2024北京某中学初一（下）期中数学试卷（附答案）

2024北京一七一中初一（下）期中

数学

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（）.

A.2,4,5B.6,8,11C.5,12,12D.1,1,72

2.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）.

3.下列不等式一定成立的是（）.

-42

A.5a>4aB.x+2<x+3C.-a>-2aD.—>—

aa

4.等腰三角形的一边为4,另一边为9,则这个三角形的周长为（）.

A.17B.22C.13D.17或22

5.如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为（）.

-1012

A.—1<xW1B.-1<X<1C.x〉—1D.xW1

6.等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）.

A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°

7.下列从左到右的变形，是分解因式的为（）.

A.x?-尤=x（x-l）B.a（a-b）=a2-ab

C.（a+3）（a-3）=a?—9D.x2—2x+1=—2）+1

［（X+2）-3〉0

8.不等式组2、的解集是x〉4,那么比的取值范围是（）.

x>m

A.冽<4B.m<4C.冽24D.m>4

9.如图，将Rt448C绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△/Rc，连接应4,，若Zl=20。，则4的度

数是（）.

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A

A.70°B.65°C.60°D.55°

10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点”的坐标为（1,百），〃为坐标轴上一点，且使得

为等腰三角形，则满足条件的点/的个数为（）.

A.4B.5C.6D.8

二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）

11.（任选一题作答）

A.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设.

B.若关于x的不等式3+1）》＞。+1的解集为x〉l,则。的取值范围是.

12.某景点拟在如图的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为100米，则荷塘周长为米.

13.一次函数了=-3无+。和了=b+1的图象如图所示，其交点为尸（3,4）,则不等式（3+幻无》b-1的解集

是.

14.如图所示，在平面直角坐标系中，△CM4,是边长为2的等边三角形，作△44名与△"在关于点

吕成中心对称，再作△鸟45，与△吕关于点鸟成中心对称，如此作下去，则△员"4“+1鸟”+1（〃是

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正整数）的顶点4„+i的坐标是

“244

三、解答题（共10小题，计78分，应写出相应的解答过程）

15.（每题4分，共8分）解下列不等式或不等式组，并将解集在数轴上表示出来.

（,1）4无+526x-3.

x-3（x-2）W4

16.（6分）分解因式（1）-3ma3+6ma2—12ma-

（2）6p（p+q）-4q（q+p）.

17.（6分）如图，在10x10正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位.将△48C向下平移4个单

位，得到的△N'8'C';将△/RC'绕点C'顺时针旋转90°,得到的△/R'C'；请你画出△到3'C'和

/\A"B"C'■（不要求写画法）

\x+y=-7—m

18.（8分）已知方程组’,,的解满足为x为非整数，歹为负数.

[X-y=l+3m

（1）求机得取值范围.

（2）在根的取值范围内，当机为何整数时，不等式2〃?x+x<2〃?+l的解为x〉l.

19.（6分）作图题：请尺规作图，不写做法，保留作图痕迹.已知△/8C,在3c边上求作一点尸，使

4P最短.

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A

20.（8分）把△4BC经过平移后得到△/Rd,已知44,3）,5（3,1）,4（「I）,C'（2,0）.

（1）求/与C的坐标.

（2）求△4BC得面积.

21.（8分）如图，在中，ZACB=90°,CDJ.4B于点D.

（1）求证：NACD=NB.

（2）若如1平分NC43分别交CD、BC于E、F,求证：ZCEF=ZCFE.

22.（8分）某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg以上（含

3000kg）的顾客采用两种销售方案.甲方案：每千克9元，有基地送货上门；乙方案：每千克8元，

有顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元.

（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额了（元）与所购买的水果量Hkg）之间的函数关系式，并写书

自变量x的取值范围.

（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由.

23.（8分）如图，ZX/BC中，ZJ8=10°,ZACB=20°,AB=4cm,△48C逆时针旋转一定角度后与

△ADE重合，且点C恰好为AD的重点.

（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数.

（2）求出/胡E的度数和空的长.

24.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点40,2）,△/可为等边三角形，P是x轴上一个动点

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（不与原。重合），以线段近为一边在期中右侧作等边三角形△/P。.

（1）求点8的坐标.

（2）在点P的运动过程中，43。的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.

（3）连接。。，当00HA8时，求尸点的坐标.

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参考答案

1.【答案】B

【解析】本题主要考查勾股数的概念.

A项，因为62+82210，所以这三条线段不能组成直角三角形.故A项不符合题意.

B项，因为F+12=2=（后了，所以这三条线段能组成直角三角形.故B项符合题意.

C项，因为22+42/52,所以这三条线段不能组成直角三角形.故C项不符合题意.

D项，因为52+122^122,所以这三条线段不能组成直角三角形.故D项不符合题意.

故本题正确答案为B.

2.【答案】C

【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断根据中心对称图形的概念寻找对称中心，图形绕对称

中心旋转180。后与原图形重合.

3.【答案】B

【分析】不等式一定成立，表示无论。取什么值，不等号的方向都不会改变，据此分析各个选项，即可确

定正确答案.

【解析】A、5a>4〃，若。=0,则5a=4°,所以A不是一定成立的；

B、x+2<x+3,移项合并得2<3,恒成立；

C、-a>-2a,若。=0,则-a=-2。，所以C也不是一定成立的；

42

D、若。>0,则4<2,此时原不等式不可能成立.

aa

【点评】本题根据不等式的基本性质，找出恒成立的不等式.解此类题，可以通过举出反例的方法来进行

否决.

4.【答案】B

【解析】本题主要考查三角形的三边关系.

三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

由题意可知，该等腰三角形第三边为4或9.

当第三边为4时，不符合三角形的三边关系；

当第三边为9时，符合三角形的三边关系，

所以该等腰三角形第三边为9,周长为4+9+9=22.

故本题正确答案为B.

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，得-1<XW1,

所以A选项是正确的.

根据每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,》向右画；<,《向左画），可得答案.

6.【答案】B

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【解析】分80。角是顶角与底角两种情况讨论：

①80。角是顶角时，三角形的顶角为80。；

②80。角是底角时，顶角为180。-80。X2=20。.

综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80。或20。.

故选B.

7.【答案】A

【解析】A、X?-尤是一个多项式，x(x-l)是两个整式的乘积，且等式左右两边相等，故选A.

B、结果是多项式，不可选.

C、(a+3)(。-3)=矿-9的结果是多项式，不可选.

D、最终结果没有化成整式乘积的形式，故不选.

8.【答案】A

【解析】解：：；(x+2)-3>0,

解之得x>4,

而》>加，

并且不等式组解集为x>4,

加W4.

所以A选项是正确的.

9.【答案】B

【解析】因为△/8'C是由△NBC旋转得到的，

所以Z8=NA'B'C，ABAC=NB'A'C，AC=A'C■

因为N/C4'=90°，

所以ZCAA'=ZCA'A=45。，

因为Nl=20。，

所以ZCA'B'=ZCA'A-Zl=45°-20°=25°，

所以Z8=ZA'B'C=90°-ZCA'B'=90°-25°=65°•

故本题正确答案为B.

10.【答案】C

【解析】本题主要考查等腰三角形的性质和图形与坐标.

如图1所示，分别以。、/为圆心，04长为半径画圆，与坐标轴交于5个点，分别为M—M3、

M5,满足△必必为等腰三角形；

连接04,作04垂直平分线，与坐标轴交于2个点，分别为“2、M6.

综上所述，满足题意的点M个数为6,分别为M3、〃4、M$、M6,

它们的坐标情况如图2所示.

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图2

二、填空题(共4小题，每小题3分，满分12分)

11.【答案】A.一个三角形中有两个角是直角

B.a<—1

【解析】A.用反证法证明命题“一个三角形中不能由两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角

是直角.

因此，本题正确答案是：一个三角形中有两个角是直角.

根据反证法的第一步是从结论的反面出发进而假设得出即可.

B.解：：不等式3+1口>。+1的解集为x<l,

••a+1<0,

解得。<-1.

故答案为：a<—1.

12.【答案】200m

【解析】解：荷塘中小桥的总长为100米，

・•・荷塘周长为：2xl00=200(m),

因此，本题正确答案是：200m.

13.【答案】

【解析】解：・・•一次函数y=-3%+6和>=近+1的图象交点为。(3,4),

・•・当x23时，左x+12-3x+b,

即(3+k)x,

・•・不等式(3+左—1的解集为x23.

因此，本题正确答案是'23.

14.【答案】(4«+l,V3)

【解析】解：由题意，因为△O&瓦是边长为2的等边三角形，

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所以三角形的高为2xsin6(T=6，

即点4的坐标为4(1,6).

根据中心对称的性质可知，所有的三角形都是全等的，

即点4，4，4，…，4,用的纵坐标都为

因为点4的横坐标为5,点4的横坐标为9,

所以可知点4洲的横坐标为4"+1,

故点4什1的坐标为(4〃+1,6).

三、解答题(共10小题，计78分，应写出相应的解答过程)

15.【答案】(1)xW4

(2)lWx<4

【解析】解：(1)移项得4x-6x2-3-5,

合并得-2x2-8,

系数化为1得xW4,

用数轴表示为：

1111111111I

-5-4-3-2-1012345

x-3(x-2)W4①

(2)〈l+2x)*[②【注意有①②】

解①得

解②得x<4,

所以不等式组的解集为1Wx<4,

用数轴表示为：

-2-101234567*

16.【答案】见解析

【解析】解：(1)-3ma3+6ma2-12ma

=-3ma(a2-2a+4).

(2)6Mp+4)-4q(q+p)

=2(p+q)(3p-2q).

17.【答案】见解析

【解析】如图所示：

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\x+y=-7-m

【解析】解：（1）将,°中的两方程进行加减消元,

[x-y=l+3m

x=m-3

可得

y=—2m—4

因为xWO,y<0,

加一3W0

所以可得

-2m-4<0

解得-2<m3,

所以加的取值范围是-2〈加W3.

（2）将不等式2加x+x<2加+1整理，得（2加+l）x<2加+1,

因为其解集为x>l，所以2加+1<0,

解得冽<-?，

2

所以一2<加<一工.

2

结合加取整数，可得加=-1,

即当加=-1时，不等式2加x+x<2加+1的解集为x>l.

19.【答案】见解析

【解析】解：如图所示：。。即为所求的外接圆.

20.【答案】见解析

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【解析】(1)解：•••把△/BC经过平移后得到△/g'c',

3(3,1)的对应点是笈(1,一1),

8点向左平移2个单位，再向下平移2个单位，

•；”(4,3)的对应点A'的坐标是(4-2,3-2),即/(2,1),

C'(2,0)的对应点C的坐标是(2+2,0+2),即(4,2),

答：4,C的坐标分别是(2,1),(4,2).

(2)解：过B作于。，

•.•4(4,3),C(4,2),

AC_1_x轴，

；.4C=3-2=1,BD=4-3=1,

：.AABC的面积是Lcx3O=Lxlxl=L

222

答：△ABC的面积是1.

2

21.【答案】见解析

【解析】证明：(1)VZACB=90°,。。_148于。,

AZACD+ZBCD=90°,ZB+ZBCD=90°,

NACD=NB；

(2)在RtZ\/FC中，ZCFA=90°-ZCAF,

同理在RtAAED中，NAED=90°-ZDAE,

又：4F平分NC48,

ZCAF=ZDAE,

ZAED=ZCFE,

又：NCEF=NAED,

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NCEF=ZCFE.

22.【答案】见解析

【解析】解：(1)昨=以。》3000),【注意有文字】

%=8x+5000*23000).【注意有文字】

(2)当阵=%时，即9x=8尤+5000,【注意有文字】

计算得出x=5000.

.•.当x=5000千克时，两种付款一样，

当阵<y乙时，有【注意有文字】

卜》3000

19x<8x+5000'

计算得出3000Wx<5000.

.•.当3000Wx<5000时,选择甲种方案付款少.

当阵乙时，有x>5ooo,【注意有文字】

.♦.当x>5000千克时，选择乙种方案付款少.

方法二：图象法

作出它们的函数图象(如图)

y甲=9x

A一元）>乙=8x+5000

50000-

（5000,45000）

40000-

30000-

20000-

10000

30004000,十士、

10002000'―'50006000>x（千克）

0

由函数图象可得，当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少;

当购买量等于5000千克时，两种方案付款一样；

当购买量大于5000千克时，选择乙方案付款最少.

23.【答案】见解析

【解析】解：(1):△/BC逆时针旋转一定角度后与△4OE重合，/为顶点，

旋转中心是点

根据旋转的性质可以知道：

ZCAE=ZBAD=1800-ZB-ACB=150°,

二旋转角度是150。；

(2)由(1)可以知道：

ZBAE=360°-150°x2=60°，