2024-2025学年浙江省高二数学下学期5月期中检测试题（附答案）

2024-2025学年浙江省高二数学下学期5月期中检测试题（含答案）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知集合11J,则H-

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出集合43,再求交集即可.

【详解】因为/={x||x|<3}={x|-3<x<3},B={x>N|x2<11}={0,1,2,3},

所以4口8={0,1,2}.

故选：B.

22

2.双曲线£：土一上=1的渐近线方程为（）

936

A.y=~~xB.y=~~xC.y=+2xD.y=±4x

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.

22

【详解】由双曲线E：L—匕=1,可得。=3/=6,

936

所以双曲线的渐近线方程为y=+-x=±2%.

a

故选：C.

3.已知向量2=（1,2）,1=（3,加）,若ZJ_G+B）,则加的值为（）

A.-4B.4C.-6D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量a=(1,2),加=(3,加)，可得a=|<?|=5,a-b=3+2m»

因为a_L(a+6),可得a-(a+b)=a+a-b=5+3+2m=0>解得加=-4.

故选：A.

4.i为虚数单位，则l+i+i?+i3+…+[2024=()

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘方计算即可求解.

【详解】因为i"+i"i+ik+2+i"3=i*(1_1)+i*+i(1-1)=0,

所以l+i+F+F+…+i2"24=1+506x0=1.

故选：D.

5.已知正数x,y满足x+>=2,则/+/一町的取值范围是()

A.[1,4]B,[0,4]C.[1,4)D.[1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】根据基本不等式可得0〈孙<1,结合完全平方公式计算即可求解.

【详解】因为0<封《(―+-")-=],即0<xyWl,

4

当且仅当x=y=l时等号成立，

所以—+j?_孙="+))2_3孙=4-3xyG[1,4).

故选：C.

6.圆台的上底面面积为兀，下底面面积为9万，母线长为4,则圆台的侧面积为()

A.10兀B.20兀C.8TID.16兀

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知：上、下底面的半径，结合圆台的侧面积公式运算求解.

【详解】由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3,

所以侧面积为4(1+3)兀=16兀.

故选：D.

7.对于数列{4},设甲：{%}为等差数列，乙：4+(〃—则甲是乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式计算可证明充分性；由4+(〃-1)/用=〃%得％+〃%+2=5+1)%+1,

两式相减，结合等差中项的应用即可证明必要性.

【详解】充分性：若{4}是等差数列，

则ax+(n-l)a“+i=%+(〃-1)(%+=〃％+n(n-l)d=nan.

必要性：若％+(〃—1)%+i=nan,则%+nan+2=(n+1)%,

两式相减得〃4+2-(〃-D%+i=("+l)%+i，

即〃%+2+na„=2〃a,+i，所以{4}是等差数列.

所以甲是乙的充要条件.

故选：C.

8.袋子中装有5张编号分别为1,2,3,4,5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编

号之和为S,编号之积为T，则下列说法正确的是()

A.S是3的倍数的概率为0.4B.S是3的倍数的概率为0.6

C.T是3的倍数的概率为0.2D.T是3的倍数的概率为0.8

【答案】A

【解析】

【分析】利用列举法写出符合题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解.

【详解】样本空间：〃(。)=《=10个样本点，

S是3的倍数的情况包括{3,4,5},{2,3,4},{1,3,5},{1,2,3},共4个样本点，

所以其概率为0.4.

7是3的倍数的情况数为C：Cj=6,所以其概率为0.6.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若直线>=h与圆(x—2)2+(y+l)2=9相交于43两点，则的长度可能等于()

A.3B.4C.5D.6

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据直线过定点，可得即可根据圆的弦长公式求解.

【详解】设圆心C(2,—1)到直线>=丘的距离为d，

由于直线〉=区恒过原点，且|OC|=j22+(-1)2=囱，故

又屋+邑上=9,即4<|48区6,

4

故选：BCD.

10.己知私/JeR,则下列等式成立的是()

A.cos(a+P)•cos(a-7?)=cos2a-cos20

B.cos(cr+尸)•cos(a一尸)=cos2cr-sin2/?

C.sin(a+〃)•sin(a-cos2a-sin2/3

D.sin(a+/?)•sin(a-；0)=sin26z-sin2^

【答案】BD

【解析】

【分析】由两角差与和的正弦余弦公式及同角三角函数的平方关系化简即可得出判断.

【详解1对于AB,cos(a+P)•cos(a-J3)=(cosacos]3-sinasin(cosacos，+sinasin0)

=cos2a(l-sin2(3)-sin2asin20=cos2a-cos2asin2°-sin2asin2°

=cos2a-sin2p(^cos2a+sin2a^=cos2a-sin2/?,故A错误，B正确；

对于CD,sin(a+/?)•sin(a—/?)=(sinacos0-cosasin(sinacos(3+cosasin/?)

=sin2acos2(3-cos2asin2p=sin2tz(l-sin2尸)一cos2asin2(3

=sin2a-sin2asin2(3-cos2asin2(3=sin2a-sin2/3fsin2a+cos2a)=sin2a-sin2(3,故C错误,

D正确；

故选：BD.

1

11.下列定义在(0,+8)上的函数/(x)中，满足Vxe(0,+00),/(》)+/22/(1)的有()

x

x

A./(%)=4xB./«=

1+x2

C.f(x)=cosnxD./(%)=ex

【答案】ACD

【分析】对A、B、D：借助函数性质与基本不等式逐项计算即可得；对C：借助余弦函数的性质计算即可得.

4+4=22=2/⑴,

【详解】对A：f(x)=&，则/(》)+/

Iy/X

当且仅当x=l时，等号成立，故A正确;

1

VxX2x

对&仆)=中’则/⑴+/1+x2+

1+XH--

2

rX

当且仅当x=l时，等号成立，不满足条件，故B错误；

对C:7(x)=COS7LT,=-1=/(I),/(x)+/-故C正确;

对D：/(x)=ex,vxG(0,+QO),.,.x+—>2,/.—>2-x,

XX

••■/W+zf-Ve'+e">ex+e2r>2e=2/(1)，

当且仅当x=l时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(x+2y)5的展开式中//的系数为.

【答案】40

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式，直接计算即可得到结果.

【详解】(x+2yf展开式的通项公式为5+1=C)5-r(2yy=仁・2'室二/,

令5—r=3,则厂=2,所以//的系数为c>22=40.

故答案为：40.

22

13.已知过椭圆二+二=1伍〉6〉0)的右顶点A作直线/交了轴于点V,交椭圆于点N,若AZOM是

ab

等腰三角形，且pW|=2|M4|,则椭圆的离心率为

【答案】23段6

55

【解析】

代入椭圆的方程得到与=1,

【分析】根据题意，设N(M，必)，结合®W|=2|M4|,求得N

a25

再由离心率的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，由椭圆对称性不妨设/(a,0),M(0,a),且N(M，必)，

因为pW|=2|N4|,可得砺=2丽，可得(国,凹—a)=2(a—x”—M),

xx=2a-2%

可得<，解得西=子,％=三，即N

yl-a=-2y1

代入椭圆的方程，可得士+9亏=1,解得耳=！，所以e=£=J1—斗=坟.

99b2a25a\a25

故答案为：

5

14.若不等式孙+/+Z22左(x+y)z对任意满足y+z2x的正实数X,y,z均成立，则实数上的最大值

为.

【答案】V2--

2

【解析】

yZzz

【分析】先分离常数转化成求上+——的最小值问题，根据y+zNx把——放缩成——，再变形

zx+yx+y2y+z

y=2y+1_l_^就可以用基本不等式求最小值，即为上的最大值.

z2z2

【详解】因为X,y,Z为正实数，所以后《了('+y)+2=1+^^,因为y+z»x,

(x+y)zzx+歹

所以x+y<2y+z,即二一2J-,又上=2」+z_J_,

x+y2y+zz2z2

yzyz2y+zz1/r1

所以2■+----->-+------—+-------------->J2——.

zx+yz2y+z2z2y+z22

当且仅当y=正口z时上式最右侧等号成立.

2

故答案为：V2—

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=x2,g(x)=ex.

(1)求函数y=/(x)+g(x)在x=0处的切线方程；

(2)求函数y=42的单调区间和极值.

g(x)

【答案】(1)y=x+i

(2)单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-”,0),(2,+8),极大值为之，极小值为0

e

【解析】

【分析】(1)求出导函数可得切线的斜率，求出切点，再由直线的点斜式方程可得答案；

(2)利用导数判断出函数的单调性可得答案.

【小问1详解】

函数y=e*+x2,导函数y'=e'+2x,

所以在x=0处的切线的斜率为左=e°+0=l，

切点的纵坐标为e°+0=1，所以切点为(0,1)，

所以切线方程为〉T=x+0,即y=x+l；

【小问2详解】

函数导函数==x(2：x),

exex

由y'>0得0<x<2,V<0得x<0或x>2,

所以y=1单调递增区间为（0,2）,单调递减区间为0）,（2,+8）.

ex

r2/⑵4f（0）

所以y=土极大值为今长=下，极小值为今《=0.

16.已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球.

（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；

（2）记摸球的次数为随机变量X,求X的分布列和期望.

【答案】（1）-

6

（2）分布列见解析，-

3

【解析】

【分析】（1）由摸球三次后刚好停止摸球分析得，前两次摸到黑球第三次一定摸到白球，计算概率即可;

（2）分析得，X=l,2,3,求出的每个X取值的概率可得分布列，由期望公式可得期望.

【小问1详解】

摸球三次后刚好停止摸球，则前两次摸到黑球第三次一定摸到白球，则尸=2x'=L.

436

【小问2详解】

分析得X=1,2,3,

212211

P（X=l）=-=-,P（X=2）=-x-=-P（X=3）=-,

所以X的分布列为

X123

j_j_

P

736

17.如图，在正三棱柱48C-4凡G中，£为侧棱AB1的中点.

(1)求证：平面4EC，平面NCG4.

(2)若24=4与，求平面4EC与平面48cl所成二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【解析】

［分析Xi)根据等腰三角形三线合一、线面垂直的判定定理先证明少与4c中点的连线垂直于平面/CC14,

再用面面垂直的判定定理证明即可；

(2)先找出二面角两个平面的法向量，得出即是二面角的大小，从而求出结果.

【小问1详解】

连接ACX,交4。于点M,再连接EM、EA、EQ,

根据题意得，四边形幺4。。是矩形，则〃为4c的中点.

因为£为侧棱AB1的中点，所以5£=发£,

在RtAM4E和RdCBE中，两组直角边相等44=8C,8E=4E,

根据勾股定理得两条斜边相等，即4E=CE,所以EM，4。，同理可证

因为zq与4。交于点〃，zqu平面zee/1,^Cu平面

所以£加，平面ZCC14,

又因为ENu平面4EC,所以平面4ECL平面ZCC/1；

【小问2详解】

当AA,=4四时，三个侧面均为正方形，

由/G，4C,同(1)易证4。门西=反且都在面&EC内，

所以ZC］，面&EC,故场是面4EC的一个法向量，

HULL

由题设知：CC是面481G的一个法向量，且平面4EC与平面481G所成二面角是锐角，

由图知：所成二面角的大小为NZGC=45°.

18.如图，抛物线厂：/=2"（0>0）,河（2,1）是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动

直线4,4,设4与抛物线「相交于点48,，2与抛物线「相交于点C，D,当M恰好为线段45的中点时,

|AB|=26.

（1）求抛物线r的方程；

（2）求衣1•丽的最小值.

【答案】（1）/=2%

（2）12

【解析】

【分析】（1）设直线48：x—2=加3—1）,/（国,必）,5（々,左），联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达

定理，依题意可得夕加=1,再由弦长公式得到方程，解得P即可;

⑵根据数量积的运算律得到正•丽=|庆川加|+|忘.痴又即卜|倒=30+叫，同理可

再由基本不等式计算可得.

【小问1详解】

解法一*设直线AS:x-2=m（y-l）,A（x1,yl）,S（x2,y2）,

x=my—m+2

联立<得y2-2pmy+2pm-4p=0,

y2=2px

所以必+y2=20私％?2=2pm—4P.

又因为M(2,l)是AS的中点，所以21产=夕阳=i,

又|/同=J1+加2—8|=Vl+m2J(%+%区—4%取

=J1+冽2116p-4=2yj~6，

代入化简得(p—D(422—32+1)=0,解得夕=1.

故抛物线「的方程为/=2x.

解法二：设直线的倾斜角为。，再设A、8的坐标都为(2+%cos6U+%sin9),

代入抛物线方程得(1+1sin8)2=2,(2+，cos0),

化简得，2sin20+2z(sin0-pcos3)+l-4p=0.

2(sin^-/?cos^)1-477

则4+/2=-邛2

sin20sin20

因为M(2,l)是45的中点，所以％+/2=0,即2=tan6.

又因为2指=/「胃二纯正叵3，

sin0

.22

将s’11?6=]+鲁.=<7代入化简得(r—1)(4/_37+1)=0,

即0=1,所以抛物线「的方程为「=2x.

【小问2详解】

解法一：AC-DB=(MC-MA)-(MB-MD)

=MCMB-MAMB-MCMD+MAMD

=-MC-MD-MA-MB=\MC\-\MD\+\MA\-\MB\,

由(1)可得%+%=2加，yYy2=2加一4,

因为|疝H而卜J1+/26+加2卜_“

2

=(1+加2)|(^-1)(^2-1)|=(l+m)正必一(％+%)+1

=(1+/力2)12加一4-2加+1|=3(1+加2),

同理|祝H砺卜311+

m2

所以".丽=30+加2)+31+3]=3(2+加2+3]212,

当且仅当〃?=±1时，等号成立，即所求最小值为12.

AC-DB=(MC-MA)-(MB-MD)=-MC-MD-MA-MB，

—•—•3

==——,ABLCD，

sin6

jiji---►---►3

所以切的倾斜角为。一一或6+—,同理可求得-——,

22cos，0

即而丽=3+*之呼+后；=12,

sin20cos23sin23+cos20

ji37r

当且仅当，=」或。=卫时，等号成立，即所求最小值为12.

44

19.对于正整数wn,存在唯一的自然数a,b,使得加=a〃+b,其中aeN,0<b<〃/eN,我们记

a=D(m,n),b=M(m,n).对任意正整数i,定义i的生成数列为｛7⑺〃｝,其中

T(i\=

O«-l

(1)求。(2024,9)和"(2024,9).

(2)求｛7(100),｝的前3项.

(3)存在〃°,使得T(力。W0,且对任意“>〃0，7«)“=0成立.考虑丁(力。的值：当/(比。=1时，定义

2〃=〃

数列｛T⑺“｝的变换数列｛7'(力｝的通项公式为7'(力='°,当7(九=2时，定义数列｛TO｝

l

J\)n，〃W几0,

=%+1,

的变换数列｛7(，)"｝的通项公式为T'(z)=若数列｛〃«)"｝和数列｛T(J)“｝相同，则

0,n=1或〃>«0+1.

定义函数/(，)=),其中函数/«)的定义域为正整数集.

(i)求证：函数/⑴是增函数.

(ii)求证：f(/(/))=3z.

【答案】(1)£>(2024,9)=224,Af(2024,9)=8；

(2)2；(3)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据2024=224x9+8,结合a=。(加,社6=M(加,“)即可求解;

(2)由。=。(加,，)]=M(加,〃)和新定义分别求出？(100)],7(100)2,7(100)3即可；

(3)(i)由题意可知当〃〉〃。时T«)“=0,进而TO=D(M(i,3"),3"T)e｛0,l,2｝,根据

i=3"°-^(0„0++.••+37(Z)2+T(i\,结合作差法分类讨论当%<%、4="时/，上的大小

关系，即可证明；(ii)若数列｛7(力｝的变换数列为｛T(J)“｝,数列｛T(4)"｝的变换数列为「(£)“｝,即

k=3i.分类讨论丁(九=1、/(九=2情况下盯,左的数量关系，即可证明.

【小问1详解】

2024=224x9+8,所以0(2024,9)=224,M(2024,9)=8.

【小问2详解】

7(100]/(10°,3)”(100/)=1,

7(100)2/(1°°⑼”(1。0,3)=o,

丁(100)3=、(100,27)—M(100,9)=2

【小问3详解】

(i)对任意正整数i,总有M(，/)=0,且一定存在〃°,使得3"。-1>3

此时有川1,3"。)=/(/；3"。7)=/.，即当I〉人时，T(%=0.

因为0<M-3")<3",所以£>(M(z,3"),3"T)<0(3",3"-1)=3,

又M(M(z,3"),3"T)=M(z,3'T),所以/(z；3")=3,,-1D(M(z,3"),)+M(z,3"-1),

所以T(z)“=D(M(z,3,,),3"-1)e｛0,l,2).

因为j=M(i,3"o)=(M(z；3"o)_M(i,3"0T))+(M(i,3'oT)—M(z；3"L2))+-+(M(z；9)