2025北京九年级一模数学汇编：圆解答题

2025北京初三一模数学汇编

圆解答题

一、解答题

1.（2025北京门头沟初三一模）如图，是Rt^ABC斜边上的中线，以为直径的。与8C交于点

E,过E作。的切线与交于点R

（1）求证：EFVAB-,

4

（2）若tanA=1,AD=5,求的长.

2.（2025北京顺义初三一模）如图，A5是：，。的直径，AB^BC,47交（。于点。，过点。作:。的切

线交8C于点E.

（1）求证：DE1BC；

4

⑵过点C作交的延长线于点若A£>=5,cosZACB=~,求的长.

3.（2025北京石景山初三一模）如图，是（。的直径，点C在。上，OD〃5c交C。于点。，过点

。作。的切线交CB的延长线于点E.

⑴求证：AC=2DE；

3

⑵过点B作"W,M交小于点标若ta"="加=1。，求，。半径的长.

4.（2025北京朝阳初三一模）如图，VABC是。的内接三角形，NACB=45。，点P在8C的延长线上,

PA^OB.

⑴求证：P4是。的切线；

（2）若黑=＜，PB=M，求。半径的长.

211N

5.（2025北京西城初三一模）如图，A5是＞0的直径，点C在。上，连接OC,作直线CELOC,交

直线A3于点E,交Z3OC的角平分线于点，连接50.

（1）求证：BD是:。的切线；

CF1

⑵连接AD交OC于点?若示=彳，BD=1，求।。的半径.

OF2

6.（2025北京平谷初三一模）如图，AB为＞0的直径，点C为。外一点，AB=BC,连接AC交f。于

点。，连接OD,过8作,:。的切线交。O的延长线于点E.

（1）求证：OD//BC；

（2）若8C=10,AC=4A/^,求5E的长.

7.（2025北京大兴初三一模）如图，VABC内接于（。，ZAfiC=45°,过点A作。的切线交延长线

于点。，CE是。的直径.

（1）求证：CE//AD；

324

（2）若BC=《，COSD=M，求AD的长.

8.（2025北京通州初三一模）如图，。是VABC的外接圆，A3是。的直径，点。是C2的中点，连接

AD,OD,分别与CB交于点瓦尸.

np1

⑵过点8作）。的切线交OD的延长线于点G.^-=-,DG=3,求）。半径的长.

AE2

9.（2025北京房山初三一模）如图，A8是：。直径，点。是。上一点，DC是。切线，连接CO交

AD于点E,ZDCO=2ZDAB.

（2）若AE=W，tanZDAB=1,求AD的长.

10.（2025北京海淀初三一模）如图，在VABC中，ZABC=90°,以4B为直径作。交AC于点。.点E

在线段4）上，DE=CD.连接BE并延长交（。于厂.

c

匕—y

(1)求证：ZCBE=2ZBAC；

(2)连接OD交所于点G.若EF=2EG,CD=3,求，。的半径.

11.(2025北京丰台初三一模)如图，AB,C。是10的直径，点E在(。上，连接DE交于点产，连

接AE交C。于点G,ZCDE=-ZAOC.

2

(1)求证：CDLAE-,

⑵过点〃作。的切线交相的延长线于点乩若黑［，AE5求破的长.

参考答案

1.⑴见解析

(2)i

【分析】(1)连接OE,根据切线的性质及直角三角形斜边上中线定理证明得到4?,故可求解;

BC4

(2)由tanA=]=1,设5c=4左，AC=3k,根据勾股定理求出/。=8,AC=6,连接证明

AC3

BFEsBCA,列出比例关系即可求出砥，DF.

【详解】(1)连接OE

•；EF是，。的切线

・•・EFLOE

,/OC=OE,

JZ1=Z2,

是斜边上的中线，

CD=-AB=BD.

2

・•・Z1=NB,

・•・N2=ZB

：,OE〃AB

EFLAB；

BC4

(2)由tanA=——=—,设5c=4左，AC=3k,

AC3

VAB=2AD=10,

.・・(4左丫+(3左丫=1()2

25k2=100.

k2=4•

・•・正数左二2

BC=8,AC—6,

连接。E

A

B

・・,CD是直径，

：.DELBC

：.BE=CE=4

VZB=ZB,ZBFE=ZBCA=9Q0

：.BFEsBCA

.BF_BE

**BC-BA

・BF-*45

••=,

810

【点睛】此题主要考查圆的切线判定综合，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，

解题的关键是熟知切线的性质及相似三角形的判定与性质.

2.(1)见解析；

⑵：.

【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相

关知识点是解题的关键.

(1)连接OD,禾烟等腰三角形的性质得到41cB=N4DO,继而得到OD〃3C,根据切线的性质得到

NODE=90。,得出ZDEC=90。，即可得到结论；

4AnAF4

(2)连接BO,得到继而得至!JcosA=cosNAC5=—cosA=——=—,求出A/=—AC=8,

5ABAC5

5?57

AB=-AD=—,得至IJ3尸=4尸一A5=—.

444

【详解】(1)证明：如图，连接OD,

AB=BC,

，ZA=ZACB.

AO=DO,

，ZA=ZADO.

：.ZACB=ZADO.

，OD//BC.

ANODE=/DEC.

DE是。的切线,

，OD1DE,

1.NODE=900.

:./DEC=900.

:.DELBC.

c

(2)解：如图，连接3D.

c

。的直径,

•：AB=BC,

二。是AC的中点.

AC=2AD=10.

*：CF±AB,

AZF=90°.

4ADAF

cosA=cosZACB=—cosAA==,

5ABAC

45?5

AAF=-AC=8,AB=-AD=—

544

7

BF=AF-AB=-

4

3.(1)见解析

(2)20

【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，正

确作出辅助线是解题的关键.

(1)延长DO交AC于R先证明/FDE=90。，ZACB=90°,则可证明四边形CEDP是矩形，得到

CF=DE,再证明△AO尸推出CF=』AC,即可证明AC=2OE；

2

(2)先证明=得到tan/EBM=tanA=』，即皿=』，设5M=3x,BE=4x,则

4BE4

915

OE=3x+10,AC=2O石=6x+20,解直角三角形得至lj5。=1％+15；AB=—x+25,贝！J

OD=-1AB=i^sx+2-5^-,由相似三角形的性质得到。尸=91％+1=5,由矩形的性质得到小=CE,据此建立

24242

方程求解即可.

【详解】(1)证明：如图所示，延长OO交AC于尸，

DE是。的切线，

：.ZFDE=90%

■:OD//BC,

：.ZCED=180。一ZFDE=90°,

〈AB是。的直径，

工ZACS=90°,

・•・四边形CEO尸是矩形，

：.CF=DE,

,:OD〃BC,

：.△AOFs^ABC,

.AFAO

*'AC-AB-2?

1

AF=-AC

2f

CF=AC-AF=-AC

29

(2)解：・.・BM±AB,

：.ZACB=ZABM=ZBEM=90°,

:.ZCAB+ZCBA=ZCBA+ZEBM,

:.ZCAB=ZEBM9

*.*tanA=—,

4

3

/.tanNEBM=tanA=—,

4

•.•EM二_一3，

BE4

设£M=38BE=4x,贝!］。石=3%+10,

JAC=2DE=6x+20,

tanA鸣3

AC4

39

BC=-AC=-x+15；

42

AB=yjAC2+BC2=—x+25,

2

,:△AOFS/\ABC,

,OFAO_l

'AB-2

JDF=OF+OD=6x+2Q,

•・,四边形CED尸是矩形,

:.DF=CE,

9

/.6x+20=4x+—x+15,

2

解得尤=2,

OD=—x2H=20,

42

，。半径的长为20.

A

4.(1)X4是：。的切线

(2)1

【分析】(1)先利用圆周角定理证得NAOB=90。，再根据平行线的性质，求得/以。=90。，然后利用切

线的判定得出结论；

(2)先证明再根据相似三角形的性质，列出比例式，设OD=k,接着用上表示出02,

然后利用勾股定理求得8。，代入比例式中，求得PD,再利用线段的和求得3尸，得到关于左的方程，求

出％,最后求出03.

【详解】(1)证明：如图，连接。4.

AP

■.ZAOB=2.ZACB=90°.

PA//OB,

■.ZPAOZAOB^9Q0.

；AO是半径，

124是，。的切线.

(2)设。4与3P相交于点D

PA//OB,

■.ZOBP=ZP.

：ZBDO=ZADP,

.AOBD^AAPD.

OPBDOB

'AD~PD~AP'

OB_1

~AP~2,

OPBDOB_1

'AD^PD~AP~2'

OB=OA,

OPOP_1

,~OB~~OA~3'

设OD=k,则OB=3k.

.•.在Rt/XOBZ)中,BD=y/OB2+OD2=＞/Wk-

'PD-2'

:.PD=2Mk.

：.PB=PD+BD=3^k.

PB=M,

：3屈卜=M,

k=—.

3

OB=3左=1.

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用平行线的性质求角度，解题

的关键是证明三角形相似，列出比例式求出待求线段的长.

5.(1)见解析；

(2)—V3.

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆的切线的判定、相似三角形的判定与性质、特殊角

的三角函数值等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键.

(1)由角平分线的定义以及已知条件可证明△OCDg/XOM可得NOCD=NOBD,进而得到NO3D=90。

即可证明结论；

(2)如图：连接AC.易证-A尸C一。尸,ACEs,ODE可得罢=要、空=空=理，进而得到

ODOFODOEDE

DE=2CE=2CD,易证加△03。可得比＞=CD,则瓦＞=CD=CE=7、DE=14、=773,根

据特殊角的三角函数值可得4=30。，则OE=2OC,进而得到血=匿+08=20。+。7=3。。，然后求

得OC即可解答.

【详解】(1)证明：平分/BOC,

:.ZDOC^ZDOB.

OC=OB,OD=OD,

.-.△OCD^AOBD.

:.ZOCD=ZOBD.

.CELOC,垂足是C,

:.ZOCD=90°.

:.ZOBD=9Q°.

・•・半径O5_LBD.

：・BD是。的切线.

(2)解：如图：连接AC.

ZBOC=2ZBOD=2ZBAC.

EA

:"BOD=ZBAC,

:.AC//OD.

AAFC^ADFO,AACE^AODE.

ACCFACAECE

'~OD~~OFJ~6D~~0E~~DE"

CF_1

~OF~2f

.AC_AE_CE_1

,OD-OE-DE-2*

:.DE=2CE=2CD.

.△OCD2△ORD,

BD=CD.

BD=7,

:.BD=CD=CE=7.

:.DE=14.

22

sin/E=,=K，BE=y/DE-BD=773

D匕14Z

・・・/£=30。，

JOE=2OC,

：.BE=OE+OB=2OC+OC=3OC

:.℃=工上,即o的半径为:

33

6.⑴见详解

【分析】（1）由AS=3C,得NA=NC,由OD=Q4,得NA=NOD4,所以NOD4=NC,则

OD//BC；

（2）连接80,作DFLAB于点E由48为。。的直径，得NAT®=90。，由AB=3C=10,

AC=4BS.BD1AC,得OD=O3=5,AD=CD=2®可求得BD=.AB?_Q=4#），由

sABD=-X10DF=-X2A/5X4V5,求得。尸=4,则。尸=3，可证明NOBE=90°,则

22

BFDF4420

—=tanZBOE=tanZFOD=——=—,所以3E=-05=—.

OBOF333

【详解】(1)证明：•・•AB=3C,

・・・ZA=NC,

•：OD=OA,

：.ZA=ZODAf

：.ZODA=ZC,

：.OD//BC.

(2)解：连接BQ,作。尸，AB于点尸，

则ZOFD=90°,

•:AB为)。的直径，

：.ZADB=90°,

VAB=BC=10fAC=4y/5,且BD_LAC,

OD=OB=-AB=5,AD=CD=-AC=2y/5,

22

BD=yjAB2-AD2=y/102-(2A/5)2=4石

SARn=-X10Z)F=-X2V5X4A/5

ABD22

/.DF=4,

・•・OF=yJOD2-DF2=A/25-16=3

•：BE与。相切于点3,

；.BE上OB于点B,

：.ZOBE=90°,

/BOE=/FOD,

BFDF4

：.——=trnZBOE=tanZFOD=—=-

OBOF3

4420

贝1JBE=_06=—x5=—

333

，BE的长为号.

【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定、切线的性质、勾股定理、解直角三角形、根据

面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键.

7.⑴见解析

⑵空

3

【分析】（1）连接49并延长，交C。于点E连接C/,利用切线的性质定理得到NfiW=90。，利用圆周

角定理得到？尸OC90?,再利用平行线的判定定理解答即可；

（2）连接。4EB,过点C作C^J_AD于点用利用平行线的性质和直角三角形的边角关系定理求得

EC,利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和矩形的判定与性质，正方形的判定与性质得到

AF=FC=OA=4,利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得。尸，则结论可求.

【详解】（1）证明：连接AO并延长，交：O于点孔连接CP,如图，

则"为，。的直径，

：AD为〔。的切线，

OA1AD,

：.NE4r>=90。，

*.•ZAFC=ZABC,ZABC=45°,

ZAFC=45°.

OA=OF,

ZOFC=ZOCF=45°,

：.?FOC90?,

ZFOC=ZFAD,

：.CE//AD；

(2)解：连接。4EB,过点C作C/LAD于点孔如图,

CE//AD,

:.NECB=ZD,

4

/.cosZECB=cosND=—.

5

•；CE是。的直径，

/.ZEBC=90°,

BC4

・•・cosZECB=—=-,

CE5

32

•・・BC=y,

32

♦,•5=3，

CE~~5

：.CE=8,

：.OC=OA=OE=4,

'：ZAOC=2ZABC=90°,OA±AD,CF±AD,

四边形asc为矩形，

OA=OC,

四边形Q4FC为正方形，

AF=FC=OA=4,

4DF

*.*cosD=—,cosD=-----

5CD

.。2_4

••=-9

CD5

设。尸=4%，则CD=53

CF=ylCDr-DF2=3k=4<

28

.・・AD=DF+AF=—

3

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角

三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，矩形与正方形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线.

8.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)证明NC4D=NZMB和NADO=NZMB,得到NC40=NA。。，即可得到结论;

r)FDF1

(2)证明ACEsDFE,得至IJ——=——=—,^DF=x,AC=2x,得到AC=2Qb=2x,则

ACAE2

OB=OD=2x,由cos/GOB=CC="即可求出答案.

OGOB

【详解】(1)证明：•・•点。是。3的中点，

过D=»B，

:.ZCAD=ZDAB.

•；OA=OD,

:.ZADO=ZDAB.

:.ZCAD=ZADO,

,\AC//OD.

(2)解:如图，

■:AC//OD,

AC石jDFE,

.DF_DE_T

,AC-AE-2?

二.设DF=x,AC=2x,

TAB是。的直径，

ZACB=90°,

•・•AC//OD,

「.ODLCB于点尸，

:.CF=FB,

二.O/是AACB的中位线,

AC—2OF=2x,

/.OB=OD=2x,

・・・3G是。的切线,

ZGBO=90°f

07?OF

cos/GO5=-----

OGOB

■:DG=3,

2x+32x

・・・。半径的长为3.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、三角形的中位

线的性质等知识，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

9.(1)见解析

⑵当

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关

键.

(1)切线的性质，得到OD_LCD,进而得到NC8+NDCO=90。，圆周角定理结合已知条件推出

ZCOD+ZDOB=90°,进而得到NBOC=90。，即可；

(2)解求出。AOE的长，进而求出的长，连接圆周角定理得到NADB=90。，根据

Ar)空=之叵，求出AD的长即可.

cosZDAB=——

ABAE10

【详解】(1)证明：・・・CD是O切线,

•••ODLCD,

：.ZCOD-hZDCO=90°,

•：/DOB=2NDAB,ZDCO=2ZDAB,

：.ZDCO=ZDOBf

：.ZCOD+Z.DOB=90°,

・•・ZBOC=90。,

CO.LAB；

(2)VCO.LAB,

：.NAO石=90。，

OF1

Atan=—=-,

OA3

・•・OA=3OE9

「・AE=JOH+OE?=MOE=M，

OE=1,

・・・OA=3,

AB=2OA=6,

连接BD,贝lj：ZADB=90°,

AnOA3V10

cosZDAB=一

ABAE10

3A/10，9M

由等3--------x6=--------

105

10.⑴见解析

⑵3石

【分析】(1)连接3D,设/54C=c,先证明BDLCE,然后根据垂直平分线的性质定理证明BC=3E,

再逐步求得NCBE=2a,即得答案；

(2)连接AF,先证明/DGE=90。，接着证明O£»〃AF,即得△OBGs^AB厂和OGEj&号，从而

可得OG=OG,继续证明，OBD是等边三角形，最后利用直角三角形的性质，即可求得答案.

【详解】(1)证明：如图，连接80,设4c=(z,

AB是：。的直径，

:.ZADB=90°,

:.BD±CE,

CD=DE,

BC=BE,

:.ZBEC=ZC,

ZABC=90°,

NC=90。—NR4c=90。—a,

.•./BEC=90Q—a,

ZCBE=180。—NC—/BEC=180。—(90。-a)-(90°-a)=2a,

:"CBE=2/BAC；

...ZABE=ZABC-ZCBE=90°-2a,

ABAC—cc,

:"BOD=2/BAC=2a,

ZDGE=ZBGO=90°f

AB是。的直径，

,\ZF=90°,

:.ZF=ZBGO,

:.OD//AF,

:.Z\OBG^Z\ABF,

.OG_OB

*AF-AB-2?

.-.OD//AF,

DGEsAFE,

.DGEG

•,寿一商’

EF=2EG,

DG1

••=一,

AF2

\OG=DG,

ZBGO=90°f

DB=OB,

OB=OD,

：.DB=OB=OD,

.•.△05。是等边三角形，

:.ZODB=60°f

.\ZDBE=30°,

DE