2025届上海高三一模分类汇编：空间向量与立体几何（42题）解析版

专题08空间向量与立体几何（新题速递，42题）

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一、单选题

1.（24-25高三上•上海黄浦・期末）若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D,则直线A2

与⑺所成角的大小不可能为（）

A.30°B.45C.60D.90

【答案】A

【分析】由题意作图，根据正方体的几何性质，利用异面直线的夹角的定义，可得答案.

【详解】①由题意作图如下:

由图易知,OCD为等腰直角三角形，则直线A3与的夹角为45;

②由题意作图如下:

由图易知为等边三角形，则直线48与CO的夹角为60;

③由题意作图如下:

由图易知。因为CB//Q4,则直线A3与CD的夹角为90.

而不管怎么找顶点，都无法得到直线与C。所成角为30。.

故选：A.

2.（2024・上海长宁•一模）已知非零空间向量a,b和c，则下列说法正确的是（）

A.若a_Lb,a_Lc,则/〃cB.若。_LZ?,a_L4,则b_Z.c

C.若aLb,a〃c,则。〃eD.若aLb,a〃c,则6_Z,e

【答案】D

【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可.

【详解】若则6〃c或8与c不共线，故选项A与B错误；

若a_L6,a〃c,贝！l6_Z,e，故选项C错误，选项D正确.

故选：D.

3.（2024・上海静安•一模）我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖

般”.如图是一个水平放置的4BC,Cr＞，AB,/A=30,/2=45.现将Rt^ACD沿C。折起，使点A移动

到点A,使得空间四面体A8CD恰好是一个“鳖席”，则二面角A-CD-B的大小为（）

BD/

A.60°B.90C.arctan2D.arccos——

3

【答案】D

【分析】设CO=1,根据题意求出四面体的棱长，二面角4-8-3的平面角为44'/汨，求NA'1出的

三角函数值即可.

【详解】VABC中，CD±AB,ZA=30=45.

不妨设CD=1,则

空间四面体A3co是一个“鳖31”，则..ABC和A3。都是直角三角形,

若A'8>A£>,则Rt_A'BD中，ZA'DB=90,由勾股定理得A'5=2,

此时ABC不是直角三角形，不合题意；

所以A5<A。，在RtA'BD中，ZABD=9Q,由勾股定理得A8=0,

此时满足，ABC是直角三角形，ZABC=90,

由A;D_LCD,BD1CD,二面角A-CD-3的平面角为NADS,

RtABD中，tanZA'DB=及，cosZADB=。=J,

所以二面角4-。1）-_8的大小为21'出05"

3

故选：D.

4.（2024•上海奉贤•一模）在四棱锥S-ABCD中，若SA=xS8+ySC+zSD,则实数组（％y,z）可能是（）

A.(1,-1,1)B.(1,0,-1)C.(1,0,0)D.(1,—1,-1)

【答案】A

【分析】利用底面是平行四边形判断A,根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断B、C、D.

【详解】

对于选项A,若底面ABCD是平行四边形，设ACBD=O,则SA+SC=2SO=SB+SZ），

因此SA=S8+Sr)-SC，即(x,y,z)=(L-LD,故A正确;

对于选项B,若0,，/)=(1,0,-1),则无SB+ySC+zSO=SB-SO=DBwSA,故B错误;

对于选项C,若(x,y,z)=(l,0,0),贝l|xSB+ySC+zSD=S2wSA,故C错误；

对于选项D,若(尤,y,z)=(l,—l,-l),贝1］无5方+＞京？+28£)=53-5。-5。=(73-50,

但3CU平面5AQ,即SA,Sr）,CB不共面，因此SA=C3-SD不可能成立，故D错误.

故选：A.

5.（2024.上海虹口.一模）已知边长为2的正四面体A-BCD的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）

的球心为。，若空间中的动点P满足0P=x0C+y03+z0D,x、y、ze[0,1],则点P的轨迹所形成的几

何体的体积为（）.

A.J2B.—C..2百D.3

33

【答案】A

【分析】点尸的轨迹是以|。。,|。用,|。口为邻边的平行六面体，求出以|。4|0因为邻边的平行四边形面

积和点。到平面BOC距离，由柱体的体积公式即可得出答案.

【详解】空间中的动点尸满足OP=xOC+yO3+zO£）,x、y、ze[0,1],

则点P的轨迹是以|0。,|0卸,|0。|为邻边的平行六面体，

将正四面体A-BCD放入如图所示的正方体\BCXD-ABCR中，

则正四面体A-BCD的内切球心。为正方体的中心，

设正方体的棱长为。，所以4=2,所以°=夜，

以2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

,x/2V2A/2

所以吸0,何,网仓也⑹,C（0,V2,0）,A（A/2,0,0）,O

T'T'T7r

所以。2=]冬冬[]。。（李卓-等，=卜立,0,/,

=J6_

OB=一三‘

2

所以]_

3

所以sinZBOC=Vl-cos2ZBOC=3&

3

所以以|oc|,|o到为邻边的平行四边形面积为:

S=2x-•|OS|-1OC|sinZBOC=

2I2J

设平面BOC的法向量为”=（x,y,z）,

为小亚恪+区=。

222

则

取x=l,可得y=0,z=-l,所以“=(1,0,-1),£>B=(A/2,72,0),

鼠。4_立」

又因为点。到平面BOC距离为d=斤二&

以|0。,|。邳,|。。为邻边的平行六面体的体积为：V=S-4/=V2xl=V2.

故选：A.

6.（2024.上海宝山•一模）如图，正四棱柱的底面"CD边长为1,E为AD上任意一点，F

为CG中点，若棱GA上至少存在一点p使得尸ELPF,则棱长&A的最大值为（）

A.也

2

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，设出点尸、E、尸的坐标，结合已知条件得到方程w+2/=0,根据

方程解的情况求出"的取值范围即可求解.

【详解】根据已知条件，以。为坐标原点，DA.DC、分别为x、y、z轴的空间直角坐标系,

设正四棱柱的高为2人令E(〃?,0,0),—0』㈤,P(0,n,2h),

所以PE=(m,,-2/z),PF=(0,1-,

因为PE_L尸产,所以PE-P尸=0,IP-n(1-n)+(-2h)-(-/z)=0,

整理得：n2-n+2h2=0,因为棱CD上至少存在一点p使得PELM,

所以关于〃得的方程〃2.+2/=0,〃至少有一个解，

BPA=(-l)2-4xlx2/z2>0,整理得：1-8/?0,解得-孝井〃乎，

又因为立>0,所以所以棱长9的最大值为2〃=2?变变.

442

故选：A

7.(24-25高三上•上海浦东新•期末)设加、〃为两条直线，a、夕为两个平面，且。p=n.下述四个命

题中为假命题的是()

A.若机_La,则〃_zL”B.若mlla,贝！h"〃”

C.若且根//£,则加〃"D.若mHn,则"〃//或加〃£

【答案】B

【分析】选项A,利用线面垂直的性质，即可求解；选项B,在正方体中，通过取特例，即可求解；选

项C和D,利用线面平行的性质和判定，即可求解.

【详解】对于选项A,因为/3=n,所以“ua,又加J_a,所以加_1_”，故选项A是真命题，

对于选项B,如图，取平面ABCD为a,平面AOR4为夕，则直线〃为直线AD,取8月为直线机，

显然有机//1，但加与鼠异面，所以选项B为假命题,

DiC,

对于选项c,在a内任取不在直线〃上的一点M,过确定7,则7a=（，因为0i//a,所以加/4,

同理可得加/4，l2u/3,所以"4,又hu/33/3,故/"力，

又l、ua,a13=n,所以/"/〃，得到加〃九，故选项C为真命题，

对于选项D,因为c/3=n,所以wua,〃u/,若wa,因为加〃"，则机〃a,

若7“ua,易知ma0,又加〃〃，nu。,所以相〃尸，故选项D为真命题，

故选：B.

8.（2024・上海静安•一模）在四棱锥P-ASCD中，AB=（4,-2,3）,AD=（^l,l,0）,AP=（-6,2,-8）,则该四棱

锥的高为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】求出平面ABC。的一个法向量，再利用点到平面的距离公式即可得到答案.

【详解】设平面ABC。的一个法向量〃=（x,y,z）,

n•AB=4x—2y+3z=0

则，令＞=12,则％=3,z=4,即〃=（3,12,4）,

n•AD=-4x+y=0

匕匚I、［夕mi土妣7|AP,n||—6x3+12x2—8x41

所以该四棱锥的图力=,,=J——/~L=2.

\n\V32+122+42

故选：C.

二、填空题

9.（24-25高三上•上海黄浦•期末）若圆柱的底面半径与高均为1,则其侧面积为

【答案】2兀

【分析】根据圆柱的侧面积公式直接计算可得.

【详解】由题意，圆柱的侧面积为：S=2nrh=2n.

故答案为：2兀

10.（2024.上海长宁.一模）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积是（结果保留兀）.

【答案】3兀

3

【分析】做轴截面，根据母线与底面半径求出圆锥的高，计算体积即可.

【详解】如下图做出轴截面：

h=J———=如

代入圆锥体积公式：V=-7rr2h=^-7r.

33

故答案为：^~兀

3

11.（2024•上海虹口•一模）若某圆锥的底面半径为1,高为1,则该圆锥的侧面积为.（结果保留兀）

【答案】扃

【分析】首先求出母线，再由侧面积公式计算可得.

【详解】因为圆锥的底面半径厂=1,高h=1,设母线为/（/>0）,贝打=后调=后，

所以该圆锥的侧面积为Ttrl=>/2TI.

故答案为：0兀

12.（2024•上海徐汇•一模）已知向量°=（2,5,1）1=（4,孤5）,若。/=3，则实数优的值为.

【答案】-2

【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.

【详解】因为a=（2,5,1）力=（4,m,5）,所以a.6=2x4+5相+lx5=5〃?+13=3，

所以相=-2.

故答案为：-2

13.（2024上海崇明.一模）在空间直角坐标系中，点（1,2,3）关于无Oy平面的对称点的坐标是.

【答案】（1,2,-3）

【分析】根据空间点关于坐标平面的对称点特征可求对称点的坐标.

【详解】点（1,2,3）关于xQy平面的对称点的坐标为（L2,-3）,

故答案为：（1,2,-3）.

14.（24-25高三上•上海松江•期末）己知一个圆锥的底面半径为3,其侧面积为15无，则该圆锥的高为.

【答案】4

【分析】根据给定条件，利用侧面积公式求出母线长，进而求出圆锥的高.

【详解】圆锥的底面半径r=3,设其母线长为/,则口/=15兀，解得/=5,

所以该圆锥的高久=7/2-r2=752-32=4.

故答案为：4

15.（2024.上海青浦.一模）已知圆柱M的底面半径为3,高为白，圆锥N的底面直径和母线长相等.若圆

柱Af和圆锥N的体积相同，则圆锥N的底面半径为.

【答案】3

【分析】求出圆柱河的体积，设圆锥N的底面半径为「，求出圆锥的高为gr,从而得到圆锥的体积，

得到方程，求出答案.

【详解】圆柱M的体积为TISX百=9扃，

设圆锥N的底面半径为「，则母线长为2r,故圆锥的高为J（2r）2-产=后,

则雪.产・百厂,故走兀厂3=9用兀，解得r=3,

333

故圆锥N的底面半径为3.

故答案为：3

16.（2024・上海徐汇•一模）已知机，〃为空间中两条不同的直线，尸为两个不同的平面，若加ua,e£=〃，

则加力是机//4的条件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中

的一个）

【答案】充要

【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理结合充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】充分性：因为mua,ac（3=n,mJIn,

所以加，〃共面，

又因为d"为两个不同的平面，72U4，

所以机U/7,

所以加〃/，故充分性成立；

必要性：因为mua,aP=n,所以“ua,

又因为机//月，所以疝历,故必要性成立，

所以是机〃尸的充要条件.

故答案为：充要.

17.（24-25高三上•上海金山・期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为血兀，半径为2的扇形，则该圆锥

的母线与底面所成角的大小为.

【答案】v

【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线

与底面所成角余弦值，即可确定大小.

【详解】令底面半径为,，贝IJ2“=20兀，可得「=血，且圆锥母线为2,

所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为也，故其大小为:.

24

故答案为：y

4

18.（2024・上海杨浦・一模）已知一个正四棱锥的每一条棱长都为2,则该四棱锥的体积为.

【答案】述

3

【分析】作出辅助线，求出正四棱锥的高，由锥体体积公式进行求解.

【详解】如图，正四棱锥P-ABCD,正方形的对角线相交于点。，连接P。，

则P。，平面ABCD,

因为应＞u平面ABCD,所以尸0_L3D,

其中3O=；3D=；j22+22=叵,

故OP=NBP-Og=3，

472

所以该四棱锥的体积为JAB.BCOP

3

AB

故答案为：逑

3

19.（24-25高三上•上海黄浦•期末）在正四面体ABCD中，点N是VABC的中心，若

DN=ADA+〃DB+vBC（A,〃,veR）,贝!j%+〃+□=.

【答案《埒

【分析】依题意设。4=。，OB=b,OC=c,利用勾股定理即可得到a=6=c,设该正四面体的棱长为

V2,求出点的坐标，结合。"=4。4+〃。8+丫2（7利用空间向量法计算求解.

【详解】因为在正四面体ABCD中，AB^BC^CA,正四面体ABCD的顶点4B,C分别在两两垂直

的三条射线3,6,Oz上,

设OA=a,0B—b,OC—c,

由OA,OB,OC两两垂直，得"+廿=k=°?+/,

所以a=6=c,即。4=O3=OC,所以O—ABC是正三棱锥,

设该正四面体的棱长为/，则a=b=c=l,于是4（1,0,0）,B（0,l,0）,C（0,0,l）,D（l,l,l）,

又点N是VABC的中心，所以N=Id

所以DN=—J,=（0,—1,—1）,=（―1,0,—1）,BC=（0,—1,1）

（222、

因为DN=ADA+juDB+vBC,所以［一于一天一§J=4（。,一1,-1）+〃（一1,。,一1）+^（。,一1』），

4

可得/I+//+v=—.

4

故答案为：—.

20.（2024・上海嘉定・一模）已知空间向量QB］。氏。与两两垂直，若空间点A满足,闻=|明|=［破|=1,

^iOP^OBi+OB2+OB3,且网VI,则网的取值范围为.

【答案】［谆］

【分析】根据给定条件，利用空间向量模的意义及数量积的运算律求得|。4/=对等，进而求出范

围.

【详解】由空间向量4两两垂直，得o耳•OB?=OB?•OB3=OB30sl=Q

又耳卜

|A|A52|=|AB3|=1,OP=OB1+OB2+OB3,

则3斗曲『+1裕『+1的『=(0。_OA)2+(OB?-04)2+(OB,-闲

2222

=3|tM|-2ft4+OB2+OB3)+1OB1|+1OB21+\OB31

22

=3|ft4|-2OAOP+(OBX+OB2+<9B3)-2(OBlOB2+OB2OB3+OB3-OBJ

=3|OA|2-2OAOP+|OP|2=2|OA|2+|OA|2-2OAOP+\OP^

2222

=2|OA|+(OA-OP)=2|OA|+|AP|,而04|A尸区1,

因止匕|0A『=匕空匚|OA|e［l,4］,

所以|。41的取值范围为［1,好］.

2

故答案为：［1,4］

21.(2024.上海虹口•一模)如图，已知正三角形A2C和正方形BCDE的边长均为2,且二面角A-BC-O的

大小为E，则AC5D=.

0

【答案】-1

【分析】设EG分别为的中点，连接AF,EG,分析可得NAFG为二面角A-BC-O的平面角,

进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可.

【详解】设RG分别为BC,DE的中点，连接

在正三角形48c中，AF1BC,AF=5

在正方形BCDE中，FG//CD,FG1BC,FG=CD=2,

TT

所以/AFG为二面角A—3C-。的平面角，即NAR5=：,

ACBD=（AF+FC）-（BC+Cr＞）=^AF+1BCj-（BC+FG

=AF-BC+AF-FG+-BC2+-BC-FG=^X2X|-cos-|+-X22=-1.

22I6J2

故答案为：-1.

22.（2024.上海徐汇.一模）徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往

观展并拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上、下底

面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且两个圆台侧面展开图

的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两部分母线长的总和为cm.

【答案】5比7

【分析】设出圆台的母线长及底面半径，根据圆台的母线长公式/=+（乙一&J结合条件即得.

【详解】设上面圆台的母线长为4,上面半径为115cm,下半圆半径为4=13cm,高为〃=8cm,

根据圆台的母线长公式/=折+（…『,带入数值计算得到/1=苫+（15-13『=^68=2旧cm；

设下面圆台的母线长为4,上面半径为4=12cm,下半圆半径为4=9cm,

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到^^二21/，带入数值计算得到

’1'2

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2屈+3屈=5拒cm.

故答案为：5A/17

23.（2024・上海宝山•一模）将棱长为2的正四面体绕着它的某一条棱旋转一周所得的几何体的体积

为.

【答案】2兀

【分析】先求出四面体其中一个面的高，确定正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，利用圆锥体积公

式求解即可.

【详解】

如图为棱长为2的正四面体，作8D_LAC,3OCAC于点£）,

在VA3C中，|AB|=2,Zfi4c=60。，|BD|=|AB|-sin60°^,

根据题意，正四面体旋转后得到两个同底的圆锥，

底面半径等于忸必=豆，高等于q=1,

所以旋转后几何体的体积为：V=2x1.7r.（A/3）2=27t.

故答案为：2兀

24.（2024•上海奉贤.一模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2）,风

吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个

惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们

需要作出一些合理的假设：

假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；

假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；

假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计.

截面图如下（图3）,其中O03=2Ocm,G>2O3=18cm,AB=16cm,则制作100个这样的惊鸟铃的铃身

至少需要千克铜.（铜的密度为8.9g/cn?）（结果精确到个位）

【答案】120

【分析】利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】由题意可知，圆锥。。3的底面半径为8cm,高为20cm,

圆锥。的底面半径为8cm,高为18cm,

H^100X1X7TX82X（20-18）X8.9-1000~119.236,

所以，制作100个这样的惊鸟铃的铃身至少需要120千克铜.

故答案为：120.

25.（2024•上海杨浦・一模）将一个半径为1的球形石材加工成一个圆柱形摆件，则该圆柱形摆件侧面积的

最大值为.

【答案】2兀

【分析】设圆柱形工件的高为〃，底面半径为Z得到圆柱形工件的侧面积为5=2兀力，再结合基本不

等式求解侧面积的最大值.

信

【详解】设圆柱形工件的高为底面半径为厂，—+r2=l,

4

则圆柱形工件的侧面积为S=2nrh=2口=4兀,,（1-，），

又因为1=产+（1一产）上2旧二），当且仅当产=（1-r）,厂=1时等号成立，

所以S=4兀（1—/）<4TIxi=2?t,

故答案为：2Tl.

26.（24-25高三上•上海浦东新•期末）己知空间中三个单位向量04、。4、0%,

尸为空间中一点，且满足|OPOR]=i,]。尸-。闻=2,口尸•。闻=3,

则点尸个数的最大值为.

【答案】8

【分析】以。为原点，分别以。4、。&、的方向为无轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标

系，设尸(x,y,z),表示各向量坐标，利用数量积的坐标表示可得结果.

【详解】由题意得，04,16^,6^16^,04,16^,且图|=|。&|=|。4|=1.

以。为原点，分别以。&、04、。43的方向为无轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

4=(i,o,o),04=(o,i,o),。&=(o,o,i).

设尸(x,y,z),则。尸=(x,y,z),

.-.|0P-04|=|x|=l,|0P-0A,|=|y|=2,|OP-O4|=|z|=3,

x—+l,y=±2,z=±3,

，点尸坐标可能为(L2,3),(―1,2,3),(1,—2,3),(-1,-2,3),(1,2,—3),(—1,2,—3),(1,—2,—3),(-1,-2,—3),

故点尸个数的最大值为8.

故答案为：8.

27.(2024.上海长宁.一模)点P、M,N分别位于正方体ABCD-AB'C'D的面上，AB=1,则PM-PN的

最小值是.

【答案】-彳/-0.5

【分析】建立空间直角坐标系可得尸ATPN的坐标表达式，配方后可得最值.

【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系，

设尸(如%,Zo),zj,N(x2,y2,z2),其中4％,马(7=0,1,2"[0,1]

则PM=(xl-x0,yl-y0,-z0),PN=(x2~x0,y2-y0,z2-z0).

则PMPN=(xi-x0)(x2-x0)+(j1-y0)(72-y0)+(z1-z0)(z2-z0)

=片一(%+/)%+..+:一(％+%)%+%%+z：-(Z]+Z2)Z0+Z,

(Y玉+尤2丫4/、,％+Zj+Z2丫(芭+%)[(X

一(“。―-?r)+1%?r)+iz°__o+再々———一

ZZ2

,(Zj+z2)(国+%)2,(乂+%)2,(l+2)

N%尤+X%----------------------+Z1Z2----------------------

+Z1Z2-----------—2-4

=4nr当且仅当天=3，%=g，z°=受时取等号.

则为使PM./W最小，则应使|血可尽量的大，且P为MN中点.

又点、P、M、N均位于正方体表面上，则尸、M、N在正方体同一面上,

则当|MN|为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，满足题意,

此时|MN卜亚，则一

故答案为：-万

【点睛】关键点睛：本题解题的关键是建立坐标系利用坐标计算得尸再由取等条件

得到尸、M、N位置关系从而得解.

三、解答题

28.(24-25高三上•上海黄浦•期末)如图，在正方体ABCD-A用G2中，E是BG的中点.

⑴求证：2£，平面。。四；

(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)arctan

【分析】(1)连接用C,结合正方体的性质易得EC，8G，DC1BQ,进而求证即可；

(2)过E作砂交BC于F,连接。/，易得/EZ才是直线DE与平面ABCD所成的角，进而

结合直角三角形中正切的定义求解即可.

【详解】(1)证明：连接耳C,在正方体月GR中，E是BG的中点,

所以E是4c的中点，且用CL8G，即ECL8G，

因为£>C_L平面BCCXB{,BQu平面BCC{BX,

所以。C18C],

又DCEC=C,

所以平面cr>£

(2)过E作EF工BC,交BC于尸，连接。尸，

在正方体A8cr>-44G2中，CG，平面ABCD,EFUCC,,

所以EF_L平面ABC。，

又DPu平面A5CD,所以EF_LDF,

所以ZEDF是直线DE与平面ABCD所成的角.

由题意，设CG=CB=CD=2a,则EF=gCCX=a,

CF=—CB=a,所以DF=非a,

所以在RtADEF,tanNEDF=££=.二-=,

DFy[5a5

故直线DE与平面ABC。所成角的大小是arctan.

5

29.（2024・上海虹口・一模）如图，已知在四棱柱ABCD-EFGH中，E4_L平面A3CD,N、M分别是取、

HD的中点.

⑴求证：〃平面A™；

（2）若底面ABC。为梯形，ABHCD,AB=EA=2,AD=DC=\,异面直线AB与£7/所成角为］IT.求直线

AN与平面A/必所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵书

【分析】（1）连接BE交AF于点0,连接ON,OM,根据棱柱的性质及中位线的性质得到ON//HM且

ON=HM,则四边形CWHM为平行四边形，从而得到HN〃OM,即可得证；

（2）由AD//EH,可得NSW即为异面直线AB与E”所成角，则AB_LAD,建立空间直角坐标系，

利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）连接BE交,于点0,连接ON,OM,

在四棱柱ABCD-ERS”中，四边形A班E,为平行四边形，所以。为AF的中点，

又N、M分别是跖、的中点，

11

所以QV〃AE且0N=—AE,HMHAE宣HM=—AE,

22

所以ON//HM且ON=HM,所以四边形0AHM为平行四边形，

所以HNHOM,又HNa平面A/W,OMU平面A™,所以H7V〃平面AFM；

(2)因为异面直线AB与EH所成角为5,又ADIIEH,

TT

所以N54Q即为异面直线AB与EH所成角，即Z8AO=-,\^ABLAD,

2

又出，平面ABCD,

如图建立空间直角坐标系，则4(0,0,0)，N(l,0,2),网2,0,2),M(0,1,1),

所以丽=(1,0,2),AF=(2,0,2),AM=(0,1,1),

n-AF=2x+2z=0

设平面AKM的法向量为w=(x,y,z),则＜，取孔=。,1,一1),

n•AM=y+z=Q

AN-n\

设直线4V与平面”知所成角为。，则sin6=

|A/V|-|n|\f3x\[515

所以直线AN与平面曲所成角的正弦值为巫.

15

30.(24-25高三上•上海金山•期末)如图，在四棱锥P-A3CD中，底面ABC。是直角梯形,

ZBAD=ZCDA=90,B4_L平面ABC。，。是尸8的中点，PA=AD=DC=1,AB=2.

P

⑴证明：CQ〃平面PAD；

⑵求点D到平面PAC的距离.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取以的中点T,证明。CQT是平行四边形，得出。77/CQ,再应用线面平行判定定理证

明；

（2）应用等体积法计算得出点到平面距离.

【详解】（1）取上4的中点T,连接DT,TQ,

'/'T

因为NBAD=NaM=90°,所以AB//DC,AB=2AD=1,

因为T,Q分别是PAPB中点，得出TQ〃AB〃DC,TQ=^AB=DC,

所以四边形。CQT是平行四边形，所以DT〃CQ,

OTu平面PAD,CQu平面PA£>,所以CQ〃平面PAD；

（2）/CZM=90，AC=VAD2+DC2=72>

PA_L平面"CD,AD,ACu平面ABC。，则Q4_LAD,PALAC,

S皿=；|AC|x|PA|=；x0义1=4，SACD=-x\DC\x\AD\=-,

设点。到平面阴。的距离为d,由%.PAC=/YS，得gSwXd=；SAsX|P4|,

BP—xxj=—x—xl,得d=.

32322

所以点D到平面PAC的距离为也.

2

31.（2024・上海宝山•一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面A5CD为矩形，PA=PB=AD=3,AB=4,

且该四棱锥的体积为46.

P

(1)证明：平面底面ABCD；

(2)求异面直线PC和AB所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵f

【分析】(1)由四棱锥的体积为4指得到高h=也,取的中点为E,计算出PE=石，从而PE_L

底面ABCD即可得证.

(2)因为AB//CD,所以/PCD即为异面直线PC和48所成的角或其补角，最后在△PCD中利用余

弦定理即可求出夹角.

【详解】(1)证明：设该四棱锥的高为小则体积V=；Sx/z=；x3x4〃=4如,从而右=百，

等腰一R4B中，设边的中点为E,易知PELAB,

在RtPAE中，PA=3,AE=2,所以PE=6,

所以该四棱锥的高为〃即为PE=右，

即PE_L底面ABCD,又尸Eu平面R4B,

所以面PABJ_底面ABCD.

(2)因为AB〃CD,

所以/PCD即为异面直线PC和AB所成的角或其补角;

由（1）知平面PABJ_底面ABCD,且平面PABc底面ABCD=AB，

在矩形ABCD中，CB±AB,所以CBL平面PAB,

因为PBu平面上钻，从而CB_LPB,

Rt-PBC中，PB=BC=3,所以PC=3近，

同理可得尸0=30，

△PCD中，PC=PD=3点,CD=4,

PC2+C£>2-P£)218+16-18近

由余弦定理可得cosZPCD=

2PCCD-2X3A/2X4-V

所以异面直线PC和猫所成角的余弦值为

3

32.（24-25高三上•上海松江•期末）如图，已知平面ACD,AB//DE,ACD为等边三角形,

4D=AE=24B,点F为C。的中点.

⑴求证：AF〃平面3CE；

（2）求直线BF和平面A3c所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵也

4

【分析】（1）设石=2AB=2a,建立空间直角坐标系A-孙z,利用向量的坐标运算得出

AF=^（BE+BC）,结合线面平行判定定理即可得结论；

（2）确定平面ABC的一个法向量”，利用8尸和方的夹角求解即可.

【详解】（1）因为平面AC。，_ACE>为等边三角形,

设AD=£>E=2AB=2a,建立如图所示的空间直角坐标系A-邙,

则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),£)(〃,#>a,0),E(a,布a,2a),

尸为CD的中点，・•.bga,#.,。)，

AF=(I"a,--a,0)，BE=(a,6a,a),BC=(2a,0,-a),

AF=1(BE+BC),Ab仁平面8CE,

，AfV/平面3CE.

(2)又”=(0,1,0)是》轴上的单位向量，则其是平面ABC的一个法向量,

因为BF=c1a,，设8尸和平面3CE所成的角为。,

则叵

\BF\-\n\2axi4

•••直线BF和平面ABC所成角的正弦值为且.

4

⑴求证：CD〃平面上钻，平面PAC1■平面P3Q；

2

(2)设E为依上的一点，BE=-BP.

在下面两问中选一个，

①若AO=AP=30，求直线与平面BEQ所成角的大小.

②已知平面ECD与平面ABC£>所成锐二面角的大小为arctan且，若AD=3E，求AP的长.

2

【答案】(1)证明见解析

(2)选①，直线EC与平面BED所成角为wcsin£@；选②，AP=3A/2

14

【分析】(1)利用线面平行的判定定理可得CD〃平面PAB；线面垂直的判定定理可得AC，平面PBD；

(2)选①，以。点为原点，。3,。。,。「所在的直线分别为％，*轴的正方向建立空间直角坐标系，根

据=求出E点坐标，再求出EC、平面BED的一个法向量，根据线面角的向量求法可得答案;

2一

选②，设AP=a(a>3),根据=求出E点坐标，求出平面ECD、平面ABCD的一个法向量，由

二面角的向量求法可得答案.

【详解】(1)因为底面ABCD是正方形，所以AB〃a),

ABu平面CDa平面

所以CD〃平面上钻；

AC1BD,由四棱锥尸—ABCO是正四棱锥，

可得PO_L平面A3CD,ACu平面A5CD,所以尸O_LAC,

由P