2025北京版八年级数学下学期期中测试卷

2025北京版八年级数学下学期期中测试卷

（考试时间：100分钟试卷满分：100分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北京版八年级下册第十四章〜第十五章。

5.难度系数：0.8。

一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选

择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）

1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.如图所示，表示y是久的函数的是（）

3.在平行四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（）

A.对角线相等B.有一个内角为90°C.一组对边相等D.对角线相互垂直

4.如图，菱形/BCD周长为8,£是N.C的中点，EF//CaB,交N8于点足那么£尸=（）

V\

A.4B.3C.2D.1

5.将直线y=2%+5向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（）

A.y=2x+1B.y=2%+4C.y=2x—4D.y=2%+9

6.如图，在口ABC。中，AB=4,BC=1,N48C的平分线交4。于点E,则EQ等于（）

A.2B.3C.4D.5

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形。力BC的顶点4C的坐标分别为（10,0）,（0,4）,点。是04的中点，点P

在BC上运动，当。P=。。时，点P的坐标是（）

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

8.如图，在矩形4BCD中，对角线4C,BD相关于点。,E为边CD上的任意一点（不与点CQ重合），过点E作

EF1BD.EG1AC,垂足分别为尸,G,若4B=8,BC=6,贝恬F+EG的值为（）

A.yB.yC.5D.6

二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分.）

9.函数y=2第一3的图像向上平移个单位，得到直线y=2%+l.

10.如图，小明从4地出发，沿直线前进15米后向左转18。，再沿直线前进15米，又向左转18。……，照这

样走下去，他第一次回到出发地4地时，一共走的路程是米.

A

11.已知4(3,月)山(4,故)是直线y=(k-2)尤+b上的两点，若yi<y2,则k的取值范围是.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b经过点—(2,0)和(4,1),则关于x的方程ax+b=1

的解为x=-

y=ax+b

1

,r

345^

13.如图，在矩形力BCD中，对角线AC、BD相交于点。，乙4。。=120。，AB=5,则BD=

14.如图，菱形4BCD中，AC=S,BD=6,于点H,且DH与AC交于G,则D"=

B

15.某水果店销售某种水果，销售额y(元)与一次销售量x(kg)与之间的函数关系如图所示.若王叔叔从

该水果店一次性购买25kg该种水果，需要付款元.

杪/元

O\1020x/kg

16.如图，菱形ABC。的边长为2,/-ABC=60°,且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，则PM+PC

的最小值为.

BMC

三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分,

第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.如图，在四边形48co中，Z,BAC=AACD,ABCA=^DAC.四边形ABC。是平行四边形吗？为什么？

18.已知直线yi=kx+1与直线丫2=久一4都经过点力(2,m).

⑴求犯人的值；

(2)当比时，yi>y2；

(3)求这两条直线与y轴围成的三角形的面积.

19.如图，在矩形ABCD中，£是力B上的一点，EF1CE交2D于点尸，BE=2,EF=CE,矩形2BCD的周长

为16.求8c的长.

20.一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向,

依次匀速爬行，最后回到出发点.蚂蚁离出发点的距离s(单位：m)与时间/(单位：min)之间的图

象如图②所示.回答下列问题(万的值取3)：

(1)花坛的半径是m,a=；

(2)当t<2时，求s与t之间的关系式；

(3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2min,且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持

爬行且爬行速度不变.请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离.

21.如图，过矩形4BCD的顶点C作CEIIBD,交4B的延长线于点E,矩形4BCD的对角线力C、BD相交于点

O.

⑴证明NC4E=2LCEA；

(2)若2。=3,DO=2.5,求矩形ABC。的面积.

22.如图，在平行四边形4BCD中，点£,尸分别在4。上,BE=DF,AC=EF.

(1)求证：四边形4ECF是矩形；

(2)若4B=TW,且AC=4逐，EC=4,求4B的长.

23.跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究

某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动.该社团分组到附近山地

进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表：

海拔高度"百米101112131415

气温7/℃18.618.017.416.816.215.6

根据表格中的测量数据，完成下面3个任务:

任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线;

77。。,

18.6

18.0

17.4

16.8

16.2

15.6

15.0

14.4

--—■—>—>—>-------->

O101112131415161718〃/百米

任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求T与h的函数表达式;

任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温.

24.如图1,在△4BC中，点。在BC的延长线上，点。是4c边上的一个动点，过点。作直线MN〃BC,设MN

交NBC4的平分线于点£,交NDC4的平分线于点尸.

(1)如图1,求证：0E=OF；

(2)如图2,连接4E、AF,当点。运动到何处时，四边形4ECF是矩形，并说明理由；

(3)在(2)的前提下△4BC满足时，四边形4ECF是正方形？(直接写出答案，无需证明)

25.如图，四边形4BCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），461。6于&CFLDG^-F.

(1)求证：AAED乌ADFC；

(2)求证：AE^FC+EF.

26.在平面直角坐标系中，对于任意两点PiOi，yi）与22。2，丫2）的"友好距离"，给出如下定义：若|久1—冷|2

|yi-yzb则点PiOi,%）与点。2。2,〉2）的"友好距离"为l%i-初；若1巧一乂2|<1%-丫2|，则点PiOiyD

与点「2（尤2,丫2）的“友好距离"为|yi-%1-已知点/的坐标为（一|,0）,8为y轴上的一个动点.

⑴若点/与点2的“友好距离”为3,写出满足条件的点B的坐标：；

（2）求点A与点B的“友好距离”的最小值.

27.如图，已知四边形ABC。为正方形，AB=4V2,E为对角线4C上一个动点，连接。£过点E作

交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

(1)求证：矩形DEFG是正方形(提示：过点后作后用1BC于点M,过点E作EN1CD于点N).

⑵探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

28.定义：对于平面直角坐标系中的两个图形M,N,图形M上的任意一点与图形N上的任意一点的距

离中的最小值，叫做图形M与图形N的距离.若图形M与图形N的距离小于等于1,称这两个图形互为“近

邻图形”.

(1)已知点4(2,4),点3(5,4).

①如图1,在点Pi(l,2),P2(3,3),P3(4,3中，与线段N8互为“近邻图形”的是.

②如图2,将线段4B向下平移2个单位，得到线段CD,连接4C,BD,若直线y=久+b与四边形力BDC

互为“近邻图形”，求6的取值范围；

(2)如图3,在正方形EFG7/中，已知点双皿0),点F(m+1,0),若直线y=—%+2与正方形EFG”互为“近

邻图形”，直接写出租的取值范围.

参考答案

（考试时间：100分钟试卷满分：100分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北京版八年级下册第十四章〜第十五章。

5.难度系数：0.8。

一、选择题：（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选

择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.）

1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】D

【详解】A：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项错误;

B：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误；

C：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误；

D：该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项正确；

故选：D.

2.如图所示，表示y是x的函数的是（）

【答案】c

【详解】A、对于无取的每一个值，存在某些x的值，y不止一个值与之对应，则丁不是无的函数，故此

选项不符合题意；

B、对于x取的每一个值，存在某些x的值，y不止一个值与之对应，则y不是尤的函数，故此选项不符

合题意；

C、对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，则y是x的函数，故此选项符合题意；

D、对于x取的每一个值，存在某些x的值，N不止一个值与之对应，则y不是x的函数，故此选项不符

合题意；

故选：C.

3.在平行四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是()

A.对角线相等B.有一个内角为90°C.一组对边相等D.对角线相互垂直

【答案】D

【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；

B.有一个内角为90。的平行四边形是矩形，故选项不符合题意；

C.平行四边形的对边本来就是相等的，故选项不符合题意；

D.对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故选项符合题意.

故选：D.

4.如图，菱形/BCD周长为8,£是/C的中点，EF//CB,交N2于点尸，那么所=()

A.4

【答案】D

【详解】解：：菱形/BCD周长为8,

：.BC=2,

是4C中点，EF//BC,

；.4E=CE,

尸是ZUBC的中位线，

；.EF=gBC=1,

故选D

5.将直线y=2x+5向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为（）

A.y=2%+1B.y=2x+4C.y=2x—4D.y=2x+9

【答案】D

【详解】解：直线y=2%+5向上平移4个单位长度，得到的新直线的解析式为y=2%+9.

故选：D.

6.如图，在口ZBCD中，AB=4fBC=7,N/5C的平分线交于点E,则瓦）等于（）

【答案】B

【详解】解：•・,四边形45CZ）为平行四边形,

：.AD//BC,AD=BC=7,

：.ZAEB=ZEBC,

〈BE平分N4BC,

：.NABE=/EBC,

：.NAEB=/ABE,

•\AB=AE=4,

：.ED=AD-AE=BC-AE=7-4=3.

故选：B.

7.如图，在平面直角坐标系中，矩形。4BC的顶点4C的坐标分别为（10,0）,（0,4）,点D是。4的中点，点、P

在BC上运动，当。P=。。时，点P的坐标是()

A.(2.5,4)B.(3,4)C.(4,4)D.(5,4)

【答案】B

【详解】解:过点P作PM，。。于点M,

.,矩形。ABC的顶点4C的坐标分别为(10,0),(0,4),点。是04的中点,

■­■D(5,0),

OP=OD,PM1OD,

：.OP=5,PM=4,

在RtzXPOM中，根据勾股定理得：0M2+PM2=Op2,

即。“2+42=52

OM=3,

即点M(3,0),

•••点P(3,4),

故选：B.

8.如图，在矩形ZBCD中，对角线AC,BD相关于点。,E为边CD上的任意一点(不与点CQ重合)，过点E作

EF1BD,EG1AC,垂足分别为F,G,若48=8,8C=6,则EF+EG的值为()

2412

A.B.~5

【答案】A

【详解】解：连接。凡如图:

•.•四边形48CD是矩形，

J./.ABC=90°,。4=OC,OB=OD,AC=BD,

OD=OC,AC-7AB2+BC2=V62+82=10,

i

•,S矩形ABCD=AB,BC=48,Swoc=R矩形/Be。=12,OD=OC=5,

^ADOC=S^DOE+SMOE=^OD-EF+^OC-EG=^OD{FE4-EG)=|x5(FF+EG)=12,

24

AEF+EG=y；

故选：A.

二、填空题(本题共8小题，每小题2分，共16分.)

9.函数y=2x—3的图像向上平移个单位，得到直线y=2x+l.

【答案】4

【详解】解：1—(—3)=4,

函数y=2x—3的图像向上平移4个单位，得到直线y=2x+1,

故答案为：4.

10.如图，小明从/地出发，沿直线前进15米后向左转18。，再沿直线前进15米，又向左转18。……,照这

样走下去，他第一次回到出发地/地时，一共走的路程是一米.

【答案】300

【详解】解：由题意得：小明从力地出发，他第一次回到出发地/地时，走的路程形成正多边形，外

角和为360。，每个外角的度数是18。，

多边形的边数为：360-18=20,

，一共走的路程为：15x20=300(米)，

故答案为：300.

11.已知4(3,月)方(4)2)是直线V=(k—2)x+b上的两点，若％<及，则左的取值范围是.

【答案】k>2

【详解】解：•••当3<4时,yi<y2,

y随着久的增大而增大，

•*'k—2>0,

解得，k>2,

故答案为：k>2.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+b经过点—(2,0)和(4,1),则关于x的方程ax+6=1

的解为久=.

:।A

2345x

【答案】4

【详解】解：•.,直线y=a久+匕经过点(4,1),

.,.当％=4时，ax+6=L

关于x的方程ax+b=1的解为x=4.

故答案为：4.

13.如图，在矩形力BCD中，对角线2C、相交于点0,乙4。。=120。，AB=5,则.

【答案】10

【详解】解：：四边形2BCD是矩形,

：.AB=CD,AO=|XC,BO=池

：.AO=BO,

•・Z。。=120°,

：.^AOB=180°-120°=60°,

・・・△AOB为等边三角形,

BO=AB=5,

：.BD=2BO=10,

故答案为：10.

14.如图，菱形4BCD中，AC=8,BD=6,于点H,且D”与4c交于G,则D”=

【答案】y

【详解】解：•••四边形力BCD是菱形，AC=8,BD=6,

OA=OC=4,OB=OD=3,AC1BD,

...在Rt^MOB中，AB=>32+42=5,

S菱形4BCD=YAC-BD,S菱形4BCD=DH-AB,

1

=5X6x8,

DH=y.

故答案为g.

15.某水果店销售某种水果，销售额y(元)与一次销售量久(kg)与之间的函数关系如图所示.若王叔叔从

该水果店一次性购买25kg该种水果，需要付款元.

【答案】220

【详解】解：当x>10时，设厂与I之间的函数关系式为y=kx+6,

根据题意得：一”仁揶,解得:律聂）,

所以y=8%+20,

当x=25时，y=8x25+20=220,

所以小强同学在该家水果店一次购买25kg该种水果，需要付款220元.

故答案为：220.

16.如图，菱形力BCD的边长为2,NHBC=60°,且M为BC的中点，P是对角线BD上的一动点，贝+PC

的最小值为.

【答案】V3

【详解】如图所示，连接AM,PA,AC

•.•四边形4BCD是菱形

点/和点C关于BD对称

：.PM+PC=PM+PA<AM

当点4,P,N三点共线时，PM+PC有最小值，即AM的长度

四边形48CD是菱形，乙48c=60°,

：.AB=BC=2

△ABC是等边三角形

为BC的中点，

：.BM=CM=^BC=1,AMIBC

.,.AM=7AB2-BM2=V3

.”M+「。的最小值为旧.

故答案为：V3.

三、解答题(共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分,

第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.如图，在四边形中，Z.BAC=AACD.^BCA=^DAC.四边形力BCD是平行四边形吗？为什么？

【详解】解：四边形4BCD是平行四边形，

理由：'.'ABAC=/.ACD,

：.AB//DC,

'：/-BCA=Z.DAC,

：.AD//BC,

，四边形4BCD是平行四边形.

18.已知直线月=kx+1与直线=X—4都经过点4(2,zn).

⑴求的值；

(2)当x时，yi>y2；

(3)求这两条直线与y轴围成的三角形的面积.

【详解】(1)解：将点Z(2,m)代入直线y2=乂一4得：m=2—4=—2,

二4(2,—2),

将点4(2,—2)代入直线月=入+1得：2k+1=—2,

解得k=一|.

(2)解：由(1)可知，yi=--%+1,4(2,—2),

在平面直角坐标系中，画出两个一次函数的大致图像如下:

由函数图像可知，当xW2时，y1>y2>

故答案为：<2.

(3)解：如图，设直线yi=-/+1与y轴交于点8,直线y2=%—4与y轴交于点C,

对于直线%=—/+1,当久=0时，yi=1,即

对于直线、2=%—4,当％=0时，y2=—4,即C(0,—4),

.".BC=1—(—4)=1+4=5,

VX(2,-2),

/.△ABC的BC边上的高为|21=2,

△4BC的面积为5x2=5,

即这两条直线与y轴围成的三角形的面积为5.

19.如图，在矩形A8CD中，£是4B上的一点，EFLCE交4。于点尸，BE=2,EF=CE,矩形ABCD的周长

为16.求BC的长.

【详解】解：,・•四边形ABCD是矩形,

：./-A=Z.B=90°,AD=BC,AB=CD,

9：EFLCE,

・•・“"=90。,

：.Z-AEF+乙BEC=^AEF+^AFE=90°,

:,(BEC=^AFE,

9：EF=CE,

：.△AEF=△BCE(AAS),

.\AE—BC,

：.AB=AE-¥BE=BC+21

•.•矩形28CD的周长为16,

,9,AB+BC+CD+AD=16,

C.AB+BC=8,

,*,BC+BC+2=8,

:.BC=3.

20.一只蚂蚁在一个半圆形的花坛的周边寻找食物，如图①，蚂蚁从圆心O出发，按图中箭头所示的方向,

依次匀速爬行，最后回到出发点.蚂蚁离出发点的距离s(单位：m)与时间f(单位：min)之间的图

象如图②所示.回答下列问题(万的值取3)：

(1)花坛的半径是m,a=；

(2)当t<2时，求s与f之间的关系式；

(3)若沿途只有一处有食物，蚂蚁在寻找到食物后停下来吃了2min,且蚂蚁在吃食物的前后，始终保持

爬行且爬行速度不变.请求出蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离.

【详解】(1)解：由图可知，花坛的半径是4米，

蚂蚁的速度为4+2=2米/分，a=(4+4兀)+2=(4+4义3)+2=8.

故答案为：4,8.

(2)解:设s=kt(k*0,t<2),

:函数图象经过点(2,4),

：.2k=4,解得：fc=2,

As=2t(t<2).

(3)解：•••沿途只有一处食物，

，蚂蚁只能在B0段吃食物，ll—8—2=lmin,

蚂蚁从B爬1分钟找到食物，4-1x2=2m,

•••蚂蚁停下来吃食物的地方离出发点的距离是2m.

21.如图，过矩形ABCD的顶点C作CEII80,交4B的延长线于点£,矩形4BCD的对角线北、8。相交于点

0.

(1)证明皿E="E4；

(2)若4。=3刀。=2.5,求矩形2BCD的面积.

【详解】(1)证明：•••四边形48CD是矩形，

：.CD||AB,AC=BD,

又,：CE||BD,

四边形BDCE是平行四边形，

BD-CE,

.,.XC=CE,

J./.CAE=/.CEA-,

(2)解：：四边形力BCD是矩形，

：.Z.BAD=90°,BD=2OD=5,

：.AB=7BD2—AD2=4,

'S矩形4BC。=AD-AB-12.

22.如图，在平行四边形ABC。中，点£,尸分别在BC,4。上，BE=DF,AC=EF.

AFD

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AB=4。，且4。=4乃，EC=4,求4B的长.

【详解】(1)证明：・••四边形力BCD是平行四边形,

AD=BC,AD//BC,

BE=DF,

•••AD—DF=BC—BE,

AF=CE,

又・・•AF//CE,

四边形4ECF是平行四边形，

■■-AC=EF,

平行四边形2ECF是矩形；

(2)解：-：AC=EF,AC=4V5,

...EF=4V5.

四边形4ECF是矩形，

.­.^AEC=乙ECF=90°,

EC=4

AE—y/AC2—EC2—8,

四边形48C。是平行四边形，AB=AD,

四边形ABCD是菱形，

AB=BC,

设48=汽，贝IJBE=8。-EC=%—4,

在RtZkAEB中，AE2+BE2=AB2,

82+(%—4)2=x2,

解得：x=10,

的长为10.

23.跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究

某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动.该社团分组到附近山地

进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表：

海拔高度%/百米101112131415

气温7/℃18.618.017.416.816.215.6

根据表格中的测量数据，完成下面3个任务:

任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线;

77。。,

18.6

18.0

17.4

16.8

16.2

15.6

15.0

14.4

--—■—>—>—>------->

O101112131415161718加百米

任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求丁与/I的函数表达式;

任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温.

【详解】解：任务1：如图所示:

77℃M

18.6

18.0

17.4

16.8

16.2

15.6

15.0

14.4

13.81....................................

2%_「———_>

O101112131415161718百米

任务2：设7与〃之间的函数关系式为7=Wi+b,

把(10,18.6),(11,18)分别代入关系式,得:

[10/c+b=18.6

tllfc+b=18'

解得｛k=-0.6

b=24.6

所以，T与〃之间的函数关系式为T=—0.6/1+24.6；

任务三：

1500米=15百米，

将h=15代入T=-0.6/1+24.6得

T=-0,6X15+24.6

=-9+24.6

=15.6,

答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为15.6。匚

24.如图1,在△4BC中，点。在BC的延长线上，点。是4C边上的一个动点，过点O作直线MN〃8C,设

MN交NBC4的平分线于点E,交ADC4的平分线于点尸.

(1)如图1,求证：OE=OF；

(2)如图2,连接4E、AF,当点。运动到何处时，四边形力ECF是矩形，并说明理由；

(3)在(2)的前提下△4BC满足时，四边形4ECF是正方形？(直接写出答案，无需证明)

【详解】(1)解：•••CE平分NBC4CF平分N4CD,

Z.BCE=Z.ACE,Z.DCF=Z.ACF,

•••MN//BC,

Z.BCE=Z.OEC,Z.DCF=Z.OFC,

Z.ACE=Z.OEC,Z.ACF=Z.OFC,

■■■OE=OC,OC=OF,

：.EO=FO.

(2)解：当点。在边AC上运动到ZC中点时，四边形ZECF是矩形.

•・•CO=AO,EO=FO,

・・・四边形AEC尸是平行四边形，

•・•乙BCE=CACE,乙DCF=(ACF,/-BCE+Z-ACE+/-DCF+^ACF=180°,

・•・2Z-ACE+2/.ACF=180°,

・•・/,ACE+A.ACF=90°,即NECF=90。,

・・・四边形/ECF是矩形.

(3)解：在(2)前提下，当的乙408=90。时，四边形ZECF是正方形.

•・•^LACB=90°,MN//BC,

・•・MN1OC,

・•.矩形4ECF是正方形.

25.如图，四边形/BCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与8、C不重合)，/月1。6于£,CFIDG^F.

(1)求证：AAED咨ADFC；

(2)求证：AE=FC+EF.

【详解】(1)证明：・・•四边形A8C0是正方形，

：.AD=CD^ADC=90°,

•：AELDG^E,CFLDG于F,

：.Z.AED=乙CFD=90°=乙ADC,

・••乙CDF=LEAD=90°-乙ADE,

在△ZEO和△DFC中，

(Z-AED=Z.CFD

|Z.DAE=4CDF,

(AD=CD

：.AAE睁ADFC；

(2)由(1)知：△AEO也△OFC,

：.AE=DFfDE=CF,

,:DF=DE+EF,

：.AE=FC+EF.

26.在平面直角坐标系中，对于任意两点尸与尸2(%2少2)的“友好距离”，给出如下定义：若|%1—%2|之

\yi—yzb则点Pi(%i,yD与点尸2(%2,、2)的"友好距离”为l%i—初；若|巧—％21V\yi~~yi\,则点Pi(久i,yi)

与点「23，及)的“友好距离”为|乃—以「已知点/的坐标为(―|,0)，8为y轴上的一个动点.

⑴若点/与点2的“友好距离”为3,写出满足条件的点B的坐标：；

(2)求点A与点B的“友好距离”的最小值.

【详解】(1).点/的坐标为(一|,0),8为y轴上的一个动点，点4与点3的“友好距离”为3

设点B的坐标为(0,y),

|0-y|=|3|,

解得：y=3或y=-3,

；.点、B的坐标是(0,3)或(0,-3),

点4与点8的“友好距离”为3,

(2)•.•点/的坐标为(―|,0),2为y轴上的一个动点，设点2的坐标为(0,功).

3

\^A—^B\=5，\yA—ys\~\y\-

可分以下两种情况讨论：

①若I%/——\yA—y5H

则点/与点2的“友好距离”为%-如1，即|；

②若同―冷1<\VA-ysl)

则点/与点8的“友好距离"为I"-狗，即加，且此时的“友好距离”大于1.

综上所述，点/与点8的“友好距离”的最小值为1.

27.如图，已知四边形4BCD为正方形，AB=4叵,E为对角线2C上一个动点，连接DE.过点E作EF1DE,

交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形OEFG,连接CG.

(1)求证：矩形DEFG是正方形(提示：过点石作引^1BC于点M,过点E作EN1CD于点N).

(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【详解】(1)证明：如图所示，过E作EM18C于M点，过E作ENLCD于N点，

四边形ABCD为正方形，

:.乙BCD=90°,

VEM1BC,ENICD,

・•・乙EMF=乙ENC=乙END=90°,

・••乙MEN=90°,

•・・四边形DEFG为矩形，

・•・乙FED=90°,

.“MEN-乙FEN=乙FED-2FEN,EPzMEF=乙NED,

・・•E是正方形ZBCD对角线的交点，

・•.EN=EM,

在aOEN和aFEM中，

(^EMF