2024-2025学年人教版高一物理必修第二册 竖直面内的圆周运动（轻绳与轻杆模型）解析版

竖直面内的圆周运动（轻绳与轻杆模型）

【提升01轻绳模型】

1.如图所示，甲图中小球仅受绳拉力和重力作用，乙图中小球仅受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做

圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”。

轻绳模型

弹力特征在最高点弹力可能向下，也可能等于零

受力示意图"eg

N

动力学方程F-\-mg=m—

r

临界特征b=0,即mg=M,得0=3J,是小球能否通过最高点的临界速度

2.小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系

（1）。=丫'3时，7咫=病.即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力（或轨道的压力）为零。

F

『时，即重力大于小球所需要的向心力，小球不能通过最高点。

r

■_1

（3）。>1插寸，mg<m-,即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力（或轨道的支持力），重力

和拉力（或轨道的支持力）的合力充当向心力，即，咫+尸=利".

r

【学霸练01-轻绳模型】2024年五一小长假期间，某同学随父母一起来到达州市宣汉县巴山大峡谷景区体

验了悬崖秋千，该同学坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，则（）

A.秋千对该同学的作用力大小等于其自身重力

B.该同学所受的合外力不为零

C.该同学此时的速度为零，加速度也为零

D.此时秋千的钢绳所受的拉力最大，最容易断裂

【答案】B

【详解】AB.该同学坐在秋千上摆动到最高点时，秋千对该同学的作用力大小等于其自身重力沿半径方向

的分力，即秋千对该同学的作用力大小小于其自身重力；该同学所受的合外力等于其自身重力沿切线方向

的分力，不为零，故A错误，B正确；

C.该同学此时的速度为零，由于该同学所受的合外力等于其自身重力沿切线方向的分力，所以加速度不为

零，故c错误；

D.设绳子与竖直方向的夹角为9,根据牛顿第二定律可得

I-mgc（^ft=m—

r

可得

T=-

在最高点时，速度最小，6最大，则秋千的钢绳所受的拉力最小，最不容易断裂，故D错误。

故选Bo

【学霸巩固01】（多选）如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点。在竖直面内做圆周运动,

小球经过最高点时的速度大小为v,此时绳子的拉力大小为FT，拉力巧与速度的平方仅的关系图像如图乙

所示。图像中的数据。和b,包括重力加速度g都为已知量,假设小球质量为机，则以下说法正确的是（）

A.a=2gr

br

C.D.利用数据a、万和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径

am

【答案】BD

【详解】在最高点时由牛顿第二定律可知

解得

•ng

当产产0时

a=v2=gr

当廿二2〃时

b=Fr=mg

可得

可得小球的质量

b

iw,一

g

故选BDo

【提升02轻杆模型】

1.如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球仅在重力和杆（管道）的弹力作用下在竖直

平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”。

轻杆模型

弹力特征在最高点弹力可能向下，可能向上，也可能等于零

受力示意图

♦mg?m*

•（）*0i0

动力学方程—

r

临界特征0=0,即/向=0,此时尸=mg

。=、,以的意义户表现为方向向上的支持力还是方向向下的拉力（或压力）的临界点

2.小球在最高点时杆上的力（或管道的弹力）随速度的变化

时，〃吆=/-.即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆（或管道）与小球间无作用力。

r

a__r—二

（2）0<igr时，mg>ni-t即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力耳，mg-F=m,即厂二

r，

I*-、

mg—m-,0越大，尸越小。

（3）0>lgr时，mg<m^t即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力（或压力）凡重力和拉力

（或压力）的合力充当向心力，mg+F=nv^-,即尸=加三一mg,。越大，尸越大。

rr

【学霸02-轻杆模型】如图所示，质量为1.6kg、半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，

小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为

mA=1kgmB=2kg»某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为VA=3m/s,此

时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小均为（取g=10m/s2）（）

A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s

【答案】B

【详解】对A分析，根据牛顿第二定律有

r

可得，圆管对小球A的弹力为

%=28N,方向向上

则小球A对圆管的弹力为

F,=FA=28N,方向向下

对圆管分析，则有

F1=Fl+mg

解得，则小球B对圆管的弹力为

F,=44N,方向向上

则圆管对小球B的弹力为

尸B=尸2=44N,方向向下

对小球B分析，有

R♦fg-小

解得，小球B的速度为

vB=4m/s

故选Bo

【学霸巩固02】如图所示，半径为R的鼓形轮可绕固定的光滑水平轴。转动。在轮上沿相互垂直的直径方

向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为机的A、B、C、D,4个小球，球心与。的距离均为2尺现让鼓形

轮匀速转动，若某时刻8、。两球所在直杆恰好位于水平方向，小球B的速度大小为V,不计空气阻力，重

力加速度为g,下列说法正确的是（)

A.鼓形轮的角速度为〃B.杆对小球C的作用力一定竖直向上

C•杆对小球D的作用力为与D.杆对小球A的作用力一定大于mg

【答案】D

【详解】A.鼓形轮的角速度为

故A错误;

B.小球C所需的向心力大小为

2#

若

m—＞呻

则杆对小球C的作用力竖直向下，故B错误;

C.对于小球D,竖直方向有

Fy=mg

水平方向有

则杆对小球D的作用力为

故C错误；

D.对于小球A,根据牛顿第二定律可得

V

r.-iwR=iw—>0

可知杆对小球A的作用力一定大于mg,故D正确。

故选D。

素养提升

1.（23-24高一下•河南南阳•期中）如图所示，一位游客沿水上乐园的滑梯下滑，当滑至尸点时恰好脱离滑

道。己知滑道的段为一段处于竖直面内的半径为R的圆弧，。点为圆弧的圆心，连线竖直，。尸与

的夹角为a,重力加速度为g,由此可知该游客运动至尸点时的速度大小为（）

【答案】C

【详解】依题意，游客在尸点时，有

ntgcosa-m—

解得

t-J/iRcina

故选Co

2.（23-24高一下•浙江杭州•期中）2022年3月23日15：40分中国空间站第二次授课正式开始，在本次

授课中宇航员王亚平、叶光富向我们展示了水油分离试验。如图宇航员叶光富正用手握住绳子的一端并将

装有水油混合物的瓶子系在另一端，让其在竖直平面内做圆周运动，通过离心作用将水油分离。等效模型

如图。假设当瓶子运动到最高点时速度为V,做圆周运动的半径为厂，水油混合物的及瓶子的总质量为出

则此时绳子的拉力为（）

1WTD,E丁mt

A.------m%B.卜=--+J卜=—D.0

【答案】C

【详解】因空间站内的物体处于完全失重状态，则当瓶子运动到最高点时绳子的拉力

=--

故选Co

3.（23-24高一下•新疆伊犁,期中）如图所示，用长为L=lm的轻质杆连着质量为机=lkg的小球在竖直平面

内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）

A.若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点速率为lm/s

B.小球在圆周最高点时所受的向心力可能仅由重力提供

C.小球过最低点轻杆对小球的拉力可能小于小球的重力

D.小球在最高点时轻杆受到作用力不可能为零

【答案】B

【详解】A.若小球刚好在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时，由于轻杆能对小球提供支撑力，可知

速率为零，选项A错误；

BD.小球在圆周最高点时所受的向心力可能仅由重力提供，此时轻杆受到作用力为零，此时的速度满足

mg=m

选项B正确，D错误;

C.小球过最低点时根据

可知，轻杆对小球的拉力一定大于小球的重力，选项c错误；

故选Bo

4.Q3-24高一下,江西萍乡•期中）如图所示，长为2nl的细绳，上端系在一高架天车上，下端拴一质量为20kg

的重物。天车与重物一起以4m/s的速度匀速运动，当天车突然急刹车并停止运动时，取g=10m/s"下列

说法正确的是（）

|甲________|

□

A.重物所受合力为0B.重物处于失重状态

C.重物的加速度为2m/s2D.绳子的拉力为360N

【答案】D

【详解】A.当天车突然急刹车并停止运动时，重物因为惯性会继续做圆周运动，停止瞬间合外力提供向心

力，合力不为零，故A错误；

B.当天车突然急刹车并停止运动时，重物向心加速度竖直向上，则处于超重状态，故B错误；

C.重物的加速度为

a■—"

R

故c错误；

D.根据牛顿第二定律

T-mg=ma

解得

T=360N

故D正确。

故选Do

5.（23-24高一下•河北•期中）如图甲所示，质量为M的人站在体重计上，手持轻绳一端，另一端系着质

量为机的小球。小球在竖直平面内做半径为乙的圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点。用频闪相机

拍出小球运动的轨迹如图乙所示，6两点分别为轨迹的最高点和最左侧点，贝M）

b

甲

乙

A.小球运动到最高点的速度为零

B.小球在°、6两点时，体重计示数相同

C.小球运动到最低点时体重计的示数最小

D.小球运动到b点时，人不受摩擦力的作用

【答案】B

【详解】A.绳子只能产生拉力，为使小球做完整的圆周运动,小球在最高点的向心力大小应该满足

则可知小球在最高点的速度大小满足

当小球在最高点的速度为gL,故A错误；

B.小球在a、6两个位置时，竖直方向的加速度均为g,小球处于完全失重状态，体重计示数相同，故B正

确；

C.小球在最低点时，绳子拉力最大，体重计示数最大，故C错误。

D.小球运动到6点时，绳子对人有向左的拉力，故人应受到向右的摩擦力，D错误

故选Bo

6.（23-24高一下•河北邢台・期末）如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道。一质量

为m的游客坐在座椅上随过山车一起匀速转动，当游客经过圆轨道最低点时，对座椅的压力恰好为自身重

力的2倍，重力加速度大小为g,游客及座椅整体可视为质点，则游客经过圆轨道最高点时（）

A.速度大小为历B.处于超重状态

C.处于平衡状态D.向心力大小为2mg

【答案】A

【详解】A.当游客经过圆轨道最低点时，有

其中

%=F=2mg

解得

由于过山车匀速转动，因此游客经过圆轨道最高点时速度大小为gR,选项A正确;

BC.游客经过圆轨道最高点时有竖直向下的加速度，处于失重状态，选项BC错误；

D.结合前面分析可知游客所需向心力大小为

选项D错误。

故选Ao

7.（23-24高一下•河北保定•期中）建筑工地上有一种小型打夯机，其结构原理如图所示，一个质量为M

的支架（含电动机）上有一根长为L的轻杆，一端固定一个质量为机的铁块（视为质点），另一端固定在

电动机的转轴上。电动机带动铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，当转动的角速度达到一定数值时，支架

抬起然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。若重力加速度为g,空气阻力不计，贝1（）

A.铁块做圆周运动的线速度始终不变

B.铁块转动到最低点时处于支架对地面的压力小于（M+，"）g

C.若使支架离开地面，则电动机的角速度仆」

D.若使支架离开地面，则电动机的角速度。〉八"‘"‘立

VmL

【答案】D

【详解】A.铁块做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向沿圆的切线，因此线速度不断变化，故A错误;

B.铁块转动到最低点时，有竖直向上的加速度，故杆对铁块的拉力大于其所受的重力，铁块处于超重状态,

即支架对地面的压力大于（M+机）g,故B错误；

CD.铁块转动到最高点时对支架有向上的拉力使其离开地面，支架刚离开地面时，对铁块的拉力有

T=Mg

其转动到最高点时，由牛顿第二定律可得

T+mg=m\!\TL

解得

1HU.

即若使支架离开地面，则电动机的角速度

,J（A/

e>2J------------

YntL

故C错误，D正确。

故选D。

8.（23-24高一下•河北邯郸•期中）如图甲所示为一种叫"魔力陀螺"的玩具，其结构可简化为图乙所示。铁

质圆轨道用支架固定在竖直平面内，质量为相、可视为质点的陀螺在轨道内、外两侧均可以旋转，半径均

为R,陀螺磁芯对轨道的吸引力始终沿轨道半径的方向，大小恒为6"g。不计摩擦和空气阻力，重力加速

度为go下列说法正确的是（）

A.陀螺在轨道内侧运动到最高点时的速度最小值为.，谦

B.陀螺在轨道内侧运动的过程中，无论速度取何值，均不会脱离轨道

C.当陀螺在轨道外侧运动时，只要速度不超过、声，即可保证其始终不脱离轨道

D,若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为二正，则其所受合外力的大小为2〃zg

【答案】B

【详解】A.陀螺在轨道内侧运动到最高点时，由于

/吸=6mg>mg

可知速度最小值可以为0,此时轨道弹力大小为

N=F^-mg=5mg

故A错误；

B.陀螺在轨道内侧运动的过程中，由于陀螺离开轨道只能做近心运动，而在最高点的最小速度可以为0,

所以无论速度取何值，均不会脱离轨道，故B正确；

C.当陀螺在轨道外侧运动时，在最低点的弹力刚好为。时，则有

_-V*

\=Smj?=*—

可得

可知要保证陀螺始终不脱离轨道，其速度不能超过厢"，故C错误；

D.若陀螺在轨道外侧运动到与轨道圆心等高处时速度为2gR,陀螺受到磁吸引力和轨道弹力处于水平方

向，重力处于竖直方向，则合外力的水平分力为

合外力的竖直分力为

Fy=mg

则所受合外力的大小为

F*■JF：*F：■>/5mg

故D错误。

故选Bo

9.（23-24高一下•湖南邵阳•期中）如图所示，我国男子体操运动员张成龙用一只手抓住单杠，伸展身体,

以单杠为轴做圆周运动。如图甲所示，张成龙运动到最高点时，用力传感器测得张成龙与单杠间弹力大小

为F,用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v,得到尸-V?图像如图乙所示。g取lOm/s"则下列说

法中错误的是（）

FN

650

°916v2/(m.s->)2

乙

A.张成龙的质量为65kg

B.张成龙的重心到单杠的距离为0.9m

C.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向上

D.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，张成龙受单杠的弹力方向向下

【答案】C

【详解】A.由图乙可知，当寸=0时，有

F=mg=650N

可得张成龙的质量为

m=65kg

故A正确；

B.由图乙可知，当v2=9m，s2时，F=0,则有

F=«­

可得张成龙的重心到单杠的距离为

V5八八

r»—・09m

K

故B正确；

CD.当张成龙在最高点的速度为4m/s时，设张成龙受单杠的弹力方向向下，根据牛顿第二定律可得

解得

F'=m-—mf-(6565(0N>0

可知张成龙受单杠的弹力方向向下，故C错误，D正确。

本题选错误的，故选C。

10.（2024高一•全国•专题练习）水流星是一项中国传统民间杂技艺术。杂技演员用一根绳子兜着两个碗,

里面倒上水，迅速地旋转着做各种精彩表演，即使碗口朝下，碗里的水也不会洒出来。用可视为质点的小

球替代水碗，可将水流星抽象为竖直平面内的圆周运动，轻质细绳长为L,重力加速度为g。小球通过最高

点时，绳对小球的拉力/与其速度的二次方彼的关系图像如图所示，图线与纵轴的交点坐标为a,下列说

法正确的是（）

a

O-------------------»F

A.利用该装置可以得出重力加速度*

B.绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的印户图线斜率更小

C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的卢-产图线斜率更小

D.绳长不变，用质量较小的球做实验，v2_p图线与纵轴的交点坐标变小

【答案】B

【详解】小球通过最高点时，有

r.呻=«—

可得

.L,

r■—Fc+gL

AM

结合丫2-尸图像可知

aL=a

解得重力加速度为

a

图像的斜率为

,L

k■一

则绳长不变，用质量较大的球做实验，得到的优-尸图线斜率更小，图线与纵轴的交点坐标与质量无关。

故选Bo

二、多选题

11.（23-24高一下•广西钦州•阶段练习）如图所示，长为乙的悬线固定在。点，在。点正下方有一钉子

C,OC距离为〈，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下

方时悬线碰到钉子，则小球的（

JC

。工

A.线速度突然增大为原来的2倍

B.角速度突然增大为原来的2倍

C.向心加速度突然增大为原来的2倍

D.悬线拉力突然增大为原来的2倍

【答案】BC

【详解】A.悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与球运动方向垂直，不改变小球线速度大小，故小球的线

速度大小不变，故A错误；

B.当半径减小时，由

"=一

知半径减小为原来的2倍，W变大，亚为原来的2倍，故B正确；

C.由

/

a=一

r

知半径减小为原来的；倍，a变大，a为原来的2倍，故C正确；

D.在最低点

故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，故D错误。

故选BCo

12.（2024・重庆•模拟预测）如图甲、乙所示为自行车气嘴灯，气嘴灯由接触式开关控制，其结构如图丙所

示，弹簧一端固定在顶部，另一端与小物块P连接，当车轮转动的角速度达到一定值时，P拉伸弹簧后使触

点A、8接触，从而接通电路使气嘴灯发光。触点8与车轮圆心距离为R,车轮静止且气嘴灯在最低点时触

点A、B距离为d,d<R,已知P与触点A的总质量为相，弹簧劲度系数为左，重力加速度大小为g,不计接

触式开关中的一切摩擦，小物块P和触点A、2均视为质点，则（）

接

触

式

开

关

能发光

置一定

其他位

发光，

低点能

灯在最

气嘴

A.

能发光

置一定

其他位

发光，

高点能

灯在最

气嘴

B.

.

为J3

角速度

的最小

速转动

车轮匀

发光，

嘴灯能

要使气

C.

YE及

，

'2，”

J3

速度为

最小角

动的

速转

轮匀

，车

直发光

嘴灯一

要使气

D.

】BCD

【答案

为

向心力

提供的

小需要

，最

析可知

进行分

整体

作为

触点A

P与

，对

发光

点能

最低

灯在

.气嘴

】AB

【详解

kd