2025届苏科版中考数学三轮冲刺专项练习：数学思维及能力（附答案）

【中考数学】2025届苏科版第三轮冲刺专项练习

（数学思维及能力）

一、单选题

1.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图，解法是：画RSABC,使/ACB=90。,

BC=j,AC=b,再在斜边AB上截取BD=；则该方程的一个正根是（）

2.以AB=2cm,BC=3cm,CD=2cm,DA=4cm为边画出四边形ABCD,可以画出的四边形个

数为（）

A.0B.1C.2D.无限多

3.已知二次函数y=-x2+mx+m（m为常数），当-2VxV4时，y的最大值是15,则m的

值是（）

A.-10和6B.-19和不C.6和不D.-19和6

4.按照如图所示的流程，若输出的M=-6,则输入的m为（）

A.3B.1C.0D.-1

5.《庄子》一书里有："一尺之植（木棍），日取其半，万世不竭（尽，完）"这句话可以用数学符

号表示：1=|+|+1+...+摄+...；也可以用图形表示.上述研究问题的过程中体现的主要数学

思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.公理化思想D.分类讨论思想

6.我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0,从而得

到两个一元一次方程：3x=0或x-2=0,进而得到原方程的解为均=0,x2=2.这种解法体现的数学

思想是（）

A.转化思想B.函数思想

C.数形结合思想D.公理化思想

7.如图，平面直角坐标系中，0P与X轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3,-1）,

4B=20.将。P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时OP与x轴相切（）

A.1B.2C.3D.1或3

8.以坐标原点0为圆心，作半径为1的圆,若直线y=-x+b与。。相交，则b的取值范围是（〕

A.0<b<1B.0<b<y[2C.-1<b<1D.-42<b<42

9.探究课上，老师给出一个问题"利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图象，求一元二次

方程2x2=x+2的近似根"小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似

根xl和x2满足-I<x2<2.小华的上述方法体现的数学思想是（）

B.分类讨论

C.数形结合D.由特殊到一般

10.”已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断a+b+c与0的大小.”一同学是这样回答

的："由图象可知：当x=l时y<0,所以a+b+c<0."他这种说明问题的方式体现的数学思想方法

叫做（）

y

X

A.换元法B,配方法C.数形结合法D.分类讨论法

11.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即"结绳计数".如

图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由

图可知，孩子自出生后的天数是（）

12.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2（

t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（）

A.-<t<2B.-<t<l

22

C.1<t<2D.-<t<2且txl

2

二、填空题

13.当1WxW2时，反比例函数y=匕（k>-3且kw0）的最大值与最小值之差是1,则k的

X

值是

14.已知一个三角形的三边都是方程X2-8X+12=0的根，则此三角形的周长为.

15.在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E是边CD的三等分点，BE与AC交于点F,则

CF=

16.如图，在等边^ABC中，AB=4cm,点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点（不与

点A,B重合）.若点B关于直线MN的对称点B,恰好落在等边△ABC的边上，则BN的长为

cm.

17.已知二次函数y=x2-2mx（m为常数），当-1WXV2时，函数值y的最小值为-2,则m的值

是

18.甲乙两运动员乒乓球比赛正在进行中，甲必须再胜2局才能最后获胜；乙必须再胜3局才能

最后获胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都是|,则甲最后获胜的概率是

19.将奇数1、3、5、…、2007、2009从小到大排成一个多位数A=...,从A中截出能被5整除的

五位数，则所有的这种五位数中，最小数是，最大数是。

20.如图，O是等边^ABC外接圆的圆心，连结OA、OB、OC,以点A为圆心，以00的直径为

半径画弧分别交AB、AC的延长线于点D、E.若OA=2,则图中阴影部分图形的面积和为

（结果保留根号和2.

21.P为。。内一点，OP=3cm,。。的半径为5cm,则经过P点的最短弦长为cm,最

长弦长为cm.

22.数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO

的中点4处，第2次从4点跳动到4。的中点出处，第3次从出点跳动到A2O的中点

A3处.按照这样的规律继续跳动到点心，人5,八6,…，4<n>3,n是整数）处，那么线

段AnA的长度为（"23,n是整数）.

OA3AIAiA

23.已知AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D为平面内的任意一点，且满足CD=AC,若^ADB

是以AD为腰的等腰三角形，则NCDB的度数为

24.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫图.将数字1〜9

分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15,

则m的值为

25.已知关于x的一元二次方程x2+ax+nb=0(14nV3,n为整数)，其中a是从2、4、6三个数中

任取的一个数，b是从1、3、5三个数中任取的一个数，定义"方程有实数根"为事件An(n=l,2,

3),当An的概率最小时，n的所有可能值为.

26.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也

叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为s=

任百工咚弧.已知AABC的三边长分别为V5,2,2,则AABC的面积为.

27.四边形ABCD两对角线的交点为0，用四种颜色给AAOB、ABOC、ACOD、ADOA染

色，使得有公共边的三角形不同色，那么有种染色方法.

28.已知y=|x—1|x+|x—2|(x—1),则不等式y<0的解集为

29.如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆01,半圆02,…，半圆On与直线I相切.设半圆01,

半圆02,…，半圆On的半径分别是rl,己，…，rn,则当直线I与x轴所成锐角为30。，且rl=l

时刻12：0013：0016：00

里程碑上是一个两十位数字和个位数字与12:00时所看比12：00时看到的两位数

的数位数到的正好颠倒了中间多了个0

12：00时看到的两位数是

31.著名的斐波那契数列1、2、3、5、8、13、21、…，其中的第9个数是

32.如图，将一个8cmxl6cm智屏手机抽象成一个矩形ABCD,其中AB=8cm,AD=16cm,现将

正在竖屏看视频的这个手机围绕它的中心R顺时针旋转90。后改为横屏看视频，其中，M是CD的

个.（按图中所标字母写出符合条件的角）

33."通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为己知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例

如：解方程xf=0,就可以利用该思维方式，设u=y,将原方程转化为：y2-y=0这个

熟悉的关于y的一元二次方程，解出y,再求x,这种方法又叫"换元法".请你用这种思维方式和

换元法解决下面的问题.已知实数x,y满足［^y+2x2y/=51，求/+/的值.

34.m是什么整数时，方程（m2-1）x2-6（3m-1）x+72=0有两个不相等的正整数根.

35.如图

（1）如图，矩形ABCD的对角线长为a,对角线与一边的夹角为a（a“5。），则CD=（用

a的三角函数和a来表示），SABCD=（用a的三角函数和a来表示）=

（用2a的三角函数和a来表示）；

（2）猜想并直接写出sin2a,sina,cosa之间的数量关系.

36.我们学习过利用用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学

史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需爱，发明了一种简易操作工具

——三分角器.图1是它的示意图，其中AB与半圆0的直径BC在同一直线上，且AB的长

度与半圆的半径相等；DB与AC重直F点B,DB足够长.

使用方法如图2所示,若要把ZMEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过/MEN的

顶点E,点A落在边EM上，半圆。与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,E0就把/MEN

三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的"已知"和"求证"，请补充

图1

已知：如图2,点在A,B,O,C同一直线上，EB1AC,垂足为点B,▲

求证：▲

37.在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.

食堂离宿舍0.7km,图书馆

离宿舍1km.周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后,

匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍，给出的图

象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题:

(1)填表：

离开宿舍的时间/加”25202330

离宿舍的距离/km0.20.7

(2)填空：

①食堂到图书馆的距离为km.

②小亮从食堂到图书馆的速度为km/min.

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为km/min.

④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为min.

(3)当0<x<28时，请直接写出y关于x的函数解析式.

38.如图，在^ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度

移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出

发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由.

39.如图，z^ABC的边BC在直线I上，AD是△ABC的高，ZABC=45°,BC=6cm,AB=2应cm.点

P从点B出发沿BC方向以lcm/s速度向点C运动，当点P到点C时，停止运动.PQ_LBC,PQ交

AB或AC于点Q,以PQ为一边向右侧作矩形PQ,RS,PS=2PQ.矩形PQ,RS与4ABC的重叠部分的

面积为S(cm2),点P的运动时间为t(s).回答下列问题：

(备用图)

(1)AD=cm；

(2)当点R在边AC上时，求t的值;

(3)求S与t之间的函数关系式.

答案解析部分

L【正确答案】B

2.【正确答案】D

3.【正确答案】D

4.【正确答案】C

5.【正确答案】B

6.【正确答案】A

7.【正确答案】D

8.【正确答案】D

9.【正确答案】C

10.【正确答案】C

H.【正确答案】C

12.【正确答案】D

13.【正确答案】+2

14.【正确答案】6或14或18

15.【正确答案】4或3

16.【正确答案】1或2

17.【正确答案】-1.5或立

18.【正确答案】

19.【正确答案】10110；99920

20.【正确答案】》-2g

21.【正确答案】8；10

22.【正确答案】~42n-2

23.【正确答案】45。或135°

24.【正确答案】9

25.【正确答案】2或3

26.【正确答案】叵

4

27.【正确答案】84

28.【正确答案】x<l

29.【正确答案】32017

30.【正确答案】27

31.【正确答案】55

32.【正确答案】30

33.【正确答案】解：令xy=a,x+y=b,则原方程组可化为:

(5a2+2b=133f5a2+2b=133①

I~+2a2=51'止'[16a2+2b=408@'

②-①得：11a2=275,

解得：。2=25,代入②可得：b=4,

.•.方程组的解为：*或无

lb=4Ib二4

x2+y2=(x+y)2-2xy=b2-2a,

当a=5时,x2+P=6,

当a=-5时，x2+y2=26,

因此x^y2的值为6或26.

34.【正确答案】解：・・・m2F0,

m^±l,

VA=36(m-3)2>0,

m^3,

用求根公式可得：Xl=1，x2=三，

m-1m+1

Vxl,x2是正整数

m-1=1,2,3,6,m+l=l,2,3,4,6,12,

解得m=2.这时xl=6,x2=4.

35.【正确答案】(1)asina；^a2sinacosa；^a4sin2a

(2)sin2a=2sinacosa

36.【正确答案】解：已知：如图2,点在A,B,O,C同一直线上，EB_LAC,垂足为点B,E

在8。上，ME过点4AB=OB=OCfE/V为半圆。的切线，切点为F.

求证：EB,EO为NMEN的三等分线.

证明：如图，连接。F,则NOFE=90。,

：EB上AC,EB与半圆相切于点B,

...NABE=/OBE=90°,

VBA=BO.EB=EB,

,:z\EAB^AEOB

，/AEB=/BEO,

VEO=EO.OB=OF,ZOBE=ZOFE=90",

J.AOBE^AOFE,

.\ZOEB=ZOEF,

/.ZAEB=ZBEO=ZOEF,

AEB,EO为/MEN的三等分线.

故E在BD上，ME过点A,AB=OB=OC,EN为半圆。的切线，切点为F.

EB,EO为/MEN的三等分线.

37.【正确答案】(1)0,5；0.7；1

(2)0.3；0.06；0.1；6或62

(3)解：当0<x<7时，y=O.lx；

当7<x=23时，y=0.7

当23<xM28时，设y=kx+b,将(