2025高考数学冲刺复习：空间向量和立体几何（原卷版）

第05讲：空间向量和立体几何

【题型归纳】

＞题型1：几何表面积的求法

＞题型2：几何体积的求法

＞题型3：几何体的内切、外切问题

＞题型4：求异面直线所成的角

＞题型5：点、线、面的位置关系问题

＞题型6：线面、面面垂直的证明

＞题型7：定义法或几何法求线面角、面面角

＞题型8：向量法求空间角问题

＞题型9：等体积法求点面距离

＞题型10：向量法求空间距离

＞题型11：几何新定义

【题型探究】

题型1：几何表面积的求法

1.（24-25高三下•海南省直辖县级单位）米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的

用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为

了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4点和20，侧棱长为2迷.则其外接球的表面积

为（）

A.49兀B.56兀

C.65TID.130K

2.（2025・吉林•三模）棱长为2的正方体ABC。-4与中，棱3c的中点为E,棱。2的中点为尸，则三棱锥

A-2环的外接球的表面积为（）

7兀

A.B.7兀C.14KD.28兀

2

3.（2025・天津・一模）已知A,B,。为球0的球面上的三个点，为VABC的外接圆，若0。1的面积为8兀,

AB=BC=AC=OOlf则球。的表面积为（）

A.36KB.64KC.128TID.256兀

题型2：几何体积的求法

4.（2。25・甘肃平凉•模拟预测）如图，在梯形中，ABHDC,BCLAB,回234,E为线段A8

的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以线段班的垂直平分线为旋转轴旋转一周，则

所得几何体的体积为（）

A.871B.------C.7兀D.6兀

3

5.（2025•海南海口•模拟预测）石墩是常见的维护交通秩序的道路设施.某路口放置的石墩（如图），其上部是原球

半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、：16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全

吻合，整个石墩的高为33cm,则石墩的体积为（）

（注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积

V=g兀（3氏-孙川,其中R为原球半径，九为球缺的高.）

A.4374兀cm3B.5048兀cnPC.5336兀cm3D.7260兀cnP

6.（2025・山东聊城•模拟预测）宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷.宋蒋祁《陶记》中“江、

湖、川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史实.图1为宋代的影青

瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6cm,

上面的花口盏是底面直径分别为8cm和10cm的圆台，下面的盏托由底面直径8cm的圆柱和底面直径分别为12cm

和8cm的圆台组合构成，示意图如图2,则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（）

图1

图2

A.24871cm3B.274兀cn?C.3547rcm3D.370兀cn?

题型3：几何体的内切、外切问题

7.（2025・广东•一模）如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为4,杯底的半径为3,高为6.5,当

杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为〃的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则

2C.3D.3.25

8.（2025・天津和平•一模）已知正四面体ABCD（四个面都是正三角形），其内切球（与四面体各个面都相切的球）

7T

表面积为设能装下正四面体ABCD的最小正方体的体积为匕，正四面体ABCD的外接球（四面体各顶点都在球

6

的表面上）体积为匕，则匕•匕=（）

A-今

B-去c.逑兀c3

D.一兀

82

9.（2025・河南鹤壁•二模）如图，在三棱锥A-3CD中，VABC和△BCD均为边长为心的等边三角形，若二面角

A-BC-D的大小为90。，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

C.6nD.9n

题型4：求异面直线所成的角

10.（2025•安徽合肥•二模）已知A8为圆锥尸。的底面直径，。为底面圆心，正三角形ACD内接于。。，若24=6,

圆锥的侧面积为120兀，则上4与80所成角的余弦值为（）

A.巫B.BC.@D.正

6453

11.（2025•新疆喀什•二模）《九章算术》中将正四棱台称为方亭，如图，在方婷ABCO-A4G2中，AB=2A与=4,

其体积为变1,E,尸分别为AB,8c的中点，则异面直线的与所所成角的余弦值为（）

3

AC.

A.1B.-C.@D.—

2322

12.（25高三上•上海）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴

旋转120。得到的，G是弧。P的中点，设尸是弧CE上的一点，且则AG与3尸所成角的大小为（）

A.45B.15°C.30°D.0°

题型5：点、线、面的位置关系问题

13.（2025•北京丰台•一模）己知加，,是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若〃zua,nuB,a//,则机B.若m〃n,"ua,则机〃&

C.若（z_L/7,ml（3,n±m,则〃_LaD.若〃z_La,nY/3,mLn,则aJ■月

14.（2025高三•全国）在底面半径为1的圆柱。。1中，过旋转轴。作圆柱的轴截面ABC。，其中母线AB=2,E是

8c的中点，下是45的中点，则（）

A.AE=CF,AC与EP是共面直线B.AE^CF,AC与所是共面直线

C.AE=CF,AC与跖是异面直线D.AEHCF,AC与砂是异面直线

15.（2025•北京丰台•一模）如图，正方体ASCD-ABC'。'的棱长为2,E为C。的中点，下为线段AC上的动点,

给出下列四个结论：

①存在唯一的点尸，使得A,B',E,尸四点共面；

②EF+D'F的最小值为273;

③存在点尸，使得AF1.DE；

④有且仅有一个点尸，使得平面AEF截正方体ABCD-AB'C'D'所得截面的面积为2«.

其中所有正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

题型6：线面、面面垂直的证明

16.（25高三全国）如图，在四棱锥尸-ABCD中，△R4D和均为正三角形，ADLDC,DCf,AB=2,M

为PC上一点，设平面PAD与平面P2C的交线为/.

⑴求证：AD//面尸BC；

⑵求证："/面ABCD；

V

⑶当R4〃平面DMB时，面与尸B交于Q,求;的值.

P-ABCD

17.（25高三全国）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，底面ABCD为矩形，平面R4D，平面ABC。，PA±PD,PA=PD,

E,尸分别为AD,P8的中点.

（1）求证：PELBC；

（2）求证：平面平面PCD；

⑶求证：£F//平面尸CD.

18.(24-25高三下•浙江宁波)如图已知四棱锥S-AfiCD,底面A3C£＞为梯形，AD//BC,SA=AB=BC=2,AD=3,

P、。为侧棱SD上的点，且。P：PQ：QS=3:2:4,点/为&4上的点，且3A"=AS.

⑴求证：CP〃平面SAB；

(2)求证：平面面WQ〃平面ACP；

(3)平面8M0与侧棱贸7相交于点E,求当的值.

题型7：定义法或几何法求线面角、面面角

19.(2025•北京通州•一模)如图1,将边长为2的正六边形ABCD历沿AD翻折，使平面ADg居与平面ABCD垂直,

如图2.点M在线段4)上，CD〃平面加鸣.

(1)证明：M为线段AD中点；

⑵求二面角F.-BM-D的余弦值.

20.(2025•安徽安庆•模拟预测)如图，四边形ABC。是圆。所有内接四边形中面积最大的四边形，P为平面ABCZ)

71

外一点，且△上包注A54D,ZPAB=~,E是尸3的中点.

⑴证明尸。//平面A£C；

(2)求二面角D-BP-A的余弦值.

21.(2025・上海松江・二模)已知梯形PBCD中，PD//BC,E为尸。上的一点且3E_LPD,PE=BE=1,BC=；ED,

将△P3E沿BE翻折使得二面角P-BE-C的平面角为。，连接PC、PD,尸为棱PO的中点.

(1)求证：FC//平面PBE；

兀

⑵当。=三2时，求直线FC和平面BCDE所成角的大小.

题型8：向量法求空间角问题

22.（2025•广东惠州•一模）如图1,VABC是等边三角形，4c为等腰直角三角形，DA=DC=®，将△ZMC

沿AC翻折到AR4c的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2）,点尸在线段PB上（不含端点）.

Q）若PB=2.

（i）当点P为线段网的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小;

（ii）设平面ACF与平面PBC的夹角为。，求cosa的取值范围.

23.（2025•内蒙古呼和浩特•二模）如图1,在等腰直角三角形DPC中，FD=FC,A、B、E分别在线段FC、

CO上，且AB〃CD,AE//FC.已知E4=l,AD=2,沿AE将zJME折起，使得平面平面AFCE,如图

2.

图1图2

（1）求证：平面平面ABD；

（2）求直线。尸与平面EDC所成角的正弦值;

（3）点。在线段O歹上，设直线8。与直线所成角为凡求cos。的最大值.

24.（2025•广东揭阳•二模）如图，NABC,ADBC,AEBC都是等边三角形，点E分别在平面ABC的上方和

下方，点。为BC中点.

D.

C

(1)求证：A,D,O,E四点共面;

(2)若AD=AB=2^,求直线OE与平面ACD所成角的正弦值的最大值.

题型9：等体积法求点面距离

25.(2025高三•全国)如图，三棱柱ABC-ABIG中，侧面朋片台与底面ABC垂直，且3c=2AS=2,AC=不，

。为侧棱AA的中点，三棱锥耳的体积为g.求三棱柱ABC-ABC1的高.

26.(2025•上海杨浦•二模)座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留

了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，。卜。分别为正八棱柱的上

下两个底面的中心，已知O4=1,AA=4.

(1)求证：BC±ClF.

⑵求点。到平面ACG1的距离.

27.(24-25高三下•上海虹口・期中)如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，平面ABC。，AB±AD,AD//BC,

AB-BC—2,AD=4.

(1)求证：平面P4C_L平面尸CD；

TT

(2)若异面直线网和CD所成角为§,求点B到平面PCD的距离.

题型10：向量法求空间距离

28.(2025•北京东城•一模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形A2CD为平行四边形，平面平面

CDE,AD工DE,AD=DE=DC=1,BF//DE.

（1）证明："//平面AZ）石；

（2）已知点E到平面AFC的距离为渔，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求3尸的长.

2

条件①：AELCD-,

条件②：AC=CE.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

29.（2025•宁夏银川•二模）如图①所示，四边形ABCQ是直角梯形，AQ//BC,AQ1AB,且AQ=23C=2AB=4,。

为线段AQ的中点.现沿着8将AQCD折起，使0点到达尸点，如图②所示，连接PAPB,其中M为线段R4的中

点.

O

⑵若二面角A-CD-尸的大小为60。，则在线段PC上是否存在一点N,使得直线PB与平面所成角的正弦值为

!?若存在，求党的值；若不存在，请说明理由;

⑶在（2）的条件下，求点A到平面BDV的距离.

30.（2025•天津河东•二模）在多面体ABC-。石尸中（如图所示），底面正三角形A5C边长为2,EAJ_底面ABC,

AE//BF//CD,CD=3,AE=2,BF=\.

⑴求与平面。匹所成角的正弦值；

⑵求点A到平面CEF的距离；

(3)42的中点为G,线段CD上是否存在点P使得PG与平面。EF平行，若存在求PC长度，若不存在说明理由.

题型12：几何新定义

31.(2025•广西南宁•二模)在空间直角坐标系。盯z中，任意平面的方程都能表示成Ax+8y+Cz+£>=。(A,B,C,

OeR,且A2+4+C2wO),拓=(A,民C)为该平面的法向量.设M是多面体的一个顶点，定义多面体在M处的离散

曲率为以=1-LqMNjMMNs+…包N-MN"NnMN。,其中N,(i=l,2,3,…，”，〃之3)为多

2兀

面体的所有与点M相邻的顶点，且平面MMN2，N2MN.,Nn_tMNn,乂加乂遍历多面体的所有以M为公共

顶点的面.多面体的离散总曲率为该多面体各顶点的离散曲率之和.已知空间直角坐标系。孙z中，几何体W的底面在

平面Oxy内,且侧面上任意一点(x,%z)满足,国：m|+两z卜3瓜

(1)判断几何体W的形状，并求几何体W的两个相邻侧面所在平面夹角的余弦值；

(2)求几何体W的离散总曲率；

+8a

⑶定义：若无穷等比数列仅"｝的公比q满足。<⑷<1,则｛%｝的所有项之和S=X。“=一・若球与几何体W的

〃=iq

各面均相切，然后依次在W内放入球。2,球。3，…，球。用，…，使得球。用〃eN*)与w的四个侧面

相切，且与球。"外切，求放入的所有球的表面积之和.

32.(2024.江西新余.模拟预测)我们规定：在四面体尸-ABC中，取其异面的两条棱的中点连线称为尸-ABC的一

条“内棱”，三条内棱两两垂直的四面体称为“垂棱四面体”.

z.

My/

/跖

A

M6

M2

B

⑴如左图，在四面体P-ABC中，昭«=1,2,…,6)分别为所在棱的中点，证明：P-ABC的三条内棱交于一点.

(2)同左图，若尸-为垂棱四面体，知［"2=2,用3加4=4,肘5/6=6,求直线网与平面A3C所成角的正弦值.

2

(3)如右图，在空间直角坐标系中，x0y平面内有椭圆C：/+乙=1,居为其下焦点，经过片的直线>=后+加与C交

2

于AB两点,尸为x°y平面下方一点，若尸-4?。为垂棱四面体，则其外接球表面积S是左的函数S小)，求5(%)的

定义域与最小值.

33.(2022.辽宁沈阳•二模)峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的

三棱锥”—ABC,J-CDE,K-EFA,再分别以AC,CE,E4为轴将AACH,ACE7,4E4K分别向上翻转180。，

使H,J,K三点重合为点S所围成的曲顶多面体(下底面开口)，如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来

刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2兀减去蜂房多面

体在该点的各个面角之和(多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示).例如：正四面体在每个顶点有3

TT7T

个面角，每个面角是所以正四面体在各顶点的曲率为2兀-3、§=71.

力1B\AiBi

图1图2

⑴求蜂房曲顶空间的弯曲度；

(2)若正六棱柱底面边长为1,侧棱长为2,设BH=x

(i)用尤表示峰房(图2右侧多面体)的表面积S(x)；

(ii)当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.

【高考达标】

一、单选题

1.(2025•广东揭阳•二模)尸是正四棱柱ABCD-A耳GR表面上的一个动点，AAI=2AD=4,当直线AP与正四棱

柱六个面所成角的大小相等时，AP与AG所成角的余弦值为（）

A.述B.正C.iD.亚

3336

2.（2025•北京东城•一模）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一、距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面

的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱,

代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱四和两根金柱8A，CG形成的几

何体ABC-ABIG（图2）中，=米，ZBAC«144°,则平面A4G与平面ABC所成角的正切值约为（）

图1

4

C.D.

13sinl8°4sinl80---------------------3cosl80----------------------4cos18°

3.（2025・湖南•二模）在正三棱柱ABC-A与G中，AB=AAl=6,E为线段CQ上的动点，。为BC边上靠近8的三

等分点，则三棱锥A-3DE的外接球体积的最小值为（）

A.32扃B,幽叵C.史逑D.108^

2727

4.（2025・上海奉贤•二模）如图，在平行六面体A3CO-A与GA中，点N在对角线AC上，点M在对角线A5上，

___，1—>.1—.

\N=-NC,以下命题正确的是（）

___.1___.

C.2M与4。是异面直线D.DXN=-NM

5.（2025・甘肃白银•二模）在三棱柱ABC-A^IG中，过百G的平面与A3,AC分别交于点E,F,且该平面将三棱

柱ABC-A与G分成体积相等的两部分，则芸=（）

EB

A.也B.|C.且D.-

3243

6.（2025•江苏泰州•二模）在三棱锥S-ABC中，底面VABC为斜边AC=2近的等腰直角三角形，顶点S在底面A3c

上的射影为AC的中点.若&4=2,E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为（）

A.76+>/2B.2A/3C.2（百+1）D.2（73-1）

TT

7.（2025・山西临汾•二模）在三棱锥尸—ABC中，APAB=ZCAB=-,AP=AB,AB+AC=6,且二面角尸—AB—C的

2

2兀

大小为三，则当该三棱锥的外接球体积最小时，AB=（）

121824

A.—B.3C.—D.—

777

二、多选题

8.（2025・陕西•三模）在边长为3的正方体ABCD-4用62中，动点M在棱上，动点N在棱CC1上，满足

MN1BD、.以下对跖V运动过程的描述，正确的是（）

A.存在MN,满足

B.存在MN,使MN与所成角的余弦值为好

3

C.点C到平面MND,的距离为定值

D.四面体MVR4的体积为定值T

9.（2025•河南郑州•模拟预测）已知正方体AB。-的棱长为2,点M为正方形ABCD（包括边）内一动点,

则（）

A.任意点均有平面48m，平面BCG用

B.不存在点使得C%//平面4月加

C.若直线AC与平面4与M所成角为45。，则点M在棱A3上

D.若直线。2与&W所成角为30。，则点”的轨迹长为叵

3

10.（2025•江西鹰潭•二模）已知三棱柱ABC-A用G为正三棱柱，且44t=2,AB=2框,。是与G的中点，点尸是

线段上的动点，则下列结论正确的是（）

A.APIB^

B.四面体A-BGa外接球的表面积为20兀

C.若4P=2,则异面直线”与5a所成的角为

4

D.若过5c且与AP垂直的截面a与AP交于点E,则三棱锥A-5CE的体积的最大值为地

2

11.（2025•广东清远・二模）如图，在直棱柱ABCD-4200中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZBAD60°,A4t=2,

点尸为CG的中点，动点。在侧面DCGQ内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A.BD1A.P

B.平面48尸与平面A5CD所成角的余弦值为噜

C.若AQ=而，则点Q轨迹的长度为华

D.若点G在直线Ad上，则AG+GP的最小值为他-2屈

三、填空题

12.（2025・甘肃白银・二模）已知圆台002,其上底面圆01的直径为2,下底面圆。2的直径为8,母线长为5,则该

圆台的体积为.

13.（2025•江西景德镇•三模）已知三棱锥尸-ABC的各顶点均在半径为2的球。球面上，BC="/BAC=60。，

AP=2四,则三棱锥尸-MC体积的最大值为.

14.（2025・上海宝山•二模）空间中有相互垂直的两条异面直线4、4,点A、BJ,C、DJ,且AB=4,CD=1,若

DA±DB,且AC=3C+2,则二面角O-AB-C平面角的余弦值最小为.

15.（2025・四川成都•三模）在三棱锥尸-ABC中，PA,PB,PC两两垂直，且R4=P3=PC=2.若M为该三棱锥外

接球上的一动点，则丽.标的最小值为.

16.（2025•陕西咸阳二模）在正方体A8a>-A4G2中，E为42的中点，下为底面ABCD上一动点，口与底面

ABCD所成的角为6,若sin6»-cos6»=4j,且该正方体的外接球的体积为4后，则动点P的轨迹长度为.

2

四、解答题

17.（2025•甘肃陇南•模拟预测）如图，四边形A3CD是正方形，ABEF是矩形，平面ABCD1平面,

AF=^AB=2,G是砂上一点且EG=〃Z（O<“2<4）.

（1）当机=2时，求证：平面AGC_L2GC；

⑵当根=1时，求直线AC与平面BCG所成角的余弦值.

18.（2025•贵州黔南•三模）在平面四边形A3CD中，ADLAC,ACYBC,如图1所示.现将图1中的VABC沿AC

折起，使点8到达点尸的位置，且平面PACL平面PAD,如图2所示.

DP

图1图2

（1）求证：AD1PC；

4n

⑵若々=AC,二面角A-PD-C的大小为6。。,求就的值.

TT

19.（2025•河南•二模）如图1,在半径为2的扇形。尸。中，ZPOQ=-,C是弧PQ上的动点（不含尸，2）,过点

C作CD//。。，交OP于点。.当AOCD的面积取得最大值时，将扇形OC。沿着OC折起到OCE,使得平面OCEL

平面OPC（如图2所示）.

Q

图1图2

⑴求图2中OD的长度；

⑵求图2中直线C。与PE所成角的余弦值；

（3）探究在图2中的线段OE上是否存在点使得四面体