2025届云南某中学高三高考适应性月考数学试题（二）解析版

2025届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考数学试题（二）

一、单选题

1.已知复数Z满足Z=l—i,则卜［=（）

A.-B.1C.2D.4

4

【答案】c

【分析】根据复数的乘方运算法则，结合复数模的运算公式进行求解即可.

【详解】：z=l—i,，z2=l—2i—l=—2i，归1=2,

故选：C

2.“x>4”是“2工>”'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用指数函数的性质及充分、必要条件的定义判定即可.

【详解】当x>4时，根据指数函数的性质知y=2,增长速度更快，知成立，充分性成立；

当x=l时，2,>尤2成立，但x>4不成立，显然必要性不成立，

故选:A

3.为保证中小学生享有充足睡眠时间，促进学生身心健康发展，教育部办公厅发布《关于进一步加

强中小学睡眠管理工作的通知》，明确学生睡眠时间要求.已知某地区有小学生1200人，初中生900

人，高中生900人，教育部门为了了解该地区中小学生每天睡眠时间，现用样本量比例分配的分层

抽样从该地区抽取样本，经计算样本中小学生、初中生、高中生每天的平均睡眠时间分别为9.5小

时、8小时、7小时，则估计该地区中小学生每天的平均睡眠时间为（）小时.

A.7.5B.8C.8.3D.8.5

【答案】C

【分析】利用加权平均数的计算公式可求平均数.

【详解】由题意可设小学生、初中生、高中生中分别抽取4a人，3a人，3a人，

皿9.5x4。+8x3。+7x3a.

则--------布--------=8o3

故选：C.

7

4.设两点的坐标分别为(-3,0),(3,0),直线A"与创/相交于点且它们的斜率之积为

则点M的轨迹方程为()

A.r£看=U±3)

+=1(B.

96I

C.^+—=1(：=U±3)

xw±3)D.

96l

【答案】D

【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.

【详解】设点M(x,y),贝IJAM的斜率为膜，BM的斜率为小

x+3X—J

x+3x~33

22

所以L-，=1(XW±3),故D正确.

96I,

故选：D

5.已知a=log42,b=log83,c=flY,贝I]()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a

【答案】B

I11

【分析】由题意可得〃=万，再由对数函数性质和根式与指数式的互化分别得出和c＜］即可得

【详解】由题a=bg42=g,

又由y=log3X是增函数可知6=log83>log8&=g,

c<a<b,

故选：B.

6.在三棱锥P-ABC中，VABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC=R,则该三棱锥

外接球的表面积为()

1620-28

A.—71B.—71C.871D.—71

333

【答案】B

【分析】利用给定条件找到外接球球心，利用勾股定理得到半径，再求解面积即可.

p.

【详解】

如图，取A3的中点。，连接P2C。,

贝！JP£>=CD=JL又PC=R,所以p/y+cn?=Pf2,

故「DLCD,因为VABC是边长为2的等边三角形，

所以CD,A3,因为尸£>「"=£>,PD,A2u平面上钻,

所以CD_L平面上4B,因为CDu平面ABC,

所以平面PAB，平面ABC,

设VABC和PAB的外心分别为。，。2，

则。,02分别在线段CD,PD上，

S.O.D=O2D=^CD=^~,设外接球的球心为O,

连接。。,。。2，。204,

在正方形。。1。。2中，由勾股定理得OD="，

3

由勾股定理得KMOMnADZ+ayni+jq)=g,

20

故5=4兀内=7兀，故B正确.

故选：B

7.设〃%)=1。82(4工+1)+/—x+a,若〃x)存在唯一的零点，则。=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】A

【分析】根据函数解析式可知F(x)为偶函数，再由偶函数性质可得结论.

【详解】令g(x)=log2(4"+l)-x,h(x)=x2+a,则/(x)=g(x)+/z(x)；

A

满足g（-x）=log2（4一+1）+x=log2（4*+l）-log24'+x=log2（4,+1）-x=g（x）,

且〃(-x)=(-x『+a=x2+a=〃(x),所以g(x),7z(x)均为偶函数,

因此〃x)=log2(4*+l)+尤2-尤+a为偶函数，其图象关于V轴对称，

又存在唯一的零点，则/(0)=1+a=0,

可得Q=—1.

故选：A

8.已知函数〃x)的定义域为R,且f(2x-l)为奇函数，〃尤+1)为偶函数，当xe［-1,1］时，

f(x)=ax+\,贝U”2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

【答案】C

【分析】由函数奇偶性，确定f(x)为周期函数，再结合/(-1)=。，求得。，即可求解.

【详解】因为〃2x-l)为奇函数，所以关于点(TO)中心对称，

又〃x+l)为偶函数，所以“X)关于直线x=l对称，

所以“元)为周期函数且周期7=4X”(-1)|=8,

A/(2025)=/(8x253+l)=/(l)=a+l,V/(-l)=-a+l=O,：.a=l,：.f(2025)=a+l=2.

故选:C.

二、多选题

9.已知函数〃x)=sin［2x+：］,则下列说法正确的是()

A.|■是函数”力的周期

B.函数/(x)在区间［W］上单调递增

C.函数的图象可由函数y=bin2x|向左平移5个单位长度得到〃x)=sin(2x+£|

D.函数〃尤)的对称轴方程为-与-0左eZ)

【答案】ACD

【分析】利用三角函数的图象与性质逐一判断选项即可.

【详解】因为/b+m=sin12x+7i+m=sin]2x+：J=〃x）,所以|■是函数外力的周期，故A

正确；

,..xe（0，E）,〃=+又丁=卜也"|=sin〃在上不单调，故B错误；

•.•函数〉=向2耳向左平移方个单位长度得到sin2、+:=sinJx+弓），故C正确；

令2天+生=人无，<%=---（Z:eZ）,故D正确，

4248'，

故选：ACD.

10.已知招，鸟是椭圆“二2八、的左、右焦点，过点用的直线与椭圆C交于两点,

0晟+京=l（a>b>°）

则（）

A.AB月的周长为2a+2c

B.当直线48垂直于x轴时，"a2b2

叫=工

C.若|9|=2忸局，|回|=忸胤，则椭圆的离心率g

D.当时，椭圆上存在点P,使得点尸向圆片+/=廿所引的两条切线互相垂直

【答案】BD

22

【分析】对于A,由椭圆的定义即可求片的周长；对于B,将x=c代入二+2=1即可；对于C,

ab

由|A局=2忸局，|AB|=|3胤及椭圆的定义得忸叫=|。，忸周=g\AF2\=a,\AF\=2a-\AF^=a,

然后在中，由余弦定理即可求解；对于D,假设存在这样的点尸，由

/3。，0。,/3少，。2/^_19,0。=8可知四边形00*为正方形，则|0升=回，即当.2",时，

椭圆上存在点P满足题意.

【详解】对于A,AABK的周长/=|明|+|期+|即|=（|明|+|伍|）+（忸阅+忸周）=4%故A错误;

222

对于B,当直线AB垂直于R轴时，将％=。代入r・+2v=1得>=±h幺,

aba

所以叫=等故B正确;

对于C,因为|例|=2|明|不=|班

所以忸耳1=1例|+|典|=3|%I，

因为田尸1|+田&|=2。，

所以忸制=|a,\BF2\=^,

所以|4/2|=。，|时|=2。一|转|=。，

29292

COSA.MN2QH—a—a2

AB-BFf44a_1

在AM中,

2MlAB,3a3ar~3

2Q,—

2

cosA:「平川

在△人耳心中,

―2|可阻一~注~-丁

所以e2=£=Le力,故C错误；

a233

对于D,如图②所示，假设椭圆上存在点尸,

过点尸向圆引两条切线，设切点为C和。,

因为PC_LOC,PD±OD,PC±PD,OC=OD,

所以四边形oc，*为正方形,

所以|OP卜后,

所以当。2伤时，椭圆上存在点尸满足题意，故D正确.

图①图②

尤2Iy―1

11.已知函数〃x）=；,则（）

A.函数/（X）有且只有两个零点

B.函数在（-1,2）上为增函数

C.函数〃x）的最大值为5厂

D.若方程/(x)=a有三个实根，则。e(0,5ef

【答案】ABD

【分析】解方程〃司=0,求函数〃元)的零点，判断A,求函数/(x)的导函数，解不等式,⑴>o

可得函数的递增区间，判断B,结合函数的单调性，作函数的图象，结合图象，判

断CD.

【详解】令〃x)=O,贝U+无一1=0,

.-I-A/5-1+A/5

••玉

所以函数f(x)有且只有两个零点，故A正确；

由己知尸(x)=r：x+2,

令/'(%)>°’得一1v尤<2,

令,(%)V0，得了<-1或%>2,

・・・/(%)在(-1,2)上为增函数，在(2,+。)上为减函数,故B正确；

/(X)极大值=7⑵=5e-2,f(x)极大值=f(-l)=-e,

解不等式〃x)>0,得了<菁或x>三,

解不等式/(x)<。，得4-2,

当Xf+8时，当Xf-8时，/■(%)—+<»,

作出了(元)的图象，由图象得，f(x)无最大值，故C错误；

方程〃x)=。有三个实根，即、=f⑶与y=。的图象有三个不同的交点，

•*-0<a<5e-2,故D正确，

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要

的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解

析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）

利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.

三、填空题

12.已知向量4,b满足1〃1=2,ab=l,若则实数2=

【答案

【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律计算即得.

【详解】由得。•(X〃+b),即々a?+〃.。=0,而|〃|=2,d-b=19

则42+1=0,所以2=-工.

4

故答案为：二

4

,（兀］1…

13.已知-w）=亍，则cos2a=.

7

【答案】--/-0.28

【分析】由tan1c-=3及两角和差的正切公式得tanc=g,然后利用二倍角公式化简为齐次式

求解即可.

【详解】因为tan-?tana-11

1+tancr7

4

所以tana=§,

2•22

.2coscr-sina_1-tana7

所以cos2a2=cosa-sma=-------------

cossina1+tan2a25

7

故答案为：一工.

14.已知在数列｛%｝中，q=2,且对任意的相，neN+,都有%+,=%,%，设

23n

f(x)^alx+a2x+a3x++anx，记函数/⑺在x=l处的导数为尸⑴，则使得八1)>2025成立

的n的最小值为.

【答案】8

【分析】先依据题意得出数列｛玛｝是等比数列且求出%=2”，接着结合题意求出

/'(1)=2+2"+3"++”-2",进而得2/(1),于是由错位相减法求出

/⑴=(〃-1)・2"T+2/eN*,再由尸(1)的单调性和九=7以及〃=8时的导数值八1)即可得解.

【详解】令〃2=1,贝此角=4。“=24,所以誓=2,

所以数列｛〃,｝是首项为2,公比为2的等比数列，故氏=2x2""=2",

1l

由题/''(x)=%+2%%+303了2+■+nanx'~,

所以f(1^=(1i+2%+3。3++加I”=2+2,21+3•2*++n-2"①，

所以2/'(1)=22+2.23++(“-1).2'+〃.2向②，

由①一②得，-/\1)=2+22+23+•+2"-«-2K+1=2^-2^-n-2n+1=(1-«)-2,,+1-2,

1—2

所以f'(l)=(九-1>2"T+2,”eN*,且广⑴随着n的增大而增大，

又当”=7时，/(1)=6X28+2=1538<2025,

当"=8时，/,(1)=7X29+2=3586>2025,

故n的最小值为8.

故答案为：8.

四、解答题

15.VABC的内角A,氏C的对边分别为a,b,c,已知acos2?-6cosA=b+c.

(1)求角A；

(2)若。=3,2sinC+sinB=,求VABC的面积.

2

2

【答案】(1)4=］无

口、9-3坦

-4-

【分析】(1)由题意利用边化角可得sinAcosB-sinBcosA=sin+sinC,再利用sinC=sin(A+B)结

合和差公式化简得cosA=-g,继而即可求解.

(2)利用和差公式，由2sinC+sin8=且可得cosB=正，继而可得3=C=j,

由(1)的结论，结合正弦定理及。=3,可得。=布,根据豆哈=$呜-»利用和差公式可得

sinC=近二变，再由面积公式即可求解.

4

【详解】(1)acosB-bcosA=b-^-cf

由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sin5+sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin(A+5),

sinAcosB-sinBcosA=sin3+sinAcosB+cosAsin3,

/.-2sinBcosA=sinB,

sin5w0,

/.cosA=--,

2

0<A<71,

：.A=-Tt.

3

(2)2sinC+sinB=2sinf5+-^-j+sinB

/1・心石、

=2——sin8H-c-o-sB+sinB

22

7

=6cosB=^-，

2

V2

cosB---，

2

0<B<K,

:.B=71C=7i—A—B=7i-------=——

43412

ba

由=2g,

sinBsinA

得b=2A/3sinB=2石x—=,

2

.71..717l.717171.71

sin—=sin(----)x=sin—cos---cos—sin—

12343434

百行1&y/6-y/2

-------X----------------X--------=--------------------,

22224

SAARr=—tzZ?sinC=—x3x^/6xsin—

△ABC2212

=、3x«x逆二遮=匕叵.

244

16.已知函数/(%)=加+而+5+d(存0)的对称中心为(％,/(%)),记函数/(无)的导函数为尸(x),

函数尸(x)的导函数为尸》)，则尸(%)=0.若函数/(x)=xi+bx-+c的对称中心为(1,-2).

⑴求函数/(尤)的解析式；

(2)若过点(-1,0可作三条直线与函数y=/(%)图象相切，求实数t的取值范围.

【答案】⑴/(尤)=/一3尤:

⑵一4。<4.

【分析】(1)根据给定条件，求出导数并列出方程组，求解即得.

(2)设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再将给定点代入切线方程，构造函数并借

助导数求出极值，结合零点个数求出范围.

【详解】(1)函数/(尤)=/+6/+c,求导得尸(x)=3x?+2bx,f"(x)=6x+2b,

广⑴=6+2匕=0,\b=-3

依题意,

f(T)=l+b+c=-2[c=0

所以函数/(无)的解析式/(%)=丁-3/.

(2)设过点(-1J)的直线与函数y=/(x)图象相切于点(为,焉-3年)，

则切线斜率k=f'(x0)=3%-6x0,切线为y-3瑞=(3尤:-6x°)(尤-,

由切线过点(-M),得好(*一3%整理得2年一6无。+£=0,

令g(x)=2x3-6x+t,由过点(-U)可作三条直线与函数y=/(x)图象相切，得函数g(x)有三个零点,

求导得g'(x)=6彳2-6=6(x+l)(x-l),由g'(x)>0,得尤<-1或x>l,由g'(x)v0,得

因此函数g(x)在(1,+8)上单调递增，在(-L1)上单调递减，

函数gQ)在尤=-1处取得极大值g(-D=4+r,在x=1处取得极小值g⑴=-4+7，

]g(_l)=4+f>0

由g(x)有三个零点，得，八，八，解得-4<t<4,

lg(l)=-4+?<0

所以实数f的取值范围是-4<t<4.

17.如图甲，在梯形ABCD中，AD//BC,NADC=90。，BC=CD=2AD=4,E是C£>的中点,

将VADE沿AE折起,使点£）到达点尸的位置，如图乙，MPC=2A/3.

（1）求证：平面尸AE_L平面ABCE；

（2）求平面上与平面PBC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

472090

O----------

209

【分析】（1）取AE中点O,证明POLAE,OPVOC,由线面垂直判定定理证明。尸，平面ABCE,

再由面面垂直判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求平面与平面PBC的法向量，利用向量方法求平面与平面PBC

所成角的正弦值.

【详解】（1）取AE中点。，连接。尸，OC,则

在Rt.ADE中，AD=DE=2,：.OD=42

在AOEC中，oc-=OE2+CE2-2OE-C£COS135°=&+2?-2x0x2cosl35。=10

在△POC中，OP=OD=~Ji,oc=4io,PC=26,

OP2+OC2=PC2,

：.OPA-OC,又AEOC=O,AE,OCu平面

OP_L平面ABCE,

又。Pu平面E4E,平面尸AE_L平面ABCE.

(2)连接08,BE,易得AB=BE=2币,

又。为AE的中点，OB±AE,

Z/

图3

由(1)知OP_L平面ABCE,OB,OAu平面ABCE,

OPVOB,OP±OA,

：.OP,OA,03两两垂直,

如图3,以。为原点建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0)，A(虚,0,0),3(0,3a,0),。卜20,0,0),P(0,0,V2)

设平面PAB的法向量为西=(Xi，yi，zQ,

VPA=(V2,0,-V2),PB=(0H),

nx•PA=y/2x1-6z[=0

取%]=3,贝ij弘=1,Z]=3,

4•PB=3底％-垃z、=0

・•・々=(3,1,3)为平面QAB的一个法向量,

设平面尸5。的法向量为%=(x2,y2,z2),

•••PC=(-272,72,-72),

n2-PB=361y2一屈z?=0,

n2•PC=-2y/2x2+y/2y2-A/2Z2=0,

取以=1，则Z2=3,X2=-1,

・・・%=(-1,1,3)为平面PBC的一个法向量,

设平面R4B与平面所成角为。,

々•“3x(-l)+lxl+3x37A/209

贝|cos6=^^二

风口叫209

故平面R4B与平面PBC所成角的正弦值为拽回.

209

18.某校组织知识竞赛，有AB两类问题.若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得。分；

若8类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分.已知李华同学能正确回答A类问题的概率为

31

了，能正确回答8类问题的概率为彳.

42

(1)若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；

(2)若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：

方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问

题；若答错，则第二次回答另一类问题.

方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类

问题.

为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？

【答案】⑴？

O

(2)选择方案二.

【分析】(1)利用全概率公式计算即可；

(2)利用离散型随机变量的分布列、期望公式一一计算判定两种方案的期望大小即可.

【详解】(1)设4="选择A类问题”，4="选择B类问题"，3=“选中的问题回答正确”

则尸(4)=尸(4)=子尸(M4)=]P(B|4)=5,

所以P(B)=尸(4)・尸国4)+P(4)・尸3=

(2)若选方案一：设李华累计得分为X,则X可能取值为0,20,40,50,100,

P（X=0）=—x—x—+—x—x—,

'72422248

P（X=20）」X，LLL3=2,

1724422432

i339

p（X=40）=-x-x-=—,

v724432

p（X=50）=-x-x-+-x-x-=—,

'722224216

P（X=100）=-x-x-=-,

'72228

则X的分布列为

X0204050100

]_993]_

P

83232168

1993|

E（X）=0x-+20x—+40x—+50x—+100x-=38.75

v783232168

若选方案二：设李华累计得分为匕则y可能取值为0,20,50,70,

p（y=o）=—x—x—+—x—x—=-,

'72422248

3

8

P（Y=50）=—x—x—+—x—x—=-

'72242428

AE(Y)>E(X),故选择方案二.

19.已知点尸(%,%)是抛物线V=2px(p>0)上任意一点，则在点P处的切线方程为

%y=P(x+Xo)―若A，B是抛物线G：y2=依(4>0)上的两个动点，且使得在点A与点8处的两条

切线相互垂直.

(1)当a=6时，设这两条切线交于点。，求点Q的轨迹方程；

(2)(i)求证：由点43及抛物线品的顶点所成三角形的重心的轨迹为一抛物线C1；

(ii)对C1再重复上述过程，又得一抛物线Q，以此类推，设得到的抛物线序列为G，G，C},

C„,试求C”的方程.

3

【答案】=

(2)(i)证明见解析；(ii)y2=^-

【分析】(1)根据题意，写出切线方程，再利用垂直得到斜率相乘等于-1进行化简;

（2）（i）在（1）的基础上，结合重心的性质可以得到重心的轨迹方程；（五）根据图象平移对G重

复上述过程，得到抛物线要观察其变换规律，进而归纳出C”的方程.

【详解】（1）设8（%,%），。（元2,%），

则以：