

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17〜21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

已知甲社区有120人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这120

人分为东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，

西小组中去峨眉山的人数比去青城山的人数少10.

(1)完成下面的2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组

西小组

合计

(2)在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社

区任选3名游客，记这3名游客中去青城山旅游的人数为X,求P(X=l)及X的数学期望.

参考公式：K2=-~“'、二、’—n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.050.010.001

P(K>k0)

00

左03.846.6310.82

158

18.(12分)

已知△4SC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,>csin^4=2A/3<7sinB,a=V196.

(1)求4

(2)若〃为边上一点，且CD=4b,证明：△BCD外接圆的周长为81丽万.

19.(12分)

如图，在直三棱柱Z8C—481G中，4cl=B©=3,AXBX=472,。为同用的中点.

(1)证明：81c〃平面ZCQ.

(2)若以481为直径的球的表面积为48万，求二面角C-G的余弦值.

20.(L2分)

22

双曲线C：2=1(。〉0,6〉0)上一点。(6,6)到左、右焦点的距离之差为6.

(1)求C的方程.

(2)已知2(-3,0),5(3,0),过点(5,0)的直线/与。交于〃，〃(异于4B)两点，直线

与八6交于点R试问点尸到直线x=-2的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明

理由.

21.(12分)

已知函数/(x)=ex+xlnx.

(1)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)若a>0,b>0,Aa2+b2=l,证明：/(«)+/(Z))<e+l.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个

题目计分.

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］(10分)

在极坐标系中，。为极点，曲线"的方程为4tane=/7cos8,曲线N的方程为夕sin。=加，其

中勿为常数.

(1)以。为坐标原点，极轴为X轴的正半轴，建立直角坐标系，求曲线〃与"的直角坐标方程；

(2)设加=1,曲线〃与”的两个交点为46,点C的极坐标为(7,0),若△4BC的重心G的

极角为工，求f的值.

4

23.［选修4—5：不等式选讲］(10分)

已知a+b=3(^a>0,b>0).

⑴若他―1|<3—a,求6的取值范围；

(2)求Ja+3+"+2+(a+l)b的最大值.

2025届高三数学试题参考答案(理科)

1.C【解析】本题考查集合中的元素，考查逻辑推理的核心素养.

=xmax_（「）=8-1=7.

2.C【解析】本题考查圆与圆的位置关系，考查直观想象的核心素养.

依题意可得|CD|=J32+42=l+r,解得r=4.

3.D【解析】本题考查点、线、面的位置关系与充分必要条件的判定，考查空间想象能力与逻辑推

理的核心素养.

如图1,当冽_1_〃时，a与/3不一定垂直.如图2,当a_L。时，而与力不一定垂直.所以“加_1_〃”

是“a，”的既不充分也不必要条件.

4.C【解析】本题考查复数的运算与实部以及曲线与方程，考查数学运算的核心素养.

2

因为(x+yi)(x-4yi)=/+4/一3町i,所以>2+4、2=4,即3+/=],所以点(x,y)的

轨迹是长轴长为4的椭圆.

5.B【解析】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.

因为f(-x)=2sin(-x)-sin(-2x)=-2sinx+sin2x=-f(x),所以该函数为奇函数.因为

y=sinx,y=sin2x的最小正周期分别为2万，n,所以/(x)=2sinx-sin2x的最小正周期

为2兀.

6.C【解析】本题考查平面向量，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

在平行四边形45CD中，AB+AD=AC,AB-AD=DB,因为|商+彳可=|商—彳可，所

以四边形/BCD为矩形，又NBAC=NCAD,所以四边形Z8CD为正方形，所以四边形/BCD

的面积为工义4义4=8.

2

7.B【解析】本题考查对数函数、二次函数、一元二次不等式，考查逻辑推理的核心素养.

依题意可得+2a要取遍所有正数，则△=片一8。》0,因为。〉0,所以。28,所以

/(«)=logo.5伽)<logo,516=-log,16=-4.

8.B【解析】本题考查数列的新定义与数列求和，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.

22

----------=n+—----,当〃=1时，n1+n=2,当〃>1时，n2+n>2,

n+nn+n

f2,77=1,(、(2+20)x19

所以%=则数列｛4｝的前20项和为2+2+3+…+20=2+^^-----』—二211.

[n.n>2,2

9.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

作出>=[2、—1],了=1一4上|+2的大致图象，如图所示.由图可知，当g(x)有2个零点时，

/(X)无零点或只有一个零点；当g(x)有3个零点时，/(x)只有1个零点；当/(x)有2个零

点时，g(x)有4个零点.

10.B【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.

设2(-4,2),F(-l,0),尸[,、行),易知点尸的轨迹是抛物线/=—4x的上半部分.

+4)2+(7=47-2『+J(x+1)2—4x=2|+*|.因为尸为抛物线/=—4x的焦点，所以

|PF|等于一到抛物线/=-4x的准线x=1的距离，所以1P旬+1产制的最小值等于A到准线x=1

的距离，所以J(x+4『+(J不—2『+J(x+1)2—4x的最小值为5.

11.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.

设48=。，PA=b,因为/45。=60°,所以AC=BD=2a,所以tana=tan/PA4=一,

a

bb

—।___

tanB=tanZPCA=—.因为a+尸=45°,所以tan(a+夕)=tan>tan/?=_a_J^_=】，

2a')]—tanatan夕I_LXJL

a2a

解得2=V17-3

(负根已舍去).

a-2

12.A【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想.

/'(x)=ex(ax+1)-1,/'(x)的导函数为/"(X)=e"(ax+a+1).

若a20,r(x)〉o,/，(无)在R上单调递增，因为/，(o)=o,所以当xe(o,+oo)时,ff(x)>0,

/(x)单调递增，当xe(-叫。)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，符合题意.

若一1<。<0,当00,—竺^时，f"(x)>0,/'(x)在［―叫―四］上单调递增，因为

-等〉0,所以/⑴在(-叫0)上单调递减，在(0,—-］上单调递增，符合题意.

若4二一1,当工£(一8,0)时，/"(X)>O,当X£(0,+8)时，/"(X)<O,因为/'⑼=0,所

以D«o,不符合题意.

若a<—1,当巴士+oo］时，f"(x)<0,--<0,易得/(x)在］—"■,()］递增，

在(0,+8)上单调递减，不符合题意.

综上，a的取值范围是(T,+co).

13.12；14【解析】本题考查样本的数字特征，考查数据处理能力.

将这组数据按照从小到大的顺序排列为10,12,12,12,13,15,15,16,18,19,则这组数据

的众数为12,中位数为上士纹=14.

2

14.(-oo,3］【解析】本题考查简单的线性规划，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

作出约束条件表示的可行域(图略)，当直线z=x+.y经过点/(2,1)时，z取得最大值3,所以

x+y的取值范围是(一8,3］.

15.15119【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识.

因为字母串shanhushu有2个s,2个u,3个h,1个a,1个n,所以改变这个字母串中的字母

位置顺序，可以得到C；C；C；A；-1=15119个新的字母串.

16.2向+2〃-2【解析】本题考查抽象函数与数列的交汇，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算

的核心素养.

令尸1,</(x+l)=/(x)/(l)-2/(x)-2/(l)+6=2/(x)-2.

设数列｛%｝满足%+i=2%—2,%=4,则2=2(4—2),q-2=2,

所以数列｛4-2｝是首项为2,公比也为2的等比数列，则%-2=2',则%=2"+2,

所以X%=——+2n=2"+i+2〃—2.

i=i1-2

17.解:(1)2X2列联表如下.

去峨眉山旅游去青城山旅游合计

东小组402060

西小组253560

合计6555120

120x(40x35-25x20/_1080

1X-——>/〉0.033,

60x60x65x55143

所以有99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关.

(2)在东小组的游客中，他们去青城山旅游的频率为，20=-1，

603

所以乙社区游客去青城山旅游的概率为:，所以X〜

则P(X=l)=C；x；x(l—j=：,

18.(1)解：因为csin/=2gasinB,所以ac=2百。力，

即。二2回，

又a=&^b,所以cosN='+.一"-』+12b「-19b-走.

2bc4闻2

S/r

因为Ze(O,乃)，所以/=-1.

「jpv1

(2)证明：在△/")中，由正弦定理，得-——=----------,

sinAsinAADC

bsmA1

则sinAADC=---------=一,

CD8

则sinZBDC=sin("-AADC)=sinAADC=-.

设ABCD外接圆的半径为R,则2火=——-——=8a=85b,

sinZBDC

所以ABCD外接圆的周长为8Mb兀.

19.(1)证明：连接4c交/q于点£,

则£为4c的中点,

连接。£,因为。为44的中点，所以。E〃4C，

又。£<=平面Ze］。，4c,在平面zq。,

所以平面/C］£>.

(2)解：因为4。］=4。1，。为44的中点，所以

且CQ==1.

因为以481为直径的球的表面积为48万，所以4万=48〃，解得AA,=4.

以。为坐标原点，DC1的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),q(0,1,0),^(-2Ao,4)-c(o,l,4),

设平面ZCQ的法向量为浣=(x,y,z),DQ=(0,1,0),百=12四,0,4卜

m•DC.=y=0,

则1_____；,

m-DA=-2A/2X+4z=0,

令z=l,得加=

设平面ACD的法向量为n=（£//'）,DC=（0,1,4）,

n-DC=y'+4z'=0,

则1—z令z'=1,得3=("-4,1).

n-DA=-2y/2x'+4z'=Q,

/一一、YYI•n3月

因为cos（冽,〃）=尸百

氐屈—19'

且由图可知，二面角C-ZD-G为锐角,

所以二面角C-4D-G的余弦值为看.

2a=6,

20.解：（1）依题意可得<$2

—7T-=1>

b

解得a=3,b2=1,

故C的方程为t-/=i.

9

（2）由题意可得直线/的斜率不为0,设/的方程为》=町+5,

设N(X2，%)，

x=町+5,

联立《X22]得(加2一9)y+[0叩+]6=0,

1—9/y=L

16

r112c八-10m

则加_9w0,必+丹=2C必必二

m-9m2-9

直线ZM：y=」^(x+3),直线BN：y=^j(x—3),

I3

联立V=I^J(x+3)与y=^J(X—3)

消去歹得

x+3=%(西+3)=y2(my,+8)=myxy2+Sy2=加必y.+gQi+y：)—8%

x-3y1(X2-3)%(即2+2)叼i%+2%my,y2+2yx

16m80mo64m门

「2---c----2---c--8y，l1

m一9

m-9m-9=-4,

16m16m3

+2%2

m2-9m-n-r^9+^i

99

解得x=—,所以点P在定直线》=—上.

55

919

因为直线x=-与直线x=-2之间的距离为—,

55

19

所以点户到直线x=-2的距离为定值，且定值为一.

5

21.(1)解：由/(x)=e*+xlnx,得/'(x)=e*+lnx+l,

则/⑴=e，/〈l)=e+l.

故曲线y=/(x)在点处的切线方程为y—e=(e+l)(x—1),即(e+l)x—y—1=0.

(2)证明：由a〉0,b>0,且/+62=1,不妨设a=cosx,6=sinx,xe0,—,

则证明/(«)+/(b)<e+1等价于证明/(cosx)+/(sinx)<e+1,xef0,

即证e。。"+cosx-In(cosx)+esinT+sinx-In(sinx)<e+1.

Y—1

令g(x)=x—lnx—1，则g'(x)=-----，

X

当X£(O,1)时，g"(x)<0,g(x)单调递减，

故g(cosx)〉g(l)=0,g(sinx)>g(l)=O,

即In(cosx)<cosx-1,In(sinx)<sinx-1,

则ecosx+cosx-In(cosx)+esinx+sinx-ln(sinx)

<ecosx+cosx(cosx-1)+esinx+sinx(sinx-1)=ecosx+exinx-cosx-sinx+1.

要证ecosx+cosx-In(cosx)+esinx+sinx-In(sinx)<e+1,

只需证ecosx+esinx-cosx-sinx<e.

(sinxicosxi、

C—1C—1

令〃(x)=ecosx+esinx-cosx-sinx,则=sinx