2024-2025学年四川省宜宾市高二数学上学期期末模拟考试检测试题（含答案）

2024-2025学年四川省宜宾市高二数学上学期期末模拟考试

检测试题

一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

5

Z二----

1.已知i是虚数单位，复数2+i,则N=（）

A.2-iB.2+iC.l+2iD.l-2i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数除法运算、共轨复数等知识求得正确答案.

55（2-i）_

【详解】由于所以三十1

故选：B

22

2.椭圆土+乙=1的焦点坐标为（）

38

A.（±5,0）B.（0,±5）C.（±75,0）D.（0,土石）

【答案】D

【解析】

【分析】先确定焦点所在的位置，再求出c即可得解.

22

【详解】椭圆土+匕=1的焦点在y轴上，

38

c"=8—3=5'所以c=\/5，

所以椭圆工+2L=1的焦点坐标为（0,±V5）,

38

故选：D.

3.己知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9,且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分,

未投进得。分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（）

A.0.40B.0.45C.0.50D.0.05

【答案】C

【解析】

【分析】根据独立事件同时发生概率公式即可求解.

【详解】若两人都没有投进，概率片=(1—0.5)。—0.9)=0.05,

若两人都投进，概率6=0.5x0.9=0.45,

则得分相等的概率尸=4+£=0.05+0.45=0.50.

故答案为：C.

4.己知抛物线C：y2=2px(p>0),点尸为C的焦点，直线，：2x—y+6=0与x轴、y轴分别

交于48两点，若ZkAEB的面积为12,则。=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出R坐标，利用三角形面积求解即可.

【详解】如图，

直线，：2x—y+6=0中，令％=0,可得y=6,令y=。，可得x=—3.

所以A(—3,0),8(0,6),

由抛物线C：丁=2px(p>0)可得/号0),

所以|A盟=^+3,所以％斗忸。|=3、+3]=12,

解得P=2.

故选：A

5.已知圆Gx1+y2-2x+my+1-0(meR)的面积被直线x+2y+1=0平分，圆

22

C2:(X+2)+(J-3)=16,则圆G与圆的位置关系是()

A.外离B.相交C.内切D.外切

【答案】D

【解析】

【分析】由直线平分圆求出〃?，再判断两圆的位置关系即得.

【详解】由圆+2x+7ny+l=O(/"eR)面积被直线x+2y+l=0平分，

得圆C的圆心G(l,—耳)在直线x+2y+l=o上，即1—机+1=0,解得771=2,

因此圆G:(x-厅+(y+l)2=l的圆心G(L—1)，半径4=1,

而圆。2：(%+2)2+(y—3)2=16的圆心。2(-2,3),半径々=4,

显然|和。21=7(-2-1)2+(3+1)2=5=1+4=4+G，所以圆G与圆。2外切.

故选：D

6.己知等比数列｛4｝的前项和为S",且满足ai=LE,=5S3,则%=()

A.9B.16C.-9D.-16

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件求得等比数列的公比夕3,进而求得％.

【详解】设等比数列｛4,｝的公比为/q/0,

若<7=1,则%=1,则&=6,S3=3,56*5s3,所以qw1,

1-q1-q1-q1-q

所以l+/=5,/=4,所以%=a4=42=16.

故选：B

7.在平面直角坐标系中，一动圆C与龙轴切于点A(4,0),分别过点M(—5,0)、N(5,0)作圆。

的切线并交于点P（点P不在X轴上），则点尸的轨迹方程为（）

2222

A.--^=l(x>4)B.

169

22X2y2

C.—+Z_=1(X>4)D.一+2L=1(%<—4)

25162516

【答案】A

【解析】

【分析】利用切线长相等，结合双曲线的定义求解.

【详解】如图，设切线尸的切点分别为瓦C,贝产却=|PC|,阿|N4|=|NCj,

\PM\-\PN\=\MA\-\NA\=9-1=S,

所以P点轨迹是以为焦点双曲线的右支（除去与x轴交点）,

22

2a=8,a=4,c=5,则6=斤彳=3,双曲线方程为=轨迹方程为

22

土%一v匕=1(%>4),

169

故选：A.

8.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A

只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用。〃表示蜜蜂爬到

”号蜂房的方法数，则«2020«2022-alo2l=（）

A.1B.-1

C.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案.

【详解】依题意，4=4.1+4-2（w>3）,囚=1，4=2,%=6+4=3,

当〃22时，anan+2-=an（«„+1+an）-a*=anan+x+a；—

=%；+«„+i（«„-%+i）=。；-4什1%=一—a：）,

aia3-al=-l,所以数列｛44+2—是首项为T,公比为-1的等比数列，

X

所以。2020。2022—。2021=（一1）（一1）=L

故选:A

【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递

推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形

式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有（）

A.直线y=3x—2在y轴上的截距为2

B.过点M（-3,2）且与直线x+2y—9=。垂直的直线方程是2x—y+8=0

C.两条平行直线代工-y+1=0与2y/3x-2y+3=0之间的距离为:

D.经过点（-1,2）且在两坐标轴上截距相等直线方程为x+y=l

【答案】BC

【解析】

【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】对于选项A,因为y=3x-2,令％=0,得到y=—2,所以直线y=3x—2在y轴上的

截距为-2,故选项A错误，

对于选项B,因为直线x+2y—9=0的斜率为左=—,，

2

所以过点M(-3,2)且与直线x+2y—9=0垂直的直线方程是y—2=2(x+3),即

2x-y+S=0,故选项B正确，

L3|1_2|

对于选项C,由2氐—2y+3=0得到J3x—y+—=0,所以两平行线间的距离I2|_1,

2公布二

故选项C正确，

对于选项D,当两坐标轴上截距均为。时，直线方程为y=-2X,所以选项D错误，

故选：BC.

10.数列｛a.｝的前A项和为S,q=l,a“+i=2S"(〃eN*),则有()

1

A.Sn=3"-B.｛S.｝为等比数列

f1,^=1

C.Q=2•3〃一D.^—\„

〃n〃[2-y-?\n>2

【答案】ABD

【解析】

S],"=1X

【分析】根据4=求得%，进而求得色以及判断出｛(Sj是等比数列.

a-IS

【详解】由题得《x/小，

U=2S»1(〃之2)

两式相减得4+i=3a。>2),即幺旦=3(〃22),

an

当〃=1时，％=2,/.=2w3,

ax

所以数列｛an｝从第2项起是等比数列，所以%=2•3'"(〃22),

Ln=l

所以数列的通项为

2・3〃-2,n>2

当时，S"=—=3"T；当"=1时，&=%=1符合上式，

2

S

所以S〃=3"T,所以芳=3,所以数列｛Sj是首项为1，公比为3的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

22

11.设椭圆a1+方=1（。〉5〉0）的左、右焦点分别为用、心，上、下顶点分别为A1、4,点

尸是C上异于A、&的一点，则下列结论正确的是（）

A.若。的离心率为则直线p4与P4的斜率之积为-4

B.若尸耳，「心，则骂的面积为^2

C.若C上存在四个点尸使得则。的离心率的范围是。，学

\7

D.若归国W26恒成立，则。的离心率的范围是［,|

【答案】BD

【解析】

3

【分析】A.设尸（%,%）,kPA/kPA2=--,所以该选项错误；

B.求出APF遥的面积为g|P耳|・|PR\=b2,3所以该选项正确；

C.求出6€（乎,1）,所以该选项错误；

D.若归月归2》恒成立，所以0<e、，所以该选项正确.

丫2214

【详解】解：A.设所以2+4=1,因为e=—=—,:.a=2c,.

aba23

22

所以亡+今=1二3/2+4%2=4".所以

—b

3

22

y0-by0+b_y^-bb--b

-9一____ZL__________3,所以该选项错误;

4

B.若尸耳，「心，则IP耳|+|「居|=2兄|「昂2+|「8|2=4。2,所以|「耳|.|「居|=2/,则

的面积为，IPF.\-\PF2\=b\所以该选项正确；

C.若。上存在四个点户使得p4±PF2,即。上存在四个点户使得心的面积为户，所以

-2c-b>b2,:.c>b,:.c2>a2—c?,:.ee（与,1）>所以该选项错误；

D.若|尸耳区2》恒成立,所以4+。122,，/+。2+2或《4/=4（/一,2）,所以

5e2+2e-3<0,/.0<e<-,所以该选项正确.

故选：BD

12.如图，已知正三棱台ABC-A与G的上、下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,点尸在侧

面BCG及内运动（包含边界），且/尸与平面3CG与所成角的正切值为2夜，点。为C4上一

点，且弓0=3西，则下列结论中正确的有（）

4iG

B.点尸的轨迹长度为岳

高为生反，底面圆的半径为丑的圆柱可以放在棱台内

过点A&Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为苗

【答案】ACD

【解析】

【分析】延长正三棱台侧棱相交于点。，分析可知三棱锥O-ABC为正四面体，对于A：根据正

四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得叱=6，可知点P的轨迹为

等边△03。的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：

利用等体积法求正四面体O-/RC的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体

。一ABC的内切球，即可得结果.

【详解】延长正三棱台侧棱相交于点。，由题意可知：OA^OB^OC,

在等腰梯形BCG与中，因为3c=6,BiG=2,BB[=CG=4,则NgBC=/6底=60。.

即△Q3C为等边三角形，可知三棱锥O—A3C为正四面体，且。4=2.

对于选项A：设“为等边△03。的中心,

由正四面体的性质可知：AHJJ则面03C，且AH=』6?-=2-\/6,

即。点到底面ABC的距离为2限，

又因为。4=2,BB1=4,所以正三棱台ABC-A与G的高为gx2逐=半，故A正确;

对于选项B：因为AP与平面3。。|四所成角的正切值为20,

即tanNAPH=9=a5=20,解得

HPHP

且等边△O3C的内切圆半径厂=也，

可知点尸的轨迹为等边△03。的内切圆，所以点P的轨迹长度为26兀，故B错误;

对于选项C：因为正三棱台ABC-agG的高生色，且44与G的内切圆半径为93〉心，

336

所以高为生R,底面圆的半径为丑的圆柱可以放在棱台内，故c正确；

36

对于选项D：设正四面体ABC的内切球半径r,

由等体积法可得：-5^x276=4x-SAABC-r,解得厂=迈.

332

因为2厂<皿5,则该棱台内最大的球即为正四面体O—A3c的内切球.

3

又因为函=3南，CG=4,。。=6,

则。为OC的中点，过点A8,。的平面正好过该内切球的球心，

所以截面面积为［半］兀=|兀，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥O-A3c为正四面体，结

合正四面体的性质分析判断.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.直线0x-y+1=0的倾斜角为.

【答案】y

【解析】

【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出.

【详解】设直线氐-y+l=0的倾斜角为9.

由直线6％-丁+1=0化为>=若%+1,故tan。=6，

又e«o,句，故e=（,故答案为

【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为不+为+。=0（3/0）,那么直线的斜率为左=-2,

且左=tan。，其中。为直线的倾斜角，注意它的范围是（0,司.

14.己知A(l,l,0),3(0,4,0),C(2,2,2),则向量通在正上的投影向量的坐标是.

【答案】

【解析】

【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.

【详解】=(-1,3,0),AC=(1,1,2),AB-AC=-1+3=2,|AB|=VW,|AC|=V6,

所以向量福在衣上的投影向量的坐标是：

ABACAC_2(1,1,2)J112)

1彳・田=花丁二仁亏司•

故答案为:

15.在数列｛%｝中，囚=5,a“+i=4a“一3,若对任意的“wN”,左(4—1)22"-5恒成立，则实

数上的最小值________________.

【答案】3

64

【解析】

【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题

和数列的单调性的应用求出结果.

Q—1

【详解】由4+1=4%—3整理得%—1=4(%—1),即4=4,又％-1=4,

an~TY

故数列｛a“T｝是以4为首项，4为公比的等比数列，可得=

2几一5

不等式以%—1)22〃—5,可化为——,

4

令/(〃)=考丁，当时，/(«)<0；

4

当心3时，/5)>0,加+1)-仆)=/一手一了<°，

故当〃23时，/(九)单调递减，故/(〃)</(3)=2，

64

综上，f(jl)工--,

64

11

所以上2——，故化最小值为二.

6464

故答案为：--

64

22

16.把半椭圆：j+#=l(x»O)和圆弧：(尤—1)2+丁2=。2(%<0)合成的曲线称为“曲圆”，

其中点尸(1,0)是半椭圆的右焦点，4,4分别是“曲圆”与X轴的左、右交点，用,为分别是“曲

圆''与y轴的上、下交点，已知/用用2=120°,过点厂的直线与“曲圆”交于P,Q两点，则半

椭圆方程为(x>0),AAP。的周长的取值范围是.

22

【答案】①.?+g=l②.(6网

【解析】

【分析】由椭圆的焦点坐标以及NgEB2=120°,可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半

椭圆方程；易知A是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点R的直线与曲圆可得P,Q,在直线转动

的过程中由尸，。的位置可得三角形的周长的取值范围.

【详解】解：S(x-1)2+/=a2(x<0),令y=0,可得％=1-〃以及4(一1一。,。)，

再由椭圆的方程及题意可得43,0),为(°/)，4(。，—。)，

由46/5=120。，可得2=也，

C

由歹(1,0)可得6=石，

所以Q=2,

22

所以半椭圆及圆弧的方程分别为、+4=1(%>0),(x—1)2+V=4(%<0),

所以A(T，0),AQ,0),B[(0,-病,8式0,回

可得A相当于椭圆的左焦点，

△APQ的周长为PF+PA.+A.Q+QF,

当尸从4(不包括4)向与运动时，PA+PF=2a=4,

当。在y轴右侧时，AQ+Q尸=2。=4,所以这时三角形的周长为8,

当P从当向A运动时，Q在第四象限，则AQ+Q尸=2。=4,旌+/招＜2厂+4耳=2+a=4,

这时三角形的周长小于8,

当尸运动到A时，Q在4处，不构成三角形，三角形的周长接近2AA=6,

由曲圆的对称性可得尸运动到x轴下方时，与前面的一样，

综上所述，△APQ的周长的取值范围为（6,8].

22

故答案为：+=1；（6,8].

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.设正项数列｛%｝的前项和为S“，4=1,%=4,且满足

2lgan=lga“+]+lga,-》2,〃eN*）.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若么=（〃+l）（i；24+l）,且数列也｝的前〃项和7需求〃的信

【答案】（1）=2"T（〃WN*）

（2）99

【解析】

【分析】（1）由等式lg%=lg%+i+lg%T（〃22,〃eN*）,得到端=,证明了数列｛%｝

是等比数列，求出公比，写出数列｛%｝的通项公式即可；

（2）首先将数列｛4｝的通项公式代入2=（〃+]）（[；a+]）,求出数列｛2｝的通项公式，裂

项相消法求其前〃项和7；=——即可.

100

【小问1详解】

由21gan=lgan+1+lgtz„_1(n>2,neN*),

得。“>0,Iga：=lg(—)，则an=。"-4+1，

故正项数列｛%,｝为等比数列，

由于。］=1,%=4,贝a；—3=4,

则%=2或〃2=-2(舍去)

故公比4=&=/=2,

所以凡=1X2"T=2"T("WN*)；

【小问2详解】

,1]_j___1_

由(1)得：h,=----------

(“+I)(log24+1)«(«+1)-nn+1

11,1

所以r=1-----1----------1-----1------------=1---------

223nn+1n+1

99199

又TJF，得1一」7=胃，解得〃=99・

n100〃+1100

18.已知圆C的圆心在直线x—2y=0上，且与y轴相切于点(0,1).

(1)求圆。的方程；

(2)若圆C直线/：x—y+〃z=0交于/,6两点,,求0的值.

从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：

条件①：ZACB=120°；

条件②：|AB|=2G.

【答案】(1)(x—2y+(y—I)?=4

(2)选择见解析，后-1或—亚—1

【解析】

【分析】(1)设圆心。(。力)，易知a=2b,由圆C与>轴相切于点(0』)，可求a力以及小写

出圆C的方程即可.

(2)所给的两个条件，均可得C到直线/的距离d=l,结合点线距离公式即可求加的值.

【小问1详解】

设圆心坐标为半径为r.

由圆C的圆心在直线x—2y=。上，知：a=2b.

又•.•圆。与＞轴相切于点(0,1),

0=1,a=2,则r=|a—0]=2.

:.圆C的圆心坐标为(2,1),则圆C的方程为(％—2)2+(y—炉=4.

【小问2详解】

如果选择条件①：ZACB=120°,M|G4|=|CB|=2,

|2-l+m|

圆心C到直线/的距离d=l,则4==1>解得tn——1或—J5-1-

Vi+T

如果选择条件②：|AB|=2百，而|G4|=|CB|=2,

|2-1+/7?|

...圆心C到直线/的距离d=l,则1==1,解得m-—1或——1.

VT+T

19.第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，

这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了

顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如

图频率分布直方图.

频率

(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；

(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人,

再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.

【答案】(1)平均年龄43.5岁，第75百分位数为52.5

(2)0.9

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1,可求得a值，根据频率分布直方

图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.

(2)根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a,b,服务组抽取3人，设为4B、C,列出综

合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.

【小问1详解】

由题意得(0.015+0.025+a+0.02+0.01)xl0=l,解得。=0.030,

所以100名志愿者的平均年龄为

25x0.015x10+35x0.025x10M5x0.03xl0+55x0.02xl0+65x0.01xl0=43.5岁，

因为0.015x10+0.025x10+0.03x10=0.7<0.75,

0.015x10+0.025X10+0.03xl0+0.02x10=0.9>0.75,

所以第75百分位数位于［50,60)内，设第75百分位数为x,

则0.7+(x—50)x0.02=0.75,解得x=52.5,

所以第75百分位数52.5

【小问2详解】

40

医疗组抽取人数为5义-------=?人,设为a,b,则服务组抽取5-2=3人，设为4B、C,

40+60

5人中选取3人组成综合组，情况可能为A),(a,b,8),(a,b,C),(a,A,3),(a,AO,

(a,B,C),也A,B),(b,A,C),也B,C),(AB,C),共10种,

至少有1人来自医疗组的情况为

(a,b,A),(a,b,A,A,C),(a,B,C),(b,A,B),(b,A,C),(b,B,C),共9种，

9

所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率P=—=0.9

10

20.已知双曲线的渐近线方程为y=±gx,经过点疗).

(1)求双曲线的方程；

(2)已知直线y=Y3x-2与双曲线的右支交于46两点，且在双曲线的右支上存在点C,使

-3

得宓+砺=加灰求加的值及点。的坐标.

【答案】（1）^i-£=i

123

（2）777=4,（4石,3）

【解析】

【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解；

（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点。的坐标及〃z.

【小问1详解】

因为双曲线的渐近线方程为y=±gx,

2

所以可设双曲线的方程为V—[=X,

代入P（2遍,G）可得，3-y=2,解得；l=—3,

所以双曲线方程为＞2—t=_3,

即双曲线的方程为：£—£=i.

123

【小问2详解】

设A（%，%），3a2M，°（尤o，%），

因为出+无=相反，则再+々=如0，%+%=加%，

’69

丁=5尸2

由直线与双曲线方程联立可得，＜

22

土-匕=1

1123

消元可得：炉―16氐+84=0，△=（-16月）2—4x84=432〉。,

二%+%=16#）,---X+%=166—4=12,

:.mx0=16^,my0=12,

.=4出

%，解得%=46，%=3，

22u

①一&=1

123—

C^4^/3,3j,m=4-.

21.如图，在梯形A3CD中，ABI/CD,AD=DC=BC=1,ZABC=60°,四边形ACFE

为矩形，平面ACFE_L平面ABCD,CF=1.

（1）证明：平面ACKE；

（2）设点M在线段上运动，平面心LB与平面FCB的夹角为氏求cos。的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证得3cl平面ACFE；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得cos。的取值范围.

【小问1详解】

在梯形A3CD中，因为A3〃C£>,AO=DC=CB=1,ZABC=60°

所以A8=（lxcos60°）><2+1=2,所以AC?=AB?+8。？一2AB•BC-cos60。=3，

所以Afi2=AC2+BC2,所以8C±AC.

因为平面ACEE_L平面ABC。，平面ACEEc平面A3CD=AC,

因为3Cu平面ABC。，所以平面ACEE.

【小问2详解】

由（1）可建立分别以直线C4,CB,C尸为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系,

令尸则。（0,0,0）,4（"0,0）,3（0,1,0）,河（40,1）.

AB=（-A1,O）,W=（2,-l,l）.

设为=(x,y,z)为平面A