2025年北师大版九年级下册数学期末压轴题专项复习：二次函数综合- 特殊三角形问题

专题2.4二次函数综合—特殊三角形问题

典例精析

【典例1】如图,抛物线的顶点坐标为P(2,6),且与久轴交于点48(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C

点。为该抛物线的对称轴上的点.

(I)求该抛物线的函数表达式和点a的坐标；

(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点E,使得AADE是以。为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求

出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-2尸+6,将点C(0,三)代入，利用待定系数法即可求解，令y=0即

可求得点a的坐标；

(2)记抛物线的对称轴与％轴的交点为F,则F(2,0),分两种情况：①当点E在x轴上方时，如图点。、E分

别在点久灯的位置，过点Ei作第N1PF于点N,证明△AFA三△DLNEI(AAS),得DrN=AF,£>1F=F1yV,

设DI(2,TH),则EI(TH+2,TH+3),代入y=—|/+gx+£可得m的值，从而求得的坐标；②当点E在x轴

下方时，如图点。、E分别在点。2%的位置，过点E2作石2“1PF于点”，同理可得E2的坐标.

【解题过程】

(1)解：设抛物线的函数表达式为y=a(久一2尸+6,

将点C(O，T)代入得：4a+6=?,

2

-

解得a=3

••・抛物线的函数表达式为y=-|(x-2)2+6=-|%2+5%+y,

令y=0得：-[%2+£%+¥=0,

解得X1=-1,x2=5,

■■A(5,0)；

(2)解：存在点E,使得AADE是以。为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：

记抛物线的对称轴与x轴的交点为F,贝IJ"2,0),

①当点E在久轴上方时，如图点。、E分别在点。送1的位置，过点当作EiN1PF于点N,如图:

Z.AD1E1=90°,

乙

•••Z-ADrF+E]D1N=90°,

•・•乙EiDiN+乙DHN=90°,

乙

•••Z-ADrF=D]E]N,

】乙、

ADr=DEi，Z-AFDr=DNE]=90。，

・•・△AFDi三△DiNEi(AAS),

:.D\N=AF,D]F=E]N,

•・•4(5,0),尸(2,0),

AF=D]N=3,

设Di(2,m),则Ei(ni+2,m+3),

将+2,m+3)代入y=—|x2+g得：—家771+2)2+乳血+2)+g=瓶+3,

解得机=一3(舍去)或根=点

②当点E在x轴下方时，如图点。、E分别在点。2%的位置，过点段作E2Hlp产于点H,如图:

、,74

7W

/竿'、」

•••Z-AD2E2=90。，

•••Z-AD2F+Z.HD2E2=90°,

•・•^HD2E2+^HE2D2=90°,

•••Z-AD2F=Z.HE2D2f

AD2=D2E29Z-AFD2=Z-D2HE2=90。，

AFD2=AD2HE2(AAS),

D2H=AF,D2F=E2H,

•••A(5,0),F(2,0),

D2H=AF=3,

设。2(2,n)，则E2(2—几荏一3),

把第(2—n,n—3)代入y=—|%2+|x+三得：—|(2—n)2+—n)+^-=n—3,

解得：九二3(舍去)或n=一(

••・%9,号）・

综上所述，E的坐标为6、）或（葭,—

学霸必刷

1.(2023•浙江•九年级假期作业)如图，已知抛物线y=—/+2%+3与尤轴交于A、B两点(点A在点2

的左边)，与y轴交于点C,连接BC.

(1)求A、B、C二点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)若已知x轴上一点N(|,0),则在抛物线对称轴上是否存在一点。，使得ACNQ是直角三角形？若存

在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)分别令久=。和y=0进行求解即可；

(2)设Q(l,m),分别按C、N、。三点为直角顶点，应用勾股定理进行求解.

【解题过程】

(1)解：由y=-/+2久+3得到：y=-(%+1)(%-3)=-(%-I)2+4,

令y=0,贝+1)(%—3)=0,

.'.x——1或x=3,

则4(—1,0),5(3,0),对称轴是x=l.

令x=0,则y=3,

所以C(O3),

综上所述，4(-1,0),5(3,0),C(0,3),对称轴是x=l；

(2)解：假设存在满足条件的点Q.

设Q(l,m).

又C(0,3),

CN?=32+(I)=印CQ2=l2+(3—m)2—m2—6m+10,NQ2=(|-1)+m2=^+m2,

①当点C是直角顶点时，则UN?+CQ2=NQ2,即¥+血2-67n+1。=；+加2,

44

解得m=I，

此时点Q的坐标是（1,1）；

②当点N为直角顶点时，CN2+NQ2=CQ2,即手+，病=62—6血+10,

解得7n=/

此时点Q的坐标是（1,一［）；

③当点Q为直角顶点时，CQ2+NQ2=CN2,gp^=l+m2+m2-6m+10,

解得小=?或巾=上/，

此时点Q的坐标是（1,手）或（1,2尹）.

综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（1,或（1，一（）或°，手）或°，手）

2.（2022秋・山西吕梁•九年级校考阶段练习）综合与探究

如图，抛物线y=--+2刀+3与x轴交于4B两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点C,点P是第一象限

内抛物线上的一个动点.

（1）请直接写出点A,B,C的坐标；

（2）是否存在这样的点P,使得SACOP=SABOP?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q是直线BC上一点，是否存在点Q,使得以点4、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,

求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

（1）令x=0,求出丫值，令y=0,求出x的值，进而得到点A,B,C的坐标；

（2）根据SACOP=SABOP，得到P点的横纵坐标之间的数量关系，再跟点P在抛物线上，进行求解即可；

（3）分4c=CQ.AC=AQ,AQ=CQ,三种情况进行讨论及求解即可;

【解题过程】

(1)解：Vy=—x2+2%+3,

当久=0时，y=3,当y=0时，0=—％2+2%+3,解得：=-1,%2=3,

・・・」(T0),B(3,0),C(0,3)；

(2)解：设P(7n,7i)(7n>0,n>0),

•・・B(3,0),C(0,3),

OB=OC=3,

:・S4cop=^OC-m=等,SABOP=^OB-n=y,

•S^COP=S^BOP，

Am=n,

.\P(m,m),

.\m=—m2+2m+3,解得：m=^+1(负值已舍掉)；

(3)存在，设直线BC的解析式为：y=kx+t,

则：产+t;°,解得：fk=-1,

<t=3<t=3

Ay=—%+3；

设Q(p，-p+3),

VX(-l,0),C(0,3),

.,.AC2=l2+32=10,AQ2=(p+I)2+(3—p)2=2P2—4p+10,CQ2=p2+p2=2p2,

当AC=CQ时：2P2=10,解得：p=±V5；

/.Q(V5,-V5+3)或Q(-V5,V5+3)；

当4c=4Q时：10=2p2-4p+i。，解得:p=o(舍去)或p=2,

■,•<2(2,1)；

当AQ=CQ时：2P2=2p2-4p+10,解得：p=|,

••・Qg》

综上：Q(V5,-V5+3)或Q(-4,小+3)或Q(2,l)或Q

3.(2023秋•山西晋城•九年级校考期末)如图1,抛物线y=a/+6%+3与尤轴交于4(-1,0),B(4,0)两点，

与〉轴交于点C,顶点为D点P是直线8C上方抛物线上的一个动点，过点尸作PElx轴于点E,交直线BC

于点Q.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求线段PQ的最大值;

(3)如图2,过点尸作x轴的平行线交y轴于点连接QM.是否存在点P,使得△PQM为等腰三角形?

若存在，请直接写出点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出点C的坐标，进而求出直线BC的解析式，设P(m,-|m2++3^,则Q(m,-|e+3),

则「(？=一式小一2)2+3,由此即可求出答案；

(3)先证明PQ1PM,则当APQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，设P(n,-|n2+|n+3),

则Q(n,—：n+3),则一3"+372=践，解方程即可.

【解题过程】

(1)解：把2(-1,0),8(4,0)代入了=£1/+法+3中得：二

116a+48+3=0

(a=—3

.4

"b=2'

I4

...抛物线解析式为y=-；%2+^%+3；

(2)解：设直线BC的解析式为y=/cc+&,

在y=—2/+2%+3中，当x=0时，y=3,

,44J

.•.C(0,3),

把C(0,3),8(4,0)代入丫=入+%中得「卜、3：。

I瓦=3

・,・直线BC的解析式为y=-jx+3,

设P（7n,—jm2++3^,则Q（?n,一：7n+3）,

:.PQ=--m2+-m+3—f--m+3）

<44V4/

393

=--m9z+-m+34--m—3

444

3

=--m7+3m

4

=一式加—2）2+3,

3

V--<0,

4

・••当m=2时，PQ有最大值，最大值为3；

（3）解：:PQ1久轴，PM||%轴，

：.PQ1PM,

・・・当4PQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，

设P（九，一|九2+：九+3）,则Q（n,一：几+3）,

同理可得PQ=--n24-3n,

4

又「PM=n,

--n2+3n=n,

4

解得n=:或n=0,

.••存在一点尸，当点P的横坐标为，时，APQM为等腰三角形.

4.（2023春・山东济宁・九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=-^x+2的图象与x

轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=a%2+b久+。关于直线％=利称，且经过A,C两点，与x轴交

于另一点为b

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点尸作轴于交4C于。，求PQ的最大值，并求

此时尸点的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上找一点。，使△4DC是以4C为直角边的直角三角形，请求出点。的坐标.

【思路点拨】

(1)先求得A,B,C的坐标，再利用待定系数法即可求解；

(2)设P点坐标为(m,-)2+|m+2),则点Q的坐标为(m,-如+2),由PQ=(-)2+17n+2)一

|m+2)=—|m2+2m=—|(m—2)2+2<2,即可求解；

(3)^-AC2+AD2=CD2,AC2+CD2=AD2,两种情况，分另U求解即可.

【解题过程】

(1)解：令y=-|x+2=0,

解得：x=4,

即点A的坐标为(4,0).

：A、8关于直线x=|对称，

.•.点3的坐标为(一1,0).

令x=0,则y=2,

.♦.点C的坐标为(0,2),

•抛物线、=ax?+匕乂+c经过点A、B、C,

c=2(a=~1

.,.有,a—b+c—0,解得：(b=三.

.16a+4b+c=02

\c—2

故抛物线解析式为y=-|%2+|x+2；

(2)：PQlx轴，设P点坐标为(m,_：ni2+|m+2),

・••点Q的坐标为+2),

1

22+2<2

:・PQ=f—|m2-(m-2)-

・•・当血=2时，PQ最大=2,止匕时点尸(2,3)；

(3)假设存在,设。点的坐标为(|,n).

由两点间的距离公式可知：AC=J42+(0-2尸=2V5,AD=+n2,CD=J(J+5-2)2,

△2DC为直角三角形分两种情况：@AC2+AD2=CD2,

此时有20+(|—勺?+声=弓了+5一2)2,即：4几=一20,

解得：n=-5,

此时点。的坐标为(|,-5)；

@AC2+CD2=AD2,

此时有20+针+5-2)2=俱一4)2+声，即：20-4n=0,

解得：n=5,

此时点。的坐标为(|,5);

综上可知：在抛物线的对称轴上存在点。，使AZDC为直角三角形，点。的坐标为(|,-5)或(右5).

5.(2023•浙江•九年级假期作业)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x+c(aK0)与x轴相交

于A,8两点，与y轴相交于点C,直线y=kx+n(kH0)经过8,C两点，已知4(1,0),C(0,3),且BC=5.

(1)试求出点8的坐标.

(2)分别求出直线BC和抛物线的解析式.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)由。C=3,BC=5,可由勾股定理求OB,进而得点8坐标；

(2)用待定系数法即可求解函数解析式；

(3)设点P坐标为传,小)，分三类讨论：①当NPCB=90。时；②当NPBC=90。时；③当NBPC=90。时，

分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可.

【解题过程】

(1)解：•.,点C(0,3),即。C=3.

,:BC=5,

在RtABOC中，根据勾股定理得。2=7BC2-0C2=4,

即点B坐标为(4,0).

(2)把B(4,0),C(0,3)分别代入丫=依+九中，

得产+n;0,解得卜=V.

1

n=3In=3

...直线BC解析式为y--|x+3；

把4(1,0)、B(4,0)、C(0,3)分别代入y=a/+bx+c得

a+b+c=0(a=4

16a+4b+c=0,解得＜b=_£.

c=3/

Vc=3

抛物线的解析式是y=|x2-^x+3.

(3)在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：

•••抛物线的解析式是y=[/一个》+3,

二抛物线对称轴为直线x=

2a2

设点P坐标为(|,巾).

①当"CB=90。时，WBP2=BC2+PC2.

\'BP2=(4-|)2+m2,PC2=(|)2+(m-3)2,BC2=25,

・•・(4一|)2+m2=(|)2+(m-3)2+25,

解得：m=y,

故点

22

②当NPBC=90。时，WPC2=PB+BC.

•/PC2=(I)2+(m-3)2,PB2=(4-j)2+m2,BC2=25,

(I)+(m-3产=(4——+—+25,

解得：m=-2,

故点02e，—2)；

③当NBPC=90。时，Wee2=BP2+PC2.

'：PC2=(|)2+(m-3)2,PB2=(4-|)2+m2,BC2=25,

A25=(4-1)?+m2+(j)2+(m-3)2.

Az/zg3+2A/63—2^6

角牛得：mi=----------，m=-------，

12242

・•・P3仔亨),嗟，亨).

综上所述，使得ABCP为直角三角形的点P的坐标为(|5)或(|,-2)或(|,三竽)或(|,三).

6.(2023秋・山西阳泉•九年级统考期末)综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx-2与％轴

交于点和点8(4,0),与y轴交于点C,过动点0(0,7n)作平行于无轴的直线直线，与抛物线y=ax2+

(1)求抛物线的表达式;

(2)求m的取值范围;

(3)直线I上是否存在一点P,使得ABCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求小的值；若不存

在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)把点4(一1,0)和点B(4,0)代入y=aM+bx-2,求解即可；

(2)将抛物线解析式化成顶点式，求得y的最小值为-；.由直线/与抛物线有两个交点，即可得出m>-个；

88

(3)分两种情况：①当NBCP=90。，BC=PC时，②如图，当NCBP=90。，BC=BP时，分别求解即可.

【解题过程】

(1)解：；抛物线丫=(1/+£^—2经过点4(—1,0)和点8(4,0),

(CL-b-2=0,

*ll6a+4Z>-2=0.

(1

ci——f

解得V2

b=

I2

...抛物线的表达式为y-jx2-|x-2.

(2)解：

・，・y的最小值为一字

・・,直线/与抛物线有两个交点，

・、25

・・771>----.

8

(3)解：存在.

当x=0时，y--X2--X—2=—2.

,22

.•.点C的坐标为(0,-2).

①如图，当NBCP=90。，BC=PC时，过点P作PGly轴于G,

杖

:•乙BOC=Z.CGP=90°.

VzBCO+zPCG=90°,zGPC+zPCG=90°,

:•乙BCO=乙CPG.

乙BOC=乙CGP,

在△BC。和△CPG中,乙BCO=MPG,

BC=PC,

・・△BCO=△CPG.

ACG=BO=4.

VCO=2,

.•.m=OG=4—2=2.

延长PC至P'使得CP'=CP,此时△BCP，也是等腰直角三角形.

易得，此时?n=-6.（不合题意，舍去）

②如图，当4CBP=90。，=时，过点P作PM1%轴于M,

'：Z.BOC=2LBMP=90°,ABCO+^OBC=90°,乙PBM+乙OBC=90。,

:,乙BCO=Z.PBM.

：.△BCO=APBM.

：.PM=BO=4,

/.m=PM=4.

延长PB,使得BP，=BP,此时ABCP，也是等腰直角三角形.

同理可得，m=-4.（不合题意，舍去）

综上所述，直线I上存在一点P,使得ABCP是以BC为直角边的等腰直角三角形，m的值为2或4.

7.(2023秋•九年级单元测试)如图，抛物线y=-/+w；+c与x轴相交于A,8两点(点A位于点8的

左侧)，与y轴相交于点C,/是抛物线的顶点，直线x=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3).

(2)己知P为线段MB上一个动点，过点尸作PD1*轴于点D若PD=/n,△PCD的面积为S.

①求S与机之间的函数关系式.

②当S取得最大值时，求点尸的坐标.

(3)在(2)的条件下，在线段MB上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条

件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；

(2)①先求出点M,点4,点B的坐标，利用待定系数法可求8M解析式，由三角形的面积公式可求解；②

利用二次函数的性质可求解；

(3)分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解.

【解题过程】

(1)解：・.,直线久=1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为(0,3),

1•b=2,

・•・抛物线的解析式为：y=-%2+2%+3；

(2)解：①=—X2+2%+3=—(%—I)2+4

•••令y=0,则―/+2%+3=0,

解得久1=3,%2=-1，

.M(—l,0).B(3,0).

•.•点M(l,4),点B(3,0),

直线BM的解析式为y=-2%+6.

;点P在直线BM上，且PD1久轴于点。，PD=m,

.•.点P(3—

•*.SAPCD=_PD,OD——znx^3——=——+3/71.

.,.S与m之间的函数关系式为S=-7m2+|m(0<m<4)；

42

：22

②•S=--4m+-2m=-4-(1m—37)+-4

・•・当租=3时，S有最大值为?，

4

此时尸D=m=3

把y=3代入y=-2x+6,得久=|

・•.Pg3)

当机=3时，S有最大值为%此时P(|,3).

(3)解：存在满足条件的点P,点P的坐标为(一6+3近,18—6夕)或(4—V7,—2+2近).

理由如下：

设P(t,6—2t),则C(0,3),D(t,0),

所以|PO|=|6-2t|,

\CD\=&2+9,

\PC\=Vt2+(3-2t)2=V5t2-12t+9,

若|PD|=|CD|,BP|6-2t|=Vt2+9,

解得t=4一夕(4+近舍去)，

所以点尸(4—2+2夕)；

若|PD|=|PC|,BP|6-2t|=V5t2-12t+9,

解得t=-6+3夜(-6-3近舍去)，

所以点P(-6+3位,18-6«)；

若|CD|=\PC\,即=V5t2-12t+9,

解得t=0或t=3,均不合题意，故舍去，

所以点P的坐标为(-6+3V7,18-6夕)或(4-V7,-2+2小).

8.(2023•辽宁营口•校联考一模)已知直线/与x轴、y轴分别相交于4(1,0)、B(0,3)两点，抛物线y=a/一

2ax+a+4(a<0)经过点B,交x轴正半轴于点C.

(2)在第一象限内抛物线上取点M,连接4M、BM,求面积的最大值及点M的坐标.

(3)抛物线上是否存在点P使ACBP为直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说

明理由.

【思路点拨】

(1)先利用待定系数法求得直线I的函数解析式，求得点8的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；

(2)根据题意可以求得点A的坐标，然后根据题意和图形可以用含根的代数式表示出S,然后将其化为顶

点式，再根据二次函数的性质即可解答本题；

(3)分三种情况讨论，分别当BC、PC,PB为斜边时，利用勾股定理列方程即可求解.

【解题过程】

(1)解：设y=kx+b,

把4(1,0),8(0,3)代入得：4甘：?，

•••k=-3,b=3,

・•・一次函数解析式为：y=-3x+3,

把8(0,3)代入y=ax2-2ax+a+4,

3=a+4,

•••a=—1,

・•・二次函数解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解：连接OM,

把y=0代入y=—x2+2%+3得，0=—x2+2%+3,

•••x=-1或3,

・•・抛物线与久轴的交点横坐标为-1和3,

设点M(m,—m2+2m+3),

•・•”在抛物线上，且在第一象限内，

0<m<3,

・•,4的坐标为(L0),

•••S=S^OBM+-^LAOB

=-xmx3+-xlx(―m2+2m+3)--xlx3=--(m—,+空,

22、722V2/8

.•.当m=：时，S取得最大值号.

2o

(3)解：设点P(m-n2+2n+3),

贝=32+32=18,PC2=(n-3)2+(一九2+2九+3)2,PB2=n2+(-n2+2n)2,

当PC为斜边时,则层+(f2+2n)2+18=(n—3)2+(―n2+2n+3)2,

解得九=0(舍去)或U=1,

・••点P(l,4)；

当为斜边时，贝！J(几一3)2+(―n2+2几+3)2+18=/+(―712+2n)2,

解得几=3(舍去)或n=一2,

・,•点P(—2,-5)；

当为斜边时，贝!](几—3)2+(―n2+2九+3)2+/+(―n2+2n)2=18,

解得几=3(舍去)或几=0(舍去)或n=苫^或?1=与恒，

..•点P的坐标为(竽，萼)或(等，萼)；

综上，点P的坐标为(一2,-5)或(1,4)或(萼，乎)或(譬，子).

9.(2022秋・广东惠州•九年级校考阶段练习)如图，点4(一2,0),B(4,0),C(3,3)均在抛物线y=ax2+bx+c

上，点。在y轴上，且DC1BC,NBCD绕点C顺时针旋转后两边与x轴、y轴分别相交于点E,F.

(2)CF能否经过抛物线的顶点？若能，求出此时点E的坐标；若不能，请说明理由；

(3)若AFOC是等腰三角形，求点F的坐标.

【思路点拨】

(1)利用待定系数法即可求解；

(2)作CHly轴于点H,CSlx轴于点S,求得顶点M坐标，求得直线CM即CF的解析式，得出点F的坐标,

证明三AECS,据此求解即可；

(3)证明AOCH三ASCB,求得CD=V1U,分三种情况讨论，即可求解.

【解题过程】

(1)解：由抛物线与x轴的两个交点48的坐标，可以由两根式设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4),

然后将C点坐标代入得：a(3+2)(3-4)=3,

解得：a=：,

故抛物线解析式为y=-1(久+2)(%-4)--|x2+|x+y；

(2)解：作CHly轴于点“，CSlx轴于点S,

y=一|(X+2)(X-4)=-|(x-I)2+Y，

.♦•顶点M坐标为(1,£),

设直线CM的解析式为y=mx+n,

(3=3m+n(m=—7

Y=m+n，解得J33,

・,・直线CM即CF的解析式为y=-1%+y,

・・.尸点坐标为(0,y).

•:乙FCH+乙HCE=90°,(ECS+乙HCE=90°,

A/-ECS=乙HCF,

：.△FCH三△ECS,

：.FH=SE=/-3=£,

：.EO=--3=-,

55

0),

.••CF能经过抛物线的顶点，此时点E的坐标为(一I，0)；

(3)解：同理求得CB直线方程为y=-3%+12,

作CH1y轴于点H,CS1%轴于点S.

VC（3,3）,

.,•四边形HOSC是正方形，OS=3,

VB（4,0）,

：.BS=1,

■:乙HCD+乙DCS=90°,4BCS+乙DCS=90°,

:.乙DCH=4SCB,

：.ADCH=^SCB,

：.DH=SB=1,OD=2,

；.D（0,2）,

CD=V10,

则八FDC是等腰三角形可以有三种情形：

①FC=CD="U.则DH=1,FH=1,贝妨点坐标为（0,4）；

②FD=CD=V10,贝沙点坐标为（0,2+V10）；

®FD=FC,设F（0,m）.

"：FC2=FH2+HC2,即FC?=（巾-3）2+32,FD=FC=m-2,

（m-3）2+32=（m—2）2,

解得m=7,

.,.F（0,7）,

综上，点F的坐标为（0,4）或（0,2+"6）或（0,7）.

10.（2023・四川・九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+6%+c与无轴交于B（4,0）,

C（—2,0）两点.与y轴交于点4（0,-2）.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是直线AB下方抛物线上的一动点，过点尸作x轴的平行线交4B于点K,过点尸作y轴的平行

线交x轴于点。，求与aPK+PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点使得△M2B是以48为一条直角边的直角三角形：若存在，请

求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)将4、B、C代入抛物线解析式求解即可；

(2)可求直线48的解析式为y=|x—2,设P(m,m2—|m—2)(0<m<4),可求KQm2—m,^m2—

|m—2^,从而可求(PK+PD=+|6+2,即可求解；

(3)过4作a“2交抛物线的对称轴于“2，过B作BM114B交抛物线的对称轴于心,连接设

“1(1,n),可求AM/=话+4九+5,BMJ=声+9,由4B?+BMj=AM^,可求进而求出直线BM1

的解析式，即可求解.

【解题过程】

(1)解：由题意得

16a+4b+c=0

4a—2b+c=0,

、c=-2

••・抛物线的解析式为y=/_2.

42

(2)解：设直线的解析式为y=k%+b,则有

+b=0

n=—2，

解得：y=：

ib=一2

・,・直线AB的解析式为y=-2；

设P(血,]??12一1瓶—2)(0<m<4),

111n

-x—2Q=-mz2——m—2,

242

解得：x=jm2—m,

•••Kiz\/1-m£2—m,1-m2£——1m—2),

\242/

・•・PK=m—m2—TH)

=——1m2+Io2m,

2

112

-PK=——m+m,

24

PD=—(-m2—^-m—2)

\42/

1

二——12+I-m+I2n,

42

1111

•••二PK+PD=--m2+m--m2+—m+2

2442

173

二—2771+2771+2

...当小号时,"长+。。的最大值为与，

228

1/3\213c35

•••V=-x（-）—x—2=-----,

4\2/2216

・••Pg-纵

故［PK+PD的最大值为靠「（1，—?1）,

（3）解:存在，

如图，过4作/IM21AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BMi14B交抛物线的对称轴于叫，连接4%,

设

222

AM1=I+(n+2)

=n2+4n+5,

AB2=22+42=20,

BMj=(4—l)2+n2

—n2+9,

•••AB2+fiM/=AM^,

n2+9+20—n2+4n+5,

解得：n=6,

■■■Mi(1,6)；

设直线BMi的解析式为y=/qx+瓦，则有

解得*二，

二直线EM】解析式为y=-2x+8,

•••AM2\\BM1,且经过4(0,—2),

・・•直线AM?解析式为y=-2x-2,

二当x=1时，y=-2x1-2=-4,

综上所述：存在，M的坐标为(1,6)或(1,一4).

11.(2023・湖南娄底•统考中考真题)如图，抛物线y=/+法+c过点力(一1,0)、点B(5,0),交y轴于点C.

(1)求6,c的值.

(2)点P(x(),yo)(O<x0<5)是抛物线上的动点

①当X。取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值；

②过点P作PE1x轴，交BC于点E,再过点P作PF||久轴，交抛物线于点F,连接EF,问：是否存在点P,

使APEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)将将4(一1,0)、B(5,0)代入抛物线y=/+bx+c即可求解；

(2)①由(1)可知：y=x2-4%-5,得C(0,-5),可求得BC的解析式为y=%-5,过点P作PElx轴，

2

交BC于点E,交x轴于点Q,易得PE=yE-y0=-x0+5比，根据△PBC的面积=SAPEC+SAPEB，可得△PBC

的面积=]PE•(曲一必)+(PE・OB-久o)=-|(而一|)+攀，即可求解；

②由题意可知抛物线的对称轴为%对=-言=2,则孙=4-%。，分两种情况：当点P在对称轴左侧时，即

0<%0<2时，当点P在对称轴右侧时，即2<%0<5时，分别进行讨论求解即可.

【解题过程】

(1)解：将4(—1,0)、3(5,0)代入抛物线、=/+6刀+。中，

可得：屋二二=\，解得:FY，

125+5o+c=0(C=—5

即：b=—4,c——5；

(2)①由(1)可知：y=/一4X—5,

当x=0时，y=-5,即C(0,-5),

设BC的解析式为：y=kx+b,

将B(5,0),。(0,-5)代入丫=入+匕中,

可得筐二"°，解得:『二，

・・・BC的解析式为：y=%—5,

过点尸作PE，％轴，交BC于点、E,交工轴于点Q,

2

•・・P(%o，yo)(O<x0<5),则Vo=XO-4%0—5,

・••点E的横坐标也为%o，则纵坐标为%=%o-5,

22

•*-PE=yE-yo=Uo_5)一(%0—4久0-5)=-Xo+5久0,

△PBC的面积=S2PEC+S"EB

1、1/、

=]PE•(%。—%c)+]PE,(%—%o)

1

=2PE•(%一和)

—](-+5x0)

=_§(%0_9)2+拶，

2\u2/8

...当Xo=J时，APBC的面积有最大值，最大值为争;

2o

②存在，当点P的坐标为(上咨，驾亘)或(4,-5)时，APEF为等腰直角三角形.

理由如下：由①可知PE=-而2+5和，

由题意可知抛物线的对称轴为直线x对=-言=2,

'：PF||x轴,

J./.EPF=90°,^£=万对=2,则XF=4一而,

当点P在对称轴左侧时，即0<与<2时,

PF=xF-x0=4-2x0,当PE=PF时，APEF为等腰直角三角形,

即：一久（）2+5々）=4—2%）,整理得：x（）2—7&+4=0,

解得：通=上洛（％0=手>2,不符合题意，舍去）

此时为=xo2-4x-5=3-3V33

02

当点P在对称轴右侧时，即2<%0<5时,

-4,当PE=PF时，APEF为等腰直角三角形，

PF=X0-XF=2X0

即：—x（）2+5殉=2*0—4,整理得：xj—3万0—4=0,

解得：x0=4（x0=-1<2,不符合题意，舍去）

此时：=42-4x4-5=-5,即点P（4,-5）；

综上所述，当点P的坐标为（上汽，上詈）或（4,-5）时，APEF为等腰直角三角形.

12.（2022秋・广西贵港•九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于

4（—1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)请在y轴上找一点M,使ABOM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点4P,C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若

存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a的值即可得到抛物线的解析式;

(2)利用二次函数的性质确定点。的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点夕，连接。交y轴于M,如图

1,贝坞'(一3,0),利用两点之间线段最短即可判断此时MB+MD的值最小，此时ABD”的周长最小，然后

求出直线DB'的解析式即可得到点M的坐标；

(3)过点C作47的垂线交抛物线于另一点P,如图2,先用待定系数法求出直线AC的解析式，利用两直线

垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-|x+d,把点C的坐标代入求出d的值得到直线PC的

解析式，再解方程组［y=-3x+3得此时点P的坐标，过点4作2C的垂线交抛物线于另一点P,利用同

ly=—x2+2%+3

样的方法可求出此时点P的坐标.

【解题过程】

⑴解:设抛物线解析式为y=。(％+1)(%-3),

即y=ax2—2ax—3a,

••­—2a=2,

解得a=-1,

・•・抛物线解析式为：y=-x2+2x4-3；

(2)解：y=—x2+2%+3=—(%—I)2+4,

・・・顶点。的坐标为(1,4),

作8点关于y轴的对称点良，连接。夕交y轴于M,如图1,则夕(-3,0),

图1

MB=MB',

MB+MD=MB'+MD=DB',此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

此时A8DM的周长最小，

设直线DB'的解析式为y=kx+b,将次(-3,0),D(1,4)代入解析式得:

(—3k+b=0

tk+b=4'

解得仁；，

・,・直线O9的解析式为y=%4-3,

当％=0时，y=x+3=3,

・・・点M的坐标为(0,3)；

(3)解：存在，

过点C作4C的垂线交抛物线于另一点P,如图2,

,・,抛物线与y轴交于点C,

.,.当x=0时，y=3,

.•.点C（0,3）,

设直线AC的解析式为：y=px+q,

把C（0,3）,A（—1,0）代入得，

（q=3

1—p+q=0，

解得郎：3，

・,・直线ZC的解析式为y=3%+3,

-AC1PC,

・•・设直线PC解析式为：y=--x+d,

把C（0,3）代入得：d=3,

二直线PC解析式为y=-1%+3,

解方程组］”一7+3,

ly=—x2+2%+3

（_7

解需驾或:工

9

则此时点P坐标为“募）；

过点4作4C的垂线交抛物线于另一点P,

则直线4P的解析式可设为y=-|x+e,

把A（-1,0）代入得,e=0,解得e=

・•・直线2P的解析式为：yf

解方程组］7-3%-3,

ly=—x2+2%+3

，_10

解得或

了9

则此时点P坐标为（?，—蔡），

综上所述，符合条件的点P的坐标为：（£,-蔡）或《，V）.

13.(2023春・重庆江津•九年级校联考期中)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=比2+人龙+c与直

线A8交于点力(0,—4),5(4,0).

图1图2备用图

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点P为直线4B下方抛物线上的一动点，过点P作PM14B交4B于点M,过点P作y轴的平行线交x轴于

点N,求应PM+PN的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2,将该抛物线先向左平移4个单位，再向上移3个单位，得到新抛物线y',新抛物线y'与y轴交

于点尸，点M为y轴左侧新抛物线V上一点，过M作MN||y轴交射线BF于点N,连接MF,当AFMN为等腰三

角形时，直接写出所有符合条件的点M的横坐标.

【思路点拨】

(1)用待定系数法把力(0,-4),8(4,0)代入、=|产+法+。可得.

(2)设直线的解析式为y=kx+b,把4(0,-4),B(4,0)代入可得，求出直线4B的解析式为y=x-4,

求出PC=V^PM,当巾=|时，^^^。可最大值为号.

(3)求出左平移4个单位，再向上移3个单位的函数表达式y'=1%2+3%+3,把NF,MN,MF表示出来,

分情况讨论即可.

【解题过程】

(1)解：把4(0,—4),B(4,0)代入y=/婷+bx+c可得,

(-4=c

10=8+4b+c'

解得c=-4,b=-1,

...y=-1x2—%—4A,

)2

(2)解：设直线4B的解析式为y