2024-2025学年中考数学二轮复习：垂径定理及应用 （含答案）

2024-2025学年中考数学复习专题垂径定理及应用

一、选择题

1.（2025•四川省德阳市•期中）如图，已知直线24交。。于4B两点，4E是O。的直径，点C为O。上一

点，且4C平分NP4E,过C作CD1PA,垂足为D,且DC+DA=12,。。的直径为20,贝ijAB的长等于

B.18C.16D.12

2.（2025•浙江省温州市・期末考试）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智

慧，图1,点M表示筒车的一个盛水桶.如图2,当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心。为圆心，5m

为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦48长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的

最大深度为（）

Ei

s上（）

_1

(W2)

A.1米B.2米C.3米D.4米

3.（2025•河北省秦皇岛市・期末考试）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸

杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边

沿分别与杯口相交于4、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm.

请你帮忙计算纸杯的直径为（）

A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm

4.（2025•广东省惠州市・期末考试）如图，在。。中，弦的长为8,圆心。到的距离OE=4,则。。的

半径长为（）

A.4B.4避C,5D.5避

5.（2025•山东省德州市•模拟题）如图，48是。。的直径，弦CD交4B于点P,4P=2,BP=6,

^APC=30°,贝！jCD的长为（）

c.2^/15

D.8

6.（2025•湖北省・模拟题）如图，在AABC中，以48为直径的。。经过点C.以点8为圆心，适当长为半径画弧

分别交力B、BC于点M、N,再分别以点M、N为圆心，大于手WN的长为半径画弧，两弧在A/IBC内部交于

点P,画射线BP分别交弦ac、劣弧能于点。、E,连接0D下列结论正确的是（）

A.0D=CDB.OD=，BC

C.点D为弦AC的中点D.点E为劣弧能的中点

7.（2025•湖北省襄阳市•模拟题）如图，4B为。。的直径，AC,力。为。。的弦，AC=CD,AB=10,

AC=y/10,贝必。的长是（）

D.4m

8.（2025•河北省秦皇岛市•模拟题）已知线段力B=后,如图,甲和乙两位同学用自己的方法确定了以r为半

径，。为圆心的圆.对于这两种作图方法，下列说法正确的是（)

A.甲和乙的方法均正确B.甲和乙的方法均不正确

C.甲的方法正确，乙的方法不正确D.甲的方法不正确，乙的方法正确

二、填空题

9.（2025•江苏省盐城市・期中）如图，AB是。。的直径，点C在O。上，CD148于点D已知=4,

AD=2,则。。的半径为

10.（2025•广东省清远市・期中考试）如图，在。。中，/-DCE=60°,。4=8,

CD1OA,垂足为点D,CE1OB,垂足为点E,CD=

是•

11.（2025•江苏省扬州市•模拟题）如图，△04B为直角三

角形，且。41AB,以。为圆心，。4为半径作圆与OB

交于点E,过点4作力F1OE于点F交圆。于点C,延长

力。交圆。于点D,连结DE交4C于点M,若圆。的半径为

5,tanzO=,，贝!jAM的长为_____.

4

12.（2025•澳门特别行政区澳门•期中考试）如图，△BCD内接于O。，=70。，。413。交0。于点4

13.（2025•江苏省泰州市•期末考试）如图，AB是。。的直径，C为。。上一点，连接AC、BC,过点。作

OD1BC于点D,交。。于点E,连接4E.若48=8,AC=2,贝的长是.

14.（2025•北京市市辖区•月考试卷）如图，以G（0,l）为圆心，半径为2的圆与无轴

交于力、B两点,与y轴交于C,。两点，点E为圆。上一动点，CF1AE于F,当

点E在圆。的运动过程中，线段FG的长度的最小值为.

三、解答题：

15.（2025•广东省•同步练习）

如图，在O。中，48为O。的弦，C、。是直线48上两点，且2C=8D求证：

△OCD为等腰三角形.

16.（2025•江苏省无锡市•期中）

如图，已知点力、B、C在。。上，点。在。。外，乙BCD=ABAC,BE〃CD交。。于E点.

A

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)若。。的半径为5,ABAC=30。，求线段BE的长.

17.(2025•河北省秦皇岛市•模拟题)

如图1,某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在

对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下:

信息二：点。为喷泉中心，48是喷泉边缘的一条弦，AB=8米，。是弦4B的中点，连接0。并延长，交劣

弧4B于点C,CD=2米.

信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以。为圆心，R为半径作防护栏所在圆.请根据以上信息解答下列

问题:

(1)求喷泉的半径;

(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？(兀取3.14,结果保留整数)

图I

18.(2025•河北省保定市•模拟题)

如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形4M8,开口部分A2与桌面平行，将

一玻璃棒斜放进鱼缸(鱼缸内无水)，使玻璃棒底端恰在弧4MB的中点M处，发现AM=AB,将玻璃棒竖立

起来(MN14B)时，测得MN=37.5cm.

M

(1)求NBAM的度数，并求力B的长；

(2)求弧的长；

(3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为48cm,求鱼缸内水的深度.

19.(2024•浙江省温州市•期中考试)

如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度力B=60米，拱高PD=18米.

(1)求圆弧所在的圆的半径r的长；

(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取

紧急措施？

20.(2025•河南省郑州市•模拟题)

如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为0,直径48是河底线，弦CD是水位线，CD//AB,4B=20

米，4BAD=15°.

(1)求CD的长.

(2)一艘船要经过该桥洞，矩形MNPQ是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽NP为10米，高PQ为2米.

受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由.

参考答案

1.D

2.B

3.C

4.B

5.C

6.D

7.4

8.4

9.5

10.16^/3

11.7.5

12.55°

13.2A/10

14.V^—1

15.证明：过点。点作OM1AB,垂足为M.

•••OM1AB,

：.AM=BM.

•••AC=BD,

CM=DM.

又♦：OM1AB,

OC=OD.

..AOCD为等腰三角形.

16.(1)证明：连接C。并延长交。。于F点，连接

•••Z.A—Z.F,

乙BCD=Z.BACf

•••乙BCD=Z.F,

・・•CF为©0直径，

・•.Z,CBF=90°,

・•・乙F+乙BCO=90°,

•••乙BCD+乙BCO=90°,

即乙。。。=90°,

・・•CF是。。的直径，

・•.CO是E。的切线；

(2)解：连接8。，0C交BE于点、G,

•・•BE//CD,

・•・乙OGB=〃)CD=90°,

OB=OE,

BE=2BG,

■■■同对方？，

.­.Z.BOC=1/.BAC=2x30°=60°,

在Rt△BOG中，BO=5,

BE=5©

17.喷泉的半径为5米；

大约需要安装25盏景观灯.

18.解：（1）如图，设圆心为。，连接。2=OB,BM.

,・,点M是不诵的中点,

•••AM=BM,

・•.AM=BM,

AM=AB，

・•.AM=BM=AB,

・•.△ABM是等边三角形，

・•・^BAM=^AMB=60°,。4平分NMAB,

・•・^OAM=〃)AN=30°,

.・.OA=OM=2ON,

2

...OA=OM=^MN=25(cm),

•・•ON工AB,

AN=BN=OA-cos300=25x岑=^^(cm),

・•・AB=25^/3(cm)；

(2)•・•乙AOB=2乙AMB=120°,

TTTTJM工24071x25IOOTT,、

•••AMB的长=———=(cm)；

loU3

(3)由题意AN=BN=24,OA=25,

ON=1252-242=7(CTH),

MN=0M+0N=32(cm),

当48在点。的下方时，MN=25-7=18(cm).

综上所述，水面的宽度为48cm,鱼缸内水的深度为320n或18cm.

19.解：⑴连结04,

由题意得：AD=》B=30米，0D=0一18)米，

在RtAH。。中，由勾股定理得：产=3()2+0-18)2,

解得，r=34,

故圆弧所在的圆的半径r的长为34米；

(2)连结。A,

•••OE=OP-PE=30(米)，

.•.在Rt△a'E。中，由勾股定理得：A'E2=A'O2-OE2,

即：A'E2=342-302,解得:A