2025北京重点校八年级（上）期末数学汇编：三角形章节综合（京改版）（解答题）

2025北京重点校初二（上）期末数学汇编

三角形章节综合（京改版）（解答题）1

一、解答题

1.（2025北京门头沟初二上期末）如图，△ABC为等边三角形，点。在AC上，且

及。=打（0。＜。＜30。），作点C关于直线8。的对称点E,射线E4交直线即于点R连接8E.

（1）依题意补全图形；

⑵求ZEFB的大小；

（3）用等式表示线段AEBF,EF之间的数量关系，并证明.

2.（2025北京平谷初二上期末）如图，点C在3E上，AB±BE,DE±BE,给出以下四个等量关系：①

ACLDC,②AB=CE,③BC=ED,④AC=CD请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命

题，并证明.

（D条件：,结论：;（填序号）

（2）写出你的证明过程.

3.（2025北京怀柔初二上期末）如图，在AABC中，/A=30。，AB=BC,DE垂直平分AB,交AC于

点、E,求/EBC的度数.

4.（2025北京平谷初二上期末）定义：点尸是AABC内部的一点，若经过点尸和△ABC中的一个顶点的直

线把AABC平分成两个面积相等的图形，则称点尸是AABC关于这个顶点的均分点.例如图中，点尸是

AABC关于顶点A的均分点.

（1）下列图形中，点D一定是△ABC关于顶点3的均分点的是；（填序号）

出的度数；

（3）如图，在AABC中，ABAC=9（）,3c=10,点尸是AABC关于顶点A的均分点，直线AP与BC交于点

D,当时，BP=4,

①补全图形；

②求CP的长.

5.（2025北京东城初二上期末）在Rt^ABO中，ZABO=90°,ZAOB=60°,C为直线08上一点（点C

不与点。，点B重合），点C关于点8的对称点为点D,连接AC,在直线Q4上取一点E,使CE=AC,

直线CE交直线AD于点F.

（1）当点C在如图1所在位置时，请补全图形.

①若NO4r>=a,求/AEC的度数（用含a的式子表示）；

②写出此时。4,OC,OE之间的数量关系，并证明；

（2）当点C不在如图1所在位置时，请你确定一个满足题意的点C的位置，在图2中补全图形，直接写出一

个OA,OC,OE之间的数量关系.（要求：和（1）中OC,0E之间的数量关系不同）

6.（22025北京怀柔初二上期末）如图，点、B,E,C,尸在一条直线上，AC与OE相交于点0,

AB=DE,ZB=ZDEF,=求证：AABCmADEF.

AD

7.（2025北京门头沟初二上期末）下面是小明设计的尺规作图过程：

已知：如图，AABC.

/-----------

求作：NCDA,使点。在上，S.ZCDA=2ZABC.

作法：①分别以点A和点B为圆心，大于3的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点；

②作直线MN,交BC于点D；

③连接AD.

所以/CD4为所求

据小明设计的尺规作图过程，回答以下问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接AM,BM,AN,BN.

VAM=BM,AN=BN,

...点M,N均在线段AB的垂直平分线上.

即：直线A/N是线段A3的垂直平分线.

•点D在直线"N上，

：.AD=（）（填推理的依据）.

AZDAB=ZABC（）（填推理的依据）.

ZCDA=ZDAB+ZABC,

：.ZCDA=2ZABC.

8.（2025北京平谷初二上期末）【问题探究】

小冬在学习三角形相关知识时遇到了一个问题：

如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,。为4B的中点，点E在BC边上（点E不与点B,C重合），连接

DE,过点。作。尸，DE交AC于点/，连接求证：AF2+BE2EF2.

延长ED到点M,使.DM=DE,连接AAf,FM,证明AADM0AfiDE,经过推理使

问题得到解决

⑴小冬在证明AAD暇均BDE时，使用的判定依据是：.

⑵如图，在RdABC中，ZACB=90°,D为48的中点，点E在BC的延长线上，连接。E,过点。作

DF_L£>E交射线C4于点尸，连接£F.

①补全图形；

②试判断AF,BE,EP三条线段之间的数量关系，并证明.

9.(2025北京平谷初二上期末)如图，VABC.

求作：AC边上的高80.

作法如下：

(1)延长C4；

(2)以点8为圆心，AB的长为半径作弧，交C4的延长线于点E,连接BE；

(3)以点8为圆心，任意长为半径作弧，分别交A5,BE于点M,N；

(4)分别以“，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点尸；

(5)连接叱，交C4的延长线于点O.

所以线段是△ABC的边AC上的高.

根据尺规作图过程，解答下列问题.

(1)使用直尺和圆规，补全图形.(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：：=BE,=NEBF,

:.BF±AE()(填推理的依据)，

二线段8。是△ABC的边AC上的高.

10.(2025北京平谷初二上期末)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,4)平分一区4C,若CD=3,

BD=5,求AB的长.

c

D

/2--------------------------------

11.（2025北京延庆初二上期末）如图，在RGABC中，ABAC=90°,AB=AC,A£＞是AABC的高，点

E是48的中点，连接CE交AD于点R过点£作GELCE于点E,交D4的延长线于点G,交8C于点

H.

（1）依题意补全图形；

（2）判断ZECH和ZEGF的数量关系，并证明；

⑶求证：EC=EG.

12.（2025北京延庆初二上期末）我们给出如下定义：有一条边及这条边所对的角分别相等的两个三角形

称为“关联三角形”.例如，下图中的两个三角形是“关联三角形

已知：在RGABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,AB=4.

⑴下列三角形中，RSABC的“关联三角形”是（填序号）;

（2）若Rt^ABC的“关联三角形”是等腰三角形，则等腰三角形的底边长可以是；

（3）若ADE尸是RtAABC的“关联三角形"，且△/）硬的面积是S,直接写出S的最大值.

13.（2025北京朝阳初二上期末）如图，点A,B,C,。在一条直线上，ZA=NFBD,AC=BD,

EC//FD.求证：AE=BF.

ABCD

14.（2025北京平谷初二上期末）已知：如图，E,P是线段BC上的两点，AB=CD,AB//CD,

BE=CF.求证：AF=DE.

15.（2025北京石景山初二上期末）如图，在中，ZACB=90°,C4=4,CB=6,。是2c的中

点，E是AC边上一点，连接D4,DE.将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在上的点尸处.

⑴求AD的长；

（2）求CE的长.

16.（2025北京石景山初二上期末）在△ABC中，ZACB=90。，C4=CB,点尸是射线3c上的一个动

点，过点B作于点。，射线80交直线AC于点E,连接CD.

图1图2

（1）如图1,当点P在线段BC上时（不与端点B,C重合）：

①求证：NCBE=NCAP；

②求证：DA=DB+垃DC;

（2）如图2,当点P在线段3C的延长线上时（PC<AC）,依题意补全图2并用等式表示线段ZM,DB,DC

之间的数量关系.

17.（2025北京石景山初二上期末）已知：如图，△ABC中，BC>AB>AC.

求作：点尸，使得点P在BC边上且NAPC=2/8

作法：①作线段A3的垂直平分线，交BC于点、P,交A3于点Q；②连接AP,点P即为所求作的点.

A

BC

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：.「尸。是A3的垂直平分线，

二%二①（②）（填推理的依据）.

，々二③（®）（填推理的依据）.

又ZAPC=NB+/PAB,

:.ZAPC=2ZB.

18.（2025北京延庆初二上期末）如图，OC是一AO3的角平分线，点。在射线。4上，点E在射线

上，点f在射线OC上，连接。尸，EF.请你添加一个条件，使AOFDZAOFE.

小明同学写出以下条件：

®OD=OE,②NODF=NOEF,③/OFD=/OFE,

®FD=FE,⑤ZADF=NBEF,®ZDFC=ZEFC.

他认为：“添加以上条件中的任何一个，都可以使AO/明丝AOEE.”

（1）小明的说法（填“正确”或“错误”）；

⑵从小明写出的条件中选择一个（填写序号），使得补全图形，并写出证明过程.

19.（2025北京延庆初二上期末）在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图

所示：

等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.

已知：如图，在VA3C中，AB=AC.

求证：NB=NC.

AA

甲同学的方法：丙同学的方法：

乙同学的方法：

证明：作—54C的平分线证明：取BC的中点尸，连

证明：作于点E.

交BC于点D.接AF.

20.（2025北京石景山初二上期末）如图，AD是AABC的中线，E是AC边上一点，连接8E交4）于产

点，E4=EF.求证：FB=AC.

21.（2025北京东城初二上期末）如图，在AABC和AAOE中，AB=AD,ZBAD^ZCAE,

AC^AE.求证：BC=DE.

22.（2025北京二中初二上期末）如图，在△ABC中，点。是BC边上一点，且AC="）,过点A作

于点E,过点C作CGLAD于点G,与A3交于点尸.

⑵当/3=45。时，判断△AC5的形状，并说明理由.

23.（2025北京二中初二上期末）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°.

CB

（1）尺规作图，求作BC的垂直平分线交BC于£＞；（保留作图痕迹）

（2）尺规作图，求作—3的平分线交AC于点E；（保留作图痕迹）

（3）由（2）可知点E到AB,BC的距离相等，依据是；

（4）连接AD,画出边上的高3广；

⑸若△ABC的面积是20,AD=8,贝.（直接写出结果）

24.（2025北京二中初二上期末）小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的

探究：在一个支架的横杆点0处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动，摆动过程中绳子的伸

长不考虑且绳子始终是绷直的.如图，Q4表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球

从。4摆到08位置，此时过点8作于点O,当小球摆到OC位置时，过点C作于点E,

测得3£>=7cm,OE=1cm.（图中的A、B、0、C在同一平面上），求证此时。B_LOC.

A

25.（2025北京海淀初二上期末）如图，在Rt^ABC中.ZACB=90°.求作线段45的中点。.小明发现

作线段BC的垂直平分线/交于点。，点。即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点。（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接。C.

垂直平分BC,

：.DC=（）（填推理依据）.

/.ZB=ZDCB.

•­,ZACB=90%

ZA+ZB=90°,NDCB+ZACD=90°.

：.=NACD.

DA=DC.

***DA=DB.

...点。为线段48的中点.

26.（2025北京大兴初二上期末）在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC^a,点8关于直线AC的对称点为

点。，连接AD,以AD为边，作等边AADE,且点E与点B在直线AD的同侧，作射线BE,交直线AC

于点尸，连接。尸.

⑴如图1,若30°＜。＜60°,

①当&=50。时，则NB4E=°,ZAFB=°；

②用等式表示线段E4,庭与EF之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,若60。＜a＜90。，直接用等式表示线段E4,CP与跖之间的数量关系.

27.（2025北京西城初二上期末）如图所示的10x1。网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都

在格点上的三角形称为格点三角形.将与△ABC全等，并与△ABC有且只有一条边重合的格点三角形称为

⑴画出以AB为公共边的△ABC的所有“友好格点三角形”；

（2）VABC共有个“友好格点三角形

28.（2025北京大兴初二上期末）如图，在AABC中，AD是BC边上的中线，AC^AF,AB=AE,

ZCAB+ZFAE^180°.求证：EF=2AD.

29.（2025北京通州初二上期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AC,ZD=90°,3ELAC于点色交

C。于点E,连结E4,若EA平分/DEF.

A

D

(1)求证：Z\AB尸学△ACD；

(2)若B产=7,DE=3,求C/的长.

30.(2025北京燕山初二上期末)已知：△ABC是等边三角形，。是直线BC上一动点，连接AD,在线段

AD的右侧作射线OP且使NADP=30。，作点A关于射线DP的对称点E,连接DE,CE.

图1图2

(1)当点£＞在线段BC上运动时，

①依题意将图1补全；

②请用等式表示线段48，CE,C。之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,当点。在直线2C上运动时，请直接写出A3,CE,CD之间的数量关系，不需证明.

参考答案

1.(1)补全图形见解析：

(2)60°

⑶BF=AF+EF,证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性

质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

(1)根据题意补全图形即可；

(2)根据等边三角形的性质得到B4=3C=AC,ZABC=ABAC=ZACB=60°,则/CB£)=60。一a,根

据对称的性质得到/£BD=NCBD=60。—a,BE=BC,求得

ZEBA=60°-a-cr=60°-2a,BE=BA,于是得到/EFB=NBA£—ZABr>=6()o+a—a=60。.

(3)如图：延长在E到使=连接BM.根据等腰三角形的性质得到/3石4=/&场，根据全

等三角形的性质得到=贝U得至1]5河=3尸=板，再运用等量代换即可解答.

【详解】(1)解：根据题意补全图形如下：

(2)解：•••△ABC为等边三角形，

BA=BC=AC,ZABC=ABAC=ZACB=60°,

,/ZABD=a,

：.ZCBD=60°-a,

:点C关于直线50的对称点E,

ZEBD=ZCBD=60°—a,BE=BC,

：.ZEBA=60°-a-a=60°-2a,BE=BA,

180°-(60°-2tz)

..ZBAE=ZBEA=--------------=60°+a,

2

ZBAE=ZEFB+ZABD,

：.ZEFB=ZBAE-ZABD=60°+a-a=60°.

(3)解：线段AEBF,EF之间的数量关系是族=AF+EF,证明如下:

BC

证明：如图：延长庄1到使EM=AF,连接

":BE=BA,

ZBEA=ZBAE,

・.•ZBEA+ZBEM=180。，NBAE+NBAF=180°,

・•・ZBEM=ZBAF,

在△班M和△朋尸中，

BE=BA

</BEM=ZBAF,

EM=AF

：.AB£M^ABAF（SAS）,

:.BM=BF,

ZEFB=60°,

・・・△及"为等边三角形，

:.BM=BF=MF,

•:MF=EF+EM,

BF=EF+AF.

2.⑴②③；①

⑵证明见解析

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

（1）根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可；

（2）根据全等三角形的判定证明（1）中的命题即可.

【详解】（1）解：条件：①②或①③或①④或②③或②④或③④，结论：③或④；②或④；②或③；①或

④；①或③；①或②；（答案不唯一）

（2）证明：9：AB±BE,DE上BE,

Zfi=NE=90。，

（1）条件：①②，结论：③或④时

■:AC1DC,

・•・ZACB=/D=9/一NDCE,

在△ABC和△CD石中

NACB=ND

<ZB=ZE,

AB=CE

：.^ABC^CDE（AAS）.

・••③BC=ED,@AC=CD.

（2）条件：①③，结论：②或④时

■:AC1PC,

・・・ZACB=ZD=90°-ZDCEf

在△ABC和△CDE中

ZACB=ZD

<BC=DE,

ZB=ZE

AABC^AC£>E(ASA).

：.@AB=CE,@AC=CD.

(3)条件：①④，结论：②或③时

■:ACLDC,

：.ZACB=ZD=900-ZDCEf

在△ABC和△•>石中

ZACB=ZD

<NB=NE,

AC=CD

・・・^ABC^CDE(AAS).

:•②AB=CE,®BC=ED.

(4)条件：②③，结论：①或④时

在△A3C和石中

AB=CE

<ZB=ZE,

BC=DE

：.^ABC^ACDE(SAS).

AZA=ZDCE,@AC=CD.

V?B90?,

AZA+ZACB=90°,

・•・NDCE+ZACB=9。。,

：.^ACD=9Q°,

・•・①AC_L0C.

(5)条件：②④，结论：①或③时

在放△ABC和RMCDE中

jAB=CE

[AC=CD9

：.AABCRCDE(HL).

：.ZA=ZDCE,®BC=ED.

VZB=90°,

JNA+NACB=90。，

・•・NDCE+ZACB=9。。,

：.-48=90。，

・•・①AC_LOC.

(6)条件：③④，结论：①或②时

在及△ABC和RUCDE中

[AC=CD

[BC=DE9

：.^ABC^CDE(HL).

/.ZA=ZDCE,®AB=CE.

VZB=90°,

JNA+NACB=90。，

・•・NDCE+ZACB=90。,

・・・^ACD=9Q°,

・•・①AC_LOC.

3.90°

【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握

相关知识点并能加以综合运用是解题的关键.

由等边对等角可得NC=NA=30。，由三角形的内角和定理可得NABC=180。-NA-NC=120。，由线段垂

直平分线的性质可得E4=ES,由等边对等角可得NEBA=NA=30。，然后利用角的和差关系可得

ZEBC=ZABC-ZEBA,于是得解.

【详解】解：•.・AB=5C,

:.ZC=ZA=3O09

ZABC=180°-ZA-ZC=120°,

••・小垂直平分AB,

:.EA=EB,

:.ZEBA=ZA=30°,

/.ZEBC=ZABC-ZEBA=120°-30°=90°.

4.⑴①

(2)90°

⑶①补图见解析②2加

【分析】(1)根据均分点的定义判断即可求解；

(2)如图，连接AP并延长交BC于点。，由均分点的定义和等腰三角形的性质可得AD为8c的垂直平

分线，即得CP=2尸=忘，再根据勾股定理的逆定理即可求解；

(3)①根据题意画出图形即可；②过点C作CELAD交AD延长线于点E,由均分点的定义可得

BD=CD=5,进而由勾股定理得£)p=尸2=3,再证明ABPI泾ACEDIAAS),得到

DP=DE=3,BP=CE=4,即得PE=OP+DE=6,最后利用勾股定理计算即可求解.

【详解】(1)解：①：AE=CE,

•V—V

,•°ABAE~°ABCE，

.•.点。是△ABC关于顶点B的均分点；

②；ZABE=ZCBE,

BE是^ABC的角平分线，

...点E到BA、3C的距离相等，设为力,

则%A£=；AB〃，S、BCE=；BCh,

•••AB与BC不一定相等，

,*S&BAE与S,BCE也不一定相等，

二点。不一定是△4BC关于顶点B的均分点；

故答案为：①；

(2)解：如图，连接AP并延长交于点。，

•••点P是4ABC关于顶点A的均分点，

,BD=CD,

即AD为8C的中线，

AB=AC,

：.ADJ.BC,

AD为BC的垂直平分线，

CP=BP=®，

BC=2,

•••BPhCpz=BC?,

二ABCP为直角三角形，

ZBPC=90°；

(3)解：①补全图形如下:

A

②过点。作CE，AD交AD延长线于点E,

・•・ZCED=90°

•・•点尸是VABC关于顶点A的均分点，BC=IO,

：.BD=CD=5,

■:BP上AD,

：.ZBPD=90°,

：.NCED=NBPD,

在RtABPD中，BP=4,BD=5,

,DP=1BD2-BP=6-42=3，

在Z^BPD和ACED中，

ZBPD=ZCED

<Z1=Z2,

BD=CD

：.ABPD'CED(AAS),

:.DP=DE=3,BP=CE=4,

：.PE=DP+DE=3+3=6,

CP=^PE2+CE2=A/62+42=2屈.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线和角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三

角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键.

5.(1)①NAEC=(z+60。；®OC=OA+OE,证明见解析

(2)OC=OA-OE

【分析】(1)①可得出〃45=/。4£>+/540=»+30。，AC=AD,从而得出N54C=NA4B=(z+30。，

进而得出N0LE=<z+6O。，进一得出结果；

②作CG_LQ4于G,在RSCOG中得出0c=2OG=2GE+2OE,可推出AG=GE=gAE,进一步得出结果

即可.

(2)当点C在02上时，作CGLCM于G,同样得:，OC=2OG,AG=EG=^AE,进一步得出结果.

本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线,

利用直角三角形的性质.

.•.NBA。=30。，

•/ZOAD=a,

ZDAB=NOAD+NBAO=&+30。，

・・•点。和点。关于点3对称，

/.BC=BD,

/.AC=AD,

/.ABAC=ZDAB=a+30。，

.•.ZCAE=ABAC+ZBAO=a+30。+30。=c+60°；

•：AC=CE,

:.ZAEC=ZCAE=a-h60°.

OC=OA+OE,理由如下:

作CGLQ4于G,

「.NCGO=90。，

•・•ZAOB=60°f

:.ZOCG=30°,

/.OC=2OG=2OE+2GE,

•：AC=CE,

AG=GE,

.AE=2GE

.OC^2OE+2GE=AE+OE+OE=OA+OE.

(2)如图2,

7

当点C在08上时，作CG_LQ4于G,

由②知，OC=2OG,AG=EG=^AE,

OC^2OG=2（OA-AG）=2\OA-1AE

=20A-1（0A+0E）

=0A-0E.

6.见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定，由跖=CF,得到3C=EF,即可证明;

【详解】证明：•.•3E=CF,

:.BC=EF,

在△ABC和ADEF中，

AB=DE

<ZB=NDEF,

BC=EF

^ABC=^DEF.

7.⑴见解析

⑵BD,线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角

【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

（1）根据要求作出图形；

（2）利用线段的垂直平分线的性质以及等边对等角解决问题即可.

【详解】（1）解：图形如图所示：

(2)证明：连接A",BM,AN,BN.

"?AM=BM,AN=BN,

...点M,N均在线段AB的垂直平分线上.

即：直线跖V是线段AB的垂直平分线.

:点。在直线上，

•••AD=BD(线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等).

AZDAB=ZABC(等边对等角).

ZCDA=ZDAB+ZABC,

ZCDA=2ZABC.

故答案为：BD,线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，等边对等角.

8.(l)SAS

(2)①作图见解析；@AF2+BE2=EF2;证明见解析

【分析】(1)根据SAS即可证明AMM之ABDE,进而可以解决问题；

(2)①根据题意即可补全图形；

②延长EO到点Af,使DM=DE,证明AADM丝ABDE(SAS),得AM=BE,ZAME=ZMEB,所以

AM//BE,得NE4M=NACB=90。，然后利用勾股定理即可解决问题.

【详解】(1)证明：延长E£>到点使=连接A",FM,

DFYDE,

D尸垂直平分EM,

,FE=FM,

。为A3的中点，

；•AD=BD,

在△ADM和中，

AD=BD

<ZADM=NBDE,

DM=DE

：.AADM^ABDE(SAS),

ZMAD=ZEBD,AM=BE,

"?ZACB=90°,

，ZMAD+ZCAB=ZEBD+ZCAB=90。，即/FAM=90°,

•*-AF2+AM2=FM2，

AF2+BE2=EF2，

，在证明AADM2ABDE时，使用的判定依据是SAS,

故答案为：SAS；

(2)①解：如图，即为补全的图形；

@AF2+BE2=EF2.

证明：如图，延长即到点M,使=

•/DF±DE,

：.FD垂直平分㈤以，

/.FE=FM,

"。为AB中点，

,AD=BD,

在和V3DE中，

AD=BD

<ZADM=NBDE,

DM=DE

：.AADM丝ABDE(SAS),

AM=BE,ZAMD=ZBED,

；•AM//BE,

：.ZFAM^ZACB^90°,

在RtZWM中，AF2+AM2=FM2,

AF2+BE1=EF-.

【点睛】本题是三角形综合题，考查作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂

直平分线的性质等知识点.通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

9.⑴见解析

(2)AB,ZABF,等腰三角形的性质

【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键.

（1）利用直尺和圆规依作法补全图形即可;

（2）根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】（1）解：补全图形如图所示；

:.BF1AE（三线合一），

，线段BD是AABC的边AC上的高.

故答案为：AB,ZABF,三线合一.

10.10

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，过点。作于点

E,根据角平分线性质得出CD=DE=3,证明Rt—a注Rt~4£D（HL）,得出AC=AE,根据勾股定理得出

BE=y/BD2-DE2=4.^AC=AE=x,根据勾股定理得出炉+8?=（x+4p,求出x的值，得出答案即

可.

【详解】解：过点。作DEIAfi于点E,如图所示：

VZC=90°,平分NB4C,CD=3,

：.CD=DE=3,

在RtAACZ）和RtAAED中，

[CD=DE

[AD=AD

：.RtAACZ）^RtAAED（HL）,

AC^AE,

在RtABE。中，根据勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=4，

设AC=AE=x,

贝ljAB=JC+4,

在RtAABC中，根据勾股定理得：

•*.AC2+BC2^AB2,

AX2+82=(%+4)2,

•«x=6,

AB=6+4=10.

11.⑴见解析

⑵NECH=/EGF；见解析

(3)证明见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与以及性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定以及

性质.

(1)依题意补全图形即可.

(2)由直角三角形两锐角互余可得出NECH+NGHD=90。，由垂线的定义得出/ADF=90。，贝。

ZEGF+ZGHD=90°,等量代换可得出ZECH=ZEGF.

(3)连接OE.由等腰三角形的判定以及性质进一步证明A£DC四4G(AAS),由全等三角形的性质可

得出EC=EG.

【详解】(1)解：依题意补全图形如下；

(2)解：数量关系：NECH=NEGF；

证明：•.,GELCB于点E,

/GEF=NCEH=90。

ZECH+ZGHD=90°

•••AD是VA2C的高，

ZAZ)B=90°.

ZEGF+NGHD=90。

..ZECH=NEGF.

(3)证明：连接OE.

ZBAC=9Q°,AB=AC,

ZB=ZACB=45°.

VAD是VABC的高，

NZMC=ZZMB=45°.

ZB=ZDAB.

DA=DB.

,点E是A3的中点，

ZAED=90°,ZADE=ZBDE=45°.

ZADE=ZEAD

EA=ED,

■：/GEF=ZAED=90°,

ZAEG=ZDEC.

由（2）知，NECD=/EGA,

在△£DC与△£AG中，

ZECD=ZEGA

-ZDEC=ZAEG,

DE=AE

：.△£»（右△£4G（AAS）

EC=EG.

12.⑴①③

（2）2,2A/3,4

（3）3A/3

【分析】（1）根据勾股定理求出AC=2石，可得AC所对的角为60。，根据“关联三角形”的定义即可得答

案；

（2）分顶角为30。时，顶角为60。时，顶角为90。时三种情况，分别根据“关联三角形”的定义即可得答案；

（3）当ADEF为直角三角形，且90。角所对的边为4时，根据勾股定理及完全平方公式即可求出S最大值

为4,当ADEF中有一角为60。，且所对边为£尸=26时，可得当=尸时，有最大值，止匕时

S砂有最大值，得出△/）所是等边三角形，即可求出S=3A/L当ADEF中有一角为30。，且所对

边为EF=2时，可得当=尸时，跖边上的高最大，则S有最大值，根据勾股定理及含30。角的直角

三角形的性质可得5=2+6，比较即可得答案.

【详解】（1）解：VZC=90°,ZA=30°,BC=2,AB=4,

•，•AC=4AB1-BC2=2A/3，AC所对的角为/B=60。，

•••图①中90。角所对的边为4,RtAABC中90。角所对的边为AB=4,

.••图①是RLA3C的“关联三角形”，

图②中90。角所对的边为在S=20W4，两个锐角都是45°,

•••图②不是Rt^ABC的“关联三角形”，

,••图③中三边都为2VL

图③中三角形为等边三角形，三个角都为60。，

.••图③是RtAABC的“关联三角形”，

•••图④中30。角所对的边不等于2，

•••图④不是RMABC的“关联三角形”，

故答案为：①③

(2)解：当顶角为30。时，

•••RtAABC的“关联三角形”是等腰三角形，ZA=30°,NA所对的边3C=2,

等腰三角形的底边长可以是2,

当顶角为60。时，

Rt^ABC的“关联三角形”是等腰三角形，NB=60。,N3所对的边AC=2^3,

；•等腰三角形的底边长可以是2月，

当顶角为90。时，

Rt^ABC的“关联三角形”是等腰三角形，ZC=90°,NC所对的边AB=4,

等腰三角形的底边长可以是4,

故答案为：2,2TL4

(3)解：当ADEF为直角三角形，且90。角所对的边为4时，设两直角边分别为x、y,

x2+y2=42=16,

V(x-y)2>0,x2-2xy+>0,

S=g孙44,

，S的最大值为4,

如图，当ADEF中有一角为60。，且所对边为EF=2g时，过点。作。于

由图可知，当OE=D-时，DH有最大值，此时s=JEF.。//有最大值,

ZEDF=60°,

,ADEF是等边三角形,

/.DE=EF=2^3,EH=—EF=A/3,

DH=JDE。-EH。=3，

AS=-X2A/3X3=3V3,

2

当ADEF中有一角为30。，且所对边为跖=2时，过点E作尸于H,

由图可知：当=尸时，EP边上的高最大，则S有最大值，设EH二x,

,?ZD=30°,

DE=DF=2x,

DH=yjDE2-EH2=y/3x>HF=2x-也x=Q-也)x,

,/EF=2,

：.Y+[(2-拘尤了二2:

解得：*=i1^=2+百'

S=—xlx-x=x2=2+,

2

36>4>2+5

，5的最大值为况后.

【点睛】本题考查含30。角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质及完全平方公式，

正确理解“关联三角形”的定义，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

13.见解析

【分析】本题主要考查三角形全等.解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定与性质.

根据EC〃尸。得到ZACE=ND,结合NA=NFB£>,AC=BD,,得到AACE//D/^ASA),即可得到证

明.

【详解】证明：:ECaFO,

:.ZACE=ND.

在"CE和ABDr中,

ZA=ZFBD,

<AC=BD,

NACE=ZD,

:.AACE注后DF(ASA).

:.AE=BF.

14.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，

先根据“两直线平行内错角相等''得/B=NC,再根据“边角边”证明AAB产四△DCE,即可得出答案.

【详解】证明：：AB〃cr»,

AB

CZ-----------

..ZB=ZC.

■：BE=CF,

:.BF=CE.

•在△踞和ADCE中

AB=CD

,/B=NC

BF=CE

：.△ABF四,

AF=DE.

15.(1)5

3

(2)C£=-

【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质：

(1)由线段中点的定义得到C。的长，再利用勾股定理求解即可；

(2)由折叠的性质得到EF=EC,NEFD=NC=90。,DF=CD=3,贝U可得到

AF=AD-DF=2,ZAFE=9Q°,设CE=EF=x,则AE=AC—CE=4—x,再由勾股定理建立方程求解

即可.

【详解】(1)解：：CB=6,。是2c的中点，

/.CD=-BC=3,

2

在R63中，由勾股定理得AD=JAC2+CD2=5；

(2)解：由折叠的性质可得£F=EC,NEFD=NC=90。,DF=CD=3,

：.AF=AD-DF=2,ZAFE=90°,

设CE=EF=x,则AE=AC-CE=4-x,

222

在RtAAEF中，由勾股定理得AE=AF+EF，

(4-X)2=X2+22,

3

解得X=Q，

3

CE=-.

2

16.(1)①见解析；②见解析；

(2)见解析，DB=DA+垃DC.

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，

构造全等三角形.

(1)①由ZACB=ZADB=90。，ZAPC=NBPD得出NCBE=NCAP；

②作CFLCD交AD于尸，可证得NACF=NPCD,NCBE=NCAP,进而得出△AFC也△5QC,从而

CF=CD,AF=BD,从而得出。Q=及。。，进一步得出结论；

(2)作CF,CD交5。于尸，得出△ACE^Z\JBC/，从而CD=C/，DA=FB,进而得出。尸=血0。，

进一步得出结论.

【详解】(1)①证明：・.・瓦＞八AP,

:.ZADB=90°,

/.NCBE+NBPD=90°,

・・・ZACB=9Q°,

：.ZCAP+ZAPC=90°,

•;ZAPC=/BPD,

.\ZCBE=ZCAP；

②解：如图1,

图1

作CF_LCD交AO于忆

NDCF=90°,

・・・ZACB=90°,

:.ZACB=ZDCFf

/.ZACB-ZPCF=ZDCF-ZPCF,

.\ZACF=ZPCD,

由①知ZCBE=ZCAP,

\AC=BC,

:.△AF8BDC,

:.CF=CD,AF=BD

DF=V2DC，

/.AD=AF+DF=DB+拒DC;

(2)解：如图2,

A

图2

作CFLCD交BD于F,

:./DCF=90°,

.-.ZACD+ZACF=90°,

vZACB=90°,

ZACF+ZBCF=90°,

ZACD=ZBCF,

•：BD^AD,

:.ZADB=90°,

ZDAE+ZAED=Z.CBE+Z.CEB,

VZAED=ZCEB,

NDAE=NCBF,

AC=BC,

AAFC=ABDC，

:.CD=CF,DA=FB

DF=及DC，

:.DB=FB+DF=DA+且DC.

17.(1)见解析；

(2)PS,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，/PAB,等边对等角

【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解

题的关键是理解题意正确作出图形.

(1)根据要求作出图形；

(2)利用线段垂直平分线的性质、等边对等角以及三角形的外角的性质证明即可.

【详解】(1)解：图形如图所示：

(2)证明：■「尸。是48的垂直平分线，

:.PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等),

:.ZB=ZPAB（等边对等角）,

又•：ZAPC=ZB+/PAB,

:.ZAPC=2.ZB.

故答案为：PB,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，NPAB,等边对等角.

18.⑴错误

(2)①或②或③或⑤或⑥，图见解析，证明见解析

【分析】本题考查了添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合)，熟练掌握全等三角形的判定方法

是解题的关键.

(1)利用全等三角形的判定方法对小明同学写出的6个条件逐一分析判断即可；

(2)补全图形，从小明写出的条件中选择一个，然后利用全等三角形的判定方法证明AOED/AOEE即

可.

【详解】(1)解：对于小明同学写出的6个条件,

选择条件①时,可以利用SAS证明QFD9QFE,

选择条件②时,可以利用AAS证明AOFD^OFE,

选择条件③时,可以利用ASA证明QFD之AOEE,

选择条件④时，利用SSA不能证明AOED之AOFE,

选择条件⑤时，可以利用AAS证明AOFD珏OFE,

选择条件⑥时，可以利用ASA证明丝AOEE,

，小明的说法错误，

故答案为：错误；

(2)解：补全图形如下:

选择条件①时，证明如下：

•••OC是/AOB的角平分线,

ZDOF=Z.EOF,

在△OFD和△OFE■中,

OD=OE

-ZDOF=ZEOF,

OF=OF

.•.△OFE^AOFE'(SAS)；

选择条件②时，证明如下：

•••OC是ZAOB的角平分线,

:.ZDOF=/EOF,

在△OFD和△OFE中,

ZODF=ZOEF

/DOF=/EOF,

OF=OF

/.△OFD^AOFE(AAS)；

选择条件③时，证明如下：

VOC是NAOB的角平分线，

.\ZDOF=ZEOF,

在△OFD和△OFE中，

ZDOF=/EOF

OF=OF,

ZOFD=NOFE

/.△OFD^AOFE(ASA)；

选择条件④时，利用SSA不能证明△M)0△OFE；

选择条件⑤时，证明如下：

•・•OC是ZAOB的角平分线，

:.ZDOF=AEOF,

•••ZADF=NBEF,

.•.180。—ZADF=180°-ZBEF,

即：NODF=/OEF,

在△OFD和△。庄中，

ZODF=ZOEF

<ZDOF=/EOF,

OF=OF

:AOFD均OFE(AAS)；

选择条件⑥时，证明如下：

VOC是NAOB的角平分线，

.\ZDOF=ZEOFf

•・・/DFC=/EFC,

.-.180°-Z,DFC=180°-/EFC,

即：/OFD=/OFE,

在△OFD和ZkOFE中，

ZDOF=/EOF

OF=OF,

ZOFD=ZOFE

.-.△OFD^AOFE(ASA)；

故答案为：①或②或③或⑤或⑥.

19.证明见解析

【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

甲同学得方法中，通过作角平分线，可得NB4D=NCAD,再根据(SAS),即可得出

△ABD^AACD(SAS),从而证明；乙同学的方法中，通过作垂线线，可得NA£B=NAEC=90。，再根据

(HL),即可得出丝RtAACE(HL),从而证明/3=NC；丙同学得方法中，通过作中线，可得

BF=CF,再根据(SSS),即可得出AAB尸0AAe尸(SSS),从而证明/B=NC.

【详解】证明：甲同学的方法：

证明：如图，作—54C的平分线交8C于点D.

ZBAD=ZCAD,

在△ABD和AACO中，

AB=AC

<NBAD=ZCAD,

AD=AD

AABD^AACD(SAS),

ZB=ZC.

乙同学的方法：

证明：如图，作于点E.

ZAEB=ZAEC=9。。,

在RtAABE和RIAACE中,

(AB=AC

\AE=AE'

：.RtAAACE(HL),

ZB=NC.

丙同学的方法：

证明：如图，取BC的中点E连接AF.

BF=CF,

在△ABF和△ACF中，

AB=AC

<BF=CF,

AF=AF

：.AABF^AACF(SSS),

NB=NC.

20.见解析.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形

的判定与性质是解题的关键.延长AD至点G,使0G=ZM,连接8G,证明AGBD丝AACD(SAS),得

GB=AC,ZBGD=/CA